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Full text of "Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures [microform"

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EXERCICES 

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DE  CALCUL  INTÉGRAL. 


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EXERCICES 


DE 


CALCUL  INTÉGRAL 

SUR 

DIVERS  ORDRES  DE  TRANSCENDANTES 

ET  SUR  LES  QUADRATURES  ; 

Par  a.  m.  LE  GENDRE  ,  Membre  de  l'Académie  royale  des 
Sciences  et  du  Bureau  des  Longitudes ,  de  la  Société  royale  de 
Londres,  etc. 

TOME  TROISIÈME. 


PARIS, 


jyjME  yE   ÇQURCIER,    IMPRIMEUR -LIBRAIRE    POUR    LES     MATHÉMATIQUES,, 
rue  du  Jardinet,  n''  12,  quartier  Saint- André-des- Arcs. 

1816. 


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EXERCICES 

DE  CALCUL  INTÉGRAL. 


/w/^yx 'V/'VW 'V*/*y% 'V%/«y% 'X/%/v% 


METHODES  DIVERSES 

POUR  LA  CONSTRUCTION 

DES  TABLES  ELLIPTIQUES, 

Suivies  de  la  Table  générale  des  Fonctions  complètes  ,  de 
la  Table  particulière  pour  le  module  sin  45°,  etc. 


JUILLET    1816. 


8i2233 


MIslh.  Ocpt. 


EXERCICES 

DE  CALCUL  INTÉGRAL. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES. 


JN  DUS  avons  fait  voir  dans  tout  le  cours  de  cet  Ouvrage,  et 
principalement  dans  la  première  Partie  ,  que  la  théorie  des  fonctions 
elliptiques  mérite  d'être  cultivée  plus  qu'elle  ne  l'a  été  jusqu'à  pré- 
sent, non-seulement  à  cause  des  belles  propriétés  dont  jouissent 
ces  fonctions  et  qui  leur  assigjient  un  rang  distingué  dans  l'analyse, 
mais  a  cause  des  applications  nombreuses  que  cette  théorie  peut 
recevoir  ,  et  qui  contribueront  au  perfectionnement  du  Calcul  inté- 
gral ,  en  donnant  aux  Géomètres  les  moyens  de  continuer  leurs 
recherches  sur  beaucoup  de  questions  importantes,  sans  être  arrêtés 
par  cette  espèce  de  barrière  qu'ils  n'osaient  plus  franchir  quand  ils 
avaient  dit  que  le  problème  était  réduit  aux  quadratures. 

Mais  cette  nouvelle  branche  d'analyse  ne  pourra  rendre  tous  les 
services  qu'on  peut  attendre  d'elle ,  que  lorsqu'on  aura  construit 
des  Tables  au  moyen  desquelles  les  fonctions  elliptiques  pourraient 
être  évaluées  dans  tous  les  cas  avec  un  degré  d'approximation  con- 
venable ,  et  sans  exiger  des  calculs  trop  pénibles. 

Il  ne  peut  être  question  de  réduire  en  Tables  les  fonctions  de  la 
troisième  espèce  ,  puisqu'elles  contiennent  deux  constantes  arbi- 
traires, outre  la  variable  principale ,  et  qu'ainsi  il  faudrait  que  ces 
Tables  fussent  à  triple  entrée  ,  chose  tout  a  fait  inexécutable.  Il 
suffit  d'avoir  prouvé^  relativement  à  ces  fonctions,  i".  que  le  cas 
des  paramètres  imaginaires  se  réduit  toujours  à  celui  des  paramètres 


9^: 


4  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

réels;  2°.  que  les  fonctions  complètes  de  ce  genre  s'expriment  tou- 
jours par  des  fonctions  de  la  première  et  de  la  seconde  espèce  ; 
5°.  qu'il  y  a  une  infinité  de  cas  particuliers ,  déterminables  algébri- 
quement, où  une  semblable  réduction  peut  avoir  lieu  ;  4°-  qu'on  peut 
pareillement  trouver  une  infinité  de  cas  où  une  fonction  donnée  de 
troisième  espèce,  est  réductible  indéfiniment  à  la  première  espèce  ; 
5°.  enfin  que  dans  tous  les  cas  ,  la  valeur  aussi  approchée  qu'on 
voudra  de  toute  fonction  de  troisième  espèce,  peut  être  trouvée  par 
des  séries  régulières  et  toujours  convergentes  (*). 

Toute  la  difficulté  se  réduit  donc  à  construire  des  Tables  qui 
représentent  les  fonctions  de  première  et  de  seconde  espèces,  cal- 
culées pour  un  nombre  déterminé  de  valeurs,  tant  du  module  c  que 
de  l'amplitude  (p ,  afin  d'en  pouvoir  déduire  par  interpolation,  les 
valeurs  des  mêmes  fonctions  correspondantes  à  toutes  valeurs  don- 
nées des  quantités  c  et  (p.  Le  calcul  d'un  pareil  système  de  Tables^ 
et  en  général  le  perfectionnement  des  formules  d'approximation, 
sont  l'objet  des  recherches  suivantes ,  que  nous  allons  indiquer 
sommairement. 

Dans  le  §  I  on  donne  les  formules  nécessaires  pour  calculer 
jusqu'à  14  décimales  ,  les  logarithmes  des  fonctions  complètes 
E'c,  F'c,  et  on  explique  la  construction  de  la  Table  L  Ce  même 
paragraphe  contient  quelques  théorèmes  nouveaux  sur  les  fonctions 
complètes  ,  et  sur  l'échelle  des  modules  dont  elles  dépendent. 

Le  §  Il  offre  deux  méthodes  générales  et  entièrement  nouvelles 
pour  réduire  en  Table  toute  intégrale  proposée  de  la  forme/^ud<p. 

Le  §  III  contient   l'application    de   ces   méthodes  aux   fonctions 

elliptiques  E  =zfùk.d:p ,  F  =  /  — .  On  a  pris  pour  exemple  la  cons- 
truction de  la  Table  II  qui  se  rapporte  au  module  c  =  sin  45". 

Le  §  IV  contient  une  autre  méthode  purement  trigonométrique 
pour  construire  les  Tables  des  fonctions  E  et  F. 

Dans  le  §  V  on  donne  des  formules  qui  expriment  d'une  manière 
très-simple  les  valeurs  des  fonctions  E(c,  (p),  F(c,(p),  lorsque 
l'amplitude  <p  n'excède  pas  une  limite  donnée. 

(*)  Voyez  première  Partie,  §  XXIII,  XXIY  et  XXV. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLlPTIQtJES.  S 

Dans  le  §  VI  on  indique  divers  moyens  d'étendre  à  un  plus 
grand  nombre  de  cas  l'usage  des  formules  précédentes;  mais  les 
calculs  deviennent  quelquefois  plus  longs  que  ceux  qu'exige  la 
méthode  générale  d'approximation.  On  fait  voir  comment  les 
formules  de  celle  -  ci  peuvent  être  simplifiées  dans  un  cas  fort 
étendu. 

Enfin  dans  le  §  VII,  on  donne  quelques  développemens  nouveaux 
sur  la  méthode  connue  qui  consiste  à  exprimer  les  fonctions  F  et  E^ 
par  des  séries  ordonnées  suivant  les  sinus  des  angles  multiples  de  2(p. 

J  I.  Z)ii  Calcul  des  Inondions  complètes  F'c,  E'c. 

1.  Nous  avons  déjà  donné  dans  la  première  Partie ,  art.  82  et  suiv., 
des  formules  pour  simplifier  le  calcul  des  fonctions  complètes  , 
Jorsque  le  module  est  peu  éloigné  de  l'une  de  ses  limites  ;  nous 
allons  faire  voir  maintenant  quels  sont  les  moyens  de  faire  ces  calculs 
dans  tous  les  cas ,  avec  un  degré  d'approximation  déterminé.  Nou^ 
supposerons  en  général  qu'on  veut  calculer  les  logarithmes  des 
fonctions  dont  il  s'agit  jusqu'à  14  décimales,  parce  que  ce  nombre 
est  celui  que  comportent  les  Tables  les  plus  étendues  qui  aient  été 
publiées  jusqu'à  présent ,  savoir,  VArithmetica  Logarithmica  de  Briggs, 
et  la  Trigonometria  Britannica  du  même  auteur.  Les  exemples  que 
nous  apporterons  dans  celte  hypothèse  feront  juger  aisément  des 
simplifications  dont  les  calculs  sont  susceptibles,  lorsqu'on  ne  voudra 
obtenir  que  dix  ou  un  moindre  nombre  de  décimales  exactes. 

On  verra  bientôt  que  les  mêmes  données  qui  servent  à  calculer 
les  fonctions  F'c,  E'c,  servent  aussi  à  calculer  leurs  complémens 
F'^,  L'o».  C'est  pourquoi  nous  ne  considérerons  que  des  valeurs  de  c 
moindres  que  \/ {  ,  c'est-à-dire  que  nous  supposerons  toujours 
Fangle  du  module  plus  petit  que  45°.  S'il  était  plus  grand,  on  échan- 
gerait enlr'elles  les  quantités  c  et  Z» ,  afin  que  c  désignât  toujours  la 
plus  petite  des  deux. 

Mais  avant  de  nous  occuper  de  ces  approximations  ,  nous  croyons 
devoir  ajouter  quelques  théorèmes  nouveaux  à  ceux  que  nous  avons 
donnés,  pag.  08  et  suiv.  de  la  première  Partie ,  sur  les  fonctions 
Fv,  E'c,  et  leurs  complémens  F'è  ,  E'^, 


6  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

2.  Considérons  les  deux  suites  correspondantes 

I c'",  c",  c',  Cy  c%  c°%  c""° o,     •-"      -^V^ 

o b'",  h\  //,  h,  h\  b^%  b'°' I. 

Dans  la  première  on  dislingue  deux  parties  ;  l'une  à  compter  de  c 
vers  la  droite  ,  se  compose  des  modules  de'croissans  c,  c%  c°%  c°°%.... 
dont  la  limite  est  zéro;  l'autre  à  compter  de  c  vers  la  gauche  ,  offre 
la  série  des  modules  croissans  c ,  c' ,  c',  c'",. . . .  dont  la  limite  est 
l'unité.  Ces  deux  parties  ne  forment  qu'une  seule  et  même  suite  de 
termes  liés  enlr'eux  par  une  seule  et  même  loi  qui  consiste  en  ce 

que  si  x  ,j-  sont  deux  termes  consécutifs,  on  a  jc  =    jf     ,  etréci- 

proquement  j  =  ,    _^ — -^.  On    peut   donc   en   partant  d  un 

terme  quelconque  de  la  série  ,  former  successivement  tous  les 
autres  termes ,  tant  dans  le  sens  où  la  série  est  décroissante  que 
dans  le  sens  contraire ,  la  limite  étant  zéro  dans  le  premier  cas  , 
et  I  dans  le  second. 

La  seconde  série  qui  répond  terme  à  terme  à  la  première  ,  est 

composée  des  modules  complémentaires ,  ensorte  que  si  c^  et  b^  sont 
deux  termes  correspondans  dans  les  deux  séries,  on  aura  toujours 

(c^y~}-(by=  j. 

Au  reste  la  série  inférieure  est  formée  suivant  la  même  loi  que 
la  série  supérieure,  avec  cette  seule  différence  qu'elle  est  croissante 
dans  le  sens  où  l'autre  est  décroissante  ,  et  réciproquement.  Nous 
avons  adopté  le  signe  °  pour  indiquer  la  diminution  des  c;  ainsi 
on  a  c'  <  <? ,  0°°  <  c" ,  c°°°  <  0°° ,  etc.  De  même  nous  avons  adopté 
le  signe  '  pour  indiquer  l'augmentation  des  c  ,  de  sorte  qu'on  a 
c' "^  c ,  c"  ^  c' ,  etc.  Ces  signes  auront  un  effet  contraire  sur  les 
complémens  ;  ensoi'te  qu'on  aura  b"  "^  b  ,  b°°  >»  b",  etc. ,  b'  <^  b  , 
V  <Ch' ,  etc.;  et  d'après  celte  observation,  toutes  les  fois  qu'il  y 
aura  lieu  d'échanger  entr'elles  les  lettres  <:  et  ^,  on  devra  en  même 
temps  changer  les  signes  °  en  ' ,  et  réciproquement, 

5.  Il  résulte  de  la  loi  de  nos  deux  suites^  que  si  jr  et^  sont  deux 
termes  consécutifs  de  la  première  ,  p  Qi  q  les  deux  termes  corres- 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  7 

pondans  de  la  seconde  ,  on  aura  géne'ralement  xq  =2  V/y^;  ce  qui 
donne  dans  un  sens  et  dans  l'autre,  ces  deux  séries  d  équations  : 

cb°  =  2  \/{c°b) ,     c*h'°  =  2  \/(c'°b'')  ,     6-°»^°°°  =  2  v/(c°°»^°°)  ,     etc. , 

C'^  =  2V/(C^'),       C"  b'  =  2^(c' b")  ,       C"'b"     z=:2)/(c"  b'"),       etC.  ' 

On  remarque  d'ailleurs  dans  celle-ci  que  l'e'change  des  lettres  c  et  ^ 
peut  se  faire  en  même  temps  que  celui  des  signes  °  et  ',  et  qu'alors 
l'une  des  deux  séries  se  déduit  de  l'autre. 

4.  La  fonction  F'c  peut  s'exprimer  de  deux  manières;  l'une  au 
moyen  des  modules  décroissans  c,  c°,  c°%  c°°°,  etc.  ;  l'autre  au  moyen 
des  modules  croissans  c ,  c',  c",  etc. 

La  première  expression  est,  suivant  l'art.  65  y  F'c=-K,  où 
l'on  a 

c       '      c°      '       c°°      *       (7^°°     

Mais   les   formules   de    l'article    précédent    donnent  — —  =  — 

c  i/b  * 

Q  \/c°°  b°*  .      . 

~~7°~  ^^  "ÎTF  '  ^^^'  '  ^^"^^  ^^^  ^"^^  P^"^  simplement 
K  =  \/(^yb°b°°b'°°..,  etc.), 

où  l'on  se  souviendra  que  la  suite  b ,  b°  _,  b°° ,  b°°'',  etc.  converge 
rapidement  vers  une  limite  égale  à  l'unité. 

La  seconde  expression ,  d'après  les  formules  des  art.  45  et  68  , 
est  F'c=:  —  log  -^  ,  où  Ton  a 

¥J  =^/(-  c'c"c"'       \  —  ^^   iv/^    n^        2t/Z>^ 
V  \c'  /        b   '    b'    '    b"  — "^F^  » 

et  où  l'on  suppose  b^  assez  petit  pour  que  i  —  c^  soit  négligeable. 
Egalant  entr'elles  les  deux  valeurs  de  FV,  on  aura  cette  formule 
générale 

•      5»-      /Cb\...b°°'>b'^b°bh'b" b-^~\         r         A 

-^  wK -^ ; = ï^g  ~ . 

où  l'oD:  voit  que  la  suite  b''°°b°'b"bb'b" doit  être  prolongée  à 


8  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

gauche ,  jusqu'à  un  terme  V  qui  ne   diffère   pas    sensiblement  de 

l'unité ,  et  à  droite  jusqu'à  un  terme  5^**"^   assez  petit  pour  que 

le  suivant  ^,  ou  au  moins  son  quarré,  appartienne  à  l'ordre  de 
décimales  qu'on  peut  négliger. 

Si  on  change  h  en  c,  on  aura  semblablement 

-a  Vi -, )  =  l^S  7  ' 

formule  qui  ne  diffère  pas  essentiellement  de  la  précédente;  elle 
suppose  que  (c^Y  est  négligeable  ainsi  que  i  —  c. 

5.  Lorsque  c  =  sin  45°,  on  a  trouvé  (pag.  99,  première  Partie) 
-  =  —  log  —  :  donc  alors  on  a 

M 
C 

En  bornant  l'approximation  à  14  décimales,  on  peut  faire  /*  =  4 
et  y  =  3  ,  ce  qui  donnera 

c''c"c'c  c°c°°c°°o  

çoooo  '    -~—    T"  y 

et  on  aurait  en  même  temps  c'c"c"'  =  b^b^'b'"". 

En  faisant  fj(,=.S ,  >'  =  4>  l'équation   serait    exacte  jusqu'à  la 
28""'  décimale. 

Lorsque  c  =  sin  i5%  on  a  trouvé  (pag.  102)^^^  =  — log  —  ; 

donc  ,  dans  ce  cas  j  le  théorème  précédent  donne 

c  ...  c'c"cc  cV°°c°°° . . .  c'""' 


^  a'* 


c-" 


.  =  3.4'". 


6.  Si  on  considère  les  équations  successives 

h°c  =  2  \/{bc°) ,     ^°°c°  =  2  v/(^V°°)  ,     ^»°°c°»  =  2  /(^'^c'"»)  ,     etc. , 

et  qu'on  les  continue  jusqu'à  ce  que  leur  nombre  soit/*,  le  produit 
de  toutes  ces  équations  donnera 

d'où 


i 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  9 

d'où  Ton  lire  j  en  supposant  i  —  V^  négligeable  , 

changeant  c  en  h  et  re'ciproquement,  ce  qui  oblige  d'échanger  en 
même  temps  les  signes  °  et  ',  on  aura 

Multipliant  ces  deux  équations  entr'elles ,  il  viendra 

/c...  c"'c"c'c  c°c°"c°'' .  .  .  c^^~\  fV  ...  b°°°b°°h°b  b'b"b'" .  :  .  b'^~\    _      0.fC 

\ ~ )k y^ ;-4  • 

Multipliant  de  même  les  deux  équations  du  n°  4  >  et  comparant  les 
deux  produits,  on  en  tire  ce  théorème  remarquable. 


^  =  — -ïoff  -f-.log  -7-. 


Ainsi  c^  etb^  étant  deux    termes   très-petits,  pris   dans  les  deux 
suites  générales  à  égales  distances  des  termes  moyens  <?  et  ^,  la 

relation   entre   ces    termes  est  telle  que  le  produit  de  log  -7-  par 

log -7-  est  égal  à  -7.4  •   Celte  équation  n'est  qu'approchée;  mais 

l'erreur  diminuera  de  plus  en  plus  à  mesure  que  /n  augmentera  , 
et  en  général  elle  sera  du  môme  ordre  que  le  quarré  des  quantités 

Dans  le  cas  de  c  =  ^  =  sin  45%  on  a  également  c^=  b^  ^   et 
de  là  résulte  Ioêj  -~  = -.2'^,  comme  dans  l'art.  4- 

7.  On  peut  parvenir   plus  directement  à  l'équation   de  l'article 
précédent.  En  effet  faisant 


lo  EXERCICES  DE  CALCUL  INTEGRAL, 

on  a 

F'c  =  ^.R  =  -  Iog4-, 

F'i  =  -.K'=:  -  log-f  ; 

donc  en  multipliant  ces  e'quations ,  il  viendra 

8.  On  peut ,  pour  plus  de  simplicité  ^  supposer  que  c  est  déjà 
assez  petit  pour  que  i  —  ^  ou  ^  c*  soit  négligeable.  Alors  l'équa- 
tion de  l'art.  4  donnera 

Celte  formule  offre  le  moyen  d'exprimer  directement  le  logarithme 
d'un  nombre  quelconque  par  le  rapport  de  la  circonférence  au  dia- 
mètre ,  savoir  ^  en  multipliant  ce  rapport  vr  par  ^  \/(-  c'c"c'^',  etc.  j, 

quantité  qui  se  déduit  du  nombre  donné ,  au  moyen  de  quelques 
extractions  de  racine  quarrée. 

9.  Veut-on  ,  par  exemple ,  avoir  l'expression  de  log  2 ,  on  fera 
-  =  2"*,  ayant  soin  de  prendre  m  assez  grand  pour  que  les  quan- 
tités de  Tordre  c''  ou  (^)'""~'^  soient  négligeables. 

Ainsi  en  faisant  f?i=  10,  les  erreurs  de  la  formule  seront  de 
l'ordre  (i)'^;  on  aura  donc,  à  moins  d'un  60000^™%  la  valeur  de 
log  2  par  l'équation 

I  TV  / /c  C  C    C'^\ 

,0l0g2  =  -y/(— ^), 

dans  laquelle  il  faut  substituer  les  valeurs  c  =  C  -  V ,  c'  =  ^4—  =  — ^ , 
c"  =  f^  =  ^'i,  .'"  =  ^  ,  ,..  =  ^.  On  borne  celte 

suite  à  c'%  parce  que  la  différence  i  —  c^  est  beaucoup  plus  petite 
que  l'erreur  de  la  formule. 

Le  résultat  donne  en  effet  log  2  =  o.GgSiSo  ,  ce  qui  est  conforme 
au  degré  de  précision  qu'on  voulait  obtenir. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  1 1 

En  faisant  m  =  20  ^  on  aurait  un  terme  de  plus  à  calculer ,  et  on 
obtiendrait  au  moins  dix  de'cimales  exactes. 

10.  Puisqu'on  a  F'<?  =  -  R  et  F'^  =  —  log  — ^  il  est  facile  de 

trouver  la  valeur  du  module  c ,  tel  qu'on  ait  F'è  =  nY'c  ;  pour  cela 
on  aura  Te'quation  ^Trn.'/'  =log  —  ,  qui  exprime'e  en  logarithmes 

c 

des  Tables  ,  donne 

lofif  —  ==  T  Trmn  .  2  . 

C 

Cette  équation  de'terminera  directement  c*^,  si  toutefois  fx  est  connu; 

or  £^  e'tanl  connu  ,  on  en  déduira  aisément  les  modules  précédens 

</*~^ ,  c*^""^,  et  enfin  c ,  par  la  méthode  de  l'art.  5g. 

Quant  à  la  valeur  de  /uc ,  elle  sera  égale  à  4  ^  depuis  c  =  sin  45° 
jusqu'à  c  =  sin  26°  54',  c'est-à-dire  depuis  n  =  i  jusqu'à  n=  1  -, 
à  peu  près. 

Elle  sera  égale  à  3  depuis  c  =  sin  26°  34'  jusqu'à  c  =  sin  3°  1 1', 
ou  depuis  /i  =  I  i  jusqu'à  /i  =  2  f . 

Enfin  on  aura  /-t  =  2  depuis  «  =  2  f  jusqu'à  /î=5|,et^=i 
si  on  a  n  "^  5  ^. 

Ces  résultats  sont  fondés  sur  la  limite  jusqu'à  laquelle  il  convient 
de  prolonger  la  suite  des  modules  c  ,  c%  c°%  etc. ,  pour  obtenir  un 
même  nombre  de  décimales  exactes  que  nous  avons  fixé  à  14.  Nous 
allons  faire  voir  comment  on  détermine  cette  limite. 

II.  Si  l'on  est  parvenu  dans  l'hypothèse  dont  il  s'agit,  à  un  terme 
b^  tel  que  —  log  l/*  soit  moindre  qu'une  demi-unité  décimale  du 
14*  ordre,  alors  on  pourra  regarder  log  b^  comme  nul  ;  et  à  plus 
forte  raison^  les  termes  suivans  log  b^'^^,  log  Z»"^"*"^ ,  etc.  Ainsi 
^~^  sera  le  dernier  des  modules  b  dont  il  faut  tenir  compte. 

La  série  des  modules  c ,  c°,  c°°,  etc.  comprend  toujours  un  terme 
de  plus  ;  elle  devra  par  conséquent  être  terminée  au  module  c^.  la 


12  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 


,/^— I 


raison  en  est  qu'on  a  alors  c^  =  f- j  .  —~,   et  qu'ainsi  le   log 

de  6^        est  ne'cessaire  pour  composer  la  valeur  de  log  c^ . 

Passé  le  terme  c^,  il  n'y  a  pas  lieu  de  considérer  le  suivant  c/*"^^ , 
parce  qu'on  aura  sans  erreur  sensible  c^'^^  =  (y^)S  ^t  qu'ainsi 
la  quantité  —  log  —  ne  change  pas  en  mettant/A  +  i  à  la  place  de /-t. 

2'"  c^ 

Cela  posé  ,  il  est  facile  de  voir  qu'on  connaîtra  les  limites  des 
diflférens  cas  ,  en  commençant  par  déterminer  la  valeur  du  module  c 
qui  donne  pour  son  complément  log  b  =  —  ^  (io)~'^. 

Le  module  supposé  c  étant  extrêmement  petit,  on  a  d'une  manière 
suffisamment  exacte  b  =  i  —  ^  c"  et  log  b  =.  —  ^  "^^^  >  donc 
c"  =  M(io)-'^  et  c=(  io)-7  V/M,  ou 

log  c  =3. 1811078. 

Si  on  assimile  c  au  sinus  d'un  arc  ,  on  trouvera  que   cet  arc  n'est 
qu'une  fraction  de  seconde  et  qu'on  a  c  =sin  o"o3i3. 

Il  faut  maintenant  partir  de  ce  module  très-petit  pour  former  la 
suite  des  modules  croissans  c,  c',  c",  c'",  etc.;  c'est  un  calcul  qu'on 
pourra  faire  d'une  manière  suffisamment  exacte  pour  notre  objet , 
par  une  Table  à  sept  décimales  seulement. 

On  aura  d'abord  c'==-i^^  ou  simplement  c'=2\/cj  ce  qui 
donne  loge' =6.8915839  et  c'=:  sin  0°  2'4o"  70. 

Pour  avoir  c"  je  fais  c' =  tang^^Q,  j'ai  /  tang  ^9  =  8.4457919  , 
i  ô  =  1°  35'  55"  78,  Q  =  5°  1 1'  5i"56;  donc  c"==  sin  3°  11'  5i"56  et 
loge"  =  8. 74648  36. 

Si  on  fait  de  nouveau  c"=tang'^  6',  on  aura /tang^ô'=9. 37324 18,, 
i6'  =  i3°i7'i8"84,  6'=:26°34'37"68;  donc  c"'==  sin  26=34' 57"68 
et  log  c'"  =9.6506981. 

Soit  enfin  c'"  =  tang' j  ô",  on  aura  l  tang  |  Ô  =  9.8253490,- 
1 8"  =33°  46'  40"  1 5 ,  6"=  6f  35'  20"  3o  ;  donc  c-  =  sin  67°  53'  20" 3o^ 
et  log  c'^  =  9. 9657898. 

12.  II  résulte  des  calculs  précédens,  1°.  que  depuis  c=sin67°  35r 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  i5 

jusqu'à  (?=sin26°54',  on  devra  se  bornera  calculer  les  quatre  termes 
b,  h\  b^%  1"°%  et  les  cinq  c ,  c%  c°%  c°°%  c°°°°  ; 

2°.  Que  depuis  c  =  sin  26°  34'  jusqu'à  c  =sm  3°  1 1',  on  n'aura  à 
calculer  que  les  trois  termes  b,  b%  b°%  elles  quatre  c,  c%  c°%  c°°°; 

5°.  Que  depuis  <?  ==  sin  3°  11'  jusqu'à  c  =  sino°  2^40",  il  suffira 
de  calculer  les  deux  termes  b,  b%  et  les  trois  c,  c%  c°°; 

4°.  Que  depuis  c  =  sin  0°  2' 40"  jusqu'à  c=sino"o3i3,  il  suffira 
de  calculer  le  terme  b,  et  les  deux  c ,  c°; 

5°.  Enfin  qu'au-dessous  de  c=  sin  o"o5i3  ,  on  n^a  besoin  que  du 
seul  terme  c. 

Tel  est  le  nombre  des  termes  de  la  se'rie  des  modules  et  de  celle 
de  leurs  comple'mens  ,  qu'il  sera  ne'cessaire  de  calculer  dans  les 
difTerens  cas,  pour  obtenir  i4  décimales  exactes  dans  les  logarithmes 
des  fonctions  F'6>,  E'c,  F'^,  E'b.  Nous  allons  faire  voir  maintenant 
comment  les  calculs  de  ces  modules  peuvent  être  effectués  de  la 
manière  la  plus   facile. 

Formation  de  l'échelle  des  modules. 

i3.  Connaissant  les  logarithmes  de  c  et  ^ ,  il  s'agit  de  trouve^ 
ceux  des  termes  suivans  c°  et  b°.  Pour  cela,  soit  c°  =  x,  l'équation 

b'c=:  2\/{bc°)  donnera  œ  =  ^'       (i — x") ,  et  en  faisant  pz=  -^ — y 

la  valeur  de  x  développée  en  série  régulière  sera 

Mais  il  importe  de  calculer  directement  log  jc  ',  or  la  valeur 
^  =  i^Çi±4£)^  donne 

d'où  l'on  lire  en  intégrant , 

logx=:logp-;.»-f--.;^^-^.-f +  -3-4.-^ -etc. 

Ces  logarithmes  sont  hyperboliques  ;  pour  les  changer  en  loga- 
rithmes vulgaires,  il  faut  multiplier  les  parties  algébriques  parwf^ 


i4  EXERCICES  DE  CALCUL  INTEGRAL. 

c'est  pourquoi  faisant 

P  =  mp"-  —  I  mp^  +  -^  mp^  —  etc. , 
on  aura  log  x  ou 

log  c°  ■=.  log  p  —  P     et     log  ^'  =  —  ^  P  ; 
ainsi  on  connaîtra  à  la  fois  log  c"  et  log  ^°.    - 

La  même  formule  servira  à  calculer  les  termes  c'°  et  ^°°,  au 
moyen  des  deux  précëdens  c°,  Z>%  et  ainsi  de  suite  ,  jusqu'à  ce  qu'on 
ait  formé  l'échelle  entière  des  modules  dans  les  limites  déterminées 
par  l'art.  12. 

Nous  remarquerons  qu'en  supposant  toujours  qu'on  veuille  obtenir 
i4  décimales  exactes^  la  valeur  de  P  ne  comprendra  jamais  pins  de 
trois  termes;  on  trouvera  même  que  le  troisième  ne  devient  nécessaire 
que  lorsque  c  est  peu  éloigné  de  la  limite  sin45°;  dans  les  autres 
cas,  il  suffira  des  deux  premiers  termes  mp""  —  \  nip^,  et  souvent  du 
seul  premier  terme  mp"^. 

14.  Si  la  première  valeur  du  module  c  est  donnée  sous  la  forme 
c  ==  sin  6 ,  et  qu'en  même  temps  l'angle  6  ,  ainsi  que  sa  moitié, 
se  trouve  directement  et  sans  interpolation  dans  les  Tables,  alors 
on  aura  immédiatement  les  quatre  modules  c ,  b ,  c%  b°,  par  les 
formules 

casino,     Z'  =  cosÔ,     c»  =  tang*|ô,     b"  := -^^^: 

On  calculera  ensuite  les  termes  c°°,  b°°  en  les  déduisant  des  termes 
précédens  c°,  b" ,  par  les  formules  de  l'article  précédent.  C'est  ainsi 
qu'on  a  procédé  dans  les  calculs  qui  ont  servi  à  former  la  Table  gé- 
nérale des  fonctions  E'i?,  F'c  dont  nous  parlerons  bientôt. 

i5.  Si  la  valeur  de  c  est  donnée  en  nombres  rationnels  assez 
simples  ,  il  pourra  être  facile  de  trouver  les  valeurs  logarithmiques 
de  b ,  c°,  h°  au  moyen  des  formules 

et  pour  cet  effet  on  emploiera  la  Table  connue  qui  donne  jusqu'à 
i5  ou  20  décimales^  les  logarithmes  des  nombres  de  i  à  1161  ,  ou 
même  de  i  à  1200.  Les  calculs  seront  encore  plus  faciles  si  la  valeur 
de  b  est  donnée  immédiatement  en  nombres  simples. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  1 5 

Si  on  ne  connaît  que  log  c ,  dont  le  double  sera  log  c%  on  cher- 
chera dans  une  Table  ordinaire  à  sept  décimales  ,  un  nombre  qui 
approche  de  c"  jusqu'à  la  sixième  ou  la  septième  de'cimale  ;  on 
transformera  ensuite  cette  valeur  en  fraction  continue  ,  afin  d'obtenir 
une  fraction  ordinaire  exprimée  en  nombres  assez  simples  qui 
approche  beaucoup  de  la  valeur  de  c*.  Cela  posé ,  on  appliquera  la 
formule  suivante  qui  sert  à  trouver  facilement  Iog(i-|-A)  ou 
log  (i  —  A)  ^  lorsqu'on  connaît  log  A  ; 

log  A  =  log  «  +  /'^ 

log(i±A)  =  log(iri=«)=fc^-(i  +  -^|^J;       • 

et  pour  faciliter  le  calcul  de  cette  formule,  on  fera 

r'  =  -^,     logR  =  /«+//'  +  ^/-'. 


't3 

et  on  aura 

log(i  ±  A)  =  log  (i  ±«)  ±  R. 

Par  le  moyen  de  log  c%  on  connaîtra  donc  log  (i — c*),  ou  2 log 5; 
ensuite  il  faudra  trouver  log  (i-f-Z») ,  ce  qui  se  fera  par  l'application 
de  la  même  méthode.  Enfin  connaissant  log  (  i  +^)  ,  on  aura  immé- 
diatement les  logarithmes  de  c°  et  b°,  par  les  formules 


b'  = 


2[/b 


16.  Si  on  ne  veut  pas  pousser  l'approximation  au-delà  de  dix 
décimales ,  le  calcul  des  premiers  modules  se  fera  sans  difficulté  par 
les  Tables  de  Vlacq  ou  de  Wega ,  en  faisant  les  interpolations 
nécessaires,  et  ayant  égard  aux  secondes  différences.  On  peut  à  cet 
effet  suivre  deux  méthodes  différentes. 

1'.  Etant  donné  log  c  ou  log  sin  ô  ^  on  cherchera  l'angle  9  avec  tout 
le  degré  d'exactitude  que  la  Table  comporte ,  c'est-à-dire  en  calcu- 
lant les  fractions  de  seconde  jusqu'à  la  cinquième  décimale  au 
moins;  6  étant  connu,  on  aura  par  les  interpolations  ordinaires, 
les  logarithmes  des  quantités  b,  c°,  b%  savoir  ;  ^  =  cos  G,  c°  =  tang»^  9  , 

c 

Ces  calculs   pourraient  être  faits  de  la  même  manière  ,  lorsqu'il 


i6  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

s'agira  de  trouver  c°°  et  b"";  mais  ils  deviendraient  plus  compliqués, 
et  les  interpolations  moins  exactes  à  raison  de  la  petitesse  du  nouvel 
angle  ô.  Il  sera  donc  préférable  alors  de  se  servir  de  la  méthode 
de  l'art.  i5. 

2°.  Pour  éviter  les  interpolations  assez  pénibles  qu'exige  la  mé- 
thode précédente  ,  on  peut  opérer  comme  il  suit. 

L'angle  9  auquel  répond  /  sin  ô,  tombe  toujours  entre  deux  angles 
de  la  Table  ^  qui  ne  diffèrent  entr'eux  que  de  lo".  Soit  a  celui  des 
deux  qui  est  multiple  de  20",  et  soit 

/sinâ  =  Z  sin  a  +  r; 
on  déduira  de  là  , 

/  cos  ô  =  / cos  a  —  r  tane* ^  (i  -\ r-)  » 

/tangiâ  ==  /  tangi  a +  -^(i-f-^Mr  tangua). 


Ainsi  on  connaîtra  les  logarithmes  de  b  et  de  c"*;  ensuite  on  aura 

celui  de  b°  par  la  formule  b°  =  £±_i_li. 

Si  l'on  fait  l  cos  B  =  l  cos  a  —  R  ,  Z  tang  ^  9  =  Z  tang  ^  a  +  S  , 
le  calcul  des  corrections  R  et  S  deviendra  fort  simple  par  le  moyen 
suivant.  Soit  /'  =  r  tang'^a  ,  on  aura 

log  R  =  log  /•'  -f-  /  -f-  /', 

logS  =  log-^  +  A/; 


cos  U 


Au  reste  il  n'est  point  à  craindre  que  les  erreurs  se  multiplient  dans 
ces  calculs,  puisqu'on  suppose  toujours  9  ou  a  <:^  4^°.  ; 

Fonnules  pour  le  calcul  des  quatre  fonctions  F'c,  E'c  ,  F'b,  E'^. 

17.  Nous  partons  toujours  de  l'hypothèse  que  l'on  veut  avoir 
les  logarithmes  de  ces  quatre  fonctions,  approchés  jusqu'à  la  qua- 
torzième décimale;  d'ailleurs  on  peut  toujours  supposer  c  <<  sin  45". 
Cela  posé ,  nous  commencerons  par  le  cas  qui  exige  les  plus  longs 
calculs  ,  celui  où  le  module  c  est  compris  entre  sin  45'  et  sin  26°  54'; 
^îors  l'échelle   des  modules  doit  être  prolongée   jusqu'aux  termes 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.         17 

^000  ^  ^0000  ^  inclusivement.  Les  autres  cas  seront  susceptibles  de 
diverses  simplifications  à  mesure  que  le  module  c  deviendra  plus 
petit. 

Les  valeurs  de  F'c ,  E'c  se  trouvent  d'abord  immédiatement  par 
les  formules 

F-^  =  ^.K,       K=:y/(i.*'4»-4-), 

E'c  =  LF'c ,    L  =  —  (i  —  \  c^c"^ —  l  c^«.s'°'c°*»). 

Pour  simplifier  le  calcul  du  coefficient  L,  j'observe  que  les  deux 
termes  j  C^c""  (i  +^  c"°)  peuvent  se  réduire  à  un  seul;  car  on 
a  d'une   manière    suffisamment   exacte,   i  -\- ^  c"""  =  \/ Ç  i -{- 0°°°  ) 

=  \/\^)  '  ^  ^^  ^^^^'®  ^^^^'  ~T^^  =  "jT^*     ^"^ 

Ainsi  faisant  /•=  j  c**c*"'.-î^ ,  on  aura 

Lorsque  c  est  donné  sous  la  forme  sin  ô  ^  et  que  l'angle  6  ainsi 
que  ^  ô ,  se  trouve  immédiatement  dans  les  Tables  ,  on  a  plus 
simplement 

Tout  se  réduit  donc  à  trouver  log  (  i  —  r)  ,  ce  que  l'on  fera  par 
la  formule  log  (  i  —  /•)  =  —  mr —  ^  wr*  — ^mi^,  dont  il  suffira  de 
calculer  trois  termes  au  plus. 

Le  premier  terme  mr  de  celte  valeur  peut  être  calculé  avec  une 
précision  suffisante  par  des  Tables  à  dix  décimales;  car  il  ne  peut 
avoir  au  plus  que  dix  chiff"res  significatifs  :  et  quand  même  il  y 
aurait  une  erreur  d'une  ou  de  deux  unités  sur  le  dixième  chiffre 
significatif,  qui  sera  au  rang  delà  quatorzième  décimale,  cette  erreur 
sera  confondue  avec  celles  dont  les  autres  logarithmes  sont  suscep- 
tibles; car  en  poussant  l'approximation  jusqu'à  la  quatorzième  déci-^ 

3 


ï8  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

maie  ^  on   ne  peut  prétendre  que   la    quatorzième  décimale  sera 

toujours  exacte. 

18.  Venons  maintenant  au  calcul  des  fonctions  complémentaires 
F'^,  E'Z».  Les  formules  des  art.  68  et  78  de  la  première  Partie 
donnent ,  après  avoir  échangé  entr'elles  les  lettres  b  et  c  ,  et  en 
supposant  ytt  =  4 

On  voit  d'abord  qu'on  a  exactement  K'  =  R,  et  qu'ainsi  K'  est  déjà 
connu  ;  ensuite  pour  changer  les  logarithmes  compris  dans  ces  for- 
mules en  logarithmes  vulgaires  ,  soit  h  =  —  log  -^5-0?  ^^  logarithme 

tiré  immédiatement  de  la  série  des  modules,  sera  un  logarithme 
vulgaire ,  et  on  en  conclura 

F'^  =  KMA. 

Pour  calculer  E'^  ,  il  faut  connaître  le  coefficient  L^;  or  les  formules 
des  articles  cités,  donnent ,  après  les  permutations  convenables, 

V=c'-  c,  [•.•  +  ^(^")  +  /(^r)  +  etc.]. 
Mais  on    a   i  —  b  z=  c  \/c° ,    i  -f-  Z»  =  — —  ,   c"  —  cb  \/c°  =  c  y^c"  ; 

y  c 

donc 

L'  =  cy/c°—  cy/(bc°c°'> )  —  c  i/(^£!^£!!!)  —  etc. 

Celte  suite  est  fort  convergente,  mais  on  peut  lui  donner  une  forme 
plus  commode;  en  effet  on  a  les  équations 

y/(^c°)  =  ^  ^"c,  d'où  résultent  \/{bc°c°°)  =  i  b''c[/c°% 

/  /bc°r°°c°°°r°°°°\ 

V/(i-c-») = i  b^^^C^  y/  (. M^ )  =  i  b°'">cc°c°'>  y^c'^^o, 

etc.  etc. 

donc 

h'  =  c \/c° — ^  c^'b"  [/c""  —  ^  c'c"^*""  ^c"""  —  l  c'c'c'°^°°"  ^/c*»°°  —  etc. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  19 

Pour  rendre  cette  expression  tout  à  fait  rationnelle,  on  subslituera 

les  valeurs   V/c»=  -  (i+c°)^  \^^'°  =f  (1+^°°)^  etc.;  et  en  obser- 
vant  qu'on  a  b' =  —^^^ ,  ^°»  =  ^^^^^-^  ,  etc.,  il  viendra  enfin 

ou 

L'  :==  1  o«  +  i  cV  +  i  cV'c"'  +  y^  c V°c°°c°"  4-  etc. 

Comparant  cette  expression  avec  celle  du  coefficient  L  qui  sert  à 
déterminer  E'c,  on  trouve  exactement  L'=  i  —  L. 

Ce  re'sultat  aurait  pu  se  déduire  directement  de  notre  the'orème 
sur  les  fonctions  complémentaires  ,  savoir, 

2, 
car   en   substituant   dans    cette   équation   les  valeurs  F'c  =  -  R , 

E'c  =  LF'c ,  E'^  =  L'F'^  +  é- j  on  trouve  immédiatement 

L'  =  I  —  L  ; 

ainsi  on  a  une  nouvelle  vérification  du  théorème  dont  il  s'agit. 

19.  Il  suffit,  pour  l'approximation  que  nous  voulons  obtenir,  de  '' 

prendre 

L'  =  i  c»  (i  +  I  c»  +  ^  c'c»»  +  i  cV°"c'°° )  ; 

mais  ces  quatre  termes  seraient  peu  commodes  pour  le  calcul  loga- 
rithmique, et  on  va  voir  qu'ils  peuvent  être  réduits  à  deux. 

En  effet  soit  j-=  i  -h^C'^^  c°c°»  +  i  c°c'»c""'%  j'observe  d'abord 

qu'on  a  i  +  c°°  =  -^~-  ;  donc  i  +  7  c'  (1  -f-  c°»  )  =  i  +  \/c^%  et 

^  ^  .,  ^      ^^     \ 

La  seconde  partie  de  cette  valeur  se  réduit  à  un  seul  terme ,  parce 
qu'on  a  avec  une  exactitude  suffisante  , 

1  -  1  c-  =  v/(i  -  C-  )  =  ^/(t^)  =  ^(  h'-  y/ h-  )  j 
il  en  résulte 


jto  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Mais  on  a 

b°        b°° 

et  celte   valeur  se    réduit    ultérieurement  à  -— r .  —-7-  :  donc  si   on 

y/o     \/o°  ' 

fait  i  +  v/c-==^, on  aura  C^==^.^.-===K.^^„,etC=K^(^„)• 
Cela  posé  ,  la  valeur  de  j  devient 

c°c°°  — 

et  le  second  terme  se  réduit  à  ■k'TTû'  (^''°°)*5  donc  enfin  on  aura 

Par  ces  transformations  non-seulement  la  valeur  de  L'  est  réduite  à 
deux  termes  ;  mais  le  second  de  ces  termes  reste  toujours  très-petit 

par  rapport  au  premier;  j'observe  d'ailleurs  que  le  facteur  (Z»°°°)*, 
très-peu  différent  de  l'unité  ,  peut  être  omis  sans  qu'il  en  résulte 
une  erreur  d'une  unité  décimale  du  quatorzième  ordre  sur  le  log. 
de  L',  et  encore  moins  sur  celui  de  E'^. 

20.  Cela  posé,  le  calcul  de  E'^  se  fera  par  les  formules 
E'^  =  ji(i  +  A), 

Nous  avons  fait  voir  d'ailleurs  comment  du  log.  connu  de  A  on 
déduit  log  (i  -{-A)  ;  ces  formules  Jointes  à  celles  que  nous  avons 
déjà  trouvées ,  savoir  , 

7  l/Aooo 

E'c=  —  F'c(i--r),     r  =  ic'=c-.-^^ „ 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  21 

«ont  ce  que  l'analyse  parait  offrir  de  plus  simple  pour  calculer 
jusqu'à  la  quatorzième  décimale  ,  les  logarithmes  des  quatre  fonc- 
tions F'c^  E'c,  F'^,  E'^,  dans  le  premier  cas  de  l'art.  12,  c'est-à- 
dire  lorsque  le  module  c  est  compris  entre  sin  45°  et  sin  26'' 34'. 

21.  Ces  formules  se  simplifieront  encore  lorsqu'on  voudra  obtenir 
une  moins  grande  approximation ,  ou  lorsque  c  sera  plus  petit 
que  sin  26°  54',  parce  qu'alors  il  y  aura  moins  de  termes  à  calculer 
dans  la  série  des  modules. 

Ainsi  depuis  c  =  sin  26°  34'  jusqu^à  c  r=  sin  3"  11',  ou  depuis 
c  =  0.447  jusqu'à  6'=o.o558,  on  pourra  faire  b"'"  =  i ,  et  prendre 
c°°°  pour  le  dernier  terme  de  la  suite  des  modules  ,  ce  qui  donnera 

Ces  formules  conviennent  au  second  cas  de  l'art.  12. 

22.  Le  troisième  cas  à  considérer  est  celui  où  c  est  compris  entre 
sin  5°  II'  et  sin  2'  4^",  c'est-à-dire  entre  o,o558  et  0.000776.  Alors 
on  pourra  faire  b°°  =  1,  et  prendre  c°°  pour  le  dernier  terme  de  la 
série  des  modules;  on  aura  donc  pour  déterminer  Y'c  et  E'c,  les 
formules 

Dans  la  dernière^  le  facteur  1  —  ^  c°^c°°  qu'on  peut  représenter 
par  (b^^Yf  ne  peut  produire  au  plus  que  deux  unités  dans  le  qua- 
torzième ordre  de  décimales  ;  car  la  limite  supérieure  de  c  est  dé- 
terminée par  la  condition  que  log  b*°  n'est  que  d'une  demi-unité  de 
cet  ordre.  Ainsi,  peu  après  cette  limite  ,  on  pourra  négliger  tout  à 

fait  ce  facteur ,  et  faire  E'c  =  tW?  ^^  T"  s'accorde  avec  la  formule 

du  n"  83,  première  Partie  ;  mais  elle  est  réduite  ici  à  une  expres- 
sion encore  plus  simple. 

Dans  le  même  cas,  les  fonctions  F'Z»,  E'^  se  calculent  par  les- 


éê  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

formules 


1  r«/^°B 


E'^  =  l(i+A),    A  =  ic'R»F^.(i-ïi^°); 

—  c'*c°° 

et  on  remarquera  que  le  facteur  i  —  '^         ne  peut  donner  au  plus 

qu'une  unité  décimale  du  onzième  ordre  :  ainsi  il  devra  être  né- 
gligé si  on  se  borne  à  dix  décimales;  alors   on  aurait  simplement 

E'^  ^^^  K  C  ^  "^"  «  ^^^'^  F'^)  >  ^^  ^^^  s'accorde  avec  les  formules  des 
art.  79  et  82;  mais  celte  nouvelle  expression  est  encore  la  plus  simple. 

23.  Ces  formules  sont  déjà  réduites  à  un  tel  degré  de  simplicité, 
qu'il  serait  presqu'inutile  de  faire  mention  des  deux  derniers  cas 

de  l'art.  1 2  ;  l'un  où  l'on  peut   faire  ^^  =  i  ,  R  =  -^ ,  h  =  ~  l  ^ 

=  /  -  +  7  Z  r;  l'autre  oii  l'on  peut  faire  ^  =  i  ^  R  =  1 ,  A  =  log  -. 

Il  ne  reste  plus  qu'à  faire  voir  dans  quelques  exemples ,  l'appli- 
cation des  formules  précédentes;  nous  commencerons  par  le  cas  où 
il  faut  apporter  le  plus  de  précision  dans  les  calculs ,  mais  qui  offre 
plusieurs  moyens  de  vérification;  et  pour  mieux  juger  de  l'exactitude 
des  formules  ^  nous  ne  négligerons  les  décimales  qu'au-delà  du 
quinzième  ordre. 

Exemple   I.     c  =  sin  4^^'- 

24.  On  aura  c'  =  tang'  22°  |  =  (\/2  —  1  )* ,  b°  =:  2  1 /— ,  ce  qui 
donne  d'abord  les  logarithmes  suivans  , 

c,b...  9.8494s  5oo2i  68010 
tang22*|...  9.61722  43i4^  62137...^"...  9.99351  18092  42ii3 
C 9.234448629324274. 

Pour  trouver  les  termes  suivans  c°°  et  b"" ,  on  calculera  par  la 
méthode  de  l'art.  i3  ,  d'abord/?,  ensuite  les  différens  termes  qui 
composent  P,  et  que  nous  désignerons  ici  par  1)  ,  2)  ,  5). 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.         aS' 


|c° 8.95341  86356  60293 

(^c°)\.,  7.86685  72675  20586 

b° 9.99351   18092  42113 

p . .  7.87332"5458o  78473 


m. 

0 
p'- 

2 

a  • 

P'- 

9 

3) 


5-74665  091 61  Sy 
9.63778  45ii5  og 
5.38443  52274~5^ 
5.74665  0916 
0.17609  1259 
1 .30717  74 
5.74665  09 
0.34678  7 
7.40061  5 


D'après  les  logarithmes  trouve's  des  trois  parties  de  la  valeur  de  P, 
le  premier  terme  1)  se  trouve  par  des  Tables  à  dix  décimales  > 
0.00002  42345  64925;  mais  comme  on  pourrait  craindre,  dans 
ce  cas  ,  que  la  quatorzième  décimale  ne  fût  pas  exacte  ,  et  encore 
moins  la  quinzième  ,  voici  le  moyen  d'obtenir  une  plus  grande 
précision. 

25.  11  s'agit  de  trouver  le  nombre  A  d'après  son  logarithme 
5.38443  52274  57;  je  trouve  dans  les  Tables  qu^en  faisant.... 
a  =  0.00002  4^3 ,  on  a 

log  a  =  5.38435  34141  37 

logA  =  5.38443  52274  5j 

r  =  8   i8i33  20 

ce  qui  donne  log  A=log«-|-r;  donc  A=«e^'',  A— -a  =  «(e^'- iV 


e-^^ï'-)=«Mr6^^'- 


ae^  "''  (  e 
et  enfin  ^ 

log  (A  —  a)  =  /  (aMr)  H-i  r  + 
Voici  le  calcul  de  cette  formule  : 

/' 5.9128240168 

a 5.38435  34141 

M. o. 36221  SÇfd^Sj 

{r 4  09067 

iVM/-»... 6 

A  — «... 


0+g- 


4- 


120 


Mr' 


(    MV\ 

\  120/ 


I .65943  40269 


A  —  a  =  0.00000  00045  64929 
a, .  .   0.00002  423 
A  =  0.00002  42345  64929 


24  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL: 

On  voit  que  la  formule  pourra ,  dans  des  cas  semblables ,  être 
réduite  aux  deux  premiers  termes^  de  sorte  qu'on  aura  log(A  — a) 
=  l(aMr)  +  j/',  et  l'usage  en  sera  extrêmement  facile;  d'ailleurs 
il  suffit  de  calculer  log  (A  —  a)  avec  sept  décimales  ,  pour  en  tirer 
la  valeur  de  A  exacte  jusqu'à  la  quinzième  décimale. 

26.  Nous  venons  de  trouver  la  valeur  du  premier  terme  1)  de  P  ; 
les  termes  2)  et  5)  s'obtiennent  sans  difficulté  par  leurs  logarithmes  : 
ainsi  on  en  conclura 

1)...   0.00002  42345  64929 

2)  —  20  285i  I 

3)  +  252 

P  =  0.00002  42325  56670  iP o.ooooi  21 162  68335 

p...,  7.87352  54580  78475  b'^ 9-99998  78837  3i665 

c*"...  7.87530  12255  4i8o3. 

V  Connaissant  c""  et  h°%  on  se  servira  de  la  même  méthode  pour  en 
déduire  c^°'  et  b""-"  ;  mais  la  quantité  P  se  réduisant  à  son  premier 
terme  w/?%  le  calcul  se  simplifie  beaucoup. 

ic^° 7.57227   12298  77822        ;?' 0.28910  9i5 

l^c°'-y...  5.14454  24597  55644  m 9.65778  451 

^'     i:b°\..  I  21162  68535        p 9.92689  346 

p. 5.144554576023979 

p 84507        ^P--'-  0.000000000042254 

V"^*"^         c°°° 5.14455  45759  39472        Z»°-°...  9.99999  99999  57746 

11  ne  reste  plus  qu'à  calculer  le  terme  c°°°%  ce  qui  se  fera  simplement 

par  la  formule  c"'»"  =  (  1  c°°°y~. 

^c°°°...   4.84352  45802  75491 

9.68704  91605  50982 

42254 

c°°°°....    9.68704  91Ô05  93256 

27.  Ayant  formé  ainsi  l'échelle  entière  des   modules,  nous  cal- 
culerons 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  25 

culerons  d'abord  K  et  F'c,  comme  il  suit  : 

r o.i5o5i  49978  51990 

b" 9.99361  18092  42ii5 

b"' 9-99998  78837  3i665 

V  b°°\...  9-99999  99999  ^77^6 

R" o.i44toi  416907  635i4 

K.,...  0.07200  73453  81767 
O  j'Tt....  0.19611  98770  3oi53 

F'C...    0.26812    7222i    11910 

Pour  calculer  ensuite  E'c,  on  commencera  par  former  le  logarithme 
de  r  qu'il  suffit  ordinairement  d'exprimer  avec  dix  décimales,  mais 
que  pour  plus  de  sûreté  on  peut  porter  jusqu'à  douze  ;  ensuite  on 
en  déduira  les  différens  termes  de  log(  i  —  r)  que  nous  désignerons 
à  l'ordinaire  par  i)  ,  2),  5)  , 


c°- 8.46889  72586  485 

i-c°° 7.57227   12298  778 

I  :  [/b°°. . .  50290  671 

V/^""" -^ 211 

r 6,o4ii7  i5i75  72 


r. . . . . .   6.o4ii7   16175  72 

m 9.63778  43ii3  00 

1) 5.67895  68288  72 

i  r 5.74014   l5 

2) 1.41909  73 

|r 5.865o8  o 


5) 7.28417  7 

La  valeur  du  premier  terme  i)  se  trouve  par  les  Tables  a  dix 
décimales,  0.00004  774^0  7077  ;  pour  la  déterminer  avec  plus  de 
certitude^  et  jusqu'à  la  quinzième  décimale^  on  fera  usage  du  moyen 
indiqué  art.  26. 

Soit   a  =  0.00004  775,  on  aura 
log  rt  =  5.67897  33769  20 
5.67895  68288  72 
1  76470  48 

r 5.24420  4o64i 

M 0.36221  66887 

a 5.67897  33769 


logA 
r 


—  87735. 


a  —  A....   1.28538  4355ij 


log  A  =  log  a  -^  r. 

log  {a  —  A)  =  log  («M/-)  —  i  r 
«  —  A  =  0.00000  00019  29253 

a  z=z  o.oooo4  776 

A  =  0.00004  77480  70768 


26  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

On  Tolt  combien  la  première  dëlerminalion  de  A,  par  les  Tables  à 
dix  décimales,  était  approchée,  et  on  en  conclura  que  l'usage  de  ces 
Tables  sera  toujours  suffisant  dans  les  cas  ordinaires,  lorsqu'on  ne 
veut  pas  obtenir  plus  de  quatorze  décimales. 

Les  deux  autres  termes  2)  et  3)  de  la  valeur  de  log  (  i  — /')  ,  se 
trouvent  sans  difficulté  par  leurs  logarithmes,  et  on  en  déduit  le 
résultat  suivant  pour  log  EV. 

1)...  o.oooo4  77480  70768       F'c...   0.26812  72224  iigio 
2)...  26  24807       4....  9.86246  15856  85782 


5)...  392  o.i5o58  86060  96692 

/(i — /')= — o.oooo4  77606  96767  4  77606  96767 

Ev. . .  o.i5o5è  08665  99926 

28.  On  peut  vérifier  la   valeur  trouvée  pour  E'c  par  l'équation 
des  fonctions  complémentaires  qui  devient  dans  ce  cas  ^7r=2FE — F*, 

et  d'où  résulte  E  =  ■  "^^     =  —  (  i  +  A)  ,  en  faisant  A  =  KF  : 

K....  0.07200  704:65  81767 
F....  0.26812  72224  11910 

A....  o.54oi5  46677  95667 

D'après    cette  valeur  de  log  A ,  on  trouve  aisément  une  fraction 
exprimée    en  nombres   peu   considérables  qui  approche  beaucoup 

o_, 

de  A;  cette  fraction  est  ^  =  a.   Prenant    son    logarithme    avec 

quinze  decnnales,  amsi  que  celui  de   1  +  «  =-^-~  ,  et  appliquant 

la  formule  de  l'art.  i5^  on  trouve  ce  qui  suit  : 

871...  2.94001  81660  07665         1269....  5.io546  16220  94706 
598...   2.69988  50720  76688  398....   2.69988  50720  76688 

a.....   o.54oi5  60829  55976  i-^a...   0.60667  86600  21017 

A....  4667796667  1)—  5656  66564 

r  =  —                    6161  4o5o8         i-f-A...  0.60567  81964  46663 
log  A  =  log  a  — r  2K 0.57605  75410  46768 

E'c. . . . .  o.i5o64  o8555  99926 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  37 

r 3.71192  55335 

\-\-a..,,   o.5o357  855oo 

/•' »..  3.20834  69853 

a o.54oi5  50829 

\r' —  808 

(1) 5.54848   19854 

On  voit  que  la  valeur  trouvée  pour  log  EV  s'accorde  jusqu'à  la 
quinzième  décimale  avec  celle  que  nous  avions  déjà  trouvée  ,  ce 
qui  confirme  pleinement  tous  ces  calculs. 

Il  n'y  a  pas  lieu  de  calculer  dans  cet  exemple  les  valeurs  des 
fonctions  F'/^,E'Z',  puisqu'elles  sont  les  mêmes  que  celles  de  F'c 
et  E'c  ;  mais  si  on  exécute  ces  calculs  par  les  méthodes  indiquées, 
on  obtiendra  deux  nouvelles  vérifications  de  nos  formules. 

Exemple  II.     c  =  \/i  —  i  =  tang  \  tT. 

29.  Cet  exemple  est  compris  dans  le  second  cas  de  l'art.  12  ; 
ainsi  il  ne  faut  prolonger  l'échelle  des  modules  que  jusqu'aux  termes 
^00  gj  ^000.  gj.  d'abord  nous  supposerons  qu'on  connaît  seulement 
log  €■■==.  9.61722  43146  6214^  qui  donne 

log  c'^  =  9.25444  86293  2428. 

De  cette  valeur  il  faut  déduire  log  h-^  pour  cela  on  trouve  d'abord 
la  valeur  approchée  c*=  o.i  71575  ,  laquelle  ,  par  les  fractions  con- 
tinues ,  se  transforme  en  -^  •  soit  donc  c'  =  A  et  -3^  =« ,  on  aura 
I  — a-=—ô~'  Or  par  la  Table  à  vingt  décimales,  on  trouve  les 
logarithmes  de  <2  et  de   i  — a  comme  il  suit  : 

169...   2.22788  67016  15673         816 2.91169  01587  5586i 

986...  2.99045  625o4  97611         985 2.99543  623o4  97611 

a 9.254^5  04741  16062         I — a.,.  9.91825  59282  5625 

A 9.25444  86295  2428 

r  =  18447  917^ 


28  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Ensuite  il  faut  appliquer  les  formules  de  l'art.  i5,  savoir  : 

log  A  =  log  «  —  r  ,  r'  z=  j^ , 

log(i  — A)  =  log(i  — «)+R,      logR  =  log  («;•')  — 1^"'; 
en  voici  le  calcul: 

r 4.26694  73549  1  —  a 9.91826  59282  6626 

I  —a.,..   9.91826  59283  R...  5820  6987 

r' 4.54769  54266  1  —A 9.91826  45io5  2612 

a 9.25^^6  04741  b 9.96912  71661  65o6 

—  ^r' —  iii54 

R 5.68214  27873 

II  est  aise  de  vérifier  celle  valeur  de  log  b  ;  car  puisque  c=:\/2 —  i, 
il  en  résulte  Z»''  ;=  2  \/2  —  2  =2c; 

c 9.61722  45i46  6214 

2 o.3oio2  99966  6398 

b^....   9.91826  43io5  2612 

b 9.96912  71661  65o6  -'^ 

ce  qui  s'accorde  parfaitement  avec  le  résultat  précédent. 

Maintenant  il  faut  avoir  le  log  de  i  +^>  po"»'  en  déduire  ceux 
de  c°  et  b"',  or  par  la  valeur  approchée  ^  =:  ^ ,  on  trouvera  les 
logari-llames  suivans  qui  répondent  à  la  valeur  exacte  de  b. 

\-\-b..,  0.28107  42601  90616         2\/b..,  0.28069  36732  466r 
c 9.61722  43i46  6214  1+^...  0.28107  42601  90616 

\/c»...  9.55616  oo8^±4  71626        b\ 9-999^1  95430  5499l5 

c° 8.67260  01689  4525 

Maintenant  le  calcul  de  c°°  et  b°\  et  ensuite  celui  de  c°'%  se  feront 
par  la  méthode  ordinaire  comme  il  suit  ; 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.         29 

3.486o4  20070 
9.63778  43ii3 
3.12082  63i83 
—  iggS 
3.13382  6rr8'8 
0.00000  00664  96092 
9-99999  9953^  03908 


P  " 
m.. . 

P... 


iP. 


ic* 8.37127  01732  7927 

({c°)\..  6.74254  o3^65  5854 

1:^»°....  o.ooo48  06569  45oo5 

p 6.74302  ioo35  o3545 

P i329  g2i84 

c"" 6.74302  08705  ii56 

o.3oi02  99956  6398 

i  6°'» 6.44199  08748  475a 

2.88398  17496  9476 

664  9609 

c°°° 2.88098  18161  9085 

3o.  L'échelle  des  modules  étant  ainsi  formée ,  on  procédera  à 
Tordinaire  pour  avoir  K  et  F'c  ; 

A 0.04087  28448  3694 

h" 9.99951  93430  54995 

b"" 9 ,  99999  99355  03908 

o.o4o39  21 21 3  9584i 

ÏC 0.02019  60606  9792 

^TT 0.19611  98770  3oi5 

E'c  . . . .  o. 21601  59377  2807 
Pour  avoir  ensuite  E"c,  il   faut  chercher  log  (1  — /)  d'après  la 
valeur  r  =  i  c°^e°°  \/^,.  Voici  le  calcul: 


c°^ 7.3446003379 

i  6°° 6.44199    08748 

l\\/h°°...  166 

r 0.78659  12293 

m 9 . 63778  43ii3 

mr. ......  3 .  42437  554o6 

b_ 

b 


log(i-r)  =  -  R 

log  R  =  log  mr  -f-  I  mr 

log  jnr  z=z   3.42437  554o6 
f  mr   =         1329 


log  R  =  3.42457  56735 

R  =  0.00000  02656  90284 


, g. 96008  84690  5307 

F'c o.2i63i  59377  2807 

(  I  —  /•) —  2656  9028 

E'6? . . ».  0.17640  4i4io  9086^ 


So  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

3i.  Maintenant  le  calcul  de  ¥'b  doit  être  fait   par  la  formule 

F'^  =  KMh  ,  où  l'on  a  /î  =  f  log  ~;  voici  ce  calcul  : 

4 o.6o2o5  99913  2796  h 9.98441  91861  62678 

c«°°...  .   2.88598  i8i6l  9085  M 0.56221  56886  99466 

8h  =  7.71807  CJ1751   3711  K 0.02019  60606  9792 

h  =  0.964175  97718  9214  F'^ o. 56685  09555  6006 

On  peut  vérifier  celle  valeur  de  log  F'^,  par  la  propriété  des  fonc- 
tions F'Z>,  F'c,  démonlrée  art.  64,  laquelle,  en  écliangeajit  les 
lettres  ^  et  c  de  cet  article,  donne  F'Z»  =  \/2.F'c.  En  etlel,  si  on 
prend  la  différence  des  logarithmes  des  deux  fonctions^  on  trouve 
que  celle  différence  répond  à  ^  log  2. 

F'^ o. 36685  09555  6006 

-  .  F'c...  o.2i63i  59577  2807 

o.i5o5i  49978  3199  =  I log  2. 
Le  résultat  est  donc  exact  jusque  dans  la  dernière  décimale. 

32.  Il  reste  à  trouver  log  E'^,  et  pour  cela  il  faut  calculer  log  A 
par  la  formule  A  =  ^  c^K^Y'b(b°°y  (i  —  Vtk")»*  mais  d'abord  faisant 
/•  =  ^ — 7--  ,  nous  chercherons  log  (  i  — r)  ==  —  R ,  ce  qui  se  fera  par 
l'équation  log  R  =  log  (mr)  +  j  mr. 

^c° 8.57127  01752  8     7  c* 8.93541  86556  6o3o 

■ic°°....  6.44199  08748  5     R 0.02019  60606  9792 

4.81526  10181  5     v^K 0.01009  8o5o5  4896 

y/R. . . .    1009  8o5o5  5     F'^ o. 36685  09555  6006 

r 4.8o5i6  50178  \/b°° — -  166  2103 

m 9.65778  43] i3  9.35054  56456  4fc522 

nir 4.44091  70291                 R —  27602  5] 85 

^mr....                  i58oi                A 9.55o54  o8855  9157 

logR  =  4.44094  87092 

De  celte  valeur  de  log  A,  il  faut  déduire  log  (  i  +7V)  ;  c'est  ce  qu'on 
obtiendra  aisément  au  moyen  de  la  valeur  approchée  a  =  g-^,  qui 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  3ï 

donne  i  +  a-=P-^.  Voici  le  calcul  d'où  l'on  tire  ensuite  log  E'^. 

89042  10188  00914 
80617  99769  83887 


157....   ]3672  06671  564o7 
640....   80617  99769  86887 

a 9.33o54  05961  7262 

A 8866  9167 

;•  =  2902  i885 
log  A  =  log  a  -^  r 

r 5.46272  56169 

\-\-a.  . .   o.o8424  io448 


111'" 
640... 

1).... 

14-A.. 
R.... 


0.08424  io448  17027 
5ii  71165 

o,o8424  10969  8819 
2019  60606  9792 

o.o64o4  6o562  9027 


u  a 


/■' 5.67848  45721 

a 9.33o64  06962 

\r' 1195 

i) 2.70902  62848 

Exemple   III.     c  =  sin  9  ,  sin  aâ  =  ,tang*  i5^°. 

53.  Cet  exemple  se  rapporte  au  troisième  cas  de  Tart.   12; 
été  déjà  traité  dans  l'art.  84 ,  première  Partie  ;  mais  nous  allons  le 
résoudre  plus  exactement  en  calculant  les  quatre  fonctions  jusqu'à 
quatorze  décimales. 

Dans  ce  cas  on  ne  donne  directement  ni  la  valeur  de  c^  ni  celle 
de  ^  ;  il  faut  les  déduire  de  Téquation  sin  sGz^tang^i  5° ou  2^c=lang=i  5°. 
Voici  la  méthode  que  nous  choisirons  pour  cet  objet. 

De  l'équation  sin  29  =  tang»A,  on  tire  cos^Ô=  llÇ££L^.  Soi» 

donc  A  =  ~^^^^ ,  on  aura  cos=  9  =  1  (  i  +  A  )  :  connaissant  par 

celle  équation  cosGou^,  on  aura  ensuite  c par  l'équation  c  =  î^^^i-îi!. 
Voici  le  détail  des  calculs. 

sin  i5°...- 9.41299  62606  6964    v/(cos3o°).  9.96876  55i58  47925 
cosi5°...  9.98494  67781  0270     cos"i5...   9.96988  76662  o54o 

lang  i5°...  9.42806  24624  6664     A 9-99887~'776q6  4^5^ 

tang»i5°...  8.86610  49049  6628 


52 


EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 


Une  valeur  approchée   de  A  est  «  = 
log  (  I  "{-  A)  ,  comme  il  suit  ; 


^  :  elle  servira  à  calculer 


588 


587... 
388... 


58771  09660  18911 
58883  17255  94207 


a 9.99887  92594  24704 

A  . . . .        77^96  42525 


r  =  14797  82179 
log  A  =  log  a  —  /'. 

r 4.17019  77928 

i-f-^-*'  o.3oo46  99769 

r' 3.86972  78159" 

a.......   9.99887  92394 

i/-' —  3704 

j) 4.86860  66849 

Connaissant  les  logarithmes  de  c  et  ^  ,  on  trouvera  par  la  méthode 
ordinaire,  ceux  de  c%  h%  puis  celui  de  6°%  ce  qui  suffit  dans  le  cas 
présent  pour  compléter  la  série  des  modules.  Voici  le  calcul. 

{c....   8.25'i32  529244914 


775....   88900  17025  06010 
388....   58885  17255  94207 

i+<2...  o.5oo46  99769  i2io3 
1) •        7^89  55761 

I  H- A.  0.00046  92579  76343 
2 o.5oio2  99956  60981 

b^ 9.99943  ^^^'2'b   1206 

b 9.99971  96211  56i8 

2b 0.30074  96168  2016 

tang*i5%  8 .85610  49049  3328 
c 8.555551.2881   l3l2 


{^c)\..  6.5o865  05848  9828 
•y\b.  .,  28  03788  4382 

p.....    6.50893  09657  4210 
p  =  452  52874 

c° 6.50893  09184  89226 

.  o.3oio2  99'j56  60981 

~C°....    6.20790  09228  25245 

{^c°y..   2.4i58o  ]8456  50490 
I  :  b°.. .         226  26437 

c°°....  2.4i58o  18682  76927 

34.  L'échelle  des  modules  étant  terminée,  on  calculera  comme  il 
suit  les  quantités  FV ,  E'^. 

h* 


p^ 3.01786  193 

m 9.63778  43i 

////;* ....   2 .  65564  624 

l'"/^'---  —  7 

logP  =  2.65564  617 

ip  =  0.00000  00226  26437 
^' 9-99999  99773  7^565 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  35 

j 0.00028  o3562  17382        ^ 0.19697  96989  2i462 

K 0.00014  01781  08691        ^ 226  26437 

l^r...  0.19611  98770  5oi55     iogE'c==:  0.19697  97216  4790 
logFv=  0.19626  00661  38844 

Venons  maintenant  au  calcul   de  F'^,  il  se  fera  par  re'qualioti 
F'^  =  KMh,  où  l'on  a  /i  =  i  log  ^3- 

log4s  =  8.18626  8i25o  5io35        h o.3iio2  6443o  6o353 

Ji=:  2.04656  463o7  6276  M 0.36221  56886  99466 

K. . . .  i4  01781  08691 

log  F'è  =  0.67338  13098  68609 
log  F'c  =  0.19626  00661  38844 

log  3  =  0.47712  12647  19665 

On  voit  qu'entre  les  logarillimes  calcule's  de  F'^  et  F'c,  la  diffé- 
rence répond  exactement  au  logarithme  de  3  ,  ce  qui  s'accorde  avec 
la  propriété  de  ces  fonctions. 

On  peut  encore  faire  voir  que  la  valeur  trouvée  pour  F'c  satisfait 

exactement  à  l'équation  F'c=  l£2i-!_  F'  (sin45°),  donnée  art.  1 55, 

,  V/27  .      . 

première  Partie. 

F'(sin45°). . .  0.26812  72224  11910 

2 o.3oio2  99966  63981 

CCS  i5° . . . . . .  9.98494  57781  0270 

o.664io  09961  78691 
4. 

\/2J 0.36784  09410  39747 

logF'c  =  0.19626  00661  38844 

valeur  qui  s'accorde  parfaitement  avec  le  résultat  du  calcul  précédent. 
Il  ne  reste  plus  qu'à  calculer  le  log.  de  E'^  ;  pour  cela  nous  suivrons 
la  formule  de  Tart.  22. 

5 


54  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 


V'b 0.67338  iSogS  585i  /  (1 —r)  =  —  mr. 

\c^ 6.80968  o58o5  6226 

K i4  01781  0869      \  C* 6. 20790  09 

\/R 7  00890  54345     jc"" 2.11477  19 

mr —  915      m 9.63778  43 

A 7-48327  21575  8289  I  :  \/¥^..        —  7  01 

mr 7 .  96038  70 

Une  valeur  approchée  de  A  est  ^^Z-  =  a ,  i  -|-  «  =  ffô^. 

17..       23o44  89213  7827  5604...       74849  81266  3374 

5587..       j^'jïj  86713  6017 

a 7.48327  025oo  1810 

A... . .  21575  8289 


r  ==  19075  6479 


5587. 

74717  86713  6017 

R 

. .  o.ooi3i  94552  5357 
57  8670 

,+A. 
R 

. .  o.ooi3i  94610  4027 
i4  01781  0869 

r.....  4.28047  92975  logE'^  =  0.00117  9282g  3i58i, 

i-|-fl...  i3i  9^553 

r'.. .....  4.27915  98422 

a 7.48327  025oo 

R... ..   1.76243  io43i 

Construction  et  usage  de  la  Table  des  Fonctions  complètes. 

35.  Au  moyen  des  méthodes  précédentes ,  on  a  calculé  pour 
toutes  les  valeurs  de  0  ,  de  dixième  en  dixième  de  degré  ,  les  loga- 
rithmes des  quatre  fonctions  FV,  E'c,  F'^,  E'Z»,  approchés  jus- 
qu'à la  quatorzième  décimale.  On  a  continué  ainsi  jusqu'à  iS"; 
depuis  i5°  jusqu'à  la  limite  4^%  on  s'est  borné  à  calculer  ces  loga- 
rithmes de  demi-degré  en  demi-degré  ;  on  a  ensuite  interpolé  \qs 
termes  trouvés,  en  insérant  quatre  moyens  entre  deux  termes  con- 
sécutifs ,  de  sorte  que  la  Table  s'est  trouvée  construite  dans  son 
entier  pour  tous  les  dixièmes  de  degré  de  l'angle  du  module. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  ZS 

Quoique  les  logarithmes  calcule's  directement  doivent  êlre  en 
gëne'ral  exacts  ,  au  moins  jusqu'à  la  treizième  décimale  inclusive- 
ment ,  on  s'est  contenté  de  marquer  les  différences  comme  si  les 
fonctions  F  et  E  n'étaient  calculées  qu'avec  12  décimales.  L'inter- 
polation de  15"  à  45'  a  été  faite  dans  le  même  principe. 

Les  formules  dont  on  s'est  servi  pour  cette  interpolation^  sont 
assez  connues  ;  cependant  nous  les  rapporterons  ici,  afin  qu'on 
puisse  plus  facilement  vérifier  nos  calculs. 

56.  La  Table  ayant  été  calculée  pour  chaque  demi-degré,  de  i5 
à  45  degrés  ,  supposons  que  pour  une  valeur  déterminée  G  =  a,  le 
terme  A  représente  log  F'  ou  log  E',  avec  ses  différences  succes- 
sives ,  comme  il  suit  :  ' 


a 


cTA 


cT'A     cT'A 


cT^A 


Pour  insérer  quatre  moyens  entre  deux  termes  consécutifs  A  , 
A  -f-  cTA  ,  qui  répondent  aux  variables  a ,  a  +  i ,  en  prenant  pour 
unité  des  variables  un  demi-degré,  je  forme  à'ahord  les  di^érences 
mojennes  successives  ,  savoir  , 

lû  100  '  1000  lOOOO  ' 

désignant  ensuite  par  dK,  d'^K,  d^A  ,  d^A ,  les  nouvelles  différences 
de  A  qui  auront  lieu  lorsqu'il  y  aura  quatre  moyens  insérés  entre 
A  et  A  -f-  (^A ,  on  aura  les  valeurs  suivantes  de  ces  différences  : 

d^A  =  a'% 

d'A  =  («'"--4«>*)  — 2a'% 

d'A  z=  a"  — 4(a'"— 4«")j 

dA  =  «'  — «"— 2(^»A-f- J'îA), 

Connaissant  les  différences  dA  ,  d'^A ,  d^A ,  d^A  ,  on  formera  sans 
difficulté  les  quatre  termes  qui  suivent  A,  et  le  cinquième  qui  devra 
être  le  même  que  le  terme  connu  A  -j-  cTA  ,  et  qui  servira  ainsi  à 
vérifier  les  calculs.  Ces  termes  étant  trouvés ,  on  les  terminera  à 
la  douzième  décimale,  en  rejetant  les  deux  autres,  et  on  les  insé- 
rera dans  la  Table  formée  de  dixième  en  dixième  de  degré  ;  on  y 
joindra  en  même  temps  les  différences  premières,  secondes,  troi- 


56  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

sièmes  et  quatrièmes  (s'il  y  a  lieu)  de  ces  nouveaux  termes ,  lesquelles 
doivent  s^accorder  suivant  une  loi  convenable,  avec  les  différences 
pre'cédentes ;  et  si  quelqu'anomalie  s'y  faisait  remarquer,  on  en 
conclurait  que  dans  le  calcul  d'interpolation  il  s'est  glissé  une  erreur 
qu'il  faut  rectifier. 

37.  Je  remarquerai  que  lorsque  les  différences  quatrièmes  cT^A 
sont  assez  grandes  pour  que  les  différences  suivantes  cT^A  aient 
quelqu'influence  dans  les  interpolations  ,  il  conviendra  de  prendre 
J^4A— -  -Z-  /s^  ay  jig^  ^Q  jN4A^  En  effet,  les  termes  A  et  A  +  ^A 

étant  censés  répondre  aux  indices  x=  o  ,  a:=i,sion  calcule  le 
terme  intermédiaire  qui  répond  à  l'indice  jc  ,1a.  partie  de  ce  terme 
due  aux  différences  cT'^A,  cf^A,  sera 


:x:  .jc  —  1  .  ,r  —  2.JC 


-^fcT^A  +  ^JU); 


1.2,3.4  ^ 

d^où  l'on  voit  qu'on  peut  tenir  compte  des  cinquièmes  différences, 

en  prenant  S^A  -\ ~  S^A  au  lieu  de  cT'^A.  Mais  comme  S^A  est 

censé  très-petit  par  rapport  à  cT^A ,  si  l'on  donne  à  x   une  valeur 
moyenne  |  ,  le    terme  — r-^  cT^A  se  réduira  à —  cT^A;  ainsi  au- 

lieu  de  cT'^A,  on  pourra  prendre  «T'^A —  S^A,  ce  qui  sera  sufïï'- 

samment  exact  pour  les   valeurs   de  a:  qui   répondent  aux  quatre 
moyens,  savoir,  1,  |,  |,|. 

Ce  moyen  a  été  employé  surtout  pour  les  valeurs  de  F'c,  depuis 
45°  jusqu'à  65°  ;  passé  65°  il  a  fallu  tenir  compte  plus  exacte- 
ment des  cinquièmes  différences  ^  ce  qui  a  été  pratiqué  de  la  ma- 
nière suivante. 

38.  On  a  fait  d^abord  le  calcul  entier  de  Tinterpolalion,  en  ayant 
égard  seulement  aux  quatrièmes  différences.  Ensuite  pour  tenir 
compte  des  cinquièmes  différences  ,  et  jusqu^à  un  certain  point 
des  sixièmes ,  on  a  ajouté  des  corrections  aux  différens  moyens 
insérés ,  savoir , 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.         67 

Au  i-raoyen...   +  a'  (cT^A  —  |  cTM)  ,     loga'     =  8.4071529 

Au  2«' +  a"  (J''^  —  î  <^'^)  y     log^"    =  8.4764258 

Au  5« -I-  «'"(cT^A  — I  J^^A),     logot'"   ^  8.358448a 

Au  4^ +  a-(/^A  — fcT^A),     loga-  =8.0516926 

Dans  ces  expressions,  la  quantité  —  J  J*A  est  la  valeur  moyenne 
de^^^  J'^A,  laquelle  s'obtient  en  faisant  x  =  ^.  Quant  aux 
coefficiens  et'  ,  a",  u'" ,  ct'\  ce  sont  les  valeurs  de  la  quantité 
^•^JI-4j  lorsqu'on  y  fait  successivement  x — ' 


i  .jc  —  9.0: 


1 .2.3.4-5 


5  > 


«34 

s  f     5  >     5* 


59.  Pour  donner  un  exemple  de  ces  interpolations,  supposons 
qu'il  s'agit  d'insérer  quatre  moyens  entre  les  deux  valeurs  de  ïog  F* 
qui  répondent  aux  angles  9  =  57"  5  et   Q=58°o. 

La  Table  des  valeurs  de  logF',  calculées  de  demi-degré  en  demi- 
degré  ,  donne  les  résultats  suivans  pour  le  cas  de  G  =  67°  5  : 


57°  5 


LogF^ 


DifF.  1. 


II. 


39  776  335 


m. 


853  935  38  66c 


IV. 


vr. 


2  3g  8 


202 


0.320  640  298  6952  541   i65  3i5 

D*après  ces  données  ^  les  différences  moyennes  jusqu'au  quatrième 
ordre,  seront 

«'  =  508233  063.00,  «"=1591  013.40,  a'"=685i.48,  a''=6i. 8656> 
on  en  tire  par  les  formules  précédentes^ 

<;?A=:5o5o90  725.90,  ^'A=i564677.53,6?^A=646o.29,<^^A=6i.87.- 

Au  moyen  de  ces  différences,  on  calculera  les  termes  intermédiaires 
comme  il  suit  : 


6. 

A. 

dA. 

d^A. 

d'A. 

rfU.. 

57.5 

0.320  640  298  695.00 

5o5  090  725.90 

i  564  677.33 

6  460.29 

61.87 

57.6 

0.321  145  389  420.90 

5o6  655  4o3.p,3 

1  571  137.62 

6  522. 16 

61.87- 

57.7 

0.321  652  044  824.13 

5o8  226  540.85 

1  577  669.78 

6  584.03 

57.8 

0.322  160  271  364.98 

5c9  804  200.63 

1  584  243-81 

57 -.9 

0.322  670  075  565. 61 

5 11  388  444.44 

58.0 

0.323  181  464  010. o5 

. 

' 

lS  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Pour  calculer  ensuite  la  correction  due  aux  cinquièmes  et  sixièmes 
d.ifférences  ^  on  aura  J^A — fcT^A  =  22461,  ce  qui  donnera  les 
corrections  à  appliquer  aux  dernières  figures  des  moyens  insères , 
comme  il  suit  : 

i"...  420.90  2^..  824.15  3'...  364.98  4^..  565. 6i 
Cor.   +  57.57  -i-  67.29  +  5i.33  +25. 3o 

478.27  891.42  4^6. 3i  590.91 

Les  moyens  ainsi  corrigés  sont,  en  supprimant  les  deux  de'cimales, 
tels  qu'on  les  voit  dans  la  Table  générale  construite  pour  chaque 
dixième  de  degré. 

40.  Si  on  voulaitallerplusloinetétendre  la  Table  à  touslescentièmes 
de  degré  ,  ce  qui  en  rendrait  les  différences  plus  petites  et  l'usage 
beaucoup  plus  facile,  il  faudrait  commencer  par  insérer  un  moyen 
entre  deux  termes  consécutifs  de  la  Table  actuelle.  On  aurait  ainsi 
une  nouvelle  Table  calculée  pour  tous  les  demi-dixièmes  de  degré; 
il  faudrait  ensuite  diviser  chaque  intervalle  en  cinq  parties  égales 
par  quatre  moyens,  ce  qui  se  ferait  par  les  formules  que  nous  avons 
rapportées.  Ces  interpolations  cependant  ne  pourraient  être  prati- 
quées avec  succès  que  Jusqu'à  80  ou  85  degrés  au  plus  ;  elles  pour- 
raient être  prolongées  plus  loin  pour  log  E'  que  pour  log  F'  qui 
augmente  rapidement  vers  la  fin  de  la  Table.  Mais  comme  la  Table 
sera  toujours  de  peu  d'usage  dans  celte  extrémité,  et  qu'il  est  facile 
d'y  suppléer  par  le  calcul  direct,  on  pourra  laisser  subsister  la 
Table  actuelle  ,  calculée  pour  chaque  dixième  de  degré ,  dans  la 
petite  partie  qui  ne  se  prête  pas  facilement  aux  interpolations.  L'in- 
convénient que  nous  remarquons  ici  dans  la  Table  des  log.  des 
fonctions  F'^,  E'Z»,  a  lieu  également ,  ou  même  à  un  plus  haut  degré, 
dans  la  simple  Table  des  logarithmes  des  nombres ,  vers  le  com- 
mencement de  celte  Table,  et  jusqu'à  une  assez  grande  distance.  Il 
a  lieu  également,  et  par  la  même  raison  ,  dans  la  Table  des  loga- 
rithmes-sinus, pour  les  petits  arcs;  et  dans  celle  des  logarithmes- 
tangentes,  il  se  fait  sentir  tant  pour  les  petits  arcs  que  pour  ceux 
qui  diffèrent  peu  de  90°.  Dans  tous  ces  cas  ,  les  interpolations  ne 
peuvent  être  faites  avec  sûreté,  et  il  faut  recourir  à  des  moyens  par- 
ticuliers pour  y  suppléer. 


CONSTRUCTION  t)ES  TABLES  ELLIPTIQUES.  3^ 

4'*  Pour  avoir  le  milieu  entre  deux  termes  consécutifs  A,  Ai 
d'une  suite  dont  les  difïerences  deviennent  progressivement  plus 
petites  qu'une  quantité  donnée,  il  est  bon  d'avoir  recours  aux  termes 
qui  précèdent  et  qui  suivent  les  deux  termes  proposés.  Supposons 
donc  que  la  suite  dont  il  s'agit  soit  représentée  comme  on  voit  ici  : 

...A(— -3),  A{-^2),  A(--i)  ,  A,  Ai,  A2,  A5 ,  etc.  ; 
et  soit  le  moyen  cherché  A(ï)  ,  on  aura 


3  2  « 

1.3.5     ,?5A(__3)-f  ^SA(— 2) 


2.4 
+  etc. 


2.4.6*        •        128 
Cette  formule  suit  une  loi  très-simple  dont  voici  la  démonstration. 

Un  terme  quelconque  A  {x)  peut  en  général  être  représenté  par 
A  (  I  -f-  cT)',  pourvu  qu'après  le  développement  de  cette  puissance, 
chaque  terme  AcT"  soit  remplacé  par  j  "A.  Cela  posé ,  on  aura  ^ 
suivant  celte  notation, 

'A(i)=A(i+/)^ 
AH-Ai=A+A(i+/)=A(i+cr)*^[(i+cr)"^+(i4-J^)-^], 

/»Ac-04-cr^A=Acr'(i4-cr)-+Acr>=Acr"(i+cr)~  ^  [(i-i-j^)^+(i+/)-  i], 

etc. 

Si   donc  1  équation   supposée  a  lieu ,  c'est-à-dire  ,  si  en   général 
A  (^)  est  de  la  forme 

A(î)  =>t;  (A  +  Al) -f-;t7' [J^»A  (— 0-f  cT-A] 

4-  p"  [cT^A  (—2)  +  cTU  (_i)] 
+  etc., 

P  j  P'i  P",  etc.  étant  des  coefficiens  conslans  ;  il  faudra  ,  en  substi- 
tuant les  valeurs  précédentes^  qu'on  ait  l'équation  identique 

~^=^P+P''TT-^  +  P"'^ 


(i+'^/4-(i+'^) 


Soit 


S^' 


j-^^^=::Zj  si  on  élève  au  quarré  le  premier  membre  de 


4o  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

.,  j     .      1  x-{-^      ^     .  donc  on  doit  avoir 

cette  équation,  il  deviendra  ^^^^^-^  —  ^qi^'  ^^"^ 

' z=p+p'z  +p"z^  +  p"'z'  +  etc.  ; 

or  cette  équation  est  satisfaite  généralement  au  moyen  des  valeurs 
suivantes  , 

Ces  coefficiens  donneront  donc  aussi  la  loi  générale  de  l'expres- 
sion de  A  (7).  , 

Au  reste  cette  expression  sera  toujours  si  convergente ,  qu  H 
suffira  de  prendre  les  deux  premiers  termes,  ou  tout  au  plus  les 
trois  premiers. 

42.  Veut-on,  par  exemple,  calculer  la  valeur  .le  log  F'  qui 
répond  à  l'angle  du  module  G  =  6.'  o5  ?  On  prendra  dans  la  Table 
les  valeurs  suivantes  : 


A  =  0.539  295  o5o  747 
Al  =  0.559  859  146  4^2 


s   0 

•679 

i54 

177  209 

i*  = 

cT'A  = 
s'  — 

I 

1 

5 

821  o5o 
829  864 

65o  894 

^*'  = 

J^4A(~2)  — 

,cr^A(-i)  = 

s"   = 
M 

ilieu 

cher 

85 

171 

ché 

i^  =  0.559  577  088  604.5 


22§    180.9 


-h 


2.0 


45.  Soit  encore  proposé  pour  exemple  de  trouver  log  F'  pour 
l'angle  9=  77°  25;  on  fera  le  calcul  d'après  les  élémens  pris  dans 
la  Table ,  comme  il  suit  ; 


A... 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  41 

A.. 0.464  973  191  062.35 

Ai 0.466  078  604  921.92 

s  =  o.gSi  o5i  795  984.27  j  s  =   0.465  525  897  992.15 

J^-A(— -i)...        6  555   790 
cT'A 6  645  169 

s'...  i3  198  969    -^5'....  —824934.94 

/^A(— 2)...  I  894 

<r^A(-i)...  I  9^7 

/'....  5  85i     -^Z'...  H-  43.  i3 

Milieu  cherche. . .     A(^)=o.465  525  073  100.32 

44.  Ayant  expliqué  la  construction  de  la  Tahle  des  fonctions 
complètes,  et  les  moyens  de  l'étendre  jusqu'aux  centièmes  de  degré, 
•ce  qui  serait  un  travail  fort  utile  sans  être  bien  considérable,  il  nous 
reste  à  montrer  les  usages  de  cette  Table ,  c'est-à-dire  à  faire  voir 
<:omment^  pour  une  valeur  donnée  de  l'angle  ô,  non  comprise  dans 
la  Table,  on  trouvera  les  logarithmes  des  fonctions  F'  et  E',  appro- 
chés jusqu'à  la  douzième  décimale;  et  réciproquement,  comment 
,du  logarithme  donné  d'une  de  ces  fonctions^  on  déduirait  l'angle 
du  module  G,  et  le  module  lui-même  c. 

Et  d'abord  ,  si  au  lieu  de  donner  l'angle  Q  ,  on  donne  le  module  c 
ou  son  complément  ^  ,  il  faudra  en  déduire  l'angle  correspondant  B 
avec  toute  la  précision  nécessaire  ,  pour  que  les  quantités  négligées 
ji'influent  pas  sur  la  douzième  décimale  de  log  jF  ou  log  E.  Cetobjet 
mérite  un  examen  particulier. 

Comme  nous  supposons  toujours  c  <Cb ,  il  sera  plus  exact  de 
déterminer  l'angle  8  par  le  moyen  de  son  sinus  c  que  par  le  moyen 
de  son  cosinus  h  ;  cela  est  vrai  surtout  si  l'angle  9  est  d'un  petit 
nombre  de  degrés ,  parce  qu'alors  une  petite  erreur  sur  cos  â  en 
produit  une  assez  grande  sur  6.  Ainsi  en  général  si  on  donne 
à  la  fois  log  c  et  log  Z> ,  il  faudra  déterminer  l'angle  9  par  le  moyea 
de  log  c. 

Si  l'on  veut  déterminer  à  dix  décimales  seulement  les  fonctions 
F',  E',  en  négligeant  les  deux  de  plus  que  donne  la  Table  ,  il  suffira 

6 


42  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL.       ^ 

de  chercher  l'angle  Q  par  les  Tables  de  Vlacq  ou  de  Wega ,  et  en 
ayant  égard  aux  secondes  dilTérences.  Ce  calcul  n'a  pas  besoin 
d'autre  explication  ;  seulement  après  avoir  trouvé  l'angle  ô  en  degrés, 
minutes  et  secondes,  il  faudra  tout  réduire  en  dixièmes  de  degré, 
et  parties  décimales  du  dixième  de  degré ,  puisque  le  dixième  de 
degré  doit  servir  d'unité  dans  les  calculs  d'interpolation. 

45.  Mais  si  on  veut  exprimer  les  logarithmes  avec  douze  déci- 
males, comme  sont  ceux  de  notre  Table,  alors  l'angle  ô  ne  peut 
plus  se  trouver  avec  une  précision  suffisante  par  des  Tables  à  dix 
décimales,  telles  que  celles  de  Vlacq  ou  de  Wega. 

Dans  ce  cas ,  il  faudra  employer  les  Tables  de  la  Trigonometria 
Britannica ,  qui  sont  calculées  pour  chaque  centième  de  degré  avec 
quatorze  décimales.  Soit  a  l'angle  de  cette  Table  le  plus  approché 
de  l'angle  cherché  ô ,  et  soit 

l  sin  Q  =  l  sin  «  -f-  r. 

De  là  il  ffdit  tirer  la  valeur  de  9  —  a.  Or  en  regardant  Q  et  r  comme' 

1  •  T  1  '^^         Ti/r  ^  û       ^^^  M        de         ]VP  sin  6 

seules  variables,  on  a  -r  =M  tang  b  ,  -j—  =  — -  .  —  = , —  ^. 

'  dr  o       '    f^y^  cos'  è     dr  cos  '  6     * 

d?  =  cos.^ •  Jr  = ^é *^"g  9  ;  faisant  ensuite 

dans  ces  coefficiens   9  =  fl,  on  aura  par  la  formule  de  Taylor, 

6  =  a  +  M/-  tang  fit  { I  +  -  .  — —  H .  — _  -I-  etc.  ). 

Et  pour  évaluer  6  en  degrés,  soit  G  =  «  +  jf,  et  R°  le  nombre  de 
degrés  compris  dans  le  rayon  ,  on  aura 

K°x  =  R°  Mr  tang  a  (  i  +  -  .  — -  +  ■ = . f-  etc.  ). 

Celte  formule  se  réduira  le  plus  souvent  à  ses  deux  premiers 
termes  ,  et  alors  le  calcul  en  sera  très-facile.  Quelquefois  la  diffé- 
rence /■  sera  assez  grande  pour  qu'il  faille  tenir  compte  du  troisième 
terme;  mais  pour  avoir  besoin  du  quatrième,  il  faudrait  que  a 
fut  très-petit,  et  alors  il  y  a  un  autre  moyen  de  déduire  Tare  de 
son  sinus. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  45 

46.  Il  conviendra  dans  ce  cas  d'employer  la  formule 

log  9  =  log  sin  9  +  f  sin-  ô  +  '-^  sia<8  +  ^  sin^ô  +  elc. , 

ou^  en  convenant  que  les  nombres  renfermés  en  parenthèses  sont 
les  logarithmes  des  coefficiens, 

log  Q  =  log  sin  ô  +  sin^ô  [S.SSgôS  30609] 
+  sin^ô  [8.42390  45o] 
+  sin«ô[ 8.16523  46   ]  4- etc., 

et  pour  que  ô  soit  exprime  en  degre's  ,  il  faudra  ajouter  à   ce  lo- 
garithme la  constante  R*  =  i. 76812  26324  j  4"i  ^^^  ^^  logarithme 

j     180 
de  — • 

TT 

Il  faut  maintenant  montrer  par  quelques  exemples  ,  l'usage  de 
ces  formules. 

47'  Exemple  I.  Etant  donné  le  module  c  =  sin9=  [/2 — i, 
dont  le  logarithme  =  9.61722  4314^  6214 ,  on  demande  l'angle 
correspondant  9  exprimé  en  degrés  et  parties  décimales  de  degré. 

Par  la  Trigon.  Britan.  y  on  trouve  l'angle  approché  a  z=.  24°  4/ > 
qui  donne 

Isina  =  9.61722  76371   2662 
Zsin  ô  ==  43146  6214 

/•  =—  53224  6448 

Il  faudra  ensuite  calculer  les  différens  termes  de  la  valeur  de  a:  , 
d'après  la  formule  de  l'art.  4^.  Voici  ce  calcul  : 

r. . .   4' 52146  03467 
M...  0.36221  SÇiS^j 

Mr.  .  .  4^88367  60354 4.88367  60 

R"...  1. 75812  26324    cos'â!...  9.91825  29 

lang«...  9.658IO  11701  4.96542  5i 

1)...  6.29989  98379       2...  o.3oio5  00 

4*^^459  5i 
1)...  6.29989  98 

2)...  0.96429  29 


44  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

On  voit  par  la  pelilesse  du  second  lerme  2)  de  la  valeur  de  jr , 
qu'il  est  inutile  d'avoir  égard  au  troisième  ;  ainsi  des  deux  premier* 
on  conclura  la  valeur  de  ô   comme  il  suit: 

a...   24° 4700^  00000  000 
i)  —     0.00019  94802- 197 

a)  -h 9  ^^7 

0  =  24.46980  06207  020 

Cette  valeur  de  ô  est  plus  exacte  qu'il  ne  faut  pour  que  l'inlerpo- 
lalion  de  la  Table  donne  douze  décimales  exactes. 

On  aurait  trouvé  la  même  valeur  de  ô  par  la  simple  interpola- 
tion de  la  Trigon.  Britan.  ,  en  ayant  égard  aux  secondes  différences. 

48.  Connaissant  la  valeur  de  ô  ,  si  l'on  veut  avoir  la  valeur  cor- 
respondante de  log  Y\  on  prendra  dans  notre  Table  les  données 
suivantes  qui  répondent  à  l'angle  a=  24°  4* 


a 

A 

M. 

«r^A. 

^'A. 

«ru. 

24.4 

o.aiG  «98  56i  343 

168  272  307 

745  715 

768 

5 

et    on    aura   à    calculer   la    formule    suivante    dans    laquelle».... 
a:  =  0.69800  52070  2  , 


A  (x)  =  A  +  a:  (  /A 


(j^-A  — ^(cT^A  — 


3 —  X 


cf^A. 


a      -  3      ^^  "  4 

Voici  ce  calcul  où  nous  suivons  la  même  notation  que  dans  l'art.  81  , 
quatrième  Partie. 

3 —  X 


cT^A  =  a.gr 

^^Kx  =  7C8  —  2.9  =  765.1, 

'cT^Ajc  =  532. 0 

S^Ax  =  745  585  , 

■  S'^Ax  =112  550.9 

SAx  =  168  i59  756.1 
xd  Ax  =  117  576  585.4 

A  =  0.216  198  56i  545 
log  r*  =  0.216  3i5  957  728.4 


=  0.454 


=  o.i5o  997  4 


CONSTRUCTION  DES  TABr.ES  Er^LlPTIQUES.  45 
résultat  qui  s'accorde  parfaitement  avec  celui  que  nous  avons  trouvé 
ci-dessus,  n°  3o. 

49.  Ex.  II.  Etant  donné  log  cou  lof^  sin  9  =  8.55f>55  5'288i  i3i2, 
on  demande  l'angle  ô  exprimé  en  degrés  et  parties  décimales  de 
degré. 

On  peut  encore  trouver  cet  angle  d'une  manière  suffisamment 
approchée  par  la  Table  de  la  Trig.  Bril.  ;  on  a  d'abord  a  ==  2'  06  , 

log  sin  a  =  8.55565   10170  2887 
log  siu  Ô  =  8.55535  52881   i3i2 

r  =  —       29  67289   1675 

On  fera  ensuite  le  calcul  de  la  formule  de  l'art.  45  ^  comme  il  suit  ; 

r . . . .   6.47089  37910 
M...  0.36221   56887 

Mr...  6.83310  94797 6.833io  948 

tang«  8.55593   17782     cos'a  9.99943  848 

R'...    1. 75812  26324    ~-,  6.83367  100     «=!±^l!^=:o.334» 

(i)...  7.14716  38905  o.5oio5  000    fj 9.62400  6 

a....  6.53264  100        a.,.  6.53264  100     — r-...  6.83367  1 

cos^a  ' 

(2)...    3.67986  489  b 6.35767   7 

b. . . .  6.35767  7 

(3)...  0.03748  2  «  +  (2)...   2' 06000  04784  i5o 

(1)  —           140  33431  862 
0)  — I  090 

ô  :t=  2.06869  7i35l    198 

D'après  cette  valeur  de  9^  nous  chercherons  par  interpolation  fa 
valeur  de  log  F  '  ;  pour  cela  nous  prendrons  dans  la  Table  \qs  nombres 
suivans  correspondans  à  2°  o. 

A  =  0.196  262  187  490.54,        «TA  =  i3  563  720 
«r*A  =  66j  026,  eT^'A  =  54 


46  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Cela  posé  il  faut  faire  x  =  o.585^j   i35i2^  et  on  aura 
3 — X 


4 


-J^4A=I.2 

t^'Ax  =  52.8,  i=^  =  o.47i  5,  ^^  cr'Ajc  =  24.9 

1  ^"^  ce 

er*Ax  =  662  ooo.i,  =0.207  oi4-52, 

i^=^6r*Ax=      15;  045.5 

cTAx  =  i3  426  6j6.5 

xJ'Ax  =  7  867  547 '77 

A  =  0.196  252  187  49'^'54 


logF'c  =  0.196  260  o55  i58.3i 

Celte  Yaleur  s'accorde  dans  les  douze  premières  de'cimales  avec 
celle  que  nous  avons  trouvée  directement,  n°  34.  Delà  on  voit 
que  l'interpolation,  même  pour  des  angles  assez  petits,  donne  des 
résultats  suffisamment  exacts. 

En  général,  dès  qu'on  aura  déterminé  l'angle  G  avec  une  précision 
suffisante  ,  soit  par  la  formule  de  l'art.  45 ,  soit  par  celle  de  l'art.  46  , 
l'interpolation  de  la  Table  des  fonctions  complètes  ne  souffrira  de 
difficulté  que  vers  la  fin  de  la  Table  ,  lorsque  l'angle  du  module 
est  très-près  de  l'angle  droit.  On  peut  y  suppléer  alors  par  les  for- 
mules directes  dont  le  calcul  est  d'autant  plus  facile  que  l'angle  du 
module  est  moins  différent  de  l'angle  droit.  Mais  si  on  veut  résoudre 
le  cas  dont  il  s'agit  par  des  interpolations  qui  ne  soient  sujettes 
à  aucune  difficulté ,  on  y  parviendra  par  le  moyen  que  nous  allons 
exposer. 

5o.  Il  s'agit  en  général  de  trouver  les  logarithmes  des  fonctions 
Vb  y  E'^,  lorsque  b  diffère  peu  de  l'unité  ou  lorsque  son  complé- 
ment c  est  le  sinus  d'un  angle  d'un  petit  nombre  de  degrés.  Dans 
ce  cas  on  trouvera  aisément ,  par  les  interpolations  ,  les  fonctions 
complémentaires  F'c,  E'c,  et  c'est  par  le  moyen  de  F'c  qu'il  faut 
déterminer  F'è  et  E'b. 

Pour  cela  j'observe  d'abord  que  dans  le  cas  dont  nous  nous  oc- 
cupons ,  on  pourrait  supposer  b°°  =  i  ;  mais  nous  nous  contenterons 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  /^rj 
de  supposer  b^""  =z  i ,  afin  que  la  solution  s'applique  à  un  plusm^and 
nombre  de  cas  ;  alors  les  formules  générales  donnent  (  art.  21  ) 

Il  faut  donc  chercher  si  l'on  peut  exprimer  Y'b  par  les  seules  données 
h ,  Cy  F'<?,  sans  avoir  recours  aux  auxiliaires  ^%  ^°°,  c°°°. 

D'abord  K  est  connu  par  la  valeur  K  ==  -^,  Soit  ensuite  c"'=.r 

c°°=J  y  des  équations  h¥J'=:b^b°%  cb°=2\/(bc°)  ,  c°b°°=.2[/(b°c^°) 
c°°  =  2  v/(^°V°°°)  ,  on  déduira 

c^b^"  =  ^  YJ'c  s/bx  =  2  s/by. 
Cette  dernière  étant  quarrée   donne  K^c^^^c  =  16^^;  quarranl  de 
nouveau  et  substituant  la  valeur  de  b*,  on  aura  Y^c^b'^x''  =  r*  ^^  • 
donc  7"  =  —5-  bx.  Celte  équation  ne  suffît  pas  pour  déterminer  x 

et 73  mais  on  a  d'ailleurs  ^-  =  (i  — j')^  =  î^  . /^  •  de  là  on  tire 

■^     \    oc 


Soit  K=<^  =  a^    cette  dernière  équation  donnera  ^  =  f^-A_Y  A-  - 
«^^i«  Z^  =  (^0  b-  =  Q)b-  =  (-l-J  (^0033 .  donc 

F-^  =  MK  log  r-|-  (^-)«  T 
3 
Soit  b  =  f  p:,J  ,  et  on  aura  enfin 

[loge  =  |log^-L  =  |M(logi)'. 
Ainsi  on   voit   que   dans  le  calcul  de  log  F'i,  il  n'entre  que  les 


48  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

quantités  b,  c,K,  dont  on  a  les  logarithmes,  de  sorte  qu'on  évite 
ainsi  l'interpolation  directe  pour  F'Z»,  laquelle  est  ramenée  à  Tinler- 
polation  de  F'c  qui  n'a  point  de  difficulté. 

5i.  Pour  juger  de  l'exactitude  de  cette  formule,  nous  prendrons 
p  =  sin  i5%  et  nous  donnerons  à  log  R  la  valeur  exacte  jusqu'à 
quatorze  décimales ,  qu'on  trouve  par  le  calcul  direct  ,  et  que 
d'ailleurs  la  Table  donne  immédiatement.  On  aura  donc  le.s  données 

c,..   9.41299  625o5  6954 

b..,   9.98494  37781  0270 

R...  0.00749  54886  8247 

Au  moyen  de  ces  données,  le  calcul  de  hz=^  log  -^  se  fera  comme 

il  suit  : 

4...  o.6o2o5  99915  2796    \/b...   9.99247  18890  5i35 
c...   9.41299  623o5  6934    R...     749  54886  8247 

1 . .  1.18906576075862     -'•  •  -"9^99675777  5382 
c       ^    '   ^         a...  9.99998  36888  66gi 

R...  0.00749548868247     1 

'^^ -      log-  =  o.ooooi  63iii  3009==^ 

A....    i.i8i56  82720  7615  "  logC=fM/?* 

a...  9.99998  36888  6691  /?...   5.21248  4i5 

/    — " »*...  0.42496  826 

-I-...  1.18.58  45852  0924   3^^^^  p.. 3727  695 

^.•- 4  5946    /^  _  0.66224  52 

h,.,   i.i8i58  45827  4978 

Cette  valeur  de  h  s'accorde  exactement  avec  celle  que  donnerait 
i  log  jLj  calculée  par  la  méthode  directe  ,  jusqu'à  la  quatorzième 

décimale.  Ainsi  en  la  substituant  dans  la  formule  F'Z»  =  RMA^  on 
aura  de  même  une  valeur  de  log  Y'b  exacte  ,  jusqu'à  la  quatorzième 
décimale,  et  qui  satisfera  à  l'équation  F'^=  t/3F'c,  exprimant  une 
propriété  particulière  de  ces  fonctions. 

52.   Si  notre    formule  donne    des  résultats  aussi   exacts  que   la 
]Liiélhode  directe  lorsque  l'angle  du  module  est  de  i5%  à  plus  forte 


raison 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  ^g 
raison  aura-t-elle  cet  avantage  lorsque  l'angle  du  module  sera 
moindre;  en  géne'ral  le  degré  d'approximation  avec  lequel  F'^  sera 
déterminé  ,  dépendra  de  celui  avec  lequel  on  connaît  la  quantité  K  ; 
et  comme  R  peut  toujours,  par  l'interpolation  des  fonctions  F'c, 
être  déterminé  jusqu'à  la  douzième  décimale  ,  il  s'ensuit  que  h  et 
par  conséquent  IF'b  sera  déterminé  avec  la  même  exactitude. 

Connaissant  F'c ,  E'c  par  l'interpolation  directe  ^  ¥'b  par  le  calcul 
précédent,  il  restera  à  déterminer  E'^,ce  qu'on  pourra  toujours  faire 

par  l'équation  des  complémens  -  =  F'c  E'^ -j- F'-^  E'c — F'^F'c. 

Ainsi  on  a  les  moyens  de  suppléer  à  l'interpolation  qui  ne  peut 
se  pratiquer  que  difficilement  dans  les  dernières  colonnes  de  la 
Table. 


f^' 


Il  est  remarquable  que  la  valeur  h  =  log  -r— s  offre  successive- 
ment les  différentes  opérations  à  faire  suivant  les  différens  cas  indi- 
qués dans  l'art.  12. 

Ainsi  dans  le  cinquième  cas ,  si  c  est  tellement  petit  qu'on  puisse 
négliger  i  — ^  ou  log  ^,  on  aura  simplement  hz=\og-;  dans  le 
quatrième  cas  ,011  i-^-  b°  seulement  est  négligeable  ,  on  aura 
A  =  log;^;  dans  le  troisième  cas  ^  où  l'on  ne  peut  négliger  que 
1  —  b°%  il  faut  un  facteur  de  plus   dans  la   valeur  de  h ,  et  on  a 

h=\og  -j7-  ;  enfin  si  on  tombe  dans  le  second  cas,  où  i lf°°'> 

seulement  peut  être  négligé  ^  il  faudra  encore  ajouter  le  facteur  é* 
et  on  aura  h  =  log  -—:.. 

53. 11  nous  reslerait  à  faire  voir  comment  on  peut  trouver  l'angle  5 
qui  répond  à  une  valeur  donnée  de  log  F'<?  ou  de  lo^'  E'c;  mais  les 
calculs  de  cette  sorte  étant  entièrement  semblables  à  ceux  dont  nous 
avons  donné  le  développement  dans  les  art.  83  et  suiv.  de  la  qua- 
trième Partie ,  nous  pensons  qu'il  est  superflu  d'entrer  dans  de  nou- 
veaux détails  à  ce  sujet. 

Nous  ferons  observer  en  finissant  que  la  Table  des  fonctions 
complètes   offre  900  valeurs  de    quarts    d'ellipses,   et   un   pareil 

7 


5o  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

nombre  de  valeurs  de  la  fonction  analogue  F',  dont  4^0  an  moins 
ont  été  calculées  directement  jusqu'à  quatorze  décimales  ,  et  les 
autres  jusqu'à  douze.  Ces  transcendantes  sont  donc  maintenant 
connues  plus  exactement  que  ne  Tétait  la  circonférence  du  cercle 
avant  Ludolph  van  Ceulen. 


§  II.  Alélhodes  générales  pour  former  une  Table  des  valeurs 
de  l'intégrale  \J  =  fud:p.   ~    y-m  xa^  -^ 


54-  Nous  supposerons  que  u  est  une  fonction  donnée  de  la 
variable  ?> ,  et  que  cette  fonction  est  telle  qu'en  faisant  varier  (p  d'une 
quantité  constante  a,  les  différences  successives  de  la  fonction  u 
diminuent  conlinuellement  et  finissent  par  être  entièrement  négli- 
geables. On  peut  toujours  prendre  a,  assez  petit  pour  que  cette 
supposition  soit  admissible  ,  quelle  que  soit  la  fonction  w^  pourvu 
qu'elle  reste  toujours  finie  dans  toute  l'étendue  des  valeurs  de  tp  que 
Ton  considère;  et  la  différence  ce  pourra  être  fixée  dans  chaque  cas 
particulier  ,  suivant  le  degré  d'approximation  avec  lequel  on  veut 
exprimer  les  fonctions   U. 

55.  Nous  désignerons  par  U  ,  U',  U",  etc.  les  fonctions  qui  ré- 
pondent aux  variables  croissantes  (p ,  (p  +  *  ?  ^-\~^^}  etc.;  et 
semblablement  nous  désignerons  par  U,  U%  U"",  etc.  les  fonctions 
qui  répondent  aux  variables  décroissantes  (p,  ^  —  a,  (p  —  2a, ^  etCr 
Cela  posé  ,  la  Table  qu'il  s'agit  de  construire  pour  la  fonction  U  et 
ses  différences  successives  j  pourra  être  représentée ,  dans  l'une 
quelconque  de  ses  parties ,  comme  il  suit  : 


Yariable. 

Fonction. 

DifF.  I. 

II. 

m. 

IV. 

ç  —  5a 

TJooo 

.•-^û°=°,. 

: 

rijo^o 

^(^00© 

ç  —  2* 

U"»^'^-,- 

-  ^V-" 

«?^U'' 

PV^o 

«MJ°» 

Ç  —     a 

u°    . 

ni" 

i'i;° 

Pl]o 

^^\]° 

<P 

u 

«TU 

r^v 

PU 

PU 

<P  +     * 

L' 

m 

/^lî' 

^r 

PU' 

(p    +    2A 

U" 

ê-v" 

^■^u" 

rv" 

^  Tj" 

9  +  3* 

U'" 

cTU'" 

^^l}" 

l'V" 

PU'" 

*. 

I 

I 

* 

i 

•■ 

CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  5i 
La  première  colonne  contient  les  valeurs  de  (p ,  formant  une  pro- 
gression arithmétique  dont  la  difîerence  est  a,;  la  seconde  colonne 
est  celle  des  valeurs  correspondantes  de  la  fonction  U.  On  a  placé 
sur  la  même  ligne  que  (p  et  U  ,  les  différences  successives  J'U ,  cT^U, 
cT^U,  etc.;  et  par  cette  disposition,  chaque  ligne  sert  à  former  la  ligne 
inférieure,  au  moyen  de  la  loi  connue  U'  =  U-{-crU,  SU'=SU-\-J''''U , 

cr"U'=cr''U+ j^^u,  etc. 

Il  s'agit  maintenant  de  faire  voir  comment ,  étant  donnée  la  fonc- 
tion u,  on  peut  calculer  les  différences  successives  qui  servent  à 
former  la  Table  des  valeurs  de  U.  Pour  cela  nous  ferons  usage  d'un 
algorithme  qui  a  l'avantage  de  conduire  rapidement  aux  résultais 
que  nous  voulons  exposer ,  et  qui  a  surtout  celui  d'en  faire  con- 
naître la  loi  de  la  manière  la  plus  simple  et  la  plus  générale.  Cette 
notation ,  au  reste ,  qui  ne  s'applique  qu'aux  sommes  et  aux  diffé- 
rences, considérées  dans  leurs  combinaisons  linéaires  seulement, 
est  fondée  sur  les  mêmes  principes  que  celle  qui  a  été  indiquée  par 
Lagrange  dans  les  Mémoires  de  Berlin,  ann.  1772,  et  qui  a  été 
adoptée  par  d'autres  auteurs. 

56.  On  a  immédiatement ,  par  la  formule  de  Taylor , 

et  puisque  les  coefïîciens  de  cette  formule  sont  les  mêmes  que 
ceux  de  l'exponentielle 

e^  =  i+.r  +  -a?*-| 5  jc^  -|-  etc. , 

il  s'ensuit  qu'on  peut  mettre  U'  sous  la  forme  "^  'N  „-^ 

v'  =  ue«^,  y-f^-s^  •■         -^  Y 

pourvu   qu'après   avoir   développé  le  second  membre  suivant  les 
puissances  de  oid ,  on  convienne  que  chaque  terme  Ua"'J'"  sera  rem- 

place  par  a-. ^. 

Dans  cette  hypothèse ,  on  aura  successivement 

U'  =  Ue^^,     U"  =  V'e^^i,     V"  =  V'e-'^,     etc.  ; 


55  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

V       i      /i>^  ^®  ^^  résultent  les  différences  premières, 

cfU'=  U'(e*'^—  i), 

etc.  ; 
celles-ci  donnent  les  différences  secondes, 

cT^U  =  <^U  (e*^—  i)  =  U  (e*^-.  i)% 

cTnj"  =  /U'Xe*'^  —  1  )  =  U'^Ce*'^  —  I  )% 
etc.; 

et  en  général  on  aura 

S-U  =  U  (  e*^?  —  1  )". 

Au  moyen  de  celte  formule,  la  différence  finie  d'un  ordre  quelconque' 
de  la  fonction  U  peut  s'exprimer  par  les  coeflîciens  différentiels  de 
cette  même  fonction.  En  effet  si  on  suppose 

(e^— I  )"  =  jc' (  i  +  A'jc  + A"x' -h  A"'^^  4- etc.),> 

an  aura  en  môme  temps 

<^"U  =  «'-^  +  A.«-.^  +  A-«-.^  +  etc. 

57.  Réciproquement  on  peut  exprimer  les  coetïiciens  différentiels 

T-  ,   i— ,   ,—  >  etc.  d'une  fonction  U ,  par  le  moyen  des  différences 

finies  de  cetle  fonction,  prises  en  donnant  à  la  variable  (p  l'accroisse-^ 
ment  constant  et. 

Pour  cela  je  réduis  l'équation   symbolique  cTU  =  U  (e*^—  i) 
à  la  forme 

&«)C^|-^/^  aJ  =  log  (1 -j-cT), 

f  ^       et  ctUd  ou 

a.|^  =  uiog(i  +  cr). 

Celte  nouvelle  équation  suppose  qu'après  avoir  développé  le  second 
membre  suivant  les  puissances  de  d' ,  chaque  terme  US'"^  sera  rem- 


"  <r7?X  J^- 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.         55 
placé  par  la  différence  S"'IJ  j  oa  obtiendra  ainsi 

a  ^  =  cTU  —  1  /"U  +  ï  ^ 'U  —  i  J^U  +  etc. 

C'est  la  formule  connue  qui  sert  à  exprimer  le  coefficient  différea- 
tiel  d'une  fonction  par  les  différences  successives  de  celle  fonction. 
Ainsi  a  étant  assez  petit  pour  que  la  suite  des  différences  JU  ^  cT'U  ,  •*■ 

cT^U  etc  soit  très-convergente,  on  déterminera  le  coefficient ^r- avec 
toute  l'exactitude  qu'on  peut  désirer. 

58.  Si  dans  l'équation  symbolique  a  ^  =  U  log  (  i  +/)  ,  oii    '       ^'J  ^^     v''^T7 

met  ^  a  la  place  de  U  ,  on  aura  z^'  t-  T        /^. v 

d'où  résulte 

On  aurait  de  même  a^  jy  =  U  Z^  (  i  +  «^  )  ?  et  en  général, 

de  sorte  qu'un  coefficient  différentiel  quelconque  j-^  peut  s'exprimer 

facilement  par  les  différences  finies  de  la  fonction  U,  en  supposant 
conim  le  développement  de  l"  Ci  -{-  jc)  ,  qui  désigne  la  puissance  » 

de  /(i  +x).  *-^-r^.,- 

En  effet  si  l'on  a  /"(  i  +  Jc)  ou     -■    '.   >  ^'  '•   ■^'-      V      .^ 

;»:»(i__i^_j_ix» — ^.r34-elc.)"=:a:''(i — N'^+N'^j?' — N"'^^+etc.), 

on  pourra  en  conclure 

a"  J^=  cT^U— -N' J'^-^'U  +N"cr"-^"U  —  etc. 

5g.  Supposons  maintenant    qu'on  ait  U  =  fud(p  ou  -j-  ==  m  ,  la 

valeur  de  otu  exprimée  par  les  différences  successives  <^U  y  S''''U  ^ 
S'^U ,  etc.,  sera 

au  =  cfU  —  ^  cT'U  +  ^  J^3u  _  etc. 


54  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Dans  le  cas  où  l'on  veut  construire  une  Table  des  valeurs  de  U, 
la  quantité  u  est  connue  pour  chaque  valeur  de  (p,  et  en  faisant 
varier  (p  de  a  ,  on  connaîtra  les  différences  successives  de  u. 
D'après  ces  différences ,  il  sera  possible  de  déterminer  en  général 
la  valeur  de  S'IJ. 

En  effet,  soit  ctu=.p  et  77 — ; — r  ou 

i^  /(i+x) 

,-i.  +  .^^r^.  =  •  +  k-^  +  k"^'  +  k-oc'  +  etc. , 

l'équation  précédente  donnera 

cTU  =  /?  -f  A'J>  +  k^'Sy  +  A^'V>  +  etc. 

Ainsi  éTU  se  déduit  des  quantités  données  p  ,  <^p ,  S^'p ,  etc.  *  par 
une  suite  dont  la  loi  est  connue. 

Celte  môme  suite  donnerait  les  différences  ultérieures  cT^XJ  ^ 
cT^U,  etc.  par  les  formules 

^^V  z=:  ^p  +  k'<^y  +  k"<^^p  4-  etc. , 
cT^U  =  cf^  +  k'<^'p  +  etc. 
Mais  ces  suites,  pour  déterminer  cTU,  cT'U,  S^\J ,  etc.,  peuvent 
^^  être  rendues  plus  convergentes  par  un  moyen  très-simple. 

V^    J^^^  ^^'  ^oi^  ^  ^^  ^^6  devient  la  fonction  u,  lorsqu'au  lieu  de  <p  on 

^^^...^v/^  ^         met  X  -\-  \a,-j  on  aura  suivant  la  notation  précédente, 

V^'^J^^K^K     P°^^'^"  qu'après   avoir   fait  le   développement  du  second  membre 
S--'  suivant  les  puissances  de  cT,  on  remplace  chaque  terme  z^cf  "  nar  ^ 

De  là  résulte  ap  =  a^/  (  i  +  cT)» ,  et  parce  que  aw  ==  U  /  (i  +/) , 
on  aura 

Mais  en  effectuant  le   développement  jusqu'aux  07%  on  a 

(1+^)^/(1+0:)  =x-~^œ^  +  ^x^  -  -^  ^^  +  -^  x«  -  etc  • 

^4  24  1020  '     qSo  *^''^'  ' 


donc 


^4  ^24      "^        iqao  ^       ^q6û      '-'—etc. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  55 
Conservons  le  premier  terme  cTU  de  ce  développement  ,  mais 
substituons  dans  les  termes  suivans  la  valeur  U  =  U°  -J-  cTU",  nous 
aurons 

ctP  =  cTU  -  4  ^'U»  4-  A  j  5u»  _  ^  S'V°  +  etc. 
24  640  640  "^         ' 

Dans  cette  suite,  conservons  les  deux  premiers  termes  cTU -,  J'^U*^ 

24 
et  substituons  dans  les  suivans  U"" -j- cTU""  à  la  place  de  U%  nous 

aurons  de  nouveau  y^f^^""^ 

^A^i^^  ^      ctu=SU  —  ^^  S'U^  +  ^  S'U^^  -  etc.       -z^    à  h  -y  4    ^-'«2.  ^  5 

J  *^,  24  '    640  r;  i}t   û^  Ç'4q.  ^ 

Cette  suite  prend  ainsi  une  forme  très-convergente ,  mais  il  reste 
à  s'assurer  de  la  loi  que  paraissent  indiquer  les  premiers  termes, 
et  à  déterminer  d'une  manière  générale  celle  de  leurs  coeffîciens. 
Il  faut  donc  faire  voir  qu'au  moyen  des  coeffîciens  n\  t{\  n"'j  etc. 
dont  la  loi  sera  déterminée  ,  on  aura  généralement 

.  cLw=z  S\J  —  n'J^V  -{-  «"cr^U°=  —  ji"'J  ^U°°=  +  elc. 


ou  au -=1]  l  {\  -\-  ê" ) ,  on  en  tire 


d^ 


61.  Reprenonspourceteffetréquation  symbolique a^  =  U/(i+cr} 

I  H-  cT) ,  on  en  tire 

iu^  r„TT  tuè-^ 


Mais  d'un  autre  côté  on  a 

U"=rT>'    U°°=(TT77.    U"'  =  ^-^,     etc., 
donc 


ttU^ 


eT'U     = 
rSTJoo  __   ^^ 

/7U.oo^    »^ 

etc. 
De  là  on  voit  que  la   suite  ^\j  —  n'S^'U°-ir  «V^U°° —  etc.    est 


f^^ 


56  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL, 

représentée  par 


Si  donc  on  veut  que  cette  suite  soit  équivalente  à  au  qui  est  repre'- 

I 
sente  par  uu  (  i  -i-J^Y ,  il  faudra  qu'on  ait  l'e'quation  identique 

j^  >3  /^5  ^7 

/(i+J^)  =  --i-P  — 7^^— i-^4.7^^--^— 7^'^— ^  +  etc. 

(1+^)^        (i+j^r        (i+^r         (1+^)' 

Soit s  =  s\  le  second  membre  devient  z  —  nz^  +  '^"-^^ —  ^^^'  > 

et  le  premier  se  réduit  à  aZ  [  ^  s  +  v/(i  +  i  =^'  )]•  C)r  on  sait  que 

/Jx  1   x'^       i  .^  x^         1.3.5a:' 

et  qu'ainsi  la  quantité   2  log  [  ^ z  +  \/(i  +  ^ 2')]  se  développe  en 
cette  suite  , 

1       z^     ,     1.3      z5  1.5.5       a^     ,      . 

^"~â' 3:i"^"^  M*5.2^        2.4.6  •7.2«'^^'^*' 

donc  l'équation  supposée  a  effectivement  lieu  en  donnant  aux  coeffi- 
eiens  ?i,  n",  7i'",  etc.  les  valeurs 

,        1        I  „         1 . 3       1  ,n         I  .  3 . 5       I  , 

n'=-  .  j— , ,     n"  =  — Z'  r—,     n"  =  — j-,  .  — g  j     etc. 

2      3.2-''  2.4      5.2*'  2.4-t)       7.2'''^ 

donc  on  a  en  général, 

,_^        1     /JU",    1.3    <^5U°°         1.3.5     «^7U°°°     , 

at'  =  à V .  5 — r  H 7 .  -r — r 7~c  • 6 — r  etc., 

2     3.2*        2,4      5.2*         2.4-0      7.2^      '  ' 

série  qui  procède  suivant  une  loi  évidente,  et  dans  laquelle  chaque 
y>^     ^        /p  coefficient  est  moindre  que  le  quart  du  précédent. 

T''^      -^v"^    ^  62.  Si  on  fait  at'  =  P  ,  et  qu'on  désigne  par  P%  P°%  etc.  ce  que 

devient  la  fonclionP  lorsqu'au  lieu  de  (p  on  met  (p — a,  (p  —  2a,  elc^ 
on  déduira  de  l'équation  précédente  une  valeur  de  SJJ  de  la  forme 

J^U  =  P  +  m'cT^P"  +  7«"cr^P'°  +  m"'S'¥'"'°  +  etc. , 

et  les  coeffîciens  m',  7?i"j  m'",  etc.  se  déduiront  des  coefficiens  «',  «", 
n"',  etc.,  au  moyen  du  développement  de  la  fraction 

j  —  n  or  4-  "  *  —  'i  X  *  +  etG,  ' 

de 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.    ^     5y 
de  sorte  qu'on  aura 


m'  = 

.^^  = 

'  ^' 

m"  = 

m'"  — 

m'n'  • 
iiî'n! 

+ 

17 
6760' 

ft'"  — 

067 
967G80 

etc. 

Ainsi  la  valeur  de  J^U  s'exprime  par  la  fonction  P,  au  moyen  dé  ^  ^  ,^-«=^  -     *f 

l'ëquation  générale  J   V  jjç   -^    ^\  ^  X^^    tS  ^  à.,fX^^   -Si   Ll 

j^U  =  p  4-  i-  cT'P"  —  ^J-  cT^P-  +  -^  cT'^P"*''  —  etc. ,  '    '' 

9.4  5760  '    967680  ' 

laquelle  pourrait  être  continuée  ,  suivant  la  même  loi ,  aussi  loin 

qu'on  voudra.  , 

65.  L'e'quation  par  laquelle  la  fonction  at^  se  déduit  de  U,  peut 
être  repre'sentée  ainsi  ^ 

au  =  ^U/C^cT-f-  v/(i+icr»)], 

pourvu  qu'après  avoir  de'veloppé  le  second  membre  suivant  les 
puissances  de  S' ,  on  change  UcT,  UcT^  UcT^,  etc. ,  respectivement, 
en  SU  ,  S'U%  S'U'%  etc. 

Au  moyen  de  cette  équation ,  on  en  peut  former  d'autres  non 
moins  remarquables. 

Désignons  par  U  ((p-f-^ a)  ce  que  devient  la  fonction  U  ou  U((p) , 

lorsquau  heu  de  (p  on  met  <p-{--^ct;  alors  on  aura  u  =  — ^-^ — --^  , 
et  l'équation  précédente  donne 

Dans  celle-ci  mettons  encore  <p  +  i-  a  au  lieu  de  :p,  nous  aurons 

différentiant  de  part  et  d'autre  par  rapport  a  (p ,  et  observant  que 
XJ  {<p  -\-  et)  n'est  autre  chose  que  U',  on  aura 

8 


58  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

ou  en  suLslituant  dans  le  second  membre  la  valeur  de ^, — "-^  , 

d(f> 

Mettant  dans  celle-ci  (p  —  a  au  lieu  de  (p ,  on  a  enfin 

"■^  °"   «'|  =  4u-/'[i/+/(i  +  i/')]- 

Supposons  donc  qu'on  ait  4^"  [î  J^-f-  \^(i  -h^  <^0]y  ^^ 
\  a  •  3.2^  "^  a. 4'  5.24         2.4.6  '  7.2V 

=  cT"  —  N'cT^  -f.  NV  —  IN'V«  +  etc.  ; 

et  la  vraie  valeur  de  oJ"  -7-  t    déduite  de    notre   équation   symbo- 
lique ,  sera 

a»  $^  =  /^U»  —  N'cT^U-  +  N"J'^IJ°°°  —  N"V«U"°°  +  etc. 


64-   Re'ciproquement  on    tirera    de    celte   e'qualion  la  valeur  de 

du 

d<p 


1  Çy 

cT^U"  exprime'e  au  moyen   de   la  fonction  donnée  a'  -r-  que  nou»  ~   -< 


^     j^  -i?  T^        -    désignerons  par  Q;  cette  valeur  sera  de  la  forme 

f  "'^  ^  cr^U'  =  Q+]Nrcr^Q°  +  M"J4Q-+M'V«Q"'°°  +  elc., 

dans  laquelle  les  coefficiens  M',  M",  M'",  etc.  se  déduisent  des  coeffi- 
ciens  IN',  N",  N"',  etc. ,  au  moyen  de  l'équation 


^^r     .  ^r,  \ ^^i^r-, =  I  +  m'œ  +  M"x"  +  Wx^  +  etc. 

On  voit  aussi  que  ces  mêmes  coefficiens  pourraient  se  former  par 
le  quarré  de  la  suite  déjà  connue ,  au  moyen  de  l'équation 

(i  -\-m'x  4-  m'x^  ^m"'x^+  etc.)»  =  i  +  M'^-f-  M'x^-{''M!"x'^+  elG, 

On  aura  de  cette  manière , 

M'=:-,     M"  = \-,     M"'z=-^,     etc.; 

12'  240'  60480  '  ' 

ce  qui  donne  enfin, 

cT^U'  =  Q  +  -  cT'Q-  —  4-  cT^Q"  +  ^^  ^«^Q"»  —  etc. 

^     '     xa       ^         240       ^    ,  •    60480       ^  ^ 


/ 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  59 

65.  L'analyse  précédente  nous  a  conduits  à  deux  formules  très-  y 

remarquables  ;  l'une  pour  calculer  la  valeur   de  «TU  par  le  moyen        ;       T 
de    la    quantité    connue   P  =  at^,  où  u  est   ce   que  devient  Uy  en      ^ --  -^^"^""^ 
mettant  <p  -\-  ^  ^  au  lieu  de  (p  5  Tautre  pour  calculer  la  valeur  de  ^   .  T 

«T'U"  par  le  moyen  de  la  quantité  connue  Q  =  a*  -p, 

La  première  formule  est    is^x  '^ '^  (Jr-^f  è  "f-  ^/t,  *  >- X  —  f :  ■*  Ji*»^  >  / 
cTU  =  P  -f  ^  J^^  P^  —  t.^  cT^P-  4-  -^''-^,  J'  ^P-°  --  etc. , 

et  la  loi  générale   de   ses  coefliciens  est  la  même  que  celle  de  la 
suite 

^^24"^       5760"^  ^945.2- ■*        etc.,  .  .^  J^.^^^     . 

qui  vient  du  développement  de  la  fonction 
T  =  - 


1       X      _,     1  •  3     x^  1.3.0      a;  *  ' 

^  ~2''3T^  "^  M'sTF  —  MTë'T^"^^*^* 
la  seconde  formule  est 

J^»U»  =  Q  +  -  /*Q° ^  cT^Q""  4-  r^  J^'Q'"'  —  etc., 

^   '   12      ^        240      ^         60480      ^  ' 

€t  la  loi  générale  de  ses  coefliciens  est  la  même  que  celle  de  la  suite 

+    1  *  «  _L_      ^'  Si  ^     ^' 

12         240  60480  ^ 

qui  est  le  quarré  de  la  suite  précédente  1  -\ — -^  x  —  =-;^  x'^  -f-  etc., 

ou  qui  vient  du  développement  de  la  fonction  T*. 

66.  Les  deux  formules  dont  nous  venons  de  parler  fournissent 
deux  méthodes  différentes  pour  construire  une  Table  des  valeurs 
de  l'intégrale  \J  ==:  fudp  ,  correspondantes  aux  valeurs  de  (p  ,  for- 
mant la  progression  o,  a,  ^a, ,  S^t,  etc. 

Suivant  la  première  formule  ,  il  faut  calculer  les  valeurs  succes- 
sives de  la  fonction  donnée  P  =  ap  ,  t^  étant  ce  que  devient  u  lors- 
qu'au lieu  de  (p  on  met  (p-\-\  a.  Par  cette  substitution,  P  est  toujours 
regardé  comme  une  fonction  donnée  de  (p,  qu'il  faudra  calculer 
pour  chaque  valeur  de  <p  comprise  dans  la  Table.  Ainsi  pour  les 


rp^^  j^f-^e^^  '^'^,,/p. 


\y--k. 


V.3 


■  {i*,r 


60  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

valeurs  successives  (p  ,  (p  +  a,  (p  +  2ct ,  etc.,  on  aura  les  valeurs 
correspondantes  P,  P',  P",  etc.  ^  et  ces  valeurs  étant  porte'es  dans 
la  Table  ,  chacune  sur  la  même  ligne  horizontale  que  la  valeur  de  <p 
à  laquelle  elle  correspond,  on  en  déduira  leurs  différences  pre- 
mières, secondes  ,  troisièmes  et  quatrièmes,  dont  on  fera  autant  de 
colonnes  séparées  ,  comme  on  le  voit  dans  le  tableau  suivant  : 


0)U 


(p  —  et 

<p 

(p  -\.  et 

(p  -f-  aa 

0  -f-  3a 

(P  -H  4a 


poo 
po 

P' 
P" 

P'// 

piT 


JNpoo 

cfP° 

/P 

cTP" 


Tapoo 

cf=p 

J^P' 


k. 


j3po< 

^Spo 

cJ^P 


^4po 

cT^P 


V^C0 


^y?, 


Chaque  colonne  se  forme  de  la  précédente  par  soustraction,  et 
renferme  un  terme  de  moins  ,  de  sorte  qu'il  faut  que  la  colonne 
des  P  ait  été  prolongée  jusqu'aux  P'%  pour  que  la  différence  cT'^P 
puisse  être  connue  et  placée  sur  la  ligne  des  (p  et  P. 

Lorsqu'on  aura  formé  pour  chaque  valeur  de  la  variable  <? ,  les 
quantités  P^  JP  ,  /''P  ,  J  ^P  ,  J  ^P  ,  on  en  conclura  pour  la  même 
variable  (p ,  la  valeur  de  la  différence  cTU^  laquelle  sera 

JU  =  P  +  -1  J^T°  —  p^  cT'fP''"  4-  etc. 
24  6760  ' 

67.  Il  faudra  faire  attention  aux  indices  qui  affectent  les  différent 
termes  de  cette  formule,  et  en  vertu  desquels  le  cT^'P"  doit  être  pris 
dans  la  ligne  immédiatement  au-dessus  de  celle  où  est  P^  le  cT'^P"" 
une  ligne  encore  au-dessus,  et  ainsi  de  suite. 

En  général  l'intervalle  a  doit  être  pris  assez  petit  pour  que  la 
suite  précédejjte  soit  très-convergente  et  qu'on  n'ait  besoin  que  de 

ses  deux  premiers  termes  P-j cT^P*  :  le  troisième  — ^'^  J'^P"" 

«4  07^0 

servira  seulement  à  diriger  l'approximation  pour  savoir  précisément 
sur  combien  de  décimales  on  doit  compter  ,  et  il  faudra  par  con- 
séquent que  ce   terme  soit  moindre  qu'une  demi-unité  du  dernier 
ordre  cle  décimales  auquel  on  veut  s'arrêter  dans  la  valeur  de  S^\] . 
11  pourra  arriver  cependant  que  dans  quelques  parties  de  la  Table 


/;l 


^1l  ^  ff^^S-^ 


7'^ 


0^-t>^(r 


ffc 


•  j 


CONSl:'RUCTlON  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  Ct 

qu'on  veul  construire ,  le  terme  dont  il  s'agit  soit  d'une  ou  de  plusieurs 
unités  de'cimales  du  dernier  ordre;  alors  il  faudra  en  tenir  compte  , 
et  juger  de  ce  qu'on  néglige  par  le  terme  suivant  de  la  série  qui 

_  jNspooo^  ce  qui  obligerait  de  prolonger  la  colonne  des 


367 


est  +    ,r 
^^  945X2' 

différences  jusqu'au  sixième  rang. 

68.  Ayant  fixé  d'avance  le  nombre  des  décimales  avec  lequel  on 

veul  exprimer  les  différences  <^U,  on  calculera  ^  cT^P"  en  se  bornant 

au  nombre  de  décimales  fixé  ,  et  négligeant  le  reste  de  la  division 
par  24  ;  mais  pour  plus  d'exactitude,  il  sera  bon  de  prendre  toujours 
l'entier  le  plus  approché  du  quotient,  et  de  tenir  compte  du  resté 
dans  l'opération  suivante.  Supposons ,  par  exemple,  que  cT^P"  divisé 
par  24,  donne  le  quotient  c/  et  le  reste  /•  ;  alors  dans  l'opération  sui- 
vante ,  pour  former  cTU',  on  divisera  S'^F-i-r  par  24 ,  ce  qui  donnera 
le  quotient  q'  et  le  reste  r'^  et  ainsi  de  suite.  Cette  manière  d'opérer, 
dont  nous  avons  fait  l'épreuve ,  donne  des  résultats  plus  exacts  et 
empêche  les  erreurs  de  se  multiplier. 

69.  Cette  première  méthode  suppose  que  la  quantité  P  est  calculée 
pour  chaque  valeur  de  <p  ,  avec  une  grande  précision  ,  et  même  avec 
une  ou  deux  décimales  de  plus  qu'on  n'en  veut  avoir  dans  la  valeur 
de  U  ;  or  la  quantité  P  ,  peu  différente  delà  différence  première  cTU, 
est  souvent  d'une  grandeur  telle  qu'il  faudrait  la  calculer  par  des 
Tables  de  logarithmes  à  dix  décimales  ,  ce  qui  rendrait  les  opérations 
fort  longues.  Si  l'on  se  propose ,  par  exemple,  de  calculer  les  fonc- 
tions elliptiques  E  et  F  avec  dix  décimales,  et  pour  des  amplitudes 
croissantes  de  demi-degré  en  demi-degré,  les  différences  cTF,  cTE 
devront  être  calculées  avec  douze  décimales,  et  elles  contiendront 
le  plus  souvent  dix  chiffres  significatifs  ,  ce  qui  exigera  l'emploi  de 
logarithmes  qui  aient  au  moins  dix  décimales. 

70.  On  pourra  ordinairement  obtenir  des  résultats  aussi. exacts  et 

avec  moins   de  peine,  par  le  moyen  de  la  fonction  Q  =  a^  -^^  qui 

sert  à  déterminer  les  différences  secondes  S^'U.  C'est  l'objet  de  1* 
seconde  méthode  que  nous  avons  à  exposer. 


6i  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Il  faudra  alors  faire  usage  delà  formule 

^'V  =  Q  +  ^  J'-Q"  -  ^  ^^Q"  +  g|g3  /'Q'"  -  etc., 

el  on  prendra  a  assez  petit  pour  que  la  suite  se  re'duise  sensible- 
ment aux  deux  premiers  termes,  ce  qui  aura  lieu  si  le  troisième 
JN4Q00  ggj  partout  moindre  qu'une  demi-unité  du  dernier  ordre 

de  décimales  auquel  on  s'arrête  dans  le  calcul  des  quantités  J^^U. 

On  voit  qu'en  attribuant  une  valeur  déterminée  à  <?- ,  et  prenant  la 
quantité  Q  sur  la  même  ligne,  il  faudra  prendre  J'Q°  sur  la  ligne 

supérieure  pour  former  la  somme  Q  -{ J^^Q°  ;  cette  somme  re- 
présentant cT^U",  devra  être  portée  également  sur  la  ligne  supérieure 
qui  répond  à  la  variable  (p  —  et. 

La  colonne  des  cT'U  étant  ainsi  formée  ,  il  restera  à  avoir  la  valeur 
de  cTU  correspondante  à  cp  =  o ,  et  c'est  ce  qu'on  obtiendra  immé- 
diatement par  la  première  formule.  Au  moyen  de  celte  valeur  et 
de  la  colonne  des  différences  secondes,  on  formera  la  colonne  des 
différences  premières  SU ,  et  de  celle-ci  on  conclura  de  même  par 
addition  ,  les  valeurs  successives  de  U. 

71.  Cette  seconde  méthode  sera  en  général  d'une  pratique  plus 
facile  que  la  première ,  parce  que  la  fonction  Q  est  beaucoup 
plus  petite  que  P  et  n'a  pas  besoin  d'être  déterminée  avec  un 
aussi  grand  nombre  de  chiffres  significatifs ,  ce  qui  permettra 
d'employer  pour  ces  calculs  des  Tables  de  logarithmes  moins 
étendues. 

Cependant  comme  les  erreurs  des  différences  secondes  s'accu- 
mulent suivant  la  progression  des  nombres  triangulaires  ,  dans  les 
résultats  qu'on  en  déduit  pour  les  fonctions  principales,  il  faudra 
en  général  exprimer  les  quantités  Q  avec  une  décimale  de  plus  que 
les  quantités  P  ;  il  faudra  aussi  ,  dans  le  cours  de  l'opération,  cal- 
culer directement  à  des  intervalles  déterminés ,  la  différence  pre- 
mière cTU,  afin  de  vérifier  et  de  pouvoir  corriger  les  résultais 
produits  par  les  différences  secondes. 

Psous  donnerons  ci-après  quelques  autres  préceptes  pour  tirer  de 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.         6? 

ces  mëlhodes  le  plus  grand  degré  d'approximation  qu^elles  peuvent 
offrir.  Nous  n'ajouterons  ici  que  le  tableau  de  l'opération  qu'il  faut 
exécuter  pour  ajouter  un  terme  à  la  colonne  des  U. 

72.  Voici,  dans  la  première  méthode,  le  tableau  figuré  de  l'état 
où  le  calcul  est  resté  ,  après  avoir  trouvé  la  valeur  de  la  fonction  U 
qui  répond  à  la  variable  «p. 


Variable. 

Fonction. 

Diff.  I. 

Auxiliaire. 

Diff.  I. 

II. 

(p  —  5x 

(p    2'J. 

Ç  —     a 

u*°° 
u°° 
u° 
u 

U' 

cJU° 

su 

pooo 
poo 

p, 
p 

rpoeo 

cTP'» 

rapooo 
JNapo, 
Japo 

(P 

cTP 

(p  H-     a 

P' 

Dans  ce  dernier  état,  les  colonnes  sont  terminées,  comme  les  barres 
l'indiquent,  par  les  termes  (p,U ,  éU%  P,  cTP",  J»P°°.  Pour  aller 
plus  loin,  il  faut  calculer  l'auxiliaire  P'  ou  ctu'  qui  répond  à  la  va- 
riable <pH-a;  connaissant  P'^  on  formera  dans  les  colonnes  suivantes 

les  termes  cTP,  cT^P"  ;  d'où  l'on  tirera  crU  =  P+  -^  cT^P",  et  ensuite 

U'  =  U+crU,  ce  qui  ajoutera  un  terme  à  toutes  les  colonnes* 

73.  Nous  avons  supposé  que  le  troisième  terme  —  ^~-  /4poo  ^g^ 

négligeable  dans  la  valeur  de  cTU-  s'il  fallait  en  tenir  compte,  la 
colonne  des  P  et  les  colonnes  suivantes  devraient  être  avancées  d'un 
terme  de  plus,  pour  qu'on  put  connaître  la  différence  S'^P"^^  qui  entre 
dans  la  valeur  de  SU°.  Voici  donc  quel  serait  alors  le  dernier  état  du 
calcul ,  après  avoir  déterminé  SU°  et  U. 

J     I 


Variable. 

Fonction. 

Diff.  I. 

Auxiliaire. 

Diff.  I. 

II. 

III. 

— 1 

(P  —  5ot 

(p    2Ct 

Ç  —     a 

Uoo. 
Uoo 

U* 

U 

SU"' 
SU' 

su 

pooo 

poo 

po 

p 
P' 

J'-poco 
JNpoo 

sv 

cfP 

rapooo 
Japoo 
JNap, 

S'V"'" 

jvapoo 

J3pc 

cT^P"*! 

f\4po«  i 

<P 

ci^P 

(P  +     a 

U' 

Si" 

(p    -j-    2Ct 

P" 

i 

^\^.  ,64  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Jrour  ajouter  un  terme  au-dessous  des  barres  qui  marquent  le  der- 
nier ëtat  des  choses^  il  faut  commencer  par  calculer  l'auxiliaire 
P"  =  ap»"  qui  re'pond  à  la  variable  cp  -f-  2a;  connaissant  P',  orf for- 
mera les  diffe'rences  cTP',  cT'P ,  cT^P",  S^'P°°,  au  moyen  desquelles  on 

connaîtra  J^U  =  P  +  ^  J*P°  —  =i|-  cT^P-,  et  ensuite  U'=U-j-crU. 

74.  La  marche  de  l'opération  est  à  peu  près  semblable  dans  la 
seconde  me'lhode.  Supposons  d'abord  qu'on  s'est  assuré  que  les 
cT'^Q  sont  négligeables  et  qu'ainsi  on  a ,  avec  une  exactitude  suffi- 
sante, S^'\J°z=.  Q  -f-  i-  cT^Q"  ;  on  pourra  représenter  comme  il  suit  , 

l'état  des  choses  ,  lorsque  le  calcul  a  été  conduit  jusqu'au  terme  cf  *U°' 
qui  fait  connaître  S''\J°  et  ensuite  U. 


Variable. 

Fonction. 

Diff.  I. 

II. 

Auxiliaire. 

Diff.  I. 

II. 

(p  —  3a 
(p  —  2a 

<P    CL 

TTooo 

u°° 
u° 
u  ' 

^IJooo 

SU" 

JXa-JJooo 

S'^U" 

/^ooo 
Qoo 

Q» 

Q 

JNQooo 

^aQo  =  o 
JsQoo 

<P 

éU 

<P  -h     et 

U' 

Q' 

^ha 


Pour  aller  plus  loin  ,  il  faut  calculer  l'auxiliaire  Q'  égale  à  ce  que 
devient  la  fonction  a*  -7-  en  y  substituant  (p  -|-  a  au  lieu  de  (p  ;  con- 
naissant Q',  on  connaîtra  cTQ ,  J'Q"  et  cT'U^  ;  enfin  au  moyen  de 
S'^U",  on  connaîtra  SU  et  U',  ce  qui  ajoutera  un  nouveau  terme  à 
toutes  les  colonnes. 

75.  S'il  fallait  avoir  égard  aux  quatrièmes  différences  ,  on  ajoute- 
rait un  terme  de  plus  à  la  colonne  des  quantités  Q  et  aux  colonnes 
suivantes.  Voici  alors  quel  serait  le  dernier  état  des  choses  ,  lors- 
qu'on est  parvenu  à  déterminer  U  au  moyen  de  la  valeur. , . . . . 

^.Uoo__  Qo     .      ±  JVaQoo L   J^4Q'>oo^ 


Variable, 


*>  9- 


CONSTRUGIION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.         65 


Variable. 

Fonction. 

DilF.  I. 

II- 

.\uxiliaire. 

DifF.  1. 

IL 

m. 

IV. 

<P  —  3a 

TToao 

^u-° 

JN.U°- 

/^ooo 

J\Qooo 

J.Qooo 

cl  3Q»°° 

J4QO0. 

<P  —  2a 

U  =  o 

cTU''» 

cr»u°° 

Qoo 

cTQ^' 

JNaQoo 

JN3Q00 

(P    CL 

u» 

cTU' 

Q° 

cTQ^ 

cT^'Q» 

<? 

u 

Q 

^Q 

<?)  +     a 

^' 

Pour  aller  plus  loin ,  on  calculera  l'auxiliaire  Q"  qui  repond  à  la 
variable  (p-|-2a;  on  en  déduira  les  dififérences  successives  ê^Ç^-, 
cT^Q,  cT^Q",  cT'^Q"",  au   moyen  desquelles  on  connaîtra  J^U°:=Q 

H cT'Q'* — -  cT^Q"',  ensuite  cTU  et  U',  ce  qui  ajoutera  un  terme 

à  toutes  les  colonnes. 

Dans  cette  méthode  ^  on  ne  néglige  que  les  différences  ^^(^ , 
lesquelles  sont  de  l'ordre  a^,  puisque  Q  est  de  l'ordre  a*  ;  on  pourra 
donc  fixer  a  priori  le  nombre  de  décimales  qu'on  devra  admettre 
dans  l'expression  des  fonctions  U  ;  mais  nous  avons  déjà  fait  observer 
que  les  erreurs  sur  les  différences  secondes  se  multiplient  comme 
les  nombres  triangulaires;  ainsi  il  faudra  se  procurer,  à  des  inter- 
valles déterminés,  des  valeurs  exactes  de  la  fonction  principale  U 
ou  de  sa  différence  première  cTU,  afin  de  connaître  et  de  corriger 
les  petites  erreurs  qui  auraient  pu  s'accumuler  par  le  progrès  des 
opérations. 


5  III.  Application  des  métliodes  précédentes  aux  fonctions 

elliptiques  E  et  Y, 

76.  Les  méthodes  précédentes  s'appliquent  immédiatement  aux 
fonctions   E   et  F  ,  puisque   ces  fonctions  sont  exprimées  par  les 

intégrales  E  =  fÊ^d<p  ,  F  =  j  -~  ,  où  l'on  a   A  =  v/'(i  —  c*sin»vp)  ; 

on  construira  donc ,  par  leur  moyen  ,  les  Tables  particulières  qui 
conviennent  à  une  valeur  déterminée  du  module  <?,  ou  de  l'angle  9 
dont  ce  module  est  le  sinus.  Mais  il  faudra  former  un  système  de 
Tables  semblables  ,  qui  correspondent  à  une  suite  de  valeurs  de 
l'angle  9,  aussi  peu  différentes  entr'elles  qu'il  sera  possible,  afin  qu'on 

9 


66  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

puisse  assigner  ,  dans  chaque  cas  particulier,  les  valeurs  de  E  et  deE 
qui  répondent  à  des  valeurs  données  des  angles  Q  et  (p. 

77.  Pour  expliquer  plus  clairement  Tusage  de  nos  formules,  nous 
les  appliquerons  à  la  fonction  E  ,  dans  le  cas  de  c  =  sin  45%  qui 
lient  le  milieu  entre  les  limites  c  =  o  ,  c  =  sin  90°.  Nous  suppose- 
rons en  même  temps  qu'on  fait  ot  =  à  un  demi-degré  =  ^^r-,  c'est- 
à-dire  que  la  Table  des  fonctions  'E=/Ad(p  doit  être  construite 
pour  toutes  les  valeurs  de  (p  ,  de  demi-degré  en  demi-degré,  depuis  0° 
jusqu'à  90°. 

Des  deux  méthodes  que  nous  avons  données  pour  construire 
une  semblable  Table  ^  nous  choisirons  celle  qui  sert  à  calculer  les 
différences  secondes  de  la  fonction  E  par  le  moyen  d'une  auxiliaire 

=  a'  -—  =  —  4  c'cc" ,  d  ou  1  on  déduit 

Cette  valeur  suppose  que  le  terme  suivant  de  la  série,  contenant 
(^^Q°°,  est  négligeable-,  or  c'est  ce  qui  a  lieu  dans  le  cas  présent^ 
et  ce  qui  aura  toujours  lieu  à  l'égard  de  la  fonction  E  ,  à  moins 
que  les  quantités  c  et  sin  (p  ne  soient  toutes  deux  très-rapprochées 
de  l'unité. 

Pour  calculer  les  valeurs  successives  de  Q,  soit  C=jc''cl'',  et  soit  A 
un  angle  déterminé  par  la  valeur  sin  À  =c  sin  (p,  on  aura  A=cos.^, 
et  en  omettant  le  signe  de  Q , 


>-v  f  sin  2(p 


cos  A 


dans  l'exemple  proposé ,  on  aura  ^  =  ^  a"  =  (~-)  ,  et 

log  è  =  5.27965  474^6* 

78.  Nous  nous  proposons  de  calculer  jusqu'à  douze  décimales  les 
valeurs  de  E  ;  alors  les  quantités  Q  auront  huit  chiffres  significatifs 
au  plus  y  de  sorte  qu'elles  pourront  être  calculées  par  les  Tables  de 
logarithmes  à  dix  décimales,  qu'on  réduira  à  huit,  et  même  quelque- 
fois par  les  Tables  à  sept  décimales  seulement.  L'opération   pria- 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  67 

cipale,  pour  avoir  lo^  Q,  est  de  déduire  log  cos  A  de  la  valeur 
connue  de  log  sin  A  ;  il  suffira  le  plus  souvent ,  pour  cet  objet ,  de 
tenir  compte  des  premières  différences  donne'es  par  les  Tables  , 
dans  Ihypotlièse  de  huit  décimales  seulement.  Soit  A  la  différence 
qui  répond  à  /  sin  a,  et  B  la  différence  qui  répond  à  Zcos  «,  a  étant 
l'angle  de  la  Table,  immédiatement  plus  petit  que  Aj  si  l'on  fait 

/sin  A  =  /sin  ^z  +  r  ,  on  aura  /cos  X  =  l  cos  a — . 

Cette  formule  sera  suffisante  presque  dans  tous  les  cas ,  et  le  calcul 
n'en  sera  pas  bien  compliqué  ,  parce  que  les  différences  B  et  A  , 
ainsi  que  r  j  peuvent  être  prises  en  bornant  les  logarithmes  à  huit 
décimales. 

Cependant  si  on  voulait  calculer  /  cos  A  de  manière  que  le  résultat 
fut  exact  jusqu'à  la  dixième  ou  la  douzième  décimale,  voici  le  moyen 
qu'on  pourrait  employer. 

Soit  a  l'angle  de  la  Table  qui  approche  le  plus  de  l'angle  A ,  et 
supposons  qu'on  ait  à  la  fois 

/  sin  A  =  /  sin  a  zh.  r  ,     l  cos  K=  l  cos  a  qpK; 

il  s'agit  de  trouver  la  différence  R  par  le  moyen  de  la  différence 
donnée  /■;  pour  cela  on  aura  la  formule 

R  =  ,■  Ung-  «/.  ±  -^±-)  ,  ^«  =  ^»  r  K-'O 

"  \  COS  0/ 

ou 

log  R  =  log  (/•  lang"  a)  ztz  (r  +  /*  lang*^!). 

7g.  Les  règles  précédentes  pour  calculer  log  Q  ,  s'appliquent  à 
toutes  les  valeurs  de  cp  dans  l'exemple  proposé  ,  parce  qu'on  aura 
toujours  tang  ^  <  i  ;  mais  si  c  et  sin  (p  étaient  tous  deux  très-proches 
de  Tunité  ,  tang  a  pourrait  devenir  très-grand,  et  il  faudrait  em- 
ployer un  autre  moyen  pour  calculer  la  valeur  de  A  qui  fait  connaître 
celle  de  l'auxiliaire  Q. 

Alors  A  devra  être  mis  sous  la  forme  A  =  \/(  Z»^-}"  <?*  cos'  (p)  ,  et 
si  on  prend  un  angle  fz  tel  qu'on  ait 

.  c  cos  (Z>  ,  n 

tang  fjL  =  — j—^  =  tang  B  cos  (p  , 
il  en  résultera  A=  — — ,  et  de  la*  Q  =5'  sin  2^  cos/tA,  en  faisavil 


^l  -Â'k^J^. 


68  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

y  =  -^^-T —  ;  dans  l'exemple  proposé  ,  on  aura 

log>  =5.43014  97464. 

11  s'agit  donc ,  pour  avoir  Q  ,  de  déduire  log  cos  ^  de  la  valeur 
connue  de  log  lang  /a  5  c'est  ce  qu'on  peut  faire  ,  comme  ci-dessus^ 
avec  une  exactitude  presque  toujours  sufiîsante  ,  par  le  moyen  des 
différences  premières  qui  répondent  à  log  cos/^  et  log  tang  fju.  Si  on 
veut  obtenir  une  plus  grande  précision,  soit  a  l'angle  de  la  Table 
le  plus  approché  de  //.  ;  si  l'on  fait  à  la  fois 

l  tang  fJL-==-  l  tang  «  db  /• ,     /  cos  ijl=  l  cos  «  qp:  R , 
on  déduira  la  différence  R  de  la  différence  connue  r,  par  la  formule 

R  =  /'  snx'a  (  i  d=  M/-  cos^«)  , 

ou 

logR  =  log  (r  sin''  a  )  db  /•  rp  /'  sin*  a. 

Celte  manière  de  calculer  /  cos  y.  qui  fait  connaître  A  et  Q  ,  n'est 
sujette  à  aucune  exception  ;  elle  peut  élre  employée  dans  toute 
l'étendue  des  Tables  qu'on  veut  construire ,  quels  que  soient  les 
angles  ô  et  (p  ;  en  effet ,  on  voit  que  l'angle  /a  qui  est  6  lorsque 
<p  =  0  ,  diminue  continuellement  à  mesure  que  <p  augmente,  et  finit 
par  être  nul  lorsque  <p  =  90°. 

80.  Par  la  formule  Q  =  >-  sin  2(p  cos  fJL ,  on  voit  que  l'auxiliaire  Q 
est  nulle  aux  deux  limites  de  la  Table  ^  savoir,  lorsque  (p=o  et 
lorsque  (p  =  90°;  il  y  a  donc  entre  ces  deux  points  une  valeur  de  Q 
qui  est  un    maximum;  ce  maximum  se   détermine    par   l'équation 

tan^îp  =  \/— — -  =  \/t  (c'est    le    point   remarquable  où   l'on   a 

F(p  =  i  F'  )  j  alors  Q  =  ^  ^"^   .  Dans  le  cas  de  ô  =  4^"  <ï"e  nous 

avons  pris  pour  exemple,  on  trouve  le /?/«Jt:'i>wM/7ïQ=o.  00002  2  3o5o  94, 
il  répond  à  l'amplitude  <p  =  49°  ^6'  à  peu  près. 

Pour  la  fonction  F  on  a  l'auxiliaire  <2=  >'  sin  2cp  cos^/^,  en  faisant 
pour  abréger  ^'  =  |^  j   elle  s'évanouit  encore   aux  limites  ip  =  o  , 

(p  z=i  90°,  et  son  maximum  a  ^  lieu  lorsque  tang^  <p  =  tang"  6 
+   l/(i  +  tang' 8  H-  tang-^Q).    Dans   le    cas    de  ô  =  4^°  ?  on   a 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  69 

fang*  (p  =  I  +  \/3,  ou  à  peu  près  (p  =  58°  5o' ,  ce   qui  donne  le 
maximum  Q  =  o.ooooS  34082  54* 

81.  Voici  deux  exemples  du  calcul  de  l'auxiliaire  Q  relalive  à 
la  fonction  E,  que  nous  résoudrons  chacun  par  les  deux  méthodes 
que  nous  avons  exposées. 

Soit  1°.  <p  =  53°3o';  suivant  la  première  méthode,  on  fera  le 
calcul  comme  il  suit ,  en  supposant  toujours  c  =  sin  45°. 

l  sin  A  =  /  sin  a  —  r 
cos  a.  .  .   g. 964 II   53965 
R  4-  12845 

cos  À...   g. 964 II   66810 
€...   5.27963  47486 

-~...  5.3i55i  80676 

cos  A  ' 

sin2(p...  9.96402  60827 


c. 

9 

84948 

50022 

sin  (p. 

9 

.74188 

94971 

sin  A. 

•  • 

9 

.5gi37 

44993 

sin  a. 

9- 

5gi58 

16478 

r 

71485 

f\ 

4.85421 

49 

tang*<7. 

•  • 

9 

25453 

25 

/(rlang^âî) 

— 

4 

10874 

74 

/'.  . . 

— 

71.5 

;•  tang*â!.  . . 

— 

12.8 

log  Q  =  5.27954  4i5o3 
Q  =  0.00001  90346  iS 


logR  =  4.10873  96 
Par  les  formules  de  la  seconde  méthode,  on  procédera  ainsi  : 

tang^...  9.92110  65899  cos  a.,.  9.88556  55668 

tang«...   g. 921 II   8i8i3  R  -f  47544 


r  =  —         ï    Ï5914  cosytA...   g. 88536  83212 

y.. .  5.43014  g7464 

r...   5.0641 5  6  sin  2Cp.  .  .   g.g64o2  60827 

sin"a.  .  .   0.61206  4  1^^  r\  ^  V/    7~7~ir 

^         -^     ^  10 g  (^  =  5.27g54  4i5o3 

/(/•sin'a)  =  4.67710  o  Q  =  0.00001   90346  18 


;•  —  r  siQ.  a .  .  . 


7 


log  R  =  4'(^7709  3 
Supposons  2\,  (p  =  70°;  le  calcul  fait  par  la  première  méthode 


^o  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL, 

donnera  les  re'sultals  suivans  : 

c. , .  g. 8494s  5oo22 

sinfp...   9. 97 ^fgS  58 164  /  sin  A=  /  sin  a  —  r 

sinA...   9.82247  08186  cos^...   9.87350  37415 

sina,..   9.82247  52805  R...  55274 

/■  =                   44G19  cosA...   9.87350  72687 

^...   5.27963  47486 

r..'.   4.649520  5.40612  74799 

tang'^...  9.897943  sjg  2<p...  9.80806  74967 

/(rtang''^)  —  '4,54-465  log  Q  =  5.21419  49766 

,.,_  4.5  Q  =  o.ooooi  63755  i5 

/•  lang*  a. . .   —  3.5 


logR  =  4.547455 

Par  la  seconde  méthode  on  trouvera  ce  qui  suit  : 

/  tang  jbt  =z  l  tang  a -^  r 

tang/^...   9.53405   16846             cosû.,.   9.97598  07553 
tang«...   9.55402  28281  R...    50219 

/•  =  2  88565  cosyw  —  9.97597  77334 

y...   5.43014  97464 
r...   5.46024  36  sin2(p...   9.80806  74967 

sia'fl...   9.02000  72  log  Q  =  5.21419  49765 

l{rsWa)  =  4.48025  08  Q  =  o.ooooi  65^55  i5 

; rs'm^a. .  .  2  59 

logR  =  4.48027  67 
On  voit  que  ces  deux  méthodes  s'accordent  parfaitement.  Les  calculs 
ont  été  faits  avec  la  même  précision  que  si  on  voulait  avoir  la  valeur 
de  Q  exacte  jusqu'à  la  quatorzième  décimale  ;  on  pourra  donc  les 
faire  avec  deux  décimales  de  moins  j  lorsqu'on  ne  voudra  avoir  que 
douze  décimales  exactes. 

82.  Il  est  facile,  par  les  moyens  indiqués  ,  de  former  la  colonne 
des  auxiliaires  Q  et  celles  de  leurs  différences  premières  et  secondes. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  yt 

lesfquelles  serviront  à  former  la  colonne  des  difTerences  secondes  S 'E, 
d'après  la  formule 

Mais  pour  avoir  les  diffe'rences  premières  cTE ,  et  ensuite  les  fonc- 
tions E  elles-mêmes  ,  il  faut  connaître  le  premier  terme  JEo  qui 
répond  à  (p  =  o;  et  ce  premier  terme  est  la  même  chose  que  Ea  ^ 
puisqu'on  a  Eo  =  o. 

Or  la  quantité  A  ==  ^(  i  — c'sin'tp)  étant  développée  en  série, 
on  en  tire  fà.d(p  ou 

E  ((p)  =  (p  —  ^  c"  fd(p  sin*(p  —  -^  c^fd(p  sm^<p  —  etc. 

2.4 

Soit  sin  (p  =  X  j  on  aura 
fd<p  sin=(p  ^fœ'^docii-x^Y^^z^^^  +  1 .  ^  +  i^  .  Ç  +  etc. , 

fd<psm^(p:=fx^dx{i—x'Y^=^~-\'~.~  +  i^.^-l-  etc. 

Ces  suites  sont  très-convergentes  lorsque  x  est  très-petit;  si  on  fait 
donc  (p  z=z  et  z=z  -^  ,  on  aura  les  valeurs  suivantes,  exactes  jusqu'à 
la  quinzième  décimale  : 

EW=:a~^6-(5.3454i  424ô4)-t^U9.oo525  n),  •      f-  ICh 

F(a)  =  a  +  ^c"  (3.34541   42464) -f-|c4  (9.00525  11).  ^^ 

Les  nombres  en  parenthèses  désignent  les  logarithmes  des  coefficiens^ 

et  la  caractéristique  9,  qu'on  voit  dans  le  troisième  terme,  indique 

une   fraction    décimale   dont  le  premier  chiffre    significatif  est  au 

onzième  rang.  On  a  d^ailleurs 

et  =  0.00872  664G2  59971   65. 

83.  Connaissant  ainsi  Ea  qui  est  la  même  chose  que  cTEo,  on 
pourra,  comme  nous  Tavons  dit ,  construire  la  Table  dans  son  entier 
au  moyen  de  la  formule  cT'^E"  =  Q  -f-y^  ^'Q°.  Mais  pour  empêcher 
autant  qu'il  est  possible  ,  les  erreurs  dues  au  terme  tt  cT'Q^  de  s'ac- 
cumuler ,  nous  avons  tenu  compte  des  restes  que  donne  la  division 
de  cf^Q"  par  12. 

Pour  cela  nous  avons  joint  à  la  colonne  des  secondes  différences  <f  *Q 


/ 


72  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

une  autre  colonne  contenant  deux  nombres  que  nous  désignons  par  q 
et/',  et  dont  voici  l'usage.  Soitr°  le  terme  qui  pre'cède  /■,el  supposons 
qu'en  divisant  J''Q-|-/'°  par  12,  le  quotient  soit  q  et  le  reste  /', 
on  fera  constamment  cT'^E  =  Q' -f-  ^  ,  ou  dans  la  ligne  pre'cëdente, 

er"E°==Q+^°  (*). 

84.  Nous  Joignons  ici  la  se'rie  entière  des  calculs  faits  d'après  ces 
principes,  pour  obtenir,  dans  le  cas  de  c  =  sin  45°,  les  valeurs  de 
la  fonction  E  ,  correspondantes  à  tous  les  degrés  et  demi-degrés  de 
l'amplitude  <p. 

On  peut  observer  que  pour  les  mêmes  valeurs  de  c  et  de  (p,  l'auxi- 
liaire qui  est  Q  pour  la  fonction  E,  devient  ^^  pour  la  fonction  F; 

d'ailleurs  A  est  toujours  donné  par  l'opération  même  qui  sert  à  trou- 
ver Q  ,  puisqu'on  a  dans  la  première  méthode  A  =cos À,  et  dans  la 

seconde  A  = .  Ainsi  en  construisant  la  Table  des  fonctions  E 

COP  fJi. 

pour  un  module  donné ,  on  peut  construire  simultanément  la  Table 
des  fonctions  F  qui  se  rapporte  au  même  module. 

Comme  le  mode  de  procéder  est  le  même  dans  l'une  et  l'aulre 
Table ,  nous  n'avons  pas  cru  devoir  joindre  ici  la  Table  particulière 
qui  concerne  la  fonction  F ,  d'autant  que  celle  Table  et  celle  des 
fondions  E,  ont  besoin  d'une  dernière  rectification  qui  leur  donne 
toute  l'exaclilude  dont  elles  sont  susceptibles. 


(*)  Peut-être  serait-il  encore  plus  exact  d'ajouter  à  <^^Q  ,  non  pas  le  reste  pré- 
cédent, mais  la  somme  de  tous  les  restes  précédens.  Soit  cette  somme  r=^°,  ou 
prendrait  pour  q  le  quotient  ^'Q  +  2^^  divisé  par  12  ,  et  pour  ^  le  reste  ,  ayant 
soin  de  prendre  s  ,  positif  ou  négatif,  <[  6 ,  ou  tout  au  plus  =  6. 


=/; 


^S' 


.  H' 


75 


<P' 

E. 

J^E. 

<^^E. 

Q. 

^Q. 

«r^Q. 

o°oo' 
o.3g 
1 .00 
1  .3g 
2.00 

2.3o 

0.00000  00000  00 
0.00872  65908  'j^ 
0,01745  284c)4  88 
0.02617  84436  20 
0.03490  3o4ii  95 
G. 04362  63io3  22 

872  66908  79 
872  62686  09 
872  66941  32 
872  45.975  75 
872  32691  27 
872  16090  41 

3322  70 

^H^_  11 

9966  67 
13284  48 
16600  86 
19914  07 

0000  00 

3322  75 

^'^^/^  88 

9965  73 

13284  ^ 

1 660 1  1 2 

3322  76 

3322  i3 

332G  96 

33i8  ^'^ 
33i6  43 
33i3  27 

62 
128 
189 

25'3 
3i6 

38o 

5+2 

11  —  2 

16  —  6 
21  —  4 
26    0 
32  —  4 

3.00 
3.3o 
4- 00 
4.3o 
5.00 

o.o5234  791.93  63 
0.06106  73369  97 
0.06978  48322  82 
G. 07849  94747  20 
0.08721  11343  20 

871  96176  34 
871  72962  85 
871  \^/^o4  38 
871  16696  00 
870  83473  41 

23223  49 

26628  ^'J 
29828  38 
33 122  69 
364 1 G  4'8 

1.99^4  39 
23223  86 
26628  89 
29828  85 
33i23  12 

3309  47 
33o5  o3 
3299  96 
3294  27 
3287  ^/^ 

607 
669 
633 
698 

37-4 

42  —  1 

53  +  1 
68  +  3 

5.3o 

6.  GO 

6.3o 
7.00 
7.3o 

0.09691  94816  61 
0. 10462  41879  54 
0. I l332  4q25l  09 

0. 12202  i3657  94 
G.i3o7i  3i835  04 

870  47062  93 
870  07371  '55 
869  ^^Q^  85 

86q  18177  10 

868  68691  18 

39691  38 
42964  70 
46229  76 
49485  92 
5'.i732  69 

364 11  06 
39692  02 
42966  38 
46230  49 
49486  72 

3280  96 
3273  36 
3266  1 1 
3266  23 
3246  71 

760 
826 
888 
962 
ioi5 

e4  —  5 
68  +  4 

74 -h  4 
80  —  4 

84  +  3 

8.00 
8.3g 
9.00 
9.30 

10. 00 

0. 13940  00626  22 
0.14808  \^/^^\  81 
0.16675  75474  3i 
0.16642  77269  o3 
0. 17409  16654  69 

868  16968  69 
867  69989  5o 
867  00794  72 
866  38385  ^Ç> 
865  72774  42 

66969  09 
69194  78 
62409  06 
66611  24 
658oo  69 

62733  43 
66969  99 
69196  ''j/^ 
62410  06 
66612  3o 

3236  66 
3226  75 
3214  32 

3202  24 

3189  5i 

1081 
1143 
1208 
1273 
i336 

90  +  4 

96  -  5 
100  +  3 
106  +  4 
112  —  4 

10. 3o 
1 1 .00 
Il  .3g 

12. oo 
12.3o 

G. 18274  88429  11 
0.19139  92402  84 

G. 20004  24399  77 

0.20867  81267  83 
0.21730  69829  58 

865  03973  73 
%^^  31906  q3 
863  56"868  b6 
862  78671  75 
861  97163  33 

71976  80 
761 38  87 
78286  3i 
81418  42 
84534  69 

68801  81 

l^^ll   96 
76140  10 
78287  58 
81419  75 

3176  16 
3i62  i4 
3i47  48 
3i32  17 
3ii6  22 

1401 
1466 
i53i 
1695 
1 660 

116  +  5 
123  —  5 
127  +  2 
i33  +  I 
i38  +  5 

i3.oo 
i3.3o 
14  00 
14 -30 

i5.oo 

G. 22692  56982  91 
0.23453  69601  66 
G. 2431 3  94586  24 
0.26173  28864  36 
o.26o3i  69341  61 

861  12618  74 
860  24984  59 
869  34268  12 
858  40487  26 
867  43660  53 

87634  16 
90716  ^j 
93780  87 
96826  72 
99853  35 

84535  97 
87635  Ô9 
90717  96 
93782  42 
96828  32 

3099  62 
3082  37 
3o64  /^^ 
3045  90 
3026  69 

1726 

1791 
i856 
1921 
1988 

144  +  2 
^49  +  5 
i65  +  1 
160  +  2 
166  —  2 

i5.3g 
16.00 

16.  3g 

17.  co 
17.30 

G. 26889  i3oo2  14 
0.27745  66809  32 
0.2860G  97766  39 
0.29455  32867  12 
o.3o3o8  59146  /^-j 

856  43807  18 
855  40947  07 
854  35"ioo  73 
853  26289  35 
862  14534  78 

1  02860  1 1 
1  06846  34 
.1  08811  38 
1  11764  67 
1  i^^j"^   24 

99866  01 
1  02861  82 
1  06848  11 
1  o88i3  20 
1  11766  /^i^ 

3oo6  81 
2986  29 
2966  09 
2943  24 
2920  73 

2062 
2120 
2i85 
2261 
23i8 

171  —  2 
177  —  6 
182  —  5 
187  +  2 
'93  +  4 

18.0G 
18. 3o 

19 .  00 
19.30 

20.  co 

o.3ii6o  73681  25 
0.3201 i  73543  79 
0.32861  55827  60 
0.3371G  17668  o3 

G. 34557  66212  96 

85o  99869  54 
849  82286  81 
848  61840  43 
847  38544  92 
846  12425  ^^^ 

1  17672  73 
1  20446  38 
1  23296  61 
1  26119  46 
1  28917  65 

1  14677  17 
1  17674  72 
1  20448  42 
1  23297  61 
1  26121  62 

2897  55 
2873  70 
2849  19 
2824  01 
2798  14 

2385 
2451 
2618 
2687 
2653 

Ï.99  +  1 
204  +  4 
210  +  2 
216  —  3 
221  —  2 

20.3g 
21  .00 

2i.3o 
22.00 

22. 3o 

0.35403  68638  41 
0.36248  62146  32 
0.37092  03966  i3 
0.37934  21350  48 
0.38776  oi585  91 

844  835o7  91 
843  61818  81 
842  17385  35 
840  80235  43 
839  40^97  62 

1  31689  10 
1  34433  é,^ 
1  37149  92 
1  39837  81 
1  42496  47 

1  28919  76 
1  3/691  37 
1  34435  78 
1  37162  3o 
1  39840  26 

2771  61 
2744  41 
2716  62 
2687  95 
2668  71 

2720 
2789 
2867 
2924 

3994 

227  —  6 

232  1 

238    0 
244  -4 
249  +  2 

10 


y4 

m 

ç. 

E. 

^E. 

r^E. 

Q- 

^q. 

^'Q. 

q,       r. 

22°  3o' 

0.38775  01 585  qi 

839  40^97  62 

1  42496  47 

- 1  39840  25 

2658  71 

2,994 

249  +2 

23.  co 

0.39614  41983  53 

837  97901  i5 

1  45i25  i8 

1  4^498  9S 

2628  77 

3o6i 

255  +3 

23. 3o 

0.40452  39884  68 

836  52775  97 

1  47723  28 

1  45127  73 

2598  16 

3i3i 

261  4"  2 

24 -oo 

0.41288  92660  65 

835  o5c52  69 

1  50290  07 

1  47725  89 

2566  85 

3  «.99 

267  — 3 

94.30 

0.42123  97713  34 

833  54762  62 

1  59894  88 

1  50292  74 

2534  86 

3269 

272  -|-2 

25.  co 

0.49.957  52475  96 

832  01937  74 

1  55326  99 

1  52827  60 

2502  17 

3339 

278  4-5 

25. 5o 

0.43789  54413  70 

83o  46610  75 

1  57795  71 

1  55329  77 

2468  78 

3407 

284  -1-  4  ! 

96.  co 

0.44620  01024  45 

828  888i5  c4 

1  6o23o  36 

1   57798  55 

2434  71 

3478 

299  -{-2 

2S.00 

0.45448  89839  49 

827  28584  68 

1  62630  93 

i  60233  26 

2390  93 

3548 

296  —  2 

27.  co 

0.46276  18494  17 

825  65954  45 

1  64ç^s4  63 

1  62633  19 

2364  45 

36i8 

3ci  +4 

97.30 
98.00 

0.47101  84378  62 

824  00959  82 

i  67322  83 

1  64997  ^4 

2328  27 

3688 

3o8  —4' 

0.4799.5  85338  44 

822  33656  99 

1  €9614  17 

1  67325  91 

229 i  39 

3759 

3i3  —1 

r^8.3o 

0.48748  18975  43 

820  64092  82 

1  71867  97 

1  -69617  00 

2253  80 

383i 

3i9  -j-  9 

'9. 00 

0  49568  89998  25 

818  99154  91 

1  74083  34 

1  71871  10 

29l5  49 

39  co 

395  +2 

iq.-O 

o.5o387  751 53  16 

817  18071  5/ 

1  76259  77 

1  'j4'^^^  59 

9176  49 

3972 

33i  +2 

3o.oo 

0.5 1204  93234  73 

8i5  41811  80 

1  78396  48 

1  76263  c8 

2i36  yj 

4044 

337  +2 

3o.3o 

0.52030  35o36  53 

8i3  634i5  32 

1  80499  75 

1  78399  85 

2096  33 

41 10 

343  -hi 

">i  .00 

0  52833  98451  85 

81 1  89922  57 

1  8:^547  87 

1  80496  18 

2c55  i8 

4'87 

349  4-0 

3i.3o 

0.53645  81374  42 

810  00374  70 

l  84561  19 

1  8255 1  36 

201 3  3i 

4959 

355  —  1 

32.00 

0.54455  81749  12 

808  i58i3  58 

1  8653 1  78 

1  84564  67 

1970  72 

453 1 

36i  —  2 

3cî .  3o 

0. 55.^.63  97562  70 

806  29281  80 

1  88459  i3 

1   86535  39 

1997  41 
i883  38 

44o3 

367  —3 

'3.CO 

0.56070  26844  5o 

8c4  40822  6j 

1  90349  45 

1  88462  8c 

4476 

373  —3, 

33. 3o 

0.56874  67667  17 

802  50480  22 

1  92181  01 

1  90346  18 

i838  62 

4^4^ 

379  —3 

34 -co 

o.BjJyj   18147  39 

8co  58299  21 

1  9^974  09 

1  92184  80 

1793  14 

4620 

385  ~3 

34.. ^0 

0.58477  76446  60 

798  64395  12 

1  95720  97 

I  93977  04 

1746  s4 

4b'94 

39 1  —  1 

35.  co 

0.59976  40771  72 

796  68604  i5 

1  97420  91 

1  95724  88 

1700  00 

4766 

397  -4- 1 

35. 3o 

0.60C73  09375  87 

794  7  u  83  94 

1  99^73  19 

l  q7494  88 

i652  34 

4839 

4o3  44 

3S.C0 

0.60867  8c559  1 1 

792  721 10  o5 

2  00677  07 

1  99077  22 

i6o3  95 

4912 

4'o  —4 

3S.3o 

0.61660  62669  16 

790  71432  98 

2  0223 i  85 

2  00681  17 

i554  83 

4984 

4i5  4-0 

37.00 

0.62451  &4'o2  i4 

788  69901  i3 

9  03736  jj 

2  09936  00 

i5o4  99  '  5o59 

422  — 5 

37.30 

0.63239  933o3  27 

786  65464  56 

2  CD  191  12 

2  03740  99 

1454  "40 

5i3i 

4'^7  -1-2 

38. 00 

0.64096  58767  63 

784  60973  24 

9  06594  14 

2  c5i95  39 

i4o3  09 

5204 

434-2 

38. 3o 

C.6481 1  19040  87 

782  53679  10 

2  07945  l3 

2  06598  48 

i35i  o5 

5277 

440-5 

39 .  00 

o.655-)3  79719  97 

780  45733  97 

9  09943  36 

2  C794'9  53 

19q8  98 

535o 

445  4-5 

3q .  3o 

0.66374  18453  qA 

778  36490  61 

2  io488  07 

2  09'>47  81 

1244  78 

5492 

452  4-3 

40.C0 

0.67159  54944  '55 

776  96002  54 

2  1 1678  07 

2  10499  59 

1 1 90  56 

5496 

458  4-3 

40. 3o 

0.67998  8c9.<7  09 

774  i4"^'3  97 

2  19814  11 

2  ii683  i5 

1 1 35  60 

5567 

464  +9 

4i  .00 

0.68709  95971  ob 

779  oi5c9  86 

9  10893  98 

2  19818  75 

1079  q3 

5641 

470  -+-3 

41 .3o 

0.69,^74  967^0  90, 

769  87615  88 

2  1^917  44 

2  13898  68 

1093  52 

5712 

476  4-3 

42  CO 

0  70244  84396  8c 

767  7V698  44 

2  i588^  78 

2  14992  20 

966  4° 

5785 

482  4-  4 

■ 

42 .  3o 

0.71012  57095  24 

7b'5  56814  66 

2  16799  27 

9  15888  60 

908  55 

5855 

488  4-3 

43.  CO 

0.71778  13909  90 

763  40022  09 

2  17649  21 

2  16797  i5 

85o  ce 

5927 

494  4-2 

. 

43. 3o 

0  72541  53932  29 

761  2938o  18 

9  18432  88 

2  17647   i5 

790  73 

5999 

5oo  4-  1 

44- 00 

0 . 73302  763 1 9  4? 

7 59  03047  3o 

2  19163  56 

2  184^7  88 

730  74 

6067 

5o6  —4 

/4.30 

0   74061  8o25q  77 

756  84783  74 

2  19833  58 

2  19168  62 

670  07 

6140 

5.1  4-4 

45 .  CO 

0  74818  65c43  5i 

754  64950  16 

2  20449  18 

2  19838  62 

608  67      6207 

5i8  —5 

S'y    T  L  ^- 

] 

^5 

^. 

E. 

•  ^E. 

/'-E. 

Q- 

J^Q. 

«^^Q. 

q,       r. 

45°  oo' 

0.74818  65o43  5i 

754  64c)5o  16 

2  20442  18 

2  19838  69 

-608  67 

6207 

5i8  —5 

45. 3o 

0.75573  29993  6j 

762  4'='5o7  98 

2  20988  73 

2  20447  36 

546  60 

6278 

523  —3 

4G.00 

0.763^5  74501  65 

760  23519  25 

2  21472  49 

2  20993  96 

483  82 

6345 

5-29  — 6 

46. 3o 

0.77075  98020  qo 

748  o2c4'^  76 

2  21892  81 

2  21477  78 

420  37 

6413 

534  -1 

47.00 

0.77824  00067  6G 

745  801 53  95 

2  22'->,48  99 

2  21898  i5 

356  24 

6481 

.540  +0 

47.30 

0.7S569  80221  61 

743  67904  96 

2  22640  37 

2  22264  39 

291  43 

6646 

545  +5 
662  —6 

48.00 

0.7931 3  38126  57 

741  35364  69 

2  22766  28 

2  22645  82 

226  q8 

€61 3 

48.30 

o.8co54  73491  1^ 

739  12698  3i 

2  22926  09 

2  22771  80 

169  85 

6670 

566  —3 

49.  co 

0.80793  86089  47 

736  89672  22 

2  23oi9  14 

2  22931  65 

93  10 

6741 

56i  4-6 

49.  3q 

o.8i5')o  75761  69 

734  66653  08 

2  23o44  77 

2  23024  76 

4-  25  69 

6800 

567  +2 

5o.co 
5o.3o 

0.82365  4^4^4  77 

732  4^608  3i 

2  23o02  41 

2  23o5o  44 

—  42  3i 

6864 

572  -|-2 

0.82997  86023  08 

73o  20606  90 

2  22891  4' 

2  23co8  i3 

1  lO  96 

6924 

577  +2 

5i  .00 

0.80728  06628  98 

727  97714  4^ 

2  2271 I  17 

2  22897  18 

180  19 

6981 

682  —1 

5..3o 

0. 84456  04^43  47 

725  76003  32 

2  22461  12 

2  22716  99 

260  00 

7009 

687  —6 

52.00 

0.85 181  79346  79 

723  62642  20 

2  22l4o  69 

a  224^6   99 

320  39 

7096 

691  —3 

5a.  3o 

53.00 

0.85905  3 1888  99 
0.86626  62290  5o 

721  3o4oi  5i 

2  21749  3o 

2  i'zi46   60 

391  34 

7160 

596  —5 

719  08662  21 

2  21286  42 

2  21766  26 

462  H 

7201 

600  — 4 

53. 3o 

0.87345  70942  71 

716  87366  79 

2  20761  53 

2  1X0.0^0^   42 

534  85 

7264 

604  +  2 

54.00 

0.88062  583o8  5o 

714  66614   26 

2  20144  09 

2  20767  67 

607  39 

7301 

6c9  -5 

54.30 

0.88777  24122  yS 

712  4^470  17 

2  19463  66 

2  20160  18 

680  40 

7350 

612  -f-  1 

55.00 

0.89489  71392  93 

710  27006  5i 

2  18709  72 

2  19469  78 

753  90 

7093 

616  4-2 

55  3o 

o-.90ï,9,q  98%9  44 

708  08296  79 

2  17881  85 

2  18716  88 

827  83 

7437 

620  —  1 

56. 00 

0.90908  06696  23 

706  904.4  94 

2  16979  62 

2  17888  06 

902  20 

7A17 

623   0, 

56. 3o 

0.91613  971 1 1  17 

703  73435  32 

2  16002  62 

2  16986  85 

976  T 

7016 

626  4-4 

07.00 

0.92317  70546  49 

701  67432  70 

2  14960  45 

2  16008  88 

1002  i3 

7661 

63o  —5 

57.30 

0.93019  27979  ^9 

699  42482  26 

2  l3822  79 

2  14966  76 

1 1 27  64 

7684 

602  — 5 

58. 00 

0.93718  70461  44 

697  28669  46 

2  12619  29 

2  l382q  11 

i2o3  48 

7613 

634   0 

58. 3o 

0.94415  99120  90 

696  16040  17 

2  1 I 33q  65 

2  1269.5  63 

1279  61 

7643 

637  —  1 

59 .  co 

0 . 95 I I 1  1 5 1 6 1  07 

693  04700  62 

2  09983  59 

2  1 1 346  02 

i356  04 

7666 

609  —4 

59.30 

0.95804  19861  59 

690  94716  q3 

2  o'856o  89 

2  09989  98 

1432  6^ 

7687 

640  4-3 

60.  co 

0.96495  14578  52 

688  86166  04 

2  07041  3i 

2  08557  29 

1609  56 

jjoh 

642  4-4 

60. 3o 

0.97184  C0744  56 

686  79124  73 

2  06454  68 

2  07047  73 

i586  61 

77^9 

644  —6 

61 .00 

0.97870  79869  29 

6?4  73670  06 

2  03790  88 

2  06461  12 

i663  80 

7730 

644  —3 

61 .3o 

0.98555  53539  34 

682  69S79  ij 

2  02049  78 

2  03797  32 

1741  10 

7737 

6^4   4-6 

62.00 

0.999.38  23418  5i 

680  678-9  39 

2  oo23i  3o 

2  02066  22 

1818  47 

7740 

645  4-6 

62.30 

0.99918  91247  90 

678  676()8  09 

I  98335  42 

2  00237  76 

1896  87 

7741 

646  —  6 

63. 00 

1 .00597  58845  99 

676  69262  67 

1  96062  16 

2  98341  88 

1973  28 

7736 

644  4-3 

63. 3o 

1 .01274  28108  66 

674  72qoo  5i 

1   94611  52 

1  95368  60 

2o5o  64 

7727 

644  4-  2 

64.00 

1.01 949  0 1 009  1 7 

672  78688  09 

1  99.183  62 

1  94^17  9^ 

2127  9^ 

7712 

643  —2 

64. 3o 

1.02621  79698  16 

670  864c 5  37 

1  89978  6i 

1  q2lqo  c5 

22o5  o3 

7696 

641  +  2 

65. 00 

1 .03292  6doo3  53 

668  96421)  j6 

1  87696  63 

1  89985  03 

2281  ^<^ 

76j4 

640  —4 

65. 3o 

1 .03961  62430  29 

66 j   08730  i3 

I  85337  93 

1  87703  o3 

2358  73 

7646 

637  — 2 

66.00 

1 .04628  71 160  49 

665  233q2  20 

1  82902  77 

1  85344  3o 

2435  19 

7614 

634  +4 

66. 3o 

I .06293  9455a  62 

663  40489  43 

1  80391  4^ 

1  82909  1 1 

2611  33 

7^77 

632  —3 

67,00 

1 .o5o57  35o42  c5 

661  60097  97 

1  77804  40 

1  80397  78 

2687  10 

7636 

628  —3 

67.30 

1.06618  96140  C2 

669  82293  67 

1  76141  98 

1  77810  68 

2662  46 

7487 

624  —4 

7 

6 

■ 

■- 

<p. 

E. 

lE. 

i^^E. 

Q- 

«^Q. 

^'^Q. 

q>    r. 

67° 3o' 
68.00 
68. 3o 
69.00 

69 .  3o 

70.  ce 

I ,06618  96140  02 
1 . 07278  77433  69 
1.07936  64685  18 
1 .08693  19332  07 
1.09247  84485  91 
1 .09900  82932  10 

669  82293  67 
658  07151  69 
656  34746  89 
654  65i53  84 
662  98446  19 
65 I  34697  08 

I  76141  98 

1  72404  70 

1  69693  o5 
1  66707  65 
1  63749  11 
I  60718  16 

1  77810  68 
1  76148  22 
1  72410  89 
1  69699  20 
1  66710  74 
1  63755  16 

2662  46 
2737  33 
2811  69 
2886  46 
2968  59 

3o3i  02 

7487 
7436 

73i3 
7243 
7170 

624—4 
619+4 

6i5+i 
609  -j-  6 
604+1 
698-6 

70.30 

71  .00 

71.30 

72.00 
72.30 

1.10662  17629  18 

I. 11201  91608  11 

1.1 i85o  07971  53 
1 . I 2496  69892  96 
1 . i3i4i  80616  92 

649  73978  93 
648  i6363  42 
64Q  61921  43 
645  10722  96 
643  62837  09 

1  67616  5i 
1  54441  99 
1  5i 198  47 
1  47886  87 
1  44606  20 

1  60724  i3 
1  67621  41 
1  54447   82 
1  61204  23 
1  47891  55 

.3io2  72 
3173  69 
3243  69 
33i2  68 
338o  77 

7087 
7000 

6909 
6809 
6704 

5qo  +  2 

583  +  6 
576  +  3 
568  —  4 
658  +  4 

73.  OO 

73. 3o 
74.00 
74.30 

76.00 

1.13785  43453  01 
1.14427  61784  90 
1.16068  39069  32 
1 . 16707  78789  90 
1.16345  8466"5  04 

642  i833i  89 
640  772.'j4  42 
639  39730  58 
638  06766  14 
636  75441  60 

1  41067  47 
1  37643  84 
1  33966  44 
i   3o323  64 
1  26619  40 

1  44610  78 
1  41062  97 
1  37649  23 
1  33970  74 
1  3o328  72 

3447  81 
35 1 3  74 
3678  49 
3642  02 
3704  25 

6693 
6475 
6353 
6223 
6086 

55o  — 3 

539  +  4 
63o  —  3 
618  +  4 
507  +  6 

76.30 
76.00 
76.30 
77.00 
77.30 

1 . 16983  59996  64 
i.i7"6i8  c8'8i8  H 
1.18262  34786  64 
1.18886  41724  48 
1 . 19617  335i4  78 

635  48822  20 
634  26967  80 
633  06937  84 
63 1  91790  3o 
63o  80681  61 

1  22854  4o 
1  19029  96 
1  16147  54 
1  1 1 208  6ç) 
1  07216  01 

1  26624  4? 
1  22869  36 
1  19034  79 
1  16162  24 

1  112l3  26 

3766  1 1 
3824  57 
3882  55 
3958  98 
3993  81 

6946 
6798 
6643 
5483 
53i8 

4q6   0 
483  +  2 
470  +  5 
457  +  4 
444 -Q 

78.00 
78.30 
79.00 
79.30 
80.00 

1 .20148  14096  39 
1 . 20777  87462  99 
1.21406  67661  41 
1 .22034  28789  96 
1 .22661  04996  69 

629  73366  60 
628  70198  42 
627  71128  64 
626  76206  G4 
626  86480  67 

1  o3i68  18 
99069  88 

9492*1  90 
90726  07 
86484  27 

1  07219  46 

l  03172  46 

99074  02 
94926  89 
90729  .90 

4046  99 
4098  44 
4148  i3 

4193  99 
4241  96 

6145 

4969 
4786 

4597 
44o3 

428  +  3 
414  +  4 

399  +  2 
383  +  3 
3S7  +  2 

80. 3o 
81.00 
81. 3o 

82.00 
82.30 

1 .23286  90477  16 
1.23911  89473  4^ 
1  .Q/^S'SS  06271  32 
1 .26169  45198  69 
1 .26782  10623  14 

624  98996  3o 
624  16797  86 
623  38927  27 
622  66424  56 
621  96327  60 

82198  44 
77870  69 
73502  72 
69096  96 
64666  39 

86487  94 
82201  96 
77873  92 

73506  88 
69099  93 

4286  99 
4328  o3 
4368  04 
4406  95 
4441  74 

44?^  34 
4606  73 
4636  86 
4562  70 
4687  20 

4204 
4001 

3791 

3579 

336o 

36i— 6 
333—1 
3i6  —  2 
298 -f  1 

280  +  1 

83. 00 
83. 3o 
84.00 
84. 3o 
85. 00 

1 .26404  06900  j4 
1 . 27026  38622  96 
1 .27646  10114  93 
1 .28266  26933  21 

1.28886  90613  4y 

621  31672  21 
620  71491  98 
620  16818  28 
619  64680  26 
619  18104  74 

60180  23 
55673  70 
5ii38  02 
46676  52 
41988  5i 

64658  19 
60182  85 
55676  12 
5ij4o  26 
46677  56 

3i39 
2910 
2684 
2450 

22l5 

262  —  4 
242  +  6 
224+  1 
204  +  3 
i85  — 2 

85. 3o 
86.00 
86. 3o 
87.  co 
87.30 

1 .29606  08718  21 
1.30123  84834  44 
I .30742  23671  3i 
i.3i36o  29667  72 
1 .31978  07439  93 

618  761 16  23 
618  38736  87 
6j8  06986  41 
617  77882  21 
617  54439  18 

37379  36 
32760  4G 
28104  20 
23443  o3 
18769  42 

41990  36 
57381  01 
33761  90 
28106  '44 
23444  07 

4609  35 
46î?9  11 
4^4^  4^ 
4661  37 
4673  82 

19^6 
1706 

^49^ 

1245 

999 

i65  — 6 
144+1 
124  +  4 
ic4+  1 
83+4 

88.  oc 
88. 3o 
89.00 
89.30 
90.00 

1 .32696  61879  11 
1 .33212  97648  87 
1.33830  19132  82 

1.34447  3l322  06 

i.35o64  38812  68 

61 j   35669  76 
617  2i583  96 
617  12189  24 
617  07490  62 

14085  81 

9394  71 
4698  62 

18770  20 

14086  44 
9396  i3 
4698  82 

oc^  00 

4683  81 
4691  3i 
4696  3i 
4698  82 

760 
5oo 
261 

63  —  2 
42  —  6 

20  +  5 

85.  Nous 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.         77 

85.  Nous  avons  déjà  dit  que  pour  remédier  à  l'accumulation  des 
erreurs  qui  peut  résulter  de  la  méthode  précédente,  il  était  néces- 
saire de  calculer  par  les  formules  rigoureuses  ,  les  valeurs  de  la 
fonction  qui  correspondent  à  quelques-unes  des  valeurs  de  la  va- 
riable (p.  On  aurait  pu^  pour  cet  objet,  se  borner  aux  quatre  valeurs 
qui  terminent  les  quatre  parties  de  la  Table  ^  savoir,  (p  =  22°  j  , 
(p  =  45%  (p  =  67°^,  <p  =90°;  mais  nous  y  en  avons  joint  trois 
autres ,  et  voici  les  erreurs  en  plus  qui  se  sont  trouvées  dans  les 
résultats  de  notre  Table. 

Variablecp 22°^,      26,        45,     49^,     6'j  \ ,     70^,      90*. 

Erreur  sur  E  (<p)...  4-62,4-93,  4-175,  4-iÔ5,  4-222^  4-2^7^  4-220. 

Il  s'agit  maintenant  de  corriger  les  erreurs  de  tous  les  termes  de 
la  Table ,  d'après  les  erreurs  connues  de  ces  sept  termes  ;  et  le 
principe  auquel  il  faut  s'attacher  dans  cette  opération  délicate,  est 
d'altérer  le  moins  qu'il  est  possible  les  difïerences  premières  de  la 
fonction ,  parce  que  ces  différences  ,  telles  qu'elles  sont  portées 
dans  la  Table ,  sont  nécessairement  très-approchées  des  différences 
exactes. 

On  pourrait  aisément  construire  des  formules  algébriques  qui 
embrasseraient  une  certaine  étendue  de  termes,  dans  l'interpolation 
des  erreurs  ;  mais  l'usage  de  ces  formules  serait  pénible  et  souvent 
peu  exact.  Il  nous  a  paru  plus  simple  de  faire  l'interpolation  à  vue 
en  s'écartant  le  moins  qu^il  est  possible  de  l'ordre  linéaire  indiqué 
successivement  par  les  côtés  du  polygone,  dont  les  angles  sont  les 
extrémités  des  ordonnées  qui  représentent  les  erreurs  connues. 
L'inégalité  dans  la  distribution  des  erreurs  sur  un  même  côté,  n'aura 
pour  objet  que  de  rendre  moins  inégales  les  différences  en  passant 
d'un  côté  à  l'autre  ;  et  les  anomalies  à  cet  égard  ne  pourront  jamais 
être  bien  considérables  ,  parce  que  la  méthode  suivie  pour  la  cons- 
truction de  la  Table  ,  est  de  nature  à  ne  permettre  aux  erreurs  de  se 
multiplier  que  par  des  degrés  presqu'insensibles. 

86.  C'est  par  ces  procédés  qu'on  a  rectifié  la  Table  des  fonc- 
tions E,  et  en  y  joignant  celle  des  fonctions  F,  composée  et  rectifiée 
$emblablement,oaa  formé  la  Table  II  ci-après,  qui  servira  à  trouver 

li 


78  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

jusqu'à  douze  décimales,  les  valeurs  des  fonctions  F  etE  pour  toute 
valeur  de  l'amplilude  cp  ,  lorsque  l'angle  du  module  est  de  45°.  Elle 
servirait  aussi  à  faire  l'opération  inverse  ,  c'est-à-dire  à  trouver 
l'amplitude,  lorsque  Tune  des  fonctions  est  donnée. 

On  voit  assez  parles  opérations  dont  nous  avons  donné  le  détail, 
qu'on  ne  peut  répondre  de  l'exaclitudc  de  la  douzième  décimale^  et 
que  même  la  onzième  pourrait ,  dans  quelques  cas ,  être  en  erreur 
d'une  ou  de  deux  unités;  mais  au  moins  on  pourra  toujours  compter 
sur  l'exactitude  de  la  dixième  décimale^  et  l'emploi  des  deux  autres 
dans  les  calculs  d'interpolation _,  garantira  les  résultats  de  toute  erreur 
sur  la  dixième  décimale.  Si  on  n'a  besoin  que  de  sept  décimales 
exactes  dans  le  résultat ,  il  suffira  d'en  admettre  huit  dans  les  calculs 
d'interpolation,  ce  qui  les  simplifiera  beaucoup, 

87.  Maintenant  pour  avoir  un  système  complet  de  Tables  ellip- 
tiques,  il  ne  s'agit  que  de  construire,  par  les  mêmes  méthodes,  des 
Tables  particulières  analogues  à  la  Table  II ,  qui  répondront  à  tous 
les  angles  du  module  de  demi-degré  en  demi-degré.  On  pourrait, 
après  les  calculs  faits,  réduire  toutes  les  fonctions  à  dix  décimales, 
et  alors  chaque  Table  particulière  analogue  à  la  Table  II,  n'occu- 
perait que  trois  pages  ^q\\\. in-folio  ,  ce  qui  ferait  pour  les  181  Tables, 
un  volume  de  grosseur  médiocre.  J'ose  espérer  que  cette  entreprise 
dont  l'utilité  se  fera  sentir  de  plus  en  plus  ,  sera  mise  un  jour  à 
exécution  par  quelqu'un  de  ces  hommes  laborieux  qui  apparaissent 
de  temps  en  temps  dans  la  carrière  des  sciences,  pour  laisser  des 
monumens  durables  de  leur  patience  et  de  leur  zèle. 

Dans  le  recueil  dont  nous  venons  de  parler  ,  la  première  Table 
particulière  ,  celle  qui  répond  à  l'angle  du  module  ô  =  o,se  cons- 
truira immédiatement,  puisqu'alors  on  aura  F  =  E  =  (p  ,  et  qu'ainsi 
il  ne  s'agira  que  de  mettre  à  côté  de  chaque  amplitude  (p,  la  longueur 
absolue  de  cet  arc  exprimée  avec  douze  ou  un  plus  grand  nombre 
de  décimales  ;  il  ne  sera  pas  même  nécessaire  d'y  joindre  les  diffé- 
rences premières  ,  puisqu'elles  sont  constantes. 

La  dernière  des  Tables  particulières  est  celle  qui  répond  au 
module  c  ==  1  ,  ou  à  un  angle  du  module  égal  à  90°;  elle  se  cons- 
truira encore  d'unemanière  très-facile,  au  moyen  des  Tables  connues. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  79 

puîsqu'alors  on  a  E  ((p)  =  sin  (p  et  F  ((p)  =  log  lang  (45'  +  ^  <p  ). 
Les  Tables  III  et  IV  ci-après  soat  destinées  à  représenter  ces 
fonctions. 

88.  La  Table  III  offre  les  sinus  naturels  et  leurs  logarithmes  pour 
chaque  quart  de  degré  du  quadrant ,  savoir  ,  les  sinus  naturels  ex- 
primés avec  quinze  décimales  ^  et  leurs  logarithmes  avec  quatorze 
seulement.  Ils  sont  tirés  les  uns  et  les  autres  de  la  Trigon.  Britan. 
de  Bricgs  ,  publiée  après  la  mort  de  cet  auteur,  par  Gei^librand, 
seul  ouvrage  où  Ton  trouve  un  aussi  grand  nombre  de  décimales  ; 
car  le  Thésaurus  Mathematicus  de  Pitiscus  ,  ne  donne  les  sinus 
naturels  qu'avec  quatorze  décimales.  Nous  avons  cru  que  cette 
Table  serait  utile  ,  ne  fût-ce  que  pour  mettre  le  lecteur  à  portée 
de  vérifier  par  lui-même,  et  sans  le  secours  d'un  livre  qui  devient 
chaque  jour  plus  rare^  les  calculs  que  nous  avons  développés  dans 
diflférens  endroits  de  cet  ouvrage,  et  surtout  ceux  qui  se  rapportent 
à  la  Table  des  fonctions  complètes. 

La  Table  IV  donne  les  logarithmes  hyperboliques  de  tang  (45°+|  <p), 
pour  toutes  les  valeurs  de  (p  ,  de  demi-degré  en  demi-degré  ;  ces 
logarithmes  sont  en  même  temps  les  valeurs  de  la  fonction  F(p,  lors- 
que le  module  est  égal  à  l'unité. 

Connaissant  ,  par  la  Table  III ,  les  logarithmes  vulgaires  de 
tang  (45°-|- 7<p)  ,  il  a  suffi  de  multiplier  ceux-ci  par  le  module 
M  =  2.3o25,  etc.,  pour  avoir  les  logarithmes  contenus  dans  la 
Table  IV. 

Enfin  nous  avons  cru  faire  plaisir  aux  calculateurs  en  ajoutant  à  ce 
petit  recueil,  la  Table  V  extraite  des  grandes  Tables  du  cadastre, 
cil  l'on  trouvera  les  logarithmes  à  dix-neuf  décimales  pour  tous  les 
nombres  impairs  de  1 165  à  i5oi  ,  et  pour  tous  les  nombres  premiers       '^|    i^g  1  -  'j^-y. 
de  i5oo  à  10000. 

89.  La  Table  IV,  dans  laquelle  nous  avons  inséré  les  différences 
successives  de  la  fonction  ,  autant  que  le  format  a  pu  le  permettre  , 
fait  voir  que  ces  diflérences  décroissent  d'une  manière  très-lente  , 
lorsque  Tamplilude  (p  approche  de  90°.  Alors  l'interpolation  de  la 
Table  devient  très-difficile,  ou  ne  donne  qu'une  approximation 
insuffisante. 


So  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Pareille  difficulté  se  rencontrera  ,  mais  à  un  moindre  degré ,  dans 
les  Tables  particulières  dressées  pour  des  modules  dont  les  angles 
se  rapprocheront  de  l'angle  droit  ;  il  y  aura  alors  une  partie  plus 
ou  moins  étendue  de  chaque  Table ,  celle  qui  répond  aux  plus 
grandes  valeurs  de  cp  ,  dans  laquelle  les  interpolations  seront  plus 
difficiles  ou  moins  exactes  ;  mais  cet  inconvénient  ne  se  fera  guère 
sentir  qu'à  compter  de  l'angle  du  module  6=  70%  et  seulement  pour 
des  valeurs  <p  non  moindres  que  70  ou  75°.  On  remarquera  au  reste 
que  les  simples  Tables  de  logarithmes  des  nombres  et  des  sinus  , 
sont  sujettes  à  un  pareil  inconvénient ,  vers  leur  commencement,  et 
que  celles  des  logarithmes  des  tangentes  le  sont  au  commencement 
et  à  la  fin ,  lorsque  l'angle  approche  de  go*. 

Il  serait  superflu  de  parler  ici  de  la  double  interpolation  que  l'on 
aurait  à  faire  selon  les  diverses  valeurs  des  angles  9  et  (p ,  lorsque 
le  système  de  Tables  dont  nous  avons  parlé  sera  exécuté  ^  ou ,  ce 
qui  revient  au  même  ,  lorsqu'on  aura  une  Table  à  double  entrée 
contenant  les  valeurs  des  fonctions  E  et  F,  pour  toutes  les  valeurs 
des  angles  6  et  (p,  de  demi-degré  en  demi-degré.  Mais  il  y  a  d'autres 
questions  qui  concernent  la  construction  de  la  Table  elle-même  , 
et  qui  méritent  d'être  discutées. 

go.  On  peut  d'abord  observer  que  l'interpolation  est  en  général 
plus  facile  à  Tégard  des  fonctions  E  qu'à  l'égard  des  fonctions  F  ; 
et  si  on  se  rappelle  que  toute  fonction  F  peut  s'exprimer  exactement 
par  la  fonction  E  et  une  autre  fonction  de  même  nature ,  on  en 
conclura  qu'à  la  rigueur  on  pourrait  se  contenter  de  construire  la 
Table  des  fonctions  E,  laquelle  présentera  toujours  plus  de  facilités 
et  moins  de  cas  d'exception,  dans  les  calculs  d'interpolation. Cette  ob- 
servation réduirait  presqu'à  moitié  le  calcul  des  Tables  elliptiques,  et 
ce  calcul  deviendra  surtout  d'une  exécution  assez  facile^  si  on  ne 
voulait  avoir  les  fonctions  E  qu'avec  sept  décimales  exactes. 

Mais  d'un  autre  côté  ,  les  fonctions  F  étant  plus  simples  analyti- 
quement  que  les  fonctions  E,  il  y  a  quelque  inconvénient  à  déduire 
la  fonction  la  plus  simple  F  ou  F  (c,  cp)  de  deux  fonctions  plus 
composées  E  (  c  ,  (p  )  ,  E(c°,  (^°).  Cet  inconvénient  n'est  pas  sim- 
plement idéal,  il  se  fait  sentir  encore  par  la  complication  qu'il  entraîne 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.         8ï 

dans  les  calculs^  puisque  la  détermination  de  la  fonction  E(c%  (p°) 
suppose  qu'on  a  calculé  de  nouveaux  élémens  c°,  (p°,  qu'on  peut 
bien  déduire  trigonométriquement  des  élémens  donnés  c ,  (p,  mais 
qui  rendent  le  calcul  plus  long  et  plus  difficultueux. 

91.  Il  faut  observer  de  plus  que  quand  on  détermine  la  fonc- 
tion F ,  soit  au  moyen  des  deux  fonctions  E  (c,  (p  ) ,  E  (c%  (p°) , 
soit  au  moyen  des  deux  fonctions  E  (i?,  (p)  ,  E  (c',  tp'),  ce  qui  se 
fait  par  l'une  ou  l'autre  des  formules 

^F  (c,<p)==.i(i+^)E(c%(p°)  — E(c,^)-|-i(i  — ^)sinr, 
iè»F(c,<p)  =  E(^,(p)— (iH-OE(c',(p')  +  csin(p; 

les  erreurs  sur  les  fonctions  E  se  trouvent  notablement  augmentées 
dans  l'expression  de  F,  à  cause  de  la  petitesse  du  diviseur  b  dans 
une  formule,  ou  ^  Z>'  dans  l'autre;  de  sorte  qu'on  ne  pourra  se 
flatter  d'obtenir  la  fonction  F  avec  la  même  précision  que  les  Tables 
donnent  les  fonctions  E. 

Enfin  dès  qu'une^ fois  on  aura  déduit  des  données  c,  ^,  les  nou- 
veaux élémens  c°,  (p"  ou  c' ,  <p' ,  il  n'en  coûtera  guère  davantage  pour 
continuer  les  suites  c,  c' ,  c",  etc.,  et  cp ,  (p',  (p",  etc. ,  jusqu'au  troi- 
sième terme  environ ,  comme  cela  est  nécessaire  pour  obtenir 
directement  une  valeur  aussi  approchée  qu'on  voudra  de  la  fonc- 
tion F  {c,(p),  en  la  déduisant  des  formules, 

F(c,?)  =  Rlogtang(45-+l*'),    R  =  ^(£i^), 

OÙ  <S>'  désigne  la  limite  des  angles  <p,  (p',  (p",  etc.;  et  dans  ce  cas^ 
on  n'aura  aucun  besoin  de  la  Table  des  fonctions  E. 

92.  Il  résulte  de  cette  discussion  que ,  quoique  la  fonction  F 
puisse  s'exprimer  rigoureusement  par  deux  des  fonctions  E  ;  ce- 
pendant cette  propriété  ne  fournit  pas  des  moyens  de  calcul  assez 
simples  pour  être  employée  utilement  dans  les  approximations. 
Il  en   est  de  même  de  l'usage   qu'on   voudrait  faire  de  la  formule 

F  =  E  —  ^77~>  ouF=E —  tangQ  -j-  ,  en  faisant  c  =  sin  9. 

Car  pour  faire  l'application  de  celte  formule  ,  il  faudrait  d'abord 
être  en  possession  d'une  Table  complète  des  fonctions  E ,  calculée 


82  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

pour  toutes  les  valeurs  de  ôet  de  (p  ,  de  demi-degré  en  deml-degre'; 

de  plus   en    appelant  a  la  longueur   d'un  demi-degré ,  ou  faisant 

a  =  ^  ,  le  coefficient  différentiel  -j-  devrait  être  tiré  de  la  formule 

ûbo  '  civ 

a,  ^=  J^E— icT'E  4-i  J^^E  — f  J^'^È+etc, 

où  les  différences  successives  cTE  ,  «T'E ,  cT^E  ,  etc.  sont  relatives  à 
la  variable  G  seule.  Mais  on  voit  qu'à  cause  de  la  petitesse  de  a , 

la  valeur  de  -j-  ne    serait    déterminée    en   général   qu'avec    deux 

décimales  de  moins  que  la  fonction  E  ,  et  la  précision  diminue- 
rait encore  sur  la  valeur  de  E ,  à  mesure  que  lang  6  augmenterait; 
ainsi  ce  moyen  d'approximation  que  nous  avions  proposé  autrefois, 
ne  saurait  être  adopté. 

95.  Ayant  écarté  plusieurs  des  moyens  qui  se  présentent  naturel- 
lement pour  construire  des  Tables  propres  à  faire  trouver  aisément, 
dans  tous  les  cas  ,  les  valeurs  des  fondions  elliptiques  E  et  F , 
l'idée  peut  venir  encore  de  remplacer  une  de  ces  fonctions  par 
une  autre  qui  serait  plus  facile  à  réduire  en  Tables.  Telle  est ,  par 

exemple,   la  fonction  G=  /  — - — ,  dont  la   valeur  complète, 

lorsque  (p  =  ^  tt ,  sera  ^  tT  ou  1  ,  selon  qu'on  fait  0  =  0  o\i  c=  i; 
de  sorte  que  dans  les  cas  intermédiaires  cette  fonction  éprouvera 
peu  de  variations  ,  et  sera  Irès-propre  à  être  réduite  en  Tables. 

Et  puisque  la  fonction  F  peut  être  déduite  des  fonctions  E  et  G, 
au  moyen  de  l'équation 

^        E  — c=G        E  — G     .    ^ 

il  semble  au  premier  coup  d'œil  que  la  fonction  G  pourrait  être 
substituée  avec  avantage  à  la  fonction  F  ,  au  moins  dans  la  partie 
des  Tables  de  celle-ci  qui  se  prête  difficilement  aux  interpolations, 
c'est-à-dire  lorsque  les  angles  6  et  <p  sont  tous  deux  plus  grands 
que  70  ou    yS'. 

M  lis  en  examinant  la  chose  avec  plus  d'attention  ,  on  reconnaît 
que  la  difficulté  n'est  qu'éludée,  et  qu'on  n'obtiendra  pas  une  plus 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  85^ 

grande  approximation  par  ce  moyen  ,  parce  que  si  on  a,  par  exemple, 
ù"  =  — ,  l'erreur  de  E  —  G  se  trouvera  centuplée  dans  la  valeur 

lOO  ^  * 

de  F.  Il  vaudrait  donc  tout  autant,  à  mesure  que  Q  el  <p  augmentent 
au-delà  d'une  certaine  limite  ,  diminuer  le  nombre  des  décimales 
qui  entrent  dans  l'expression  de  F ,  afin  que  l'interpolation  fût  toujours 
également  praticable ,  mais  donnât  pour  résultat  un  moindre  nombre 
de  chiffres  décimaux. 

Pour  donner  un  exemple  de  l'usage  de  nos  méthodes ,  lorsque 
l'angle  du  module  est  peu  éloigné  de  90%  nous  joignons  ici  une 
Table  des  fonctions  E  et  F  ,  construite  d'après  ces  méthodes  pour 
le  module  c  =  sin  89°.  Cette  table  n'est  pas  calculée  avec  autant 
de  précision  que  la  Table  II ,  et  on  ne  peut  guère  compter  sur 
l'exactitude  de  la  dixième  décimale;  mais  elle  pourra  être  utile  , 
surtout  en  fournissant  des  exemples  qui  serviront  à  apprécier  di- 
verses formules  que  nous  donnerons  ci-après  pour  les  cas  oii  le 
module  est  très-peu  différent  de  l'unité. 


V 


f 


TT '-^ ^ 

c  =  sin  89°. 

?• 

E. 

^E. 

F. 

«TF. 

o°oo' 
o.3o 
1 .00 
1  .3g 
2.00 
2.5g 

o.ocooo  00000 
0.00872  65355 
0. G 1745  24066 
0.02617  69490 
0.03489  94986 
0.04361  93911 

872  66365 
872  68711 
872  45424 
872  26496 
871  98926 
871  66719 

o.oocoo  00000 
0.00872  67670 
0.01745  4^784 
0,02618  29290 

G. 03491  36739 
G. 04364  70790 

872  67670 
872  74214 

872  87606 

873  07449 
873  34061 
873  67323 

3. GO 

3.3o 

4- 00 

4.3o 
5.00 

0.06233  69600 
0.06104  855o6 
0.06976  64906 
0.07846  91 199 
0.08716  '67761 

871  26876 

870  7.9399 
870  26294 
869  66562 

869  002 1 G 

G.o5258  38ii3 
G. 061 12  45591 
0.06986  99322 
0.07862  06620 
0.08737  74022 

874  07278 
874  53931 
876  07298 
876  67402 
876  34264 

5.3o 
6.00 
6.3o 
7.00 
7.3o 

0.09684  67971 
0.10462  8621 3 

0. 1 l32G  32877 

0.12186  94358 
0. i3o52  63069 

868  27242 
867  476^4    ■ 
866  61481 
865  68701 
864  69331 

0.09614  08286 
G . 1 049 1  16197 
0. 11369  04669 
0.12247  80245 
0. i3i27  60102 

877  0791 1 

877  88372 

878  76676 

879  69867 

880  70961 

8. GO 

8.3g 
9.0G 
9.30 

10.00 

0. 13917  3239G 
0. 14780  96768 

G. 16643  46619 

o.i65o4  78376 

G. 17364  84482 

863  63378 
862  5o85i 
861  31767 
860  06106 
858  73906 

0. 14008  2io53 
G. 14890  ooo55 
0. 16772  94102 
0.16667  10234 
G.  17642  55540 

881  79002 

882  94047 
884  "16102 
886  463o6 
886  81620 

10. 3o 

1 1 .00 

11. 3o 
12.00 

12.3g 

0.18223  68388 
0. 19080  93658 
0. 19936  83464 
0.20791  21691 
0.21644  01434 

867  36170 
855  89906 
854  38127 
862  79843 
85 i  16068 

0. 18429  37160 
0. 19317  62285 
0.20207  38167 
0.21098  72116 
0.21991  7i5o3 

888  25125 

889  76882 

891  33948 

892  99388 
894  72266 

l3.GO 

i3.3g 
i4-oo 
14. 3o 

l5.0G 

G. 22496  i65g2 
0.23344  6o3i5 
0.24192  26406 
0, 20038  o8322 
0.26881  99624 

849  4381 3 
847  66091 
845  81916 
843  9i3o2 
841  94263 

0.22886  43768 
0.23782  96421 
0.24681  "37043 
0.26681  73294 
'O.264&4  12912 

896  62653 
898  40622 
900  36261 
902  39618 
904  60807 

i5.3o 
16.00 
i6.3o 

17.00 
17.30 

0.26723  93887 
0.27653  847o3 
0.28401  66676 
0.29237  30429 
0.30070  72600 

839  90816 
837  80973 
835  64"763 
833  42171 
83 1  13246 

0.27388  63719 
0.28296  33624 
0.29204  3o63i 
o.3oi i5  62833 
0.31029  38423 

906  69906 
908  97007 
911  32202 
913  76690 
916  27278 

18.  GO 

18. 3o 
19.00 
19.30 
20.00 

0.30901  86846 
0.31730  63838 
0.32667  00268 
0.33380  88847 
0.34202  233oo 

828  77992 
826  3643o 
823  88679 
821  34453 
818  74076 

0.31945  66701 
0.32864  53070 
0.33786  09049 
0.34710  42267 
0. 36 637  61479 

918  87369 
921  55979 
924  33218 
927  19212 
93o  14082 

20.  3g 

21 .00 
21. 3o 

22.  GO 
22.3g 

o.35o2o  97376 
0. 35837  "04843 
0.36650  39488 
0 . 37460  96119 
G. 38268  65568 

816  07467 
8i3  34645 
810  5563i 
807  70449 
8c4  79117 

0.36667  76661 
0.37600  93622 
0.38437  24607 
0.39376  77796 
G.4o3i9  62820 

933  17961 
936  3b985 
939  53289 
942  86024 
"946  26337 

c  =  sin  89'' 


85 


c  =  sin  89". 

<f>. 

E. 

^E. 

F. 

J^F. 

22°  3o' 
23.  co 
23. 3o 
24.00 
24.30 
25.00 

0.38268  65568 
0.39073  ^/^Q%b 
0.39875  26343 
0.40674  0444° 
0.414^9  7^-894 
0.42262  26649 

804  791 17 
801  81668 
798  78097 
795  68454 
792  62765 
789  3 1026 

o.4o3i9  62820 
0.41266  89167 
0.42216  66646 
0.43169  o4883 
0.44126  14236 
0.46087  04849 

946  26337 
949  77388 
953  38338 
967  09353 
960  90613 
964  82293 

25. 3o 
26.00 
26.30 
27.00 
27.30 

0.43061  66674 
0.43837  69969 
0.44S20  29620 
0.45399  69402 
0.46176  4^672 

786  03285 
782  69661 
779  29882 
776  84270 
772  32761 

0.46061  87142 
0.47020  71728 
0.47993  69413 
0.48970  91206 
0.49962  48024 

968  84586 
972  97686 
977  21792 
981  67119 
986  03878 

28.00 
28.30 
2g .  00 
29.30 

3o.oo 

^  0.46947  76423 
0.47716  61778 
0.48481  63885 
0.49243  06920 
0.60000  76089 

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3o.3o 
3i  .00 
3i.3o 
32. 00 
32. 3o 

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j/^S  09082 
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768  07916 
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o.6oo33  96531 

ioi5  ^jys4 
1020  71398 
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io3i  79377 
1037  54367 

33.00 
33. 3o 

34.00 
34. 3o 
35.00 

0.64464  .9°,9,97 
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0.67368  85o68 

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1049  4yQj6 
io55  67284 
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36.00 
36. 3o 
37.00 
37.30 

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o.5q483  65344 
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699  283o2 

Q^/i  70176 
690  06763 

0.66350  ^74% 
0.67426  843S3 
0.68607  87690 
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0.70693  i36o9 

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1089  o3864 
1096  22066 
iio3  58233 

38. 00 
38. 3o 
39.00 
39.30 
40.00 

0.61667  70686 

G. 62263  08684 

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671  00962 
QQQ   11666 

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0 . 74026  71110 
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0.76288  4o3'85 

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11 34  92694 
1 1 43  26389 

40. 3o 
41 .00 
41. 3o 
42.00 
42.30 

o.64q4S  70684 
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1188  24981 

43.00 
43. 3o 
44 -CO 
44 -30 
45.00 

0.68202  i33ii 
G. 68837  84033 
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0.70713  33196 

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63o  4Sj^b 
626  17973 
619  84445 
614  46202 

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0.8^478  65'3o3 
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G. 86904  68986 
o.88i33  3o\85 

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1207  910C7 
1218  12675 
1298  61200 
1239  37437 

12 


86 


c  =  siu  89' 


45^00' 
45.30 
4s.  00 
46. 3o 
47.00 
_47. 3o_ 
48.00 
48. 3o 
49 .  00 
49.30 
5o.oo 


5o.3o 
5i  .00 
5i  .3o 
5a.  00 
62. 3o 


53.00 
53. 3o 
54.00 
54.30 
55. co 


55. 3o 
5S.CO 
56. 3o 
57.00 
57.30 


58. 00 
58. 3o 
59 .  00 
59.30 
60.00 


60. 3o 
61 .00 
61 .3o 
62.00 
62.30 


63. 00 
63. 3o 

64  •  00 
64.30 
65. 00 


65. 3o 
66.  co 
66. 3o 
67.00 
67.30 


E. 

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o . 86609 


9 1 772 
30714 
20790 
58591 
40706 


0.87042 
o . 87469 
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0.88709 


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24624 
19913 

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83oo8 
04018 
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5io  00220 
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44^  '5'jy()2 
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o.88i33  3oi85 
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o.93i58  28296 
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1 .01061 


33930 
64351 
92761 
55399 
89812 


1 . 02426 
1 .o38c5 
i.o5i99 
1 .06608 
1 .o8o33 


34932 
Si  137 
2o334 

46006 
53447 


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1 . i54i3  28740 


1 . 1 6943  82740 
1 .  18493-  90752 
1 .20064  15396 
1 . 21 655  22079 
I . 23267  79 1 ^4 


i .24902  58i53 
1.26550  33885 
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1 .29947  92926 
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1 . 33437 
1 .35222 
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1.38878 
1 .40751 
1.42656 
1 . 44594 
1 .46066 
1.48573 
i.5oSi8 


3o329 
45193 
89240 
^7774 
91741 


78154 
5o5?2 
39408 
82862 

27122 


1 . 52701 
1.54824 
1 .56989 
1.59198 
61453 


27224 
477^0 

6353o 
60729 
37629 


1239  37437 
i25o  42292 
1261  76709 
1273  4^^7^ 
1285  38214 
1297  67420 


i3io  30421 
i325  28410 
i336  62638 
i35o  544^^ 
i364  4^120 


1^78  96205 
3393  89197 
1409  25702 
1425  C741 1 
1441  36109 


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i5ii  59973 
i53o  54000 


i55o  08012 
1570  q4^^4 
1591  o6683 
j6iq  57085 
1634  78989 


1607  75732 
1681  5o866 
■1706  08175 
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1757  85714 


1785  14864 
i8i3  44°47 
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1904  86413 


1937 
1971 

2007 

2044 
2o83 


72378 
88876 
43454 
44200 
00102 


2 1 23 
21 65 
2208 
2254 

2302 


2o5o6 
i58oo 

971.99 
76900 
68190 


87 

c.  =  sin  8c 

0 

ç. 

E. 

^E. 

F. 

^F. 

67°  3o' 

0.92398  4j4ç)j 

33o  7-0274 

1 . 6 I 463  37629 

23o2  68190 

■  68.00 

0.99.79.9  20771 

333  68061 

1 .63766  06819 

2352  85574 

68. 3o 

o.93c53  888.-52 

3i6  60422 

1 .66108  91393 

24o5  44915 

'69.00 

0.93369  49'^^4 

5o9  6041 5 

1.68614  363o8 

2460  636oi 

69.30 

0.93678  99669 

3o2  38096 

1-7^974  9.9.909 

2618  60726 

70.00 
70.30 

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2q5  26623 

1.73493  606,34 

2679  67303 

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288  0^754 

1.76073  17937 

2543  76536 

71 .00 

0.94564  6804a 

280  87H48 

1 .78716  94463 

271 1  440^8 

71. 3o 

0.94845  55890 

273  ÇGSS4 

1.81428  '386oi 

2782  88278 

72,00 

0.961 19  22754 

266  43860 

1 . 842 1 1  26779 

2868  40869 

72.30 

0.96385  66614 

269  18899 

1 .87069  67648 

2938  37069 

73.00 

0.96644  865 1 3 

261  99041 

1 .90008  04717 

3o23  i63i4 

73.30 

0,96896  77.554 

244  6335o 

i.93o3i  2io3i 

3ii3  22868 

74.00 

0.96141  4°9°4 

237  32888 

1.96144  43889 

3209  06616 

74. 3o 

0.96378  73792 

23o  00718 

1 . 99353  5o4o5 

33 11  235/7 

76.00 

0.96608  74610 

222  66908 

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3490  37886 

75. 3o 

0.99831  41418 

2i5  3i525 

2.06086  11867 

3557  22160 

76.  co 

0.97046  72943 

207  94636 

2.09622  34097 

3662  69653 

76.00 

0.97264  67679 

200  663i4 

2.13284  q358o 

3797  45621 

77. co 

0.97455  23893 

193  i663i 

2. 17082  39901 

3942  90699 

77.30 

0.97648  40624 

185  75666 

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4100  29866 

78.00 

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4270  91660 

78.30 

0.98012  49684 

170  90206 

a. 29396  444'^^ 

4456  72749 

7.9  •  °^ 

0.98183  3q889 

i63  46881 

2.33853  17155 

4559  7385o 

79.30 

0.98346  86770 

166  C0693 

2. 385 12  qicoo 

4882  42409 

80.00 

0.98602  86393 

148  54533 

3.43395  33414 

5i3o  68336 

80. 3o 

0.986&1  409^^6 

i4i  07723 

2.48626  01760 

6396  39364 

8i  .00 

0.9879a  48649 

i33  6o32o 

2.53922  4' 1 t4 

6701  62840 

81. 3b 

0.98996  08969 

126  12467 

2.69623  93964 

6039  7931 5 

82 .  00 

0.99063  21436 

118  64327 

2.65663  "73269 

6420  89641 

82.30 

0.99170  86763 

111  16093 

2.79084  69810 

6853  40807 

83. 00 

0.99982  01866 

io3  67999 

2.78938  o36i7 

7348  32971 

83. 3o 

0-99386  69865 

96  20334 

2.86286  35888 

7919  96360 

84.00 

0.99481  qoi89 

88  73/69 

2.94206  39  938 

858?  32890 

84.30 

G. 99670  63648 

81  27864 

3.09793  66068 

9376  1 1736 

85.00 
85. 3o 

0.99661  9i5o2 

73  84167 

3, I2l6q  76783 

io32i  80670 

°-9.97'^'5  76669 

66  43310 

3.294qi  66453 

1 1472  71966 

86.00 

o.997q2  i8q79 

69  06623 

3.33q64  384o8 

12912  11482 

86. 3o 

0.99861  20602 

5i  76169 

3.46876  49890 

14736  71962 

87.00 

0.99903  01771 

44  55317 

3.6i6i3  21842 

17199  79993 

•87.30 
88.  co 

0.9Q947  67088 

37  4Q945 

3.78742  94765 

2o366  68374 

0.99986  07033 

3o  71019 

3.99109  63l3q 

248q3  29037 

88. 3o 

1 .000 16  78059 

24  41794 

4.2/002  93176 

3)343  99016 

89.00 

1.00040  19846 

19  ri 665 

4-55346  91 199 

40090  07591 

89.30 

1 .C0069  3i6i9 

16  84265 

4.95366  q87l3 

48133  99683 

90.00 

1.00G76  16777 

5.43490  98296 

58  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

§  IV.  Autre  méthode  pour  construire  les  Tables  des 
fonctiojis  F  et  E. 

94.  On  peut  construire  ces  Tables  par  une  autre  métliode  qui 
n'exige  que  des  calculs  trigonométriques  très-simples  :  voici  en  quoi 
consiste  celle  méthode. 

Supposons  qu'après  avoir  pris  un  module  cà  volonté,  on  veuille 
trouver  l'amplitude  (p  qui  répond  à  une  fonction  F  égale  à  -~  de 
la  fonction  complète  F' 5  cette  amplitude  se  déterminera  parla  mé- 
thode de  l'art.  67  ,  première  Partie^  si  Ton  a  c'<  f,  ou  si  c*  étant 
>>  I ,  n'est  pas  trop  rapproché  de  l'unité  ;  et  par  la  méthode  de 
l'art.  71  j  si  I  — c'  est  très-petit. 

Soit  dans  l'un  et  l'autre  cas ,  a  ou  a,  la  valeur  de  l'amplitude  qui 
donne  F  (a)  =  ^F'^  nous  appellerons  successivement  a»,  «3?  «*4les 
amplitudes  qui  donnent  F(a,)=  2Fût,  F(a3)  =  5Fa,  F(aJ  =  4Fa,  etc. 
jusqu'à  F  (a^oc)  =  200F  (a)  =  F\ 

Cela  posé, la  Table  que  nous  voulons  construire  contiendra,  dans 
la  première  colonne,  les  nombres  i ,  2,  5. . .  .200 ,  qui  représentent 
les  fonctions  F  croissant  par  intervalles  égaux ,  depuis  la  fonction 
F(a.)  =  ^oF'  jusqu'à  la  fonction  complète  F';  dans  la  seconde 
colonne  seront  les  valeurs  correspondantes  de  l'amplitude ,  savoir, 
^i  j  «a)  °^i  jusqu'à  «3,0  ou  ~  TT.  Cette  Table  sera  en  quelque  sorte 
l'inverse  de  celle  que  nous  avons  construite  par  la  première  mé- 
thode ,  et  dans  laquelle  les  amplitudes  croissent  par  intervalles 
égaux;  mais  la  théorie  des  fonctions  F  fournit  des  formules  très- 
élégantes  pour  construire  la  Table  dans  ce  nouveau  système. 

95.  Désignons  par  (p  un  terme  quelconque  a„  de  la  suite  a,  ,- 
et^^  0L3,  etc.,  ensorte  qu'on  ait  F(p  =/zFa;  nous  ferons  par  analogie 
F  ((p')  =  («  -f- 1  )  Fa ,  F  (p"  =  (  ra  -f-  2  )  Fa  ,  et  dans  le  sens  inverse , 
F(Ç)^)=(« — 1)  Fa,F  <p°°=  (tz — 2)  Fa,  etc.  Cela  posé,  soit 
A  (a)  ou  \/(i  —  c"  sin'  a')z=a,  l'équation  générale  de  l'art.  22  ^ 
première  Partie ,  deviendra 

tang  (  i  9'  -f  ^  (p°  )  =  ^  tang  (p. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.         69 

Mais  on  a  (p'  —  2(p  -|-  <p*  =  J''(p°  ;  celle  équalion  peut  donc  se  mellre 

sous  la  forme 

lang((p  +  7  J'T)  =  «tang(p,-  x    .^{f'-Uj) 

on  déduit  de  là ,  ^ 

tane  -  cT'fp"  =  ^^ ^-^. 

Soit  ^  =  ^-—7  ou  A  =  ^-—^  j  celle  e'qualion  deviendra 

,    r-    .  A  sin  2(3  j-y* 

tanff  7  cT^cp'  = r-7 — ^^—  >        :zr-7  ec> 

O    ^  ^  1  4-  «  COS  2(p  '  "-^ 

et  on  en  déduit  ultérieurement, 

sin  I  cr"<?)°  =  — Â:  sin  (2(p -I- i  cT^cp' ). 

Celte  équation  fait  voir  que  ^S''^^"  est  toujours  négatif;  faisant 
donc  y  cT'cp"  =  —  &)  ,  on  aura 

sin  ùù  •=.  k  sin  (  2(p  —  o)  ). 

Or  h  est  une  quantité  très-petite  du  second  ordre  par  rapport  à  a, 

puisqu'on  a  c  sin  et  =  — -^-7  ,    et    qu'ainsi  k   se    déduit  de  csina, 

suivant  la  même  loi  que  le  module  c°  se  déduit  du  module  c.  On 
voit  donc  que  o)  restera  toujours  une  quantité  très-petite  du  second 
ordre  ;  son  maximum  aura  lieu  à  peu  près  lorsqu'on  a  (p  =  45°,  et 
ce  maximum  sera  à  peu  près  =  A:  ==  (  ^  c  sin  a  )"  =  -i-  c^'cl  sin  et  • 
dansées  points  extrêmes ,  lorsque  (p  =  oou<p  =  ^:T,la  quantité  co 
sera  nulle. 

L'équation  sm  cd==  k  sin  (2<p  —  co)  est  facile  à  résoudre  dans  les 
différens  cas,  avec  toute  l'approximation  nécessaire  ;  on  peut  d'aboi  ^. 
négliger  eo  dans  le  second  membre^  ce  qui  donnera  sin  œ  =Asin  2(p, 
ou  simplement  ct)  =  ksin2p',  ensuite  pour  avoir  une  plus  grande 

approximation  ,  on  substituera  cette  valeur  dans  le  second  membre.     StL>  -  ^    Sffrù^^CC 
Soit  alors    A  sin  (stp  —  ù))  =  p,  on    aura  sin  eo  =:  p  ;  donc   si  on  ^ 

appelle  R"  le  nombre  de  secondes  contenues  dans  le  rayon  ,  afin 
que  R"ûe>  exprime  le  nombre  de  secondes  de  l'arc  m,  on  aura 

On  déduit  aussi  immédiatement  de  la  formule  tang  Çp^j.J'^cpoy 


f)b  EXERCICES  DE  CALCUL  L\TÉGRAL. 

=  a  tang  (p  ,  une  autre  valeur  de  ^  /"(p"  ou  « ,  savoir  : 

&)  =  —  \  J"'(p°  =  A  sin  2^  —  ^  A»  sin  4(p  +  j  A^  sin  6^  —  etc. 

Mais  celte  expression  est  en  géne'ral  moins  convergente  que  la 
prëce'dente  ,  et  elle  paraît  moins  facile  à  calculer ,  parce  qu'elle 
exige  de  plus  qu'on  cherche  dans  les  Tables  les  logarithmes  de 
sin  4îP  f  sin  6<p ,  etc. 

Les  valeurs  qu'on  devra  donner  à  <p  seront  successivement  a, ,  a^, 
«3,  etc.  On  calculera  les  valeurs  correspondantes  de  2&),  qui  seront 
en  même  temps  celles  des  /"tp;  et  comme  la  première  valeur  de  cTcp, 
celle  qui  répond  à  cp  =  o,  est  égale  à  a,  on  pourra  former  en  entier 
la  colonne  des  valeurs  de  (p. 

96.  Mais  pour  vérifier  les  calculs  et  empêcher  les  erreurs  de  s'accu- 
muler, il  sera  bon  d'avoir  une  formule  qui  fasse  connaître  directe- 
ment une  différence  première  quelconque  «T^. 

Or  on  a  vu  (  art.  18  ,  première  Partie)  que  si  l'on  fait 
tang  -4^  =  A  (  a  )  tang  (p  et  tang  /u  =  A  (  (p  )  tang  a.  ,  on  aura 
(f,'  =  ^}.4-^;  mais  d'un  autre  colé ,->].  =  <p -\- i  J ''(p"  et  <p' =  (p -\- Sep  ; 
donc  jtA.z=zz  J^<p  —  i  J*(p°  =  S<p  -f-  00  •  donc  on  a  pour  déterminer 
dii'ectement  J(p ,  l'équation 

tang  {J'^~{-^)  =  A  ((p)  tang  et. 

On  voit  en  même  temps  ,  par  cette  équation  ,  que  comme  co  est 
toujours  posilif ,  et  A((p)  toujours  moindre  que  l'unité  ,  on  aura  par 
ces  deux  raisons  ,  J (p  <  a.  Ainsi  toutes  les  quantités  qui  entrent  , 
tant  dans  la  colonne  des  différences  secondes  J^^  ,  que  dans  celle 
des  dlfïérences  premières  S(p ,  seront  plus  petites  que  des  limites 
données  ,  et  ne  peuvent  par  conséquent  éprouver  que  de  petites 
anomalies. 

On  obtiendra  enfin  une  vérification  complète  de  tous  les  calculs  , 
lorsque  le  dernier  terme  de  la  colonne  des  cp ,  savoir  a^oo ,  se  trou- 
vera égal  à  90°.  On  peut  se  procurer  d'autres  vérifications  dans 
cet  intervalle  ,  en  calculant  la  valeur  de  (p  qui  donne  F^  égale  à  la 
moitié  ou  à  une  autre  partie  exprimée  exactement  en  200'^'"*=*  de  la 
fonction  complète  F'. 

97.  Une  fois  qu'on  a  déterminé  la  constante  et  par  les  méthodes 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.         gi 

directes,  on  voit  que  la  Table  entière  relative  à  la  fonction  F,  peut 
être  calcule'e  par  une  seule  formule  trigonomélrique  simple  et  ri- 
goureuse, savoir,  sin  cù  ^=.  k  sin  (  2(p  —  &)).  En  effet  cette  formule 
seule  servira  à  former  la  colonne  entière  des  différences  secondes; 
et  comme  on  connaît  d'avance  le  premier  terme  des  différences 
premières  cAp ,  lequel  est  égal  à  a ,  on  formera  de  suite  la  colonne 
entière  des  différences  premières  ^<!^ ,  et  de  là  celle  des  amplitudes  (p  , 
puisque  le  premier  terme  =  o. 

Le  problème  est  donc  résolu  complètement  par  la  seule  équation 
mentionnée  ;  mais  pour  se  procurer  de  loin  à  loin  des  vérifications  ^ 
on  a  une  seconde  formule  trigonomélrique,  savoir, 

tang  (  S(p  -f-  ^  )  =  ^(^)  tang  a  , 
laquelle  servira  à   calculer  directement  la  différence  première  ê(p. 
Elle  montre   immédiatement  qu'une   valeur  approchée  de  ^(p   est 
tTcp  =  aA  {^)  —  Où. 

II  faut  maintenant  examiner  ,  i°.  comment  on  interpolera  la  Table 
des  fonctions  F  ,  calculée  pour  une  valeur  déterminée  du  module  ; 
2°.  comment  on  interpolera  le  système  des  Tables  particulières , 
calculées  pour  les  difïérens  angles  du  module ,  de  demi-degré  en 
demi-degré. 

9^.  Dans  le  premier  cas,  si  l'on  cherche  une  valeur  de  (p  qui 
réponde  à  une  valeur  donnée  de  F,  il  faudra   d'abord  exprimer  F 

'  en  parties  200'^'""  de  Fi.  Soit  donc  F  =  ^- — -  F',  n  étant  un  entier 
et  X  une  fraction. 

Soit  A  la  valeur  de  cp  qui  répond  au  nombre  n  de  la  première 
colonne  ,  et  soient  cTA,  cT'A^  cT^A  les  différences  successives  placées 
sur  la  même  ligne  que  A  ^  la  valeur  de  l'amplitude  (Ç  sera  ,  suivant 
les  formules  ordinaires  , 

(p  =  A  +  xcTA  +  •:^^i^-~^  cT^A  +  ^-^— ^^^— ^  ^3^  4.  etc.. 
'  '  2  '  2.0  ' 

Si  au  contraire  on  demande  la  valeur  de  F  qui  répond  à  une  valeur 
donnée  de  (p,  on  verra  d'abord  au  premier  coup  d'oeil  quel  est  le 
nombre  de  la  Table  qui  doit  être  pris  pour  A;  le  nombre  corres- 
pondant n  se  trouvera  dans  la  première  colonne,  vis  à  vis  d^  A  f 


92  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

ainsi  pour   avoir  la   valeur  de  F  =  ^^-^  F*,  il  ne  s'agira  que  de 

*  Î200 

déduire  x  de  l'équation  précédente  où  l'on  connaît  <p  ,  A  ,  cTA  , 
cT^A  ,  cT^A  ;  or  celte  résolution  n'offre  aucune  difficulté;  car  on  a 

ç  —  A 


œ 


2  2.0 


la  première  valeur  approchée  de  x  est  donc     .       ;  on  s'en  servira 

pour  substituer  dans  le  dénominateur  et  obtenir  une  seconde  valeur 
plus  approchée  de  x  ;  cette  seconde  en  donnera  semblablement  une 
troisième ,  et  ainsi  de  suite. 

99.  Venons  maintenant  à  la  seconde  question.  Nous  supposons 
qu'il  existe  une  suite  de  Tables  construites  pour  tous  les  angles  9 
du  module,  de  demi-degré  en  demi-degré,  dans  chacune  desquelles 
on  trouve  l'angle  <p  qui  répond  à  toute  fonction  F  (9 ,  ^),  exprimée 

par  —  F'  (9)  ,  n  étant  un  nombre  entier. 

Cela  poséj  soient  donnés  la  fonction  F  et  l'angle  u  du  modulera 
laquelle  elle  appartient  ;  il  faudra  préalablement,  d'après  cet  angle, 
calculer  la  fonction  complète  F'  (a)  ;  alors  connaissant  F,  on  con- 
naîtra le  nombre  n -{- x  (composé  de  l'entier  n  et  de  la  fraction  x) , 

tel  qu'on  ait  F  = F>. 

Soit  maintenant  fj,  =  C -{- j  .\°  ^  C  étant  un  nombre  entier  de 
demi-degrés  ,  et^'  étant  «<  i.  Dans  la  Table  où  ô  =  ^,  on  prendra 
par  interpolation  l'amplitude  (p  qui  répond  a.  n-\-  x;  on  prendra  de 
même  ,  par  interpolation,  les  amplitudes  <p',  (p",  <p"',elc,  qui  répondent 
à  /z  +  o:,  dans  les  Tables  dont  l'angle  du  module  est  é"  +  ^% 
^ -f"  i"?  ^  ~\~  i°T)  etc.  j  cela  posé,  l'amplitude  qui  répond  à  la 
fonction  donnée  F  dont  Fangle  du  module  est  jn ,  sera  exprimée 
par  la  valeur 

<p-\-y  (?'-<?)  +^^^  (<p"-2<p'+^)  ^y-y-'-y-''  (^-_3<p"+3^'-^)  +  etc. 

L'opération  inverse  se  ferait  d'une  manière  semblable ,  mais  il  est 
«uperflu  de  s'en  occuper  ici. 

100. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  95 

100.  II  faut  faire  voir  maintenant  comment  on  pourra  former  une 
Table  analogue  pour  les  fonctions  E  :  cette  Table  est  d'une  exe'- 
ôution  beaucoup  moins  facile  ;  cependant  il  se  présente  encore  , 
pour  la  construire ,  des  formules  assez  élégantes  et  qui  méritent 
d'être  remarquées. 

Soient,  comme  ci-dessus,  <p°,  (p ,  <p'  trois  amplitudes  successives 
telles  qu'on  ait  F  ((p°) -f- F  (a)  ==:F  ((?)  ,  F  ((?))+ F  (a)  =F((p')  ,  ou 
aura^  suivant  l'art.  3i ,  première  Partie  ,  les  deux  équations 

E  (<p')  4- E (0:)  —  E((p)  =  c^sin  a,  sin(?'sin(p, 
E  ((p)-\-E(ct)  —  E((p')  =  c'sin  et  s'mcp  sin  <p'; 

d'où  l'on  tire 

E  ((?')  —  2E  (cp)  -J-  E  ((p°)  =  —  c*  sin  et  sin  (p  (sin  <?>' —  sin  p=)  , 

ou,  ce  qui  revient  au  même, 

cT'E  (?>')  =  —  c'  sin  a  sin  cp  (sin  (p' —  sin  (p°). 

Mais    on   a   sin  <p'  —  sin  (p°  =  2  sin  '^  ~ '^ .  qq^  t-JlJîl .  d'ailleurs 

?:-r  ^  V±i.  ^  ^^  _ , ^.^.^  el^^^^  +  iJ-r;  donc 

«T'E  ((p°)  =  —  2c*  sin  a  cos  (tp  +  ^  (^'(p"  )  sin  (  cT^  —  i  J^»(p° )  sin  (p,  ' 

ou  en  faisant  comme  ci-dessus  ^  S''(p°  =  —  ù)  y 

cT'E  ((p°)  =  —  2c'  sin  a  cos  (<p  —  ry  )  sin  («T^p  -j-  6j  )  sin  (p. 

J'observe  maintenant  qu'on  a  2  sin  (p cos  ((p — <»)  =  sin  (2<p — ^)-f-sin  o); 
mais  sin  Cù=ksin  (ap — co)  ;  donc  2sin<p cos  (p — û))=( i-|-A)sin(2(p — m)  ; 
donc 

cr'E((p°)  =  — c*(i  +  ^)sin  a  sin(2<p  — o))  sin  (cTcp  +  ce)), 

ou  enfin 

cT^E  ((p°)  =  -—  2c  v/Â:.sin  (2(p  —  co)  s'm  (J'(p-{-a)). 

Cette  formule  est  rigoureuse,  et  elle  est  réduite  à  un  état  de  simpli- 
cité qui  la  rend  très-propre  au  calcul  logarithmique. 

101.  Ainsi  en  même  temps  qu'on  calculera  pour  la  Table  des 
fonctions  F,  la  quantité  o)  qui  donne  S'<P%  et  ensuite  (^(p^  par  la 
valeur  J^p^^J'^p'-}-  S"'(p''j  on  aura  tous  les  élémens  nécessaires  pour 

i3 


94  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

calculer  /'Ecp"  :  on  formera  donc  par  cette  seule  formule ,  la  colonne' 
entière  des  différences  secondes  de  la  fonction  E. 

On  voit  que  la  différence  seconde  cT^'Etp"'  s'évanouit  aux  deux  limites- 
de  la  Table  ,  lorsque  (p  =  o ,  et  lorsque  (p  =  go"  ;  son  maximum 
répond  à  une  amplitude  toujours  plus  petite  que  45°. 

D'un  autre  côté  ,  la  fonction  Ea  est  facile  à  déduire  des  mêmes 
élémens  qui  servent  à  déterminer  a  de  manière  qu'on  ait  Fot  =  7^F', 
et  cette  fonction  Ea  est  en  même  temps  la  valeur  de  cTEo ,  puisque 
Eo  =  o,  et  qu'ainsi  la  différence  Ea  —  Eo  ou  crE'^  =  Ea.  Puis  donc 
qu^on  connaît  le  premier  terme  de  la  colonne  des  différences  pre- 
mières, et  tous  les  termes  de  la  colonne  des  différences  secondes  , 
on  pourra  immédiatement  former  la  colonne  entière  des  différences 
premières  ,  et  ensuite  celle  des  fonctions  E(p,  dont  le  dernier  terme 
devra  être  égal  à  la  fonction  complète  E'. 

102.  La  méthode  que  nous  venons  d'expliquer  pour  former  la 
Table  des  fonctions  E  est  d'une  simplicité  qui  ne  laisse  rien  à  désirer. 
Et  quand  on  considère  aussi  combien  est  facile  la  construction  de 
la  Table  des  fonctions  F,  puisqu'elle  ne  dépend  que  d'une  seule 
formule  Irigonomélrique  rigoureusement  exacte ,  on  serait  tenté  de 
croire  que  celte  manière  de  former  des  Tables  des  fonctions  F  et  E  , 
doit  être  adoptée  de  préférence  à  celle  que  nous  avons  exposée 
dans  les  chapitres  précédens.  Peut-être  que  l'exécution  dévoilerai! 
encore  de  nouveaux  motifs  de  préférence  ;  c'est  ce  que  nous  laissons 
à  décider  à  ceux  qui  voudront  entreprendre  le  long  et  utile  travail 
de  la  construction  de  ces  Tables. 

Nous  devons  encore  observer  qu'il  sera  facile  de  vérifier  aussi 
souvent  qu'on  voudra  le  calcul  des  fonctions  E;  car  ayant  E^  —  E?>° 
s:^  cTEf^",  on  tire  des  équations  précédentes  , 

erE<p°  =  Ea  —  c'^  sin  a  sin  (p"  sin  'P; 
C'est  l'expression  d'un  terme  quelconque  de  la  colonne  des  diffé- 
rences premières  ;  et  on  voit  que  ces  différences  diminuent  conti- 
nuellement depuis  la  première  égale  à  Ea^  jusqu'à  la  dernière  qui 
est  à  peu  près  Ea  —  c'  sin  a,  ou  b^a. 

io3.  Pour  donner  un  exemple  des  Tables  construites  suivant  la 
méthode  précédente,  soit  le  module  c  =  sin  ^S".  On  trouvera. par 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  gS 

les  formules  de  l'art.  67  ,  première  Partie ,  la  valeur  de  a  qui  satis- 
fait à  l'ëquation  F  (a)  =  ^  Fi  ,  et  les  quantités  qui  en  dépendent, 

comme  il  suit  : 

a.  =  3i'52'' 138076 

IsmcL  =  7.96708  78960  70 

Ik  =  5.o3io9  5i356  g5 

l(2c\/k)  =   7.66606  25656  80 

Ea  =  0.00927   02406  00 

D'après  ces  données  ,  on  a  calculé  le  commencement  de  la  Table 
particulière  pour  le  module  sin  4^",  comme  on  le  voit  ci-joint. 
La  première  colonne  intitulée  n ,  représente  une  valeur  donnée  de 

F  =  ^- —  ,  et  les  colonnes  suivantes  donnent  les  valeurs  correspon- 

200 

dantes  de  l'amplitude  cp  et  de  la  fonction  E.  11  est  clair  que  pour 
toute  valeur  de*  F,  comprise  dans  les  limites  de  cette  portion  de 
Table  ,  c'est-à-dire  moindre  que  7^  F'^  on  trouvera  par  interpolation 
les  valeurs  correspondantes  de  <p  et  de  E,  et  les  résultats  devront 
s'accorder  avec  ceux  que  donne  la  Table  II. 

104.  11  est  bon  d'observer  que  par  la  dernière  méthode  que  nous 
venons  d'exposer,  on  n'évite  pas  entièrement  les  difficultés  que 
présente  l'interpolation  dans  certains  cas  où  c  est  très-près  de  l'unité. 
On  divise  seulement  la  Table  en  un  certain  nombre  de  parties  iné- 
gales,  où  l'interpolation  peut  se  pratiquer  avec  à  peu  près  le  même 
degré  de  justesse  ;  mais  dans  ce  cas ,  les  premières  divisions  com- 
prennent un  plus  grand  nombre  de  degrés  de  l'amplitude ,  ce  qui 
exige  qu'on  ait  recours  ,  pour  l'interpolation,  à  un  plus  grand  nombre 
de  diflérences;  si  on  a,  par  exemple,  le  module  c=.  sin  89°,  la  valeur 
de  a  qui  donne  Fa  =  ^  F'  sera  a=  1°  53' 24"  03669  3842,-  cette 
valeur  serait  encore  plus  grande  pour  le  module  c  =  sin  89°  7.  Ainsi 
l'interpolation  présenterait  encore  plus  de  difficultés  dès  le  commen- 
cement de  la  Table;  inconvénient  auquel  ne  sont  pas  sujettes  les 
Tables  construites  d'après  notre  première  méthode. 


96 

EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

n. 

<p. 

ê-tp. 

J^"(p. 

J^>. 

E. 

«TE. 

J^'^E. 

^E. 

J^^E 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 
8 

9 

!0 
1  J 
12 

i5 

M 
i5 

o°oo'  oo"oooooo 
0.31.52. 138076 

1.  3.44.193995 
i.35.36.oy5658 

2.  7.27.730925 
2.39.19.047907 

3i' 52" 138076 
3i .02.055919 
3 1 . 5 1 . 89 1 637 
3i  .5i .645293 
3i .5i .316982 
3i .50.906832 

0" 082 157 
0. 164282 
0 . 246344 
o.3283i 1 
o.4ioi5o 
0.491832 

82125 
82062 
81967 
81809 
81682 
81491 

o.oocoo  ooooo  0 
0.0C927  02406  0 

0.01853  96846  1 

0.02780  75358  5 
0.03707  29989  6 
o.o4633  52798  0 

927  02406  0 
926  ^444^  1 
926  78512  4 
926  5463 1  1 
926  22808  4 
925  83o6o  9 

7965  9 
15927  7 
2388 i  3 
31822  7 

39747  5 
47652  i 

7961  8 
7953  6 

7941  4 
7924  8 
7904  6 
7879  9 

82 
122 
166 
202 
247 
q85 

3.11.  9.954739 
3.43.  0.369739 
4. i4-5o.2i i4i6 
4.46.39.398499 
5. 18.27.849970 

3i .5o.4i5ooo 
31.49.841677 
31.49.187083 
31.48.451471 
3i  .47-635i'34 

0.573325 
0.654394 
o.7>556i2 
0.816347 
0.896768 

81271 
81018 

80735 
80421 
80077 

0.05559  35858  9 
0.06484  71267  7 
0.07409  5i 144  5 
o.o8333  67637  9 
0.09257  12928  8 

925  35408  8 
924  79876  8 
924  16493  4 
923  45290  9 
992  663o6  1 

55532  c 
63383  4 
71202  5 
78984  8 
86727  0 

785 1  4 
7819  1 
7782  3 
7742  2 
7^97  9 

7649  7 
7598  G 
7542  5 
7482  8 
7420  1 

323 

368i 

401 

443 

482 

517 
555 

097J 
627 

5.5c. 10.485094 
6.23.  2.223450 
6. 53. 47. 9849 Si 
7.25.32.689925 
7.57. 16.259044 

3 1.46. 738, -56 
3i .45.76151 1 
3i .44.704964 
3i  43.54V.19 
3i .42.35441 ' 

0.9761 43 
i .o5C547 
i. 135843 
1 .214708 
1 .293108 

79702 
79298 
7886.^ 
78400 
77906 

0.10179  792:^4  9 
0. 11 101  58814  c 
0. 12022  43968  2 
0. 12942  27047  8 
o.i386i  00454  8 

921  79579  1 
920  85i54  2 
919  83079  6 
918  73407  0 
917  56191  9 

94424  9 
1  02074  6 
1  09672  6 
1  17215  1 
1  24697  9 

10 

'7 
i8 

•9 

20 

8.28.58.615455 

9.  0.59.674758 

9.32. 19.365047 

10.  3.57.60S936 

10.35.34.323590 

3i .41 .c6i3o3 
3i .39.690289 
31.38.241889 
3i .36.716654 

1 .371014 
1 .448400 
1 .525235 

77386 
76835 

0.14778  5S646  7916  3i494  0 
o.i56q4  88140  7914  99376  0 
0.16609  87516  7913  59904  c 
o.i75::i3  47420  7912  i3i48  3 
0. 18435  60569  0 

1  32 1 1 8  0 
1  39472  0 
1  46755  7 

7354  0 
7283  7 

703 

^  V.  Forinules  j)oiir  trouver  les  valeurs  très-approchées  des 
Fonctions  Y<p  ^  E(p^  lorsque  l^ amplitude  0  ji  excède  pas 
une  certauie  lindle. 


io5.  Lorsque  l'angle  ^    est  peu  conside'raLle  ,  on  a  à  très-peu 
près  ,   v^(i  —  c^'sin''  (p)  =  cos  c^  ;  faisant  donc  A=cosc^,  on  aura 

_  ^7  1     .  i    -r.^  C  ^^  1    I         1  +  sin  r(Z) 

E®  =  fd(b  cos  c®  =  -  sin  c®  ,  et  1  (p  =  / =  —  lo^ : 

^  J     ^  ^  c  '  J  cos  cÇ)  Qc       °   i  — Sin  c<p 

=  -  log  tang  (  ^  TT  +  i  c(p  ).  Ces  valeurs  sont  exactes  dans  les  cas 

extrêmes,  lorsque  c  =  0  et  c=  i  ;  elles  seront  d'autant  plus  ap- 
prochées dans  les  autres  cas,  que  l'angle  (p  sera  plus  petit. 

Pour  savoir  quel  est  le  degré  d'approximation  de  ces  valeurs  ,  o» 
développera  en  série  la  quantité  A,  ce  qui  donne 

1.1.3 


A  =  I c"  sin*  (p '--  c^s'in^  (5 


2.4 


2.4.6 


c*sm^<p  —  etc.. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  97 

et  en  y  subslituanl  la  valeur 

sin  <p  =  (p-^  +  rsVô  ""  2.3./.5.6.7  +  ^^^-  '^cf\   (f"^  Jp-  ^ 

on  aura  l'expression  suivante,  exacte  aux  quantités  près  de  l'ordre  c'tp'^, 

de  là  re'sulte  fùid'p ,  ou 

Désignons  cette  valeur  par  E  =  -  sin  cip  +  Q  ,  nous  aurons  par  W 
développement  du  premier  terme, 

E  =  Q  +  ^  -  g^'?'  +  Tf„«V- 5^  cV, 
et  par  conséquent , 


1^> 


en  a  donc  la  valeur  très-approchée, 

{a)      •  E?=^sin.^+^r-^(p^(4-l,.«);     -^  I^.'>^    -*  "  ^  ^'    "^ 

on  trouverait  par  un  calcul  semblable  , 

{h)        F(p  =  ilogtang(i:T+ic(p)-||(p^  +  ||(p^(4-4ic').    - 

Ajoutant  ces  deux    formules,  on  en  tire  une  troisième  non  moins 
remarquable  ,  savoir  ,  V  ' 

E|)-|-F(p=^  sin  cep  +  Mog  tang  (1  tt 4-^  c(p)  — -^  (p'. 

106.  La  formule  (a),  réduite  à  son  pi-emier  terme  -  sin  c(p,  don- 
nera sept  décimales  exactes  si  l'on  a  (p  «<  6°  ;  elle  en  donnerait  dix 
ou  plus  si  on  avait  ip  <<  1°  ^. 

En  prenant  les  deux  premiers  termes,  la  formule  E^  =  -sin  c(p 


c 

•4- -g— (p^  donnera  sept  décimales  exactes,  si   on  a  !p  <[  16"  4,  et 
dix  décimales  ou  plus^  si  l'on  a  «p  <<6°  12. 


Vf 


T      j0 


98  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

L'approximation  s'obtiendra  à  peu  près  aux  mêmes  degre's  sur  la 
valeur  de  F(p,  selon  qu'on  la  borne  au  premier  ou  aux  deux  premiers 
termes. 

Si  on  lient  compte  de  tous  les  termes  de  la  formule  (  «  ) ,  il 
n'y    aura  de  négligé   dans   la   valeur  de  E(p  ,   qu'une   partie    dont 

le  terme  le  plus  grand  est  de  l'ordre  — —  <?%  et  ne  pourra  jamais 
excéder  ^— —  (p^.  L'erreur  due  à  ce  terme  ne  sera  pas  d'une  unité 

décimale  du  dixième  ordre,  si  on  a  (p  <<  i5°,  et  elle  ne  sera  pas 
d'une  unité  décimale  du  septième  ordre ,  si  on  a  cp  <I  32"  45.  Le 
même  degré  d'exactitude  n'aura  pas  lieu  dans  la  formule  (b);  et 
pour  avoir  sept  décimales  exactes  ,  il  ne  faudra  guère  passer  la 
limite  <p  =  20°. 

107.  Exemple  I.  Soit  cz=.  sin  45°  et  <p  =  10°,  la  Table  H  donne 
les  valeurs  suivantes  : 

E(p  =  0.17409  i5655. 
Ftp  =  0.17497  63019  ,♦ 

il  faut  les  comparer  à  celles  que  donnent  nos  formules  ;  et  d'abord 
pour  avoir  la  valeur  de  E ,  on  calculera  les  deux  premiers  termes 
de  la  formule  {a)  comme  il  suit  : 

c:p  =  7°4'i5" 84412    ^  =  7^ 9-24187  75  6 

sînctp....  9.09025  956x5         (p^ 6.20938  Ç)^ 

o.i5o5i  49978        ~^'" —  2.07918. 12 


c  ^^Ji  3q 


-sincip. ..  9.24077  45593  (1) 4- 1^020  56 


sm  c<p  =  0.17409  02140 
(i)  =  13496 


E(p  =  0.17409  i5636 

On  voit  que  les  deux  premiers  termes  donnent  la  valeur  de  E^ 
avec  huit  décimales  exactes,  Terreur  n'étant  que  de  dix-neuf  unités 
décimales  du  dixième  ordre.  11  en  sera  de  même  pour  la^aleur  deF^ 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  ^9 

dont  voici  le  calcul  : 

45°  +  î  c<p  =  48°  32'  7"  92  206  , 
/tang(45°4-|r(p)  =  0.05373  43422. 

Ce  log-tang.  étant  un  logarithme  vulgaire,  il  faudra  le  multiplier 
par  M  pour  le  changer  en  logarithme  hyperbolique  ,  comme  la 
formule  le  suppose.  Ainsi  en  appelant  h  le  nombre  précédent ,  on 
aura  les  logarithmes  suivans,  pour  déterminer,  le  premier  terme  B 
de  la  formule  {b) , 

/?....   8.73025  19567 

M...  o. 56221  S6^Sj  B  =  0.17497  76676 

o.i5o5i  49978  ^h''c^(p^...  13496 


B....  9.24298  2G232  F^  =  0.17497  63 180 

On  voit  que  les  sept  premières  décimales  de  la  valeur  de  F<p  sont 
exactes,  et  que  l'erreur  ne  commence  qu'à  la  huitième  ,  oii  elle  n'est 
pas  de  deux  unités. 

108.  Pour  obtenir  une  plus  grande  approximation,  il  faut  tenir  compte 
du  troisième  terme  contenant  <p\  Or  puisqu'on  a  c*:=.{  ,  la  correction 
qu'il  faut  appliquer  à  E<p  ,  est  égale  à  la  correction  précédente  (i) 

multipliée  par  -g  ,  de  sorte  qu'en  appelant  (2)  cette  seconde  correc- 

tion  qui  est  additive,  on  aura  (2)  =  (i).-^;   de  même  la  seconde 

correction  de  F(p  sera  — rO--— ^' 

^  '^     20 

(1) 4. i3o20  56  0.1749763180 

''"^       ,.  8.07798  94  (2)...—  161  5 


28 


(2)....   2.20819  5o  F(p  =  0.17497  63oi8  5 

La  correction  (2)  pour  E(p^  sera  onze  fois  moindre  que  celle  de  F(p  • 
elle  est  donc  de  quinze  unités  décimales  du  dixième  ordre,  ce  qui 
donne  la  valeur  corrigée  de  Eip,  comme  il  suit  ; 

0.17409  i5636 
E^  =  0.17409  i565ï 


loo  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

On  voit  par  conséquent  que  la  valeur  de  F(p  s^•^cco^de  exactement 
avec  celle  de  la  Table  II  ^  et  que  la  valeur  de  E(p  ne  diffère  de  celle 
de  la  Table  que  de  quatre  unile's  décimales  du  dixième  ordre;  mais 
Tamplitude  n'est  que  de  io°. 

109.  Exemple  II.  Soit  c=  sin  45°  et  (p  =:  20%  on  trouve  dans  la 
Table  II  , 

E(p  =  0.54557  5621 3, 
F^  =  0.55261  98854; 

il  faut  comparer  ces  valeurs  à  celles  que  donneront  nos  formules. 
Eu  voici  le  calcul  : 

6(p  =:  i4°8'3i"68824 
sinc(p...  9.58797  55865  <p 9.54290  75655 


I 


o.i5o5i  4997^     Ç^ 7.71455  68i65 


2, ,2 


A...  9.55848  85845         -3^---—  2.07918  12460 

A  =  0.54555  224691  (i)...   5.65555  557 

(i)...        +  4  518725 

E<p  =  0.54557  545416 

Ainsi  l'erreur  de  la  formule,  en  prenant  les  deux  premiers  termes 
seulement ,  n'est  que  de  deux  miite's  décimales  du  septième  ordre. 
Voyons  à  quoi  elle  se  réduira  en  ajoutant  le  troisième  terme  ,  ou 
la  correction  (2)  =  (i).  -^. 

(1)....  5.65555  557  0.34557  54541  6 

|....   7.65865  67  (2)  =  +  1879  4 

(2)....  3.27401  2  Ecp  =  0.54557  56221 

On  voit  que  la  valeur  de  Eç>  n'est  en  erreur  que  de  huit  unités 
décimales  du  dixième  ordre. 

En  calculant  de  même  la  valeur  de  F(p  ,  on  trouvera, 

par  les  deux  premiers  termes..  .  .   F<p  =  0.55262  20o54 , 
et  par  les  trois  termes Fcp  =  o.5526i  99581; 

l'erreur  du  dernier  résultat  est  de  cinq  unités  décimales  du  huitième 

ordre. 

110. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.        loi 

1 10.  Exemple  III.  Soit  c  =  sin  45°  et  (p  =  3o%  on  trouvera  , 

parles  deuxpremiers,         _  ^_^  g^j  _  ^   ^ 

termes  de  la  rormulej     ^  -r  ^  7         r  x    ^^ 

par  la  Table  II. . .    o.5i2o4  9^225, 
Difïërence. . .  —  31716, 


0.55562  27328 


+  3  73924 

'lll^oltl^^^lE^  =  ^-^-^4  9^619,  F^  =  0.5556.  48o53 

par  la  Table  II.  . .   o.5i2o4  93225,  0.53562  27528 

Différence, . . 


+  394, 


+  20705 


Par  ce  dernier  résultat,  on  voit  que  l'erreur  de  la  formule  n'est  que 
de  quatre  unités  décimales  du  huitième  ordre  sur  E(p  ;  mais  elle  est 
de  deux  miités  du  sixième  surFcp. 

Ainsi  à  mesure  que  <?>  augmente ,  l'erreur  croît  dans  une  plus 
grande  proportion  sur  la  fonction  F  que  sur  la  fonction  E  ;  on  ne 
peut  guère  aller  que  jusqu'à  20°  pour  obtenir  F  avec  sept  décimales 
exactes,  tandis  qu'on  peut  aller  jusqu^à  30"  au  moins,  pour  avoir  E 
avec  un  pareil  degré  d'exactitude. 

Au  reste  le  cas  de  c''  =  ^,  tenant  presque  le  milieu  entre  les  cas 
extrêmes  c  =  o,  c=  i  ,  où  les  deux  formules  sont  rigoureusement 
exactes,  il  y  a  lieu  de  croire  que  les  erreurs  de  ces  formules  sont 
alors  assez  voisines  de  leur  maximum  ,  et  que  dans  d'autres  cas  ,  les 
erreurs  pourront  être  moindres  ;  c^est  ce  que  les  exemples  suivans 
vont  faire  voir  pour  une  valeur  de  c  très-peu  différente  de  l'unité. 

III.  Exemple  IV.  Soit  c  =  sin  89°  ;  voici  le  résultat  de  nos  for- 
mules ,  comparé  à  ceux  de  la  Table  de  l'art.  93 ,  dans  les  trois 
hypothèses  ^  =  10%  <p  =  20°,  (p  =  30". 


(p  =  10" 

c(p  =  g»  59'  54"  5 1 7026 

45"  +  i  ^(p  =  49"  59'  57"  2585 1 3 

1"  terme. . . 
2"" 

0. 17564  84467  4 

H-  16  4 

0. 17542  55557  6 
—  16  4 

Par  la  Table. 

E  =  0.17364  84484 
0.17364  84482 

F=:0. 175^2    55541 

0.17542  555/|0 

Diff. 

4-  2 

4-  I 

i4 


J02  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Dans  ce  premier  cas,  l'erreur  n'est  que  de  une  ou  de  deux  unile's  sur 
la  dixième  décimale ,  ce  qui  laisse  incertain  si  l'erreur  est  du  côté  de 
la  formule  ou  du  côlé  de  la  Table.  Il  n'y  a  pas  lieu,  comme  on  voit , 
d'appliquer  le  troisième  terme  de  la  formule. 


<P  20° 

c!p=  i9°59'49"o34o5 

45 

°  + 

ie(p  =  54»  59'54"5 17025 

i"  terme. . . 
a'"* 

0.54202  22762 
+  526 

0. 55657  62025 
—  526 

5"" 

0.54202  23288 
+  11 

0. 35657  61497 
—  56 

Par  la  Table. 

E=  0.34202  23299 
0.54202  253oo 

F  = 

:o. 35637  61441 
0. 55657  61479 

Diff. 

—  I 

—  58 

On  voit  que  la  différence  est  insensible  sur  E<p,  et  qu'elle  est  à  peine 
de  quatre  unités  décimales  du  neuvième  ordre  sur  F<p. 


(P       5o° 

c^  =  29°59'45"55io8 

45-H-ic(p-59°59'5i"77554 

1"  terme. . . 

2""' 

o.5oooo  7089T  6 
+     3994  4 

0.54929  77257  4 
5994  4 

S'^^ 

o.5oooo  74886 
-1-  182 

0.54929  75243 
-964 

Par  la  Table. 

E  =  o.5oooo  75068 
o.5oooo  75089 

F  =  0.54929  72279 
0.54929  72081 

Diff 

—  21 

+  19S 

On  voit  que  dans  ce  troisième  cas  ,  l'erreur  de  la  formule  n'est  que 
de  deux  unités  décimales  du  neuvième  ordre  sur  E  ,  et  de  deux  du 
huitième  sur  F,  ce  qui  est  une  approximation  très-satisfaisante. 

112.  Exemple  V.  Soit  encore  c=  sin  60°  et  <p=3o%  et  supposons 
qu'on  demande  la  valeur  approchée  de  F(p  ;  la  formule  est  alors 

F?  =  i  nang  (45«  +  i  c?  )  -  ^  (r  +  ^7  ç-). 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.        loT 
En  voici  le  calcul  : 

c(p  =  25°58'5o"7436,    4^" -h  i  c(p  z=  5^  5g' 25"  5y  18  , 
/  tang  (  45°  +  ^  <?(p )  =  o .  20404  85486. 

Soit  ce    logarithme   =  â  ,   le    premier    terme  P    de    la  formule 

•  Mh 
sera 


c 


h g. 30973  55ioi 

M 0.36221  56887 

- 0.06246  93683 


P 9.73441  86671 

I"  terme...   0.54252  55i55 

•   11"" -  ^4  59649 

0.54227  75504 
IIP' —  4  59482 

Donc  valeur  app.  E^  =  0.54223  46022 
Valeur  exacte. . .   0.54222  91 100 

Erreur  de  la  formule. . .  -f-  549 

On  voit  que  dans  ce  cas ,  l'erreur  est  de  cinq  unite's  décimales  du 
sixième  ordre. 

II 3.  Il  re'sulle  de  tous  ces  exemples  que  la  formule  (a)  peut  être 
-^  employe'e  avec  sûreté  pour  donner  la  valeur  de  E(p,  tant  que  <p 
n'excédera  pas  3o°;  car  à  celle  limite,  elle  donnera  encore  sept 
décimales  exactes.  Il  n'en  est  pas  tout  à  fait  de  même  de  la  for- 
mule (b)  f  où  il  convient  de  ne  pas  prendre  (p  plus  grand  que  20% 
si  on  veut  avoir  au  moins  sept  décimales  exactes  dans  la  valeur 
de  F(p.  La  formule  devient  cependant  plus  exacte  et  permet  de 
porter  (p  jusqu'à  3o",  lorsqu'on  a  c  -<sin35"',  ou  c>-  sin  70°. 

Avec  ces  reslriclions  ,  les  formules  Ça)  et  (b)  sont  d'un  usage 
extrêmement  commode  ,  et  peuvent  remplacer  avec  avanlage  les 
Tables  elliptiques  même  les  plus  étendues ,  dans  une  partie  consi- 
dérable de  ces  Tables.  En  effet  les  calculs  qu'exigent  ces  formules , 
seront  toujours  plus  simples  que  les  iuterpolalions  d'une  Table  à 


104  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

double  entrée,  telle  que  celle  dont  nous  avons  indiqué  la  cons- 
truction. 

On  suppléerait  donc  entièrement  à  la  Table  dont  il  s'agit,  si  on 
avait  des  moyens  faciles  de  ramener  tous  les  cas  à  ceux  qui  se 
résolvent  par  les  formules  {a)  et  (^b).  On  trouvera  dans  le  chapitre 
suivant ,  quelques  recherches  sur  cet  objet. 

114.  Nous  remarquerons  que  l'expression  de  F  pourrait  se  dé- 
duire de  celle  de  E ,  au  moyen  de  la  formule  F  =  E  —  ^  T"  » 
d'où  l'on  tire , 

■p  2sinc<p        ^  ^    ,    c^(2c' — h'-")     ./      ,    iic"  —  A     „\         11     /„   .    , 

F  = -^  -  ?  cos  c?  + -4^-J  <p^  ( ,  + -^  ?•  )  _  gj- i-c  V. 

Mais  on  voit  que  cette  expression  est  plus  composée  que  la  for- 
mule (Z»)  ;   ce  n'est  que  dans  le   cas  particulier  où  l'on  a  Z»''  =  2c% 

qu'elle  se  simplifie  beaucoup ,  puisqu'elle  donne 

». 

Cependant  elle  pourra  être  aussi  employée  dans  d'autres  cas,  puis- 
qu'en  général  elle  est  de  la  forme 

F          2  sin  cû         ^  .      1     c         TV 

= ~  —  (p  cos  c(p  4-  A(p^  -f-  B{p% 

dans  laquelle  A  et  B  sont  deux  coeffîciens  donnés  en  fonction  du 
modulée.  On  éviterait,  par  celte  formule ,  le  calcul  de  log.  (45°+îc(p) 
qui  devient  quelquefois  assez  long.  ■   0 

J  VI.  Méthodes  diverses  pour  calculer  les  valeurs  appro- 
chées des  fonctions  Ep,  Y<^ ,  lorsque  V angle  (p  excède  la 
limite  supposée  da7is  le  §  précédent. 

11 5.  Si  la  valeur  donnée  de  l'angle  (p  est  trop  grande  pour  qu'on 
puisse  déterminer  les  fonctions  E  et  F  avec  une  exactitude  suffi- 
sante ,  par  la  méthode  du  §  précédent ,  il  faudra  diminuer  pro- 
gressivement l'angle  <p  par  la  méthode  de  bissection  donnée,  art.  21, 
première  Partie. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.        i o5 

I*our  cet  eflet,  soient  <p' ,  <p",  <p"'y  elc.  les  amplitudes  qui  re'sullerit 
des  bisseclions  continuelles  de  la  fonction  F(p  ,  ensorte  qu'on  ait 

F<p'  =  ,iF(p,    F^"  =  ^F(p',     F^'^'=iF'A     etc., 
on  aura  en  même  temps , 

2E<p'  —  Ecp  =  c'sin"(|)'  sin^  , 
^E^" —  E(p'=  c'siay  sinÇ>', 
2E(p'''—  E(p"=  c'sin='(p'"sin(?>", 
elc. , 

et  l'amplitude  (p'  se  déduira  de  (p  par  les  formules 

c  sm  <p  =  sin  Ci) ,     sm  (p  =  — =-^  ; 

on  déduira  semblablement  (p"  de  (p',  (p'"  de  tp",  etc. 

En  formant  ainsi  la  suite  décroissante  (p',  <p",  (p'",  etc.,  on  par- 
viendra bientôt  à  un  terme  (p"  <  i5°,  et  alors  on  déterminera  aisé- 
ment, par  les  formules  du  §  précédent,  les  valeurs  des  fonctions 
E(p%  F(p",  approchées  jusqu'à  huit  décimales  ou  plus  ,  desquelles  on 
déduira  les  valeurs  de  Eip  et  F(p ,  exprimées  avec  un  degré  peu 
différent  d'approximation.  Ces  calculs  ont  l'avantage  de  ne  point 
supposer  connues  les  fonctions  complètes  ;  ils  peuvent  même  servir 
à  déterminer  ces  fonctions  ,  puisque  si  on   part  de  l'amplitude  <p 

donnée  par  Téquation  tang  cp  =  -J^  ,  on  auraF(p  =  ^F',  E!p=:iE* 

+  -^(i  — b)-,  d'où  il  suit  qu'ayant  déterminé  F(p  et  E^,  on  con- 
naîtra les  fonctions  complètes  F',  E'. 

ii6.  Une  seconde  méthode  qui  pourra  dans  certains  cas  être 
préférable  à  la  méthode  de  bisseclion  ,  consiste  à  calculer  les  am- 
plitudes (p^,  (Pg,  (p^^  etc.  qui  répondent  aux  fonctions  multiples 
Ftp,  =  2F(p,  F(P3  =  5F(p,  F(P4=4F<p,  etc.  On  les  détermine  par 
les  formules 

tang  I  (P,  =  A  tang  (p  , 
tang  (I^PaH-^  (?)  =  A  tang  (p, , 

etc. , 

dans  lesquelles  A  est  une  quantité  constante ,   telle  qu'eu   faisant 
c  sin  (p  =  sin  û!j ,  on  a  A  ==  cos  co. 


io6  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGPvAL. 

Au  moyen  de  ces  formules ,  on  prolongera  la  suite  (p,  ^a ,  ^3 ,  etc. 
jusqu'à  un  terme  (p„  =  2k. ^  TT'àz  -^^^ ,  qui  approche  d'un  multiple 
pair  de  ^  ':t,  de  manière  que  la  différence  -^ ,  positive  ou  négative, 
soit  assez  petite  pour  qu'on  puisse  calculer  facilement  ^  par  les 
formules  du  §  précédent ,  les  valeurs  approchées  des  fonctions 
E^J,  ,  F^p.  De  là  il  faudra  déduire  les  valeurs  des  fonctions  propo- 
sées E(p  ,  F^p  ,  au  moyen  des  équations 

F(p„  =  2kY'  d=  F4 ,  E?>„  =  2kE'  ±  E4. , 

F^a  =  ^F-p  ,  2E(p  —  E(Pa  =  c»sin'<psin(p^, 

Fç>3  =  SFip  ,  *E(p  +E^a  —  E<P3  =  c^sin  (p  sin  (p^sïn  (p^, 

F(P4  =  4F (p  ,  E(p^  +  E(p3  —  E(p4  =  c'sin  (p^  sin  (P3  sin  (p^, 

'  etc.  ,    etc. 

117.  Cette  méthode^  ainsi  que  celle  de  Lissection  ,  sont  fondées 
sur  des  formules  trigonométriques  très-simples  ;  cependant  elles 
peuvent  devenir  d'un  usage  difficile  dans  certains  cas ,  surtout  dans 
ceux  où  c  et  sin  (p  sont  à  la  fois  peu  différens  de  l'unité.  En  effet, 
les  opérations  nécessaires  pour  changer  l'angle  proposé  (p  en  un  plus 
petit,  auquel  la  méthode  du  §  précédent  soit  applicable,  peuvent ^ 
dans  les  cas  dont  il  s'agit,  être  plus  longues  que  celles  qui  servent 
à  former  la  série  des  modules  et  celle  des  amplitudes,  suivant  la 
méthode  générale  des  approximations  ,  et  alors  celle-ci  deviendrait 
préférable ,  tant  par  sa  brièveté  que  par  un  degré  d'exactitude 
indéfini. 

C'est  dans  les  différens  cas  particuliers  qu'on  pourra  se  décider 
sur  le  choix  à  faire  entre  ces  méthodes^  suivant  le  degré  d'approxi- 
mation qu'on  veut  obtenir  ;  nous  observerons  seulement  que  l'on 
peut  toujours  supposer  l'angle  proposé  cp  plus  petit  que  l'angle  qui 

a  pour  tangente  — r.  Car  soient  (p  et  -nJ/  deux  angles  tels  qu'on    ait 

tang  <p  tang  >J/  =  j ,   l'un   de   ces   angles  aura   sa   tangente   «<  \/\- 
D'ailleurs  comme  on  a 

F(p  -{-  F4  r=  F-, 
E(p  +  E4  =  E'  4-  c*  sin  (p  sin  4  , 
il  est  visible  qu'au  moyen  des  deux  fonctions  qui  se  rapportent  au 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       107 

plus  petit  des  deux  angles  (p  et  ^  ?  on  déterminera  sans  difficulté 
les  fonctions  qui  se  rapportent  au  plus  grand. 

118.  Exemple  I.  Soit  c  =  sin  ^5%  (p  =  60%  le  calcul  par  la  me'- 
thode  de  bissection  se  fera  comme  il  suit  : 

sin  cù  z=.  c  sin  <p  =  ^/(o.SyS). 

9.78701  56539      cû  =   37°45'4o"478o7 
9.97598  o583i     T^  =  18.52.50.23903  5 
9.69897  00043 


sin  co 

COS  7Û) 

sini(p 
sin  <p' 

sin  (p' 
c 

sin  a>' 
sin  i  <p' 

COS  ^  Ce)' 

sin  9" 


9.72298  94212 
9.72298  94212 

9.84948  50022 
9.57247  44234 

9.43900  8S575 
9.99198  96871 


9.44701  91704 


(p'  =  3i° 53' 58" 55322 
i(p'  =  15.56.59.27661 


œ'  =  21° 56'  29" 04240 
jct)'  ==■  10.58.14.52120 


<?>"  =  16° i5'  i7"5o46o 


L'angle  cp"  étant  suffisamment  petit  ^  il  est  inutile  de  pousser  plus 
loin  les  calculs  de  la  bissection  ,  et  en  appliquant  à  l'angle  (p"  la 
méthode  du  §  précédent ,  on  trouvera  les  résultats  suivans  ; 


cfz=:  1 1°  29'  38"  12432  ,      45°  +  ^  c<p"  =  5o°  44'  49"  06216. 

A  ==  0.28180  18598 

1)  +  I  55i52 

2)  +  440 


B  =  0.28562  30721 
i)  —  I  53i52 

2)  —  4843 


E<p"  =  0.28181  72190 


F<p"  =  o.2856o  72726 


Par  la  valeur  de  F(p",  on  a  immédiatement  celle  de  F(p  =  4F<p", 
savoir^ 

F<p  =  1.14242  90904 
Suivant  la  Table. . .  E(p  =  i .  14242  90578 

Diff. . .  '       +  326 

Ainsi  l'erreur  est  d'environ  trois  unités  décimales  du  huitième  ordre. 


io8  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Qnanl  à  la  valeur  de  Etp,  ou  la  calculera  comme  il  suit  par  les 
formules  dun°   ii5, 

siny...   8.89405  83408  c»sin=(p'...   9.14494  88468 

siû  (p'.  . .  9.72298  94212  sin(p...   9.95753  o63i7 

c\..   9-69897  00045  a...   9.08247  94785 

et'..,  8.3i599  77663 

et  =   O.12091   4S046 

et'  =  0.02070  15070  2E(p'  =  i.o8586  62620 

2E^"  =  o. 56365  44^80  r^  ^  0.96495  14574 

Ecp'  =  0.54293  5i5io       Par  la  Tab.,  E<p  =  0.96495  14560 

Diff +~74 

Ainsi  l'erreur  sur  E^  n'est  que  de  quatorze  unite's  décimales  du 
dixième  ordre. 

On  aurait  pu  se  borner  à  huit  décimales  dans  tous  ces  calculs,  et 
les  résultats  n'en  auraient  pas  été  moins  exacts. 

119.  Exemple  II.  Soit  encore  c"=:  |-,  et  l'angle  (p  tel  qu'on  ait 
tang  <p  ==.  \/6;  cet  angle  pourrait  être  remplacé  par  celui  de  50°, 
parce  qu'on  a  Y'P  +  F  (3o')  =  F'  ;  mais  nous  n'aurons  point  égard 
à  cette  propriété  des  fonctions  complémentaires  ,  laquelle  ne  nous 
servira  que  pour  vérifier  les  .résultats  ,  et  nous  appliquerons  direc- 
tement au  cas  proposé  la  méthode  qui  précède,  par  la  multiplica- 
tion des  fonctions. 

On  aura  d'abord  A  ==  ^/(i  —  c*sin*ip)=  \/^,  ce  qui  donnera 
les  résultats  suivans  : 

A 9.87848  09756  57 

tang(?> 0.58907  5625i  92  (p  —    67» 47' 52" 44458 

tang^cp, 0.267556600849       -|<Pa  =     61.57.41.57628 

<p^  =  125. 1 5.23. 1 5256 

Déterminant  ensuite  (pa  par  l'équation  tang  (7(p3-f- j  (p)  =  A  lang(p, , 
on  trouvera 

(p3  r=  194»  5' 55"  85248. 

Les  calculs  préliminaires  se  terminent  ici  à  (p^,  parce  que  <p3  excède 
180°  d'un  angle  plus  petit  que  iS\  Soit  cet  angle  =4^  on  aura 

^3  = 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.         109 

(Pi  =  180°  +  4  j  et 

4  =  i4*  5'  33"  85248. 

On  calculera  donc  les  fonctions  E^f, ,  F^  ,  par  la  me'thode  du  §  pre'- 
cèdent ,  ce  qui  donnera 

E4  ==  0.24475  4^068,     F4  =  0.24720  64817; 

ensuite  E^   et'  Ftp  se  déduiront  des  équations 

F?)  =  K2F'  +  F4), 

E(p  =  i  (2E'  +  E4  )  4-  î  <^'  sin  (p  sin  (p^  (sin  (p  +  sin  (ps) , 

dans  lesquelles  on  mettra  les  valeurs  de  F'  et  E'  tirées  de  la  Table  I  ; 
on  aura  ainsi  pour  résultat  , 

E?)  =  1.07004  95812,     F<p  =  1.51845  19452. 
Ces  valeurs  se  vérifient  au  moyen  des  équations 
F(p+  F(3o°)  =  F', 
E(p  -f-  E  (3o°)  =  E'  -I-  c^sin  (p  sin  3o^  =  E'  +  f  ^/f , 

dans  lesquelles  substituant  les  valeurs  données  par  la  Table  j  on 
trouve 

E(p  =  1.07004  95798,     F^  =  1.31845  19441. 

Ainsi  l'erreur  des  résultats  préçédens  n'est  que  de  onze  unités  dé- 
cimales du  dixième  ordre  sur  la  fonction  F,  et  de  quatorze  des  mêmes 
unités  sur  la  fonction  E. 

On  peut  remarquer  que  la  méthode  par  bisseclion  doit  donner 
en  général  des  résultais  moins  exacts  que  la  méthode  par  multipli- 
cation. La  raison  en  est  que  les  fonctions  E(p ,  Fcp  se  déduisent  des 
fonctions  auxiliaires  par  multiplication  dans  le  premier  cas  ,  et  par 
division  dans  le  second.  Il  semble  d'ailleurs  que  les  calculs  sont 
plus  simples  par  la  méthode  de  multiplication,  parce  que  la  quan- 
tité A  est  constante  dans  toutes  les  formules  qui  servent  à  déter- 
miner (Pa,  (P3 ,  etc. 

120.  Exemple  III.  Soit  c  =  sin  60°  et  tang  (p  =  \,^2  ;  cette  valeur 
de  (p  est  telle  qu'on  a  F(p  =  ^  F'  :  ainsi  on  pourra  vérifier  immé- 
diatement par  la  Table  I ,  les  résultats  suivans  que  donne  la  méthode 
de  bissection. 


1 1  o  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

siiKp...   g.giujS  43705  (p  =  54° 44' 8"  197 146 

c...   9.95755  06317  i  (p  =  27.22.4.098573 

siaa...   9.8494850022         «  =  45°,     sin^(p=  \/(smi5°.  v^3). 
sin^(p...  9.66247  53oo5 
cosj&)...  9.96561  55459 

sincp'...  9.69685  99546  (p'  ==  29° 5o' 23^27549 

c...   9.93755  o63i7  ^(p'  =  14. 55. II. 65775 

sino)'...  9.63439  o5863  cù'  =  25'3i' 32"o7988 

\  cù'  ■=.  12.45.46.05994 
sin|^'...   9.41072  59499 

cos^^y'...   9.98915  5x266 


sin(p"...  9.42158  88273  (p"  ==  i5°  18' 25" i85i5 

D'après  cette  valeur  de  (p",  on  calculera  les  /onctions  E<p",  F(p"  par 
la  méthode  du   §   précèdent,  et  on  aura  les  résultats  suivans. 

c|>"  =  1 5°  1 5' 22^49020,     45°  H- ^c^"  =  5i°  57' 41" 24510. 

A  =  0.26478  03649  6  B  =  0.26957  55608  6 

i)  +  ^^o^^  3  1)  —  ^^o^^  3 

2)  +  614  3  2)  —  5866  6 

E?>''  =  0.26478  89322  2  F(p"  =  0.26956  44683  7" 

Ftp  =  4F(p"  =  1.07825  78755 
Par  la  Table..  .    1.0782578237 

Diff. ..  4-  498 

Calculant  ensuite  E:p  comme  dans  l'art.  120,  on  trouvera 

E(p  =  o. 85552  80106; 

Ce  résultat  se  vérifie  par  l'équation  E^=:^E'  +  î  (i — ^)  =  tE'+^; 
et  comme  on  a  E'  =  i.2iio5  60275  6845,  il  en  résulte 

E(p  =  o. 85552  80137  ^4225; 

d'où  l'on  voit  que  l'erreur  sur  F  est  de  cinq  unités  décimales  du 
huitième  ordre,  mais  que  Terreur  sur  E  n'est  que  de  trois  unités 
décimales  du  neuvième  ordre. 

Ces  erreurs  paraissent  plus  grandes  pour  le  module  sin  60°  que 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  i  t  i 
pour  le  module  sin  45°;  mais  il  y  a  à  cet  égard  un  maximum,  passé 
lequel  les  erreurs  diminuent  à  mesure  que  le  module  augmente. 
C'est  ce  qu'on  verra  par  l'exemple  suivant. 

121.  Exemple  IV.  Soit    c  =  sin  89°,  (p  =  76'  ;  on    trouve    par 
les  méthodes  directes, 

E<p  =  0.96608  74510  14, 
F(p  =  2,02664  7^981  80. 
En  appliquant  au  même  cas  la  méthode  de  bissection ,  on  aura  les 
résultats  suivans: 

sin  (p'...   9.88488  58911  <p"  =  27°5i' 45" 67900 

sincp"...   9.66963  81849  ^'^''  =  ^27. 51.28. 40226 

E<p"  =  0.46735  16166  5  F(p"  =  o.5o666  18602  5 

E(p'  =  0.76719  73904  3  F(p'  =  1. 01 332  37205 

E(p    =  0.96608  7447S  F(p    :=  2.02664  744 1<> 
Val.  exacte...                       5io  3982 

Erreur...  — '32  -f-  4^8 

L'erreur  est  donc  de  quatre  unités  décimales  du  huitième  ordre  sur  F, 
et  de  trois  unités  du  neuvième  ordre  sur  E. 

122.  Nous  Joindrons  ici  le  calcul  du  même  exemple  par  les  for- 
mules générales  données  dans  la  première  Partie,  art.  76.  Nous  pren- 
drons de  là  occasion  de  simplifier  ces  formules  de  manière  à  en 
rendre  l'usage  beaucoup  plus  facile. 

D'après  le  module  donné  c=sin  89%  on  formera  d'abord  l'échelle 
des  modules  ,  et  on  en  déduira  la  valeur  de  R,  comme  il  suit  : 

c 9-99993  38498  0922  h...,   8.24185  53184  2289 

^'•••-  9-99999  999^7  4o53  h'....  5.88171  67931  8966 

^ 0.00006  61489  3i3i  V,  ..    1. 16137  559G3  io83 

K....  0.00003  30744  6565 

Il  faudra  ensuite  calculer  (p'  par  l'équation  sin  (2(p  —  (p')  =  c  sin  <p  , 
ce  qui  donnera 

(p'  =  74°  59'  1"  44061 5. 


112  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Enfin  on  calculera  (p''  par  l'ëquation  sin  (  2(p'  —  (p"  )  z=z  c'  s\\\  (p' ,  ou 
plus  simplement  par  l'équation  tang  (  (p' —  (p")  =  V  lang  <p"^  qui  se 
réduit  à  (p' — •  9"  =  U'  tang  <p";  on  en  déduira 

<p'  —  (p"  =  o"  001 II   49 

(P"  =  74^  59' 1"  45950 

Cela  posé  ^  la  valeur  de  F(p  se  calculera  par  les  formules 
h  =  log  lang  (45°  +  7  ^''),  F  =  RM/i  ,  et  on  trouvera  par  Ie& 
TaLles  à  dix  décimales  seulement , 

F|)  =  2.02264  75980. 

123.  Quant  à  la  valeur  de  E(p,  elle  doit  être  déduite  de  la  formule 
générale  de  l'art.  76 ^  qu'on  peut  mettre  sous  celle  forme: 

E(p  =  c"  sin  (p  +  LT(p  +  2c  sin  <p'  fh'  +  2  sin'  ^m^^ 

+  4^"^ sin  (p''  ('^"+  2  si n''  ^^^^) 
+  ^f  sin  (P'"  (Z»'"  +  2  sin*  ^'^) 

+  etc. 

Dans  l'exemple  dont  il  s'agit ,  on  pourra  faire  L  =  ^  ^^  V^R  ?  ^^  ^^ 
trouvera  les  valeurs  suivantes  des  cinq  premiers  termes  auxquels 
se  réduit  cette  formule  , 

i^  c=sin(p 0.96563   i6i83  3 

2°.  L'F?> o.ooo3o  86564  6 

5*.   2cb'  sin  (p' i4  70927   8 

4°.  4^  sin  (p' sin"  ^^^ 778  4 

5°.  4c^//'sin(p" 56  o 

Somme....  E|)  =  0.96608  745io  i 

On  voit  que  pour  avoir  la  valeur  de  E(p  exacte  jusqu'à  la  dixième 
décimale  ,  il  a  fallu  calculer  cinq  termes  de  la  formule  ;  mais  celte 
formule  peut  être  simplifiée  ,  sans  cesser  de  donner  un  pareil  degré 
d'exactitude,  pourvu  que  le  cube  de   b'  tang  9'  soit  négligeable. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.         1 1 5 

et  qu'ainsi  on  puisse  prendre  l'arc  (p  —  (p'  pour  son  sinus  et  pour  sa 
tangente. 

1 24.  Soit  d'abord  È(p  =  L'Ffp  +  ( i  —  i  3"  )  sin  (p  -f- A ,  on  pourra , 

dans  la    formule  ge'ne'rale,  rejeter  les  termes  de  l'ordre  sin" 

ou  If'^y  et  faire  en  conse'quence  c"=:  i  ,  K=  \/~>  ^^  qui  donnera 

A  =  —  \¥ ûw  (p -\- icb'  î\w  (p'4-  4csin(p'  sin* ^^^ -j- 4^' V^  sin  (p". 

Puisqu'on  a  c'h  =  D.\/{h'c)  ou  2cb'  =  i  Z'''c'%  la  première  partie  de 
celte  valeur  que  j'appelle  P',  se  réduit  ainsi , 

P'  =  2cb'  sin  (p'  —  ^  Â"  sin  (p  =  ^  b""  {  c^  sin  (p' —  sin  <p). 

Soit  (p  =  cp'  4"  "^  >  ou  aura  sin  (p  =  (i  —  7^*)  sin  cp'  +  o)  cos  cp', 
ce  qui  donne 

P'  =  —  7  ^"(ft)  cos  cp'  —  -^  &j"sin(p')j 

Mais  on  a  l'e'qualion  tang  cid=  b'  lang  (p',  qui ,  en  vertu  de  notre 
hypothèse,  se  réduit  à  0)=  Z>'  lang  (p'  •  donc 

P'=  — {^"(Z^'sincp'-^^Z^'^sin*?)'  lang»(p'). 

Venons  à  l'autre  partie  P"  de  la  valeur  de  A  ;  on  pourra  y  substituer 
~  co''  pour  sin''  ^  ^y  ,  et  b"  sin  (p'  pour  b"  sin  (p",  ce  qui  donnera 

P"  =  coù''  sin  cp'  +  4^"  |/c  sin  (p'  : 
Or  4^"  \/c  =  2^"  -^  =  i  c'bb'^b';  donc 
P'  +  P"  =  1  ^^'  sin  (p'  {c'y/V^b)  +  ^'^  tang'  (p'  s\xi<p'  {c-\-\  b^). 

Mais  on  a  b  —  c' \/V  ^{^^,~  c^\/b' z={y~\.c—c')s/V ^c^/b'; 

car  la  partie  (i  —  c')  \/b',  multipliée  par  l  bb\  est  au-dessous  de 
l'ordre  //^,  et  par  conséquent  négligeable;  on  pourra  donc  faire 
\bb'sm^'{b-^c'\/b')z=z^cbb'\/b's\n<p\ou  simplement  ^^3' ^/^Z^'sin  (p'; 
car  la  différence  (i  —  c)bb'\/b'  appartient  encore  à  l'ordre  è'% 
et  peut  èlre  négligée  ;  par  la  même  raison ,  on  pourra  faire 
b'^  (cr^  ^  b^)z=:  è'»  ;  donc  enfin  on  aura  -l 

A=~^^/iy/5/sinç'4-^'^tang^<p'sin<p',  ; :tf.^-^(-^         «   ''■   ^\J 


1 14  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL, 

cequi  donnera  E<p  =  ^  b^y/K.s'in  (p  +  B  ,  en  faisant 

B  =  (  I  —  ^b")  siïKp  —  jbb'\/b'  sin  (p'  +  b'^  tang'(p'sm  (p'. 
Pour  simplifier  de  nouveau  cette  expression^  j'observe  qu'on  a 
b  =         ,, ,  ce  qui  donne 


i  +  b' 


.  ,    7 ,  \     •      ^  sin  ip  ,      è  ^  sin  ^ 


Dans  le  second  terme^  je  substitue  la  valeur  sin(p  =  (i+^')cosû)sin(p', 

7  /  7  / 

çt  ]'ai  — — ^,cosasin(p';mais  cosa)=i — ^  &%  et  la  partie  jO)*^'»  sin  (p' 
'         1  -\-o 

est  inférieure  aux  quantités  négligeables;  donc  ce  second  terme  se 
réduit  à  ^'"f,  ou  \  bb' \/ b'  sin  ^' ,  de  sorte  qu'il  est  détruit  par  le 
terme 1  bb'  \/b' .  sin  <p'  de  la  valeur  de  B  ;  d'un  autre  côté ,  le  terme 

■     m  b^      '  c     . 

restant  ■   ^'"T.>,.  peut  s'exprimer  par  -^  sin  <p  ou  -^^  sin  ^;  donc  enfin 


sin  (p 

on  aura 


E(p  =  i  b'\/K.Y<p  +  4  sin  (p  4-  b'-  tang='(p'  sin  (p' . 


C'est  le  dernier  degré  de  simplicité  auquel  on  peut  réduire  la  for- 
mule générale  dans  la  supposition  que  b'^  et  {b'  tang  (p'y  soient 
négligeables.  Cette  nouvelle  formule  n'exige  d'autres  données  im- 
médiates que  les  modules  b'  et  c',  qu'il  faut  déduire  des  modules 
primitifs  ^  et  <?,  et  Tamplilude  (p'  qu'il  faut  déduire  de  cp  par  l'équa- 
tion sin  (2?^' —  (p')  =  c  sin  p. 

125.  Cette  formule  ne  serait  plus  applicable  si  (p'  était  trop  près 
de  90°  ;  mais  nous  avons  déjà  fait  voir  qu'on  peut  toujours  supposer 

tang  (P  <  i/tî   ainsi   on   aura  à    plus  forte  raison   tang  (p' <  t/^ , 

et  (  è'  tang(p')^  <  \  b'^[/b.  La  même  formule  suppose  qu'on  néglige 
les  termes  de  l'ordre  Z>''  ;  ainsi  dans  le  cas  où  on  voudra  l'appliquer 
à  des  valeurs  de  (p  plus  petites  que  4^°^  la  formule  sera  exacte^ 
même  jusqu'à  l'ordre  de  décimales  qui  convient  à  b'^  ;  mais  si  on 
a  (p  >  45%  le  degré  d'exactitude  sera  déterminé  par  l'ordre  de  dé- 
cimales qui  convient  à  {b'  tangcp')^;  c'est-à-dire  que  si  le  premier 
chiffre  significatif  de  la  valeur  de  (  b'  tang  (p' y  est  placé  au  douzième 


V  CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  1 15 
taog  de  décimales  ,  on  pourra  compter  sur  à  peu  près  onze  de'cimales 
exactes  dans  la  valeur  de  E(p  ,  pourvu  que  les  termes  qui  composent 
cette  valeur  soient  calculés  avec  ce  degré  de  précision. 

126.  Si  on  applique  la  formule  qu'on  vient  de  trouver  à  l'exemple 
précédent ,  on  trouvera  les  valeurs  des  différens  termes  comme 
il  suit  : 


1°.     -r-,siu.  (p 0.96577  87167  06 

2\    iZ-V^-F^ 5o  86564  62 

5°.     3'Mang*^'sin(p' 77849 

Ecp  =  0.96608  74510  17 

Ainsi  on  a  une  valeur  de  Ecp  qui  s'accorde  parfaitement  avec  la  valeur 
déterminée  par  les  méthodes  les  plus  exactes. 

On  remarquera  que  dans  cet  exemple  ,  [b'  lang  <p'y  est  d'environ 
deux  unités  décimales  du  onzième  ordre,  et  cependant  la  valeur 
de  E(p  n'est  en  erreur  que  dans  le  douzième  ordre  ^  ce  qui  fait 
voir  que  les  quantités  négligées  ont  très  -  peu  d'influence  sur  le 
résultat. 

127.  Pour  juger  encore  mieux  du  degré  d'exactitude  de  notre  for- 
mule ,  nous  l'appliquerons  au  cas  le  moins  favorable  ,  qui  est  celui  où 

l'on  a  tang  <p  =  -^.  Dans  ce  cas  on  aura  sin  ffl  =  -— — î =  ^^^  ^ 

^  Vb  ^        Vi^-^b)       cos  44°^» 

et  il  faudra  calculer  (p'  par  l'équation  sin  (2^' — <p)  =  c  sïn  (p; 
mais  comme  le  terme  qui  contient  <p'  dans  la  formule  est  très-petit, 
il  ne  sera  pas  nécessaire  de  calculer  (p'  avec  une  grande  précision. 
Voici  ce  calcul  : 


cos  45' . . 
cos  44°^.. 

.  9.84948  5oo 
. .   5.85524  2o5 

2(p' 

—■(p  ~    82» 24'  3o"97 

(p  =z     82.28.27.74 

sin  (p ,  . 
c.  . 

. .  9.99624  295 
••  9-9999^  585 

2(p'  =z  164;.  52. 58. 71 
<p'  —    82.26.29.555 

(2(P'— (P).. 

•  9-99617  680 

Connaissant  ainsi  tous  les  élémens  de  la  formule ,  on  calculera  les 
trois  termes  de  E^  comme  il  suit  : 


ii6  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

siiKp...   9.99624  29483  5i  ^b^\/K..,  6.18269  71785 

■^••-  9-99995  38523  28  F(?>...  o.434i6  23476 


^)''-  9-99617  68006  79  2)...  6.61685  96258 

tang'{p'...    1.75451  55  1)...   0.99123  53933  i5 

b'-..,   i.763-i3  56  2)  +  4i  38667  87    . 

sin(p',..   9.99620  99  3)  +  3266  55 

3)...   3.51396  68  'E(p  =  0.99164  96806  67 

Pour  vérifier  celte  valeur  de  E(p  j  j'observe  que  dans  le  cas  sup- 
posé ,  on  a  Fcp  =  ^  F',  E(p  =  ^  E'  +  j  (  i  —  ^)  j  et  en  substituant 
les  valeurs  connues  , 

b  =  sin  1°  =  0.01746  24o64  4 

jÇi — b)  =  0.49127  37967  8 

iE'  =  0.60057  67888  5 

E(p  =  0.99164  96866  3 

Ainsi  le  résultat  donné  par  la  formule ,  même  pour  la  plus  grande 
valeur  de  <p  ^  est  exact  jusque  dans  la  dixième  décimale. 

128.  Il  y  a  une  autre  manière  de  trouver  les  valeurs  approchées 
des  fonctions  E(p,  F(p  lorsque  b  est  très-petit,  ou  seulement  lorsque 
l>  tajig  (p  est  plus  petit  que  l'unité.  Il  faut  alors  mettre  A  sous  la 

forme  (  cos' ^ -f-  b^  sin^'cp)",  et  en  développant  cette  expression, 
on  aura 

fAd:p=fd(pcos(pfi  +^^nang"(?)— ^^■ftang^(p-f-^^^^^tang"'| — etc.). 

Soient  P'^  P",  P'",  etc.  les  intégrales  suivantes  ,  prises  à  compter 
de  (p  =  o, 

P'^/^(pcos(ptang*^,  'P"z=fd^cos<p[ang^(p,  P'"=:/J(pcos(ptang^(?>,  etc., 
et  on  aura 

JL(p  =  sm(p-\--  b'^F'  —  -^  ^^P"  -f-  ^  ^^P'"  —  etc. 

^  ^    '    2  2.4  2.4.6 

De  même   on  aura  F  —  E  =  f(^  —  a)  d(p  :=  c'J^  -^-^^ ,  ou  en 

substituant 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.        117 
subsliluant  la  valeur  développée  de  -,  et  intégrant, 

F  —  E  =  c'  fP'  —  -  ^"  P"  +  ^  ^*P"'  —  ^-A^  Z'SP-  —  etc.Y 

\         '-^  2-4  2.4.5  /  ^    ' 

On  peut  mettre  ces  deux  résultats  sous  la  forme  suivante  : 

F?  =  E?  +  C  (P'_i  i-F'  +  1^5«P"'-  i^A»p.'+  etc.)  . 

Ef=sin?  +  ii-(P'-^i-^  +  i-^MÇ-i^*=îl'  +  e.c.); 

et  l'on  remarquera  que  les  deux  séries  comprises  dans  ces  for- 
mules ,  peuvent  se  former  simultanément  ,  puisque  la  seconde  est 
composée  des  termes  de  la  première ,  divisés  successivement  par 
I  2  5,4»  etc.  Tout  se  réduit  donc  à  trouver  les  valeurs  des 
intégrales  P',  P",  P'"^  etc.  On  a  pour  cet  effet  les  formules  suivantes  : 

<^  =  rlog(|^:f|)  =  nang(45'  +  ^^), 

P'    =  c5  —  sin  (P  ,  /y  *    ^  ]  ^    7    ;i> 

2P"    =  sin  <p   tang'(p  —  3P',  -  -^(^   -^^.Z  ^  ^    T 
4P'"  =  sin  <p  tang^(p  —  5P",  -         (■  ^ ^  f  é^*'^  € ^A  ^    ^  £  à) 

6P-  =  sin  (P  tang«^  —  7P'",  -      ^^     ^  ^       ^    l_^^    ^ 

12g.  L^emploi  de  ces  formules    serait  assôz  facile,  si  pour  les  Z^'^  ^ 

diverses  valeurs  de  (p  on  connaissait  les  quantités  P',  P",  V",  etc.  , 
ce  qui  pourrait  se  faire  au  moyen  d'une  Table  dressée  pour  cet 
objet.  11  sera  toujours  utile  de  calculer  ces  quantités  pour  quelques 
valeurs  déterminées  de  (p ,  afin  de  pouvoir  ,  par  leur  moyen  ,  con- 
naître les  valeurs  correspondantes  des  fonctions  Ecp,  F^. 

Soit  par  exemple ,  (p  =  45%  on  trouvera  les  valeurs  suivantes  des 
quanlilés  P',  P",  P'",  etc. 

<&=/tang67°^  =  0.88137   35870  19 
sin  <p  =  sin  45"  ==  0.70710  67811  86 

P'  =  0.17426  68o58  33       P'^=  o.o46oo  17089  i5 

P"  ==  0.09215  5i8i6  43       P'  =  o.o3665  64t25i   ig 

P'"=  o.o6i58  62182  42       P^'  =  o.o3o4i  o6io4  88 

i3o.  Pour  avoir  en  générall'expression  de  P",  je  fais  tang(p  =  x, 

16 


Xi8  "  EXERCICES  DE  CALCUL  L\TÉGRAL. 

j'ai  P"  =/r*"</x  (i-}-.r')~*,  et  l'intégration  par  parties  donne 
pour  résultat , 

Celte  suite  sera  toujours  convergente^  et  d'autant  plus,  toutes  choses 
d'ailleurs  égales,  que  n  sera  plus  grand;  il  faut  excepter  seulement 
le  cas  où  X  est  infini. 

Si  l'on  fait^  comme  dans  l'exemple  précédent,  jt  =  i ,  on  aura 

„    2"^  p      3    1,      3.5       1,        3.5.7         1  .     n 

if  := 1-4- . — I . — I i _  _1_  ptr 

2rt-flL  27Z-f3    2    '     2«4-3.2n-f5    4^2«+3.2/i4-5.2n-j-7"8^  J* 

c'est  l'expression  générale  des  fonctions  P"  lorsque  <p  =  4^°?  ^^^  ^'o^^ 
voit  que  lorsque  .«  sera  très-grand  ,  on  aura  à  peu  près  P"  =       ^        , 

on  plus  exactement  P"  =  -~-^  (  i  +  ~r]  =  /        .  Ainsi  les  valeurs 

^  27Î  -f-  1  \  4'^/         4n  —  i 

de  P"  finissent  par  décroître  suivant  une  progression  qui  s'approche 
de  plus  en  plus  de  la  progression  harmonique  indiquée  par  le  dé- 
nominateur 4^^ —  !• 

11  n'est  pas  étonnant  au  reste  que  la  formule  d'approximation  ne 
puisse  pas  s'appliquer  lorsque  (p  est  trop  près  de  go°  ;  car  cette 
formule  est  fondée  sur  un    développement  qui   suppose  toujours 

b  tang^  <  I  ;  ainsi  dès  qu'onatang  (p>  r,  les  formules  qui  expriment 

les  valeurs  des  fonctions  E  et  F,  cessent  d'être  exactes. 

§  VII.  Formules  pour  développer  en  sériesles fonctions  E  etF. 

i3t.  On  a  déjà  vu  dans  la  première  Partie,  art.  120  et  suivans , 
que  lorsque  le  module  c  n'est  pas  trop  près  de  l'unité,  on  peut 
développer  la  fonction  F  en  une  série  de  la  forme 

F  =  A{p  —  A'  sin  2(p  +  A"  sin  /^<p  —  A!"  gin  Çxp  -f-  etc. , 

dans  laquelle  les  coefficiens  A,  A',  A",  etc.  sont  des  fonctions  con- 
nues de  la  quantité  c. 

Pour  calculer  ces  coefficiens ,  nous  nous  servirons  des  formules 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.        1 19 

de   l'art.  i52  ,  cinquième  Partie,   en  y  faisant   «  =  i.    Soit   doue 

1—6         ^      ,   .  .  '->Va 

a=i=i  c°=.  — r-T  ,  et  réciproquement  c=  — — — , 


A'  =   I  —  c*sin^(p  := 


on  aura 

1  +  a*  +  2a  cos  zp 


F   —  /  -r-  —  V  *  ~7~  "■  ;    f  1  » 

'4~  2a  cos  2<p)* 


donc  si  l'on  fait  ,  suivant  l'art,  cité  , 

1 

(l+a*4-2â!C0S2^)"»  =  P, 2PjCOS2!p+2P,COS4<P 2P3COs6(p-|-etC.^ 

on  en  déduira 

F  =  (  1  +  «)  (  Po—  P,  sin  2(p-}-  ^P,  sin  4(P  —  i  P3  sin  6^  +  etc.  )  ; 

c'est-à-dire  que  les  coefficiens  A  se  déduiront  des  coefficiens  P , 
suivant  celte  loi  très-simple  , 

A   =  (i+^)P„, 

A'  =  (i^-«)P., 

A"=  (i-f-«)lP,, 

A"'=  (i  +  «)iP3, 
etc. 

i32.  Connaissant  les  coefficiens  qui  servent  au  développement  de 
la  fonction  F,  il  sera  facile  d'avoir  ceux  qui  donnent  le  développe- 
ment de  la  fonction  E.  En  effet  soit 

E  =  B^  4-  B'  sin  2^  —  B"  sin  4":p  -f-  B'"  sin  Q(p  —  etc.  ; 

si  on  différentie  chaque  membre  par  rapport  à  «p,  et  qu'on  divise 
par  ^^p  ,  on  aura 

V/ (  I  —  c*  sin*  (p  )  =  B -f  2B' cos 2(?>— 4B"  cos  4;^  H-6B'^' cos  6(p -- etc.; 
différenliant  de  nouveau  ,  il  vient 

v/(V^t^I^  =  ^'  ^'  ^^^  ^^  -  4^  ^'  ^"^  4^  +  ^"  ^"  «^"  ^^  -  ei^- 

Le  premier  membre  a  aussi  pour  expression  , 
^  c'sin  2(p  (A  —  2 A'  cos  2<p  -f-  4 A"  cos  /^^  —  QK'"  cos  &<p  -{-  etc.  ) , 


120  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

ou  en  faisant  le  développement , 

A  sin  2(p  —   A'  sin  4^  +  2A"sin6(p  —  SA'"  sin8(p-j-etc.Y 

-2  A"  +3A'"  --4A-  +5A'  j 

Donc  en  comparant  ces  deux  expressions,  on  aura 

B'   =:^(  A  -2A")  =  1^(P„-P,), 
^''B"  =  ^  (  A'  —  3A'")  =  £^  (P,  —  P3), 

3^B'"=:  I  (2A"-4A-)  =^  ^  (P»  — P4). 

4«B-=  I  (3A'"— 5A^)  =  i^  (P3  — P5), 

etc. 

A  l'e'gard  du  premier  terme  B,  il  se  de'duil  imme'diatemenl  de  la 
valeur  connue  deE',  puisqu'on  a  E'^B.^^r.  On  peut  aussi  trouverB 
par  la  formule  B  =  A— (i  — /^)  (P^  +  PO- 

i33.  Tout  se  re'duit,  comme  on  voit,  à  déterminer  les  coefficicns 
Po,  Pi  ,  Pa,  etc.^  et  nous  avons  donné  pour  cet  objet  toutes  les  for- 
mules nécessaires  dans  le  §  XII  de  la  cinquième  Partie.  Nous  remar- 
querons seulement  que  si  on  fait 

^  i_ 

ensorte  qu'on  ait  p^  =  -  ,  p^  =  -^ ,  p^,  =    '  ,  c  >  etc.,  les  coefficiens 

Pi  j  P»  j  P3>  ^tc.  pourront  s'exprimer  de  la  manière  suivante  : 

Pi  =  Px^    +  p.p^a'  +  p^p^cc'  +  p^piO?  +  etc., 
P,  =  p^a"  +  p.p^a^  +  p^p^a^  +  p^p^a^  +  etc., 
:  P3  =  p^a^  +  p.p^à  -f-  p^pr.a'  4-  p^p^a^  +  etc., 

P^  =  p^a'^  4-  p.p^a^  +  p^p^a^  +  /?3/?7«'°+  etc.,. 
P5  =  p^à  H-  p.p^a'  +  p^p.a?  +  pzp%a''-\-  etc., 
etc. 

De  là  résulte  un  mode  de  formation  qui  peut  être  commode  dans 
la  pratique.  Supposons 

P.  =  (i)  «  +  (2)  d'  +  (3)  é  +  (4)  a^  +  etc.. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.        121 

ou  P,  =/W  «'"~S  on  ^iï'era  de  là  P.  =  afin)  «"-'  ^i  —  ~^  ,  ou 

P,  =  (  I  )  ^»  (  1  —  i  )  -f-  (2)  ^U I  —  f  )  +  (3)  ^'  C I  -  i  )  +  elc.  ; 
ensorle  que  les  difïerens  ternies  qui  composent  P^  se  déduisent  des 
termes  qui  composent  P, ,  en  multipliant  ceux-ci  par  a  ,  puis  dimi- 
nuant le  premier  terme  d'un  quarts  le  second  d'un  sixième,  le  troi- 
sième d'un  huitième,  elc. 

Si  on  représente  pareillement  P»  par  fin)  «»",le  coefficient  («)  n'e'tant 

plus  le  même  que  dans  P^ ,  on  en  déduira  P3  ^=fiji)  a*"-^\  (1  — ~TrA)' 
En  général  si  on  fait 

P,  =  (1)  «^  +  (2)  a^-+-  +  (3)  a*+^  +  etc. , 
on  aura  le  coefficient  suivant, 

P..,  =  (0  a'-  (■  _  j^)+  C=)  a-  (.  - ^)+(3)a-(-^)+e.c. ; 

cette  propriété  s'accorde  avec  l'équation  (35),  page  3oi ,  en  y  fai- 
sant 7Î=  |, 

134.  Soit,  par  exemple,  «  =  sin3o°  =  7,  si  l'on  veut  que  tous 
les  coefficiens  P  soient  exacts  jusqu'à  la  septième  décimale  au 
moins ,  il  faudra  admettre  jusqu'au  terme  P^o  ;  car  on  trouve 
Pjo  ==  0.00000  01409;  dans  le  même  cas  on  aurait  A^*°^=  ~  P^, 
=:=  o .  00000  00 1 06.  Ainsi  pour  la  formation  des  coefficiens  A  ,  il  suffi- 
rait de  continuer  la  suite  des  coefficiens  P  jusqu'au  terme  P.^. 

Nous  avons  donné  ci-dessus,  page  291  ,  les  valeurs  des  coefficiens  P 
calculés  jusqu'à  treize  décimales,  pour  le  même  cas  de  «  zrr^  ;  on  en 
pourra  donc  déduire  les  valeurs  des  coefficiens  A  pour  le  module 

9I/2  ., 

c  =  ~-  ,  comme  il  suit  : 

A    =  1.60977  30107  24i  A^'  =  0.00100  59011  174 

A'  =  0.41689  96484  45 1  A^"  =  o.ooo4o  08765  486 

A"  =  0.07912  08719  169  A'""=  0.00016  46010  6o3 

A!"  =.  0.02211  45662  001  A'"  =  0.00006  91522  954 

A'^=  0.00728  38128  5i3  A"    =  0.00002  95838  778 

A'  =  0.00262  88697  3i2  A"'  =  0.0000I  28457  o38 


1 22  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

On  voit  qu'il  faudrait  environ  cinq  termes  de  plus  ^  pour  que  le 

dernier  coefficient  A  ne  fut  pas  d'une  unité  décimale  du  septième 

ordre. 

On  trouvera  également  par  nos  formules  les  valeurs  suivantes 
des  coefficiens  B. 

B    =  0.70902  96066  489  B'"  =  o,oooo3  19080  642 

B'  =  0.16128  i25i8  767  B'"  =  0.00001  07001  774 

B"  =  0.00973  76662  735  B'""=  0.00000  37912  690 

B'"=  0.00169  ^9^7^  1^9  ^"'  =  0.00000  i4oo5  071 

B"=  o.ooo56  94399  3o2  B''    =  0.00000  o534t5  421 
B''  ==  0.00010  26661  764 

Le  terme  suivant  B*'  ne  serait  plus  que  de  deux  unités  décimales  du 
septième  ordre  ;  ainsi  peu  s'en  faut  qu'on  n'ait  atteint  pour  le  déve- 
loppement de  la  fonction  E  ,  la  limite  assignée. 

i55.  On  voit  qu'il  ne  convient  guère  de  passer  la  limiter  =7> 
pour  que  le  développement  des  fonctions  E  et  F,  dans  la  forme 
supposée ,  donne  des  résultats  exacts  jusque  dans  la  septième  déci- 
male ,  et  qu'il  ne  contienne  pas  un  trop  grand  nombre  de  termes  ; 
car  puisqu'on  aurait,  dans  ce  cas,  dix-sept  termes  dans  la  valeur 
de  F,  et  douze  dans  celle  de  E ,  on  voit  qu'il  n'est  guère  possible 
de  passer  un  pareil  nombre  de  termes,  sans  tomber  dans  des  calculs 
prolixes  ,   et  dont  l'exactitude  ne  répondrait  pas  au  travail   qu'ils 

exigent.  La  limite  a=:^  répond  au  module  c  =  — ^,  c'est-à-dire 

à  peu  près  c=.  sin  70*  3o'.  Ainsi  l'usage  de  la  méthode  précédente 
doit  être  restreint  aux  cas  où  l'angle  du  module  ne  surpasse  pas  70°  3o'. 

i56.  On  pourra  cependant  reculer  beaucoup  cette  limite  de  70*30', 
si  on  veut  exprimer  les  fonctions  E  et  F  par  la  variable  ;p°,  comme 

on  a  exprimé  les  quantités  D^  etD"  »  dans  les  art.  176  et  176  de 
la  cinquième  Partie. 

Pour  parvenir  directement  aux  résultats  qu'on  doit  obtenir  dans 
cette  hypothèse  ,  il  faut,  d'après  les  propriétés  connues  (art.  60  et  61, 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES. 

première  Partie)  ,  former  les  équations 


12: 


F  = 


F% 


(i  4_  c*)  E  =  E"  +  c°  sia  (p°  — i  ^"-F", 

dans  lesquelles  F»  et  E°  sont  mis  pour  F  (c%  (p°)  et  E  (c%  (p°). 

Or  il  suit  de  l'analyse  précédente  que  si  c°°  est  <  ^  ,  on  pourra 
développer  les  fondions  F°,  E°  en  suites  suffisamment  convergentes, 
l'une  de  la  forme  Aip"  —  A'  sin  2(p'+A"sin4(p°  —  A'"sin6(p*-|-etc., 
l'autre  de  la  forme  B<?>°  +  B'  sin  2(p°— B"  sin4(p°+ B'"sin6(p"'-— etc.; 
d'où  il  suit  que  les  fondions  E  et  F  pourront  être  exprimées  par  des 
suites  semblables,  auquel  se  joindra  un  nouveau  terme  a  sin  (p°  dans 
la  valeur  de  E  seulement. 

La  valeur  c""'  =  ^  donne  à  peu  près  c'==sin70°3o'  et  c=sin88°2o'. 
Ainsi  le  développement  des  fonctions  E  et  F  peut  être  fait  en  séries 
convergentes  et  qui  n'aient  pas  un  trop  grand  nombre  de  termes , 
pourvu  que  l'angle  du  module  ne  soit  pas  plus  grand  que  88*20'.  Mais 
depuis  70°  3o' jusqu'à  88°  20',  la  variable  <p  devra  être  remplacée  dans 
le  développement  par  la  variable  <p°,  et  on  sait  que  la  relation  entre 
ces  deux  variables  est  donnée  par  l'équation  sin  (^2(p — cp°)  =  c°  sin (p% 
ou  par  l'équation  tang  ( (p° —  (p)  =zb  tang  (p. 

iSy.  Pour  donner  un  exemple  des  développemens  qu'on  peut 
obtenir  en  substituant  la  variable  (p°àla  variable  <p,  nous  supposerons 

comme  ci-dessuSj    c  =-^  ou  c''  =  ^  =  sin  3o°  ;   il   en   résultera 

c°°  =  tang*  i5°;  c'est  la  quantité  qui  doit  être  prise  pour  a  dans  le 
calcul  des  coefficiensPo,  P, ,  Pj,  etc.  ^  d'où  l'on  déduira  les  coefficiens 
A  et  B,  relatifs  au  même  cas. 

Or  en  poussant  l'approximation  jusqu'à  dix  décimales ,  on  trou- 
vera les  résultats  suivans  : 


Pg        Z=  1.00129  3176a         3 

P,  r=:  O.oSSqiS  94^45 
Pa  =.  0.00195  27551 
P3  =   0.0001  I    591,68 

P^  =  o.oooco  72826 

P5  z=   0.00000  04706 

Pt;  =z  0.00000  oo3io 

Py  =  O.OOCOO  00021 
Ps  =  0.00000  0000 1 


A  =  1.07318  20071  5 
A'  =  o.o3855  19021 
A"  =  0.00104  64783 
A'"  :=  Oi 00004  i4^5i 
A'*  =  O.OOCOO  19614 
A^  =  0.00000  01009 
A^'  =  o.coooo  ooo5'5 
A*"  =  o.poooo  oooo3 


B  =  0.93421  5l7o3  q 
W^  =  o.  "03347  15574 
B"  =  o.ooo3o  02161 

B''' r=  0.00000  72401 
B'*  r=  0.00000  02417 
B*  =  0.00000  OOC97 
B^'  =  0.00000  00004 


124  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL.         ' 

Au  moyen  de  ces  coefiiciens ,  on  aura  les  valeurs  suivantes  de  F°  et  E% 

F°  —  A(p°  —  A'sin  2{p°  +  A"sin  4(p°  —  A'"sin  6(p°  +  etc. , 
E°  =  B?>°  +  B'sin  2^=  —  B"sin  4?)^  +  B'"sin  6(p''  —  etc.  ; 

et  enfin  celles  des  fonctions  propose'es  F  et  E ,  savoir, 

F  =  |F%     E  =  fE»-iF'H-isin,r, 

lesquelles  seront  exactes  jusqu'à  la  dixième  décimale.  Or  on  a  vu 
ci-dessus  que  l'expression  des  mêmes  fonctions  ,  par  la  variable  <p  , 
exigerait  un  beaucoup  plus  grand  nombre  de  termes  pour  ne  donner 
que  sept  décimales  exactes. 

Ces  dëveloppemens  ont  l'avantage  de  représenter  les  deux  fonctions 
dans  toutes  les  combinaisons  analytiques  où  elles  peuvent  entrer  ; 
d'ailleurs  les  premiers  coelïiciens  A,  A',  B  ,  B'  qu'il  importe  le  plus 
de  connaître  exactement,  se  trouveront  toujours  avec  toute  la  pré- 
cision qu'on  peut  désirer  par  le  moyen  de  la  Table  des  fonctions 
complètes. 


TABLE  I , 


TABLE  I, 


CONTENANT 


LES  LOGARITHMES  DES  FONCTIONS  COMPLÈTES  F'c,  E'c, 


Calculés  pour  tous  les  angles  du  module  de  dixième  en  dixième  de  degré,  depuis  o* 
jusqu'à  90°,  avec  i4  décimales  pour  les  i5  premiers  et  les  i5  derniers  degrés  du 
quadrant,  et  12  décimales  pour  tous  les  autres  angles  de  i5  à  76  degrés. 

On  y  a  joint  les  différences  premières ,  secondes ,  troisièmes  et  quatrièmes  de  ces 
Logarithmes,  terminés  uniformément  à  12  décimales. 

L'angle  du  module  qui  sert  d'argument  est  désigné  par  5.  C    —  Jv 


o.o 

Log.  E'. 

DifF.  I. 

II. 

m. 

Log.  F'. 

DifF.  I. 

II. 

III. 

0.196  119  877  o3o.i5i   33o  734 

66i  468 

0 

0. 196  1 19  877  o3o. i5 

33o  y54 

661  470 

4 

o.  1 

0.196  119  546  296.02]   992  202 

661  468 

3 

.<o.i96  120  207  764.42 

992  204 

66 1  4y4 

6 

0.2 

0.196  118  554  093.84;  1  653  67c 

66 1  465 

0 

0. 196  lâl  iqq  q68.48 

1  653  678 

661  480 

8 

O.'â 

0.196  116  qoo  49,4.39  2  3i5  i35 

661  465 

3 

0. 196  122  853  646. 11 

2  3i5  i58 

661  488 

12 

0.4 

0.196  ii4  585  288.93 

2  976  600 

661  462 

3 

0. 196  125  168  8o3.6i 

2  976  646 

661  5co 

14 
16 

0.5 

0. 196  m  608  689. 19 

3  638  062 

661  459 

3 

0. 196  128  145  449'79 

3  638  146 

661  5 14 

o.b 

0.196  107  970  627.54 

4  299  521 

661  456 

4 

0. 196  i3i  783  595.98 

4  299  660 

661  53o 

20 

0.7 

0. 196  io3  671  106.64 

4  960  977 

66 1   452 

4 

0. 196  i36  o83  256. 04 

4  961  190 

661  55o 

20 

0.8 

0. 196  C98  710  I2q.83 

5  622  429 

66 1  448 

5 

0. 196  141  044  446.35 

5  622  740 

661  57c 

24 

0.9 

1  .0 

0.196  093  087  700.84 

6  283  877 

661  443 

5 

0. 196  146  667  i85.8o 

6  284  3io 

661  594 

38 

0.196  086  8o3  823.97 

6  945  320J661  438 

7 

0. 196  i52  q5i  495-8i 

6  94^  9^4 

661  622 

27 

I  .  1 

0.196  079  858  503.87 

7  6c6  758 

661  43i 

4 

0.1 q6  lôq  897  400 -35 

7  607  526 

661  649 

33 

1  .2 

0.196  C73  25i  746.30 

8  268  189 

661  4^7 

0.196  167  5o4  925.74 

8  269  275 

66 1  682 

33 

l.'à 

0.196  o63  983  556.62 

8  929  616 

661   418 

6 

0. 196  175  774  101 . 10 

8  930  857 

66i  715 

^7 

i.A 

1.5 

0.196  o55  o53  941.25 

9  591  054 

661  412 
b'6i  4o3 

9 

7 

0,196  184  704  957.89 

9  592  572 

661   752 

40 
40 

0.196  045  4S2  907.07 

10  252  44^ 

0. 196  194  297  53o. 1 1 

10  254  324 

661  792 

i.b' 

0.196  o35  210  461.31 

10  9i3  84q 

661  3q6 

10 

0.196  204  55i  854.35 

10  916  1 16 

661  832 

44 

1-7 

0. 196  024  296  6t 1 .89 

1 1  575  245 

661  386 

8 

0. 196  2i5  4^7  9^9-^^ 

11  577  948 

66 1  876 

48 

i> 

0.  196  012  721  367.  l'A 

12  236  63i 

661  378 

12 

0.196  227  045  917.6c 

12  239  824 

661  924 

48 

1  .c 
2.C 

0.196  coo  Afi^   735.80 

12  898  C09 

661  366 

8 
i3 

0.196  239  285  742.35 

12  901  748 

661  973 

53 

54 

0. 195  987  586  727.42 

i3  559  376 

661  358 

0. 196  253  187  490.54 

i3  563  72c 

662  025 

2.  ) 

0.195  974  027  351.73 

14  220  733 

56 i  345 

10 

0.196  265  751  211.33 

14  225  745 

662  079 

bb 

2.r 

o.ig5  959  806  619.19 

14  882  078 

661  335 

12 

0.196  279  976  956.47 

14  887  824 

662  i35 

60 

2. y 

0. 195  ^44  sH  540.65 

i5  543  4i3 

66 1  323 

i3 

0. 196  2q4  864  780. 17 

i5  549  959 

662  195 

bi 

2.5 

D. [95  929  58 i  127.52 

16  204  736 

661  3io 

i3 

0. 196  3io  414  739.20 

16  212  i54 

662  256 

bb 

67 

0. 195  qi3  176  091 .74 

16  866  046 

661  2q7 

i3 

0.196  326  636  892.86 

16  874  410 

662  321 

2.e 

0.190  896  3io  345.75 

17  537  343 

061  284 

i5 

0.196  343  5oi  3o3.oo 

17  536  731 

662  388 

69 

2.7 

0.195  878  783  002. 5o 

18  188  627 

661  26q 

i3 

0.196  36 1  o38  033.99 

18^99  '19 

662  457 

72 

2.J^ 

û.iq5  860  594  375.47 

18  849  896 

661  256 

i5 

0. 196  379  237  152.72 

18  861  576 

662  529 

7b 

2.q 
3.0 

0.195  841  744  478.65 

19  5i 1  i52 

661  241 

17 
i5 

0.196  398  098  728.66 

19  524  105,662  604 

76 
81 

0.195  822  233  326.59 

20  172  393 

661  224 

0. 196  4^7  622  833.76 

30  186  709 '662  68c 

3.1 

0.195  802  060  934.30 

20  833  617 

661  209 

18 

0.196  4^'j   8cq  542.58 

20  849  389  662  761 

82 

3..Q 

0. 195  781  237  317. 18 

21  494  826 

661  191 

i5 

0.1 q6  458  658  q32.i6 

21  5 12  i5o  662  843 

83 

3.3 

0.195  759  732  491.48 

22  i56  017 

661  176 

19 

0. iq6  480  171  082. i5 

22  174  993 

662  926 

90 

3.4 
3.5 

0.195  737  576  473.79 

22  817  193 

061  157 

18 

o.iq6  5o2  346  oj4-^^ 

22  837  919 

663  016 

87 
94 

0. 195  714  759  281 .20 

23  478  35û 

661  139 

J9 

0. iq6  525  i83  994.43 

23  5oo  935 

663  io3 

3.6' 

0. 195  691  280  93i .40 

24  139  489 

661  12c 

19 

0.196  548  6^4  928.69 

24  164  o38 

663  197 

95 

3.7 

0. 190  667  141  442 -Se 

24  800  609 

661   101 

19 

0.196  572  S4S   967.25 

24  827  235 

663  2q2 

97 

3.8 

0.195  649  340  833. 3o 

25  461  710 

661  082 

22 

0.196  597  676  202.46 

25  490  527 

663  389 

ICO 

3.9 
4.0 

0.195  616  879  122.95 

26  122  792 

661  06c 

19 

0.196  623  166  729.25 

26  i53  916 

663  489 

io3 

0. 195  590  756  33i .28 

26  783  852 

661  041 

22 

0,196  649  320  645.08 

26  817  4o5 

663  592 

104 

4.1 

0.195  563  972  478.62 

27  444  893 

661  Oiq 

22 

0.196  676   i38  049.96 

27  480  997 

663  696 

1C9 

4.2 

0.195  536  "527  580.73 

28  io5  912 

660  997 

23 

0.196  703  6iq  046. 5o 

28  144  693 

663  800 

icq 

4.3 

0.195  5o8  4'-^!  674.06 

28  766  909 

660  974 

23 

0.196  701  763  739.84 

28  808  498 

663  914 

ub 

4.4 
4.5 

0.195  47.9  654  765.50 

29  427  883 

660  95 I 

23 

0.196  760  572  237.68 

29  472  4^2 

664  029 

iiô 
119 

0.195  45o  226  882.48 

3o  088  834 

660  928 

24 

0.196  790  044  65o.35 

3o  i36  44^ 

664  i4ci 

4.6- 

0. 195  420  i38  c48. i5 

3o  749  762 

660  904 

25 

o.iq6  820  181  090.64 

3o  800  583 

664   261 

122 

4-7 

0.195  .389  388  285.96 

3i  410  666 

660  879 

25  0.196  85o  981  674.00 

3i  464  S44 

664  383 

120 

4.80.195  357  977  619.94 

^2  071  545 

660  854 

26  0.196  882  446   518.46 
26  0.196  914  575  j44-^^ 

32  129  227 

S64   5o3 

129 

4.90.195  325  go6  074.82 

^3  7,33  3qQ 

d6o  828 

32  7q3  73c  664  66a 

126 

5.00.195  293  173  675.7833  393  227660  802 

27  !  0.196  947  369  475. 26 1 

33  458  362  664   708 

l32 

e. 

5°o 
5.1 

5.2 

5.3 
5.4 
5.5 
5.6 
5.7 
5.8 

5.9 
6.0 
6.1 

6.2 

6.3 
6.4 
6.5 
6.6 
6.7 
6.8 
6.9 

Log.  E'. 

DifF.  I, 

II. 

III. 

Log.  F'. 

Diff.  I. 

II. 

III. 

0.195  293  173  675.78 
0.195  259  780  448.55 
0.195  225  726  4^9'^^ 
0.195  191  on  61 5. 52 
0.195  i55  636  063.67 

33  393  227 

34  o54  029 

34  714  804 

35  375  552 

36  o36  272 

660  802 
660  775 
660  748 
660  720 
660  690 

27 
27 
28 
3o 
27 

0.196  947  369  475.26 
0.196  980  827  836.82 
0.197  014  9^0   957.06 
0.197  °49  738  967.06 
0.197  080  192  0C0.40 

33  458  362 

34  123  120 

34  788  010 

35  453  o33 

36  118  193 

664  758 

664  890 

665  023 
665  16c 
665  298 

l32 

i33 

137 
i38 
.41 

144 

^47 

149 
i5i 
i55 

157 

109 

i63 

164  . 

167 

173 

171 

176 

178 

181 

182 

188 

186 

^94 
192 

198 
198 

203 

204 

9.08 

0.195  119  599  792.43 
0 . 1 95  082  902  839 . 80 
0.195  045  545  2o5.38 
0.195  007  526  948.53 
0.194  968  848  C89.62 

36  6c)6  962 

37  357  625 

38  018  256 

38  678  859 

39  339  43 1 

660  663 
660  63i 
660  6o3 
660  572 
6'6o  539 

32 

28 
01 
33 
3i 

0. 197  121  3io  193.01 
0.197  i58  093  683.74 
0.197  195  542  613.73 
0.197  233  657  126.96 
0.197  272  437  369.88 

36  783  491 

37  448  950 

38  114  5i3 

38  780  243 

39  446   122 

665  439 
665  583 
6b5  730 

665  879 

666  o3c 

0.194  929  5o8  639.37 
0.194  889  5o8  689.40 
0.194  848  848  211.39 
0.194  807  527  257.95 
0.194  765  545  862.25 

39  999  97° 

40  660  478 
4i  320  953 
4i  981  396 
42  641  804 

660  5o8 
660  475 
660  443 
660  408 
660  375 

33 

32 

35 
33 

36 

36 

34 

38 

37 
38 

0.197  3ii  883  491.58 
°-^97  35 i  995  643.79 
0.197  392  773  980.85 
0.197  434  218  659.68 
0.197  476  329  839.83 

40  112  l52 
40  778  337 

41  444  679 

42  111  180 
42  777  844 

666  i85 
666  342 
666  5oi 
666  664 
666  828 

0.194  722  904  057.95 
0.194  679  601  879.4c 
0.194  635  639  ^61.46 
0. 194  591  016  539.58 
0.194  545  733  449.71 

43  3o2  179 

43  962  5 18 

44  622  821 

45  283  090 

45  943  321 

b6o  339 
660  3o3 
660  269 
660  23 1 
660  194 

0. 197  519  107  683. 5o 
0.197  562  552  355. 5i 
0.197  606  664  023.26 
0.197  65i  442  856.88 
0.197  696  889  029.11 

43  444  672 

44  1 1 1  667 

44  778  834 

45  44^  ^72 

46  n3  686 

666  995 

667  167 
667  538 
667  5 14 
667  692 

7.C 
7-1 

7.3 
7-4 

7.6 

7.8 
7-9 

0.194  499  79°   128.70 
0. 194  453  186  6i3.79 
0. 194  4o5  922  942.78 
0.194  357  999  154.26 
0. 194  309  41 5  287. 11 

46  6o3  5i5 

47  263  671 

47  9 '-^^3  789 

48  583  867 

49  243  906 
42   9o3  904 

50  563  86« 

51  223  778 
5i  883  653 

52  543  483 

660  i56 
660  118 
660  078 
660  o3q 
659  998 

659  «58 

DÔq  916 
659  875 
659  83o 
659  787 

38 
40 
39 
41 
40 

42 

4' 

45 
43 
43 

44 
48 

44 
4^ 

5o 

0.197  743  002  715.22 
0.197  789  784  093.26 
0.197  807  233  343.87 
0.197  885  35o  65o.34 
0.197  934  i36  198.68 

46  781  378 

i7   449  231 
48  117  3c6 
48  785  54q 
i9   453  97^ 

bb7  873 
668  c55 
668  243 
668  429 
668  620 

0. 194  260  171  38i . 16 
0. 194  210  267  476.70 
0.194  i59  7o3  6] 4-66 
0.194  108  479  836.52 
0.194  o56  596  184.47 

0.197  983  090  177.4P 
0.198  o33  712  778.0c 
0. 198  084  5o4  194.^5 
0.198  i35  2H   622.86 
0.198  188  094  263. cF 

5o  122  601 
5o  791  416 
5i  460  429 
02  129  64c 

0  9  799  054 

668  8i5 

669  010 

669  21  1 
669  414 
662    618 

8.0 
8.1 
8.2 
8.3 
8.4 
8.5 
8.6 

^7 
8.8 

8.9 

9.0 

9-1 
9.2 

9-3 

9-4 

9-6 

9-8 

9-9 

10.0 

0.194  004  o52  701.49 
0.193  95o  849  430.81 
0.193  896  986  416.53 
0. 193  842  463  700.39 
0.193  787  281  336.76 

53  9o3  270 

53  863  014 

54  522  714 

55  182  366 
55  841  274 

659  744 
659  700 
659  652 
659  6c8 
G59  562 

0. 198  240  893  316.89 
0. 198  294  .36 1  989.02 
0.198  348  000  486.81 
0.198  4^3  3o9  090.33 
0.198  458  787  802.27 

53  468  672 

54  i38  498 

54  808  533 

55  478  782 

56  149   246 

bbg  826 

670  o3o 
670  249 
670  464 
670  682 

209 
214 

2l5 

218 

221 

224 
225 

23o 

202 
..35 

0.193  73 1  439  362.58 
0.193  674  937  827.48 
0.193  617  776  778.87 
0.193  559  956  264.56 
0.193  5oi  476  333.01 

56  5oi  536 

57  i6i  048 

57  820  5 14 

58  479  932 

59  i59  299 

59  7q8  617 

60  457  885 

61  117  100 

61  776  265 

62  435  376 

659  5io 
659  466 
659  4i8 
659  3G7 
659  3i8 

46 
48 
5i 

49 

5o 

53" 
5o 
54 
53 

54 
"54 

57 
55 
56 

59 
57 

0.198  5i4  937  048.15 
0.198  571  756  976.14 
0.198  629  247  807.05 
0.198  687  409  764.55 
0.198  746  243  074.98 

56  81g  928 

57  490  83 1 

58  161  q58 

58  833  3ic 

59  5o4  892 

b;o  903 
671  127 
671  352 
671  582 
671  814 

0. 193  44a  337  033.79 
0.193  382  538  416.62 

0.193  322  080  532.26 

0.193  260  963  43i.8o 
0. 193  199  187  167.27 

659  2 68 
659  2l5 
659  i65 
659  1 I I 
659  o58 
669  004 
658  95c 
658  893 
658  838 
658  782 
658  7.0,3 

0.198  8o5  747  967.31 
0. 198  865  924  673.35 
0. 198  926  773  427.6c 
0. 198  988  2q4  467.55 
0. 199  o5o  488  o32.5q 

60  176  706 

60  848  755 

61  021  o39 

62  193  566 
62  866  333 

672  049 
672  284 
672  527 
672  7G7 
675  014 

255 
243 
240 
247 
249 
249 
255 
257 
258 
264 
264 

0. 193  i36  751  791 .27 
0.193  073  657  357.24 
0. 193  009  903  919.11 
0. 192  945  491  53 1 .47 
0.192  '880  420  249.87 
0.192  814  690  100.5a 

63  094  434 

63  753  458 

64  412   388 

65  071  q8i 

65  73o  1 1 9 

66  388  901 

0. 199  ii5  354  366.09 
0.199  ^7^   893  713.33 
0. 199  241  106  322.58 
0.199  3o5  992  444-9^ 
0 . I 99  37 1  552  334 . 20 
0.199  437  786  246.87 

63  539  347 

64  212  61c 

64  886  122 

65  559  889 

66  233  913 
66  908  195 

673  263 
673  5l2 

673  767 

674  024 
674  282 

674  546 

/ 


10°0 

Log.  E'. 

Diff.  I. 

II. 

m. 

57 

Log.  F'. 

DifF.  I. 

II. 

m. 

■ 

0. 192 

8i4  690  i3o.52 

66  388  901 

658  723 

0-1,99 

437  786  246.87 

66  908  195 

674  546 

264 

lO.  1 

0.  lg2 

748  3oi  23o.o5 

67  04^   624 

658  666 

60 

a.  199 

5o4  694  442.43 

6j  582  741 

6j4   810 

267 

10.2 

0. 192 

681  253  6o5.85 

67  706  29c 

658  606 

60 

0.199 

572  277  183.09 

68  257  55 1 

675  077 

272 

10.3 

0.192 

6i3  547  316.27 

68  364  ^96 

658  546 

58 

0.199 

640  534  733.75 

68  932  628 

675  349 

273 

10.4 
10.5 

0. 192 

545  1 82  420 . 29 

69  023  44^ 

658  488 

64 
60 

0.199 

709  4^7   362 . I 8 

69  607  977 

675  622 

275 
281 

0. 192 

476  i58  977.59 

69  681  930 

658  424 

0.199  779  075  358.98 

70  283  599 

675  897 

10. G 

0.192 

406  477  048.46 

70  340  354 

658  364 

64 

0.1,99 

849  358  937.54 

70  959  496 

676  178 

280 

10.7 

0.192 

336  i36  694.11 

70  998  718 

658  3oo 

bâ 

0.1M9 

920  3i8  434.08 

71  635  674 

676  458 

286 

10.8 

0.192 

265  i37  976.43 

71  657  °'8 

658  238 

65 

0.199 

991  954  107.6c 

72  3l2  l32 

676  744 

287 

11.0 

0. 192 

193  480  958.04 

72  3i5  256 

658  173 

64 

0.200 

064  266  239.94 

72  988  876 

677  o3i 

'.91 
292 

0.192 

121  i65  702.08 

72  973  429 

658  109 

67 

0.200 

137  255  115.91 

73  665  907 

677  322 

11 . 1 

0.192 

048  192  27a  99 

73  63 1  538 

658  042 

bb 

0.200 

210  921  022.96 

74  343  229 

677  614 

297 

11 .3 

0. 191 

974  56o  735.41 

74  289  58c 

607  977 

68 

0.200 

285  264  25 1 .5?. 

75  020  843 

677  911 

299 

11.3 

0.191 

900  271  154.98 

74  947  557 

657  909 

67 

3.  200 

36o  285  094.87 

75  698  754 

678  21 C 

302 

11.4 

0. 191 

825  323  598.12 

75  6o5  466 

657  842 

70 

D.200 

435  983  849.07 

76  376  964 

678  5l2 

5o4 
3o9 

11.5 

0.191 

749  718  i3i.92 

76   263  3o8 

657  772 

b9 

0.200 

5i2  36o  8i3.i6 

77  o55  476 

678  816 

11.6 

0.191 

673  454  824. S8 

76  921  080 

657  7o3 

70 

0.200 

589  416  289,00 

77  7^4  292 

67Q   ip5 

309 

11.7 

0.191 

596  533  744.18 

77  578  783 

657  633 

71 

0.200 

667   i5o  58i .29 

78  4i3  417 

679  434 

3i4 

11.8 

0. 191 

5i8  954  960.80 

78  236  416 

657  562 

72 

0.200 

745  563  997.70 

79   092  85 I 

679  748 

^16 

11.9 
12.0 

0.191 

440  718  '544.69 

78  893  978 

657  490 

72 

0.2OO 

824  655  848.71 

79  772  599 

680  064 

321 

020 

0.191 

36 i  824  566.65 

79  55 i  468 

b57  418 

75 

0.200 

904  429  447-^^ 

80  452  663 

680  385 

13.1 

0.191 

282  273  098.54 

80  208  886 

657  343 

73 

0 .  200 

984  882  111.37 

81  i33  048 

680  705 

326 

J2.2 

0.191 

202  064  2i3.o3 

80  866  229 

657  270 

76 

0.201 

066  oi5  158.67 

81  8i3  753 

681  o3i 

328 

12.3 

0.191 

121  197  983.88 

81  523  499 

657  ^94 

76 

0.201 

i47  828  91 1 .77 

82  494  784 

681  35q 

33 1 

12.4 
12.5 

0  191 

039  674  "485.29 

82  180  693 

657  118 

76 
78 

0.201 

23o  323  695.83 

83  176  143 

681  69c 

334 
337 

0.190 

957  493  792.36 

82  837  811 

657  042 

0.201 

3i3  499  838.93 

83  857  833 

682  024 

12.6 

0.190 

874  655  980.97 

83  494  853 

656  964 

79 

0.201 

397  357  672.04 

H  539  857 

682  36. 

340 

12.7 

0.190 

791  161  128.05 

84  i5i  817 

656  885 

78 

0.2O1 

481  897  529. 12 

85  222  218 

682  701 

142 

12.8 

0. 190 

707  009  3i 1 .07 

84  808  702 

656  807 

81 

3.201 

567  119  •j47  •  11 

85  904  9'9 

683  043 

347 

12.9 

i3.o 

0. 190 

622  200  608.55 

85  465  509 

656  726 

81 

J.201 

653  024  665.87 

86  587  962 

683  390 

348 
352 

0. 190 

536  735  099.87 

86  122  235 

656  645 

82 

0.201 

739  612  628.24 

87  271  352 

b83  738 

i3.i 

0.190 

45o  612  865.02 

86  778  880 

656  563 

83 

0.2O1 

826  883  980,09 

87  955  090 

684  090 

356 

l3.2 

0. 190 

363  833  985.17 

87  435  443 

656  480 

80 

3.201 

914  839  070,22 

88  639  18c 

684  446 

356 

i3.3 

0. 190 

276  398  542.28 

88  091  923 

656  397 

85 

3  .  202 

oo3  478  250.43 

89  323  626 

684  8C2 

36 1 

i3.4 

i5.5 

0.190 

188  3o6  619.1488  748  320 

656  3i2 

8b 

0.202 

092  801  875.58 

90  008  428 

685  i63 

365 
367 

0. 190 

099  558  299.07 

89  404  6-^2 

656  227 

87 

0.202 

182  810  3o3.55 

90  693  591 

685  528 

i3.6 

0. 190 

010  i53  666.SS 

90  060  859 

656  140 

86 

0.202 

273  5o3  895.16 

91  379  119 

685  8q5 

369 

i3.7 

0.189 

920  092  807,90 

90  716  999 

656  o54 

89 

0.202 

364  883  014,36 

92  o65  014 

686  264 

^74 

i3.^ 

0.189 

829  375  808.54 

91  373  o53 

655  965 

89 

3.202 

456  948  028.02 

92  751  278 

686  638 

575 

.3.9 
14.0 

0. 189  738  C02  755.87 

92  029  018 

655  876 

90 
91 

0.202 

549  699  3o6 . 1 8 

93  437  916 

687  01 3 

38o 
382 

0.189  645  973  738.18 

92  684  894 

655  786 

0 .  202 

643  i37  221 .85 

94   124  929 

687  395 

14.1 

0.189 

553  288  844-38 

93  340  680 

655  695 

92 

0.  202 

737  262  i5i . 14 

94  812  322 

687  775 

586 

14.2 

0. 189  459  948  164.42 

93  996  375 

655  6o3 

92 

0.202 

832  074  473.25 

95  5oo  097 

688  161 

387 

14.3 

0.189 

365  gSi  789.31 

94  65 1  978 

655  5ii 

94 

0.202 

927  574  570.41 

96  188  258 

688  548 

393 

14.4 
14  5 

0 . 1 89 

271  299  810.82 

95  307  489 

655  417 

94 

0.2o3 

023  762  827.94 

96  876  806 

688  941 

^94 
398 

0. 189 

175  992  321 .62 

95  962  906 

655  323 

97 

o.2o3 

120  639  634-36 

97  565  747 

689  355 

14.6 

0.189 

080  029  4i5.6o 

96  618  229 

655  226 

9^' 

0 .  2o3 

218  2o5  38i . i5 

98  255  082 

689  733 

4oo 

14.7 

0.188 

q83  411  187.28 

97  273  455 

655  i3o 

98 

o.2o3  3i6  460  463.02 

98  944  81 5 

690  i33 

406 

14.8 

o.i88 

886  1 37  732.31 

97  928  585 

655  o32 

100 

o.2o3 

4i5  4'^^   277.75 

99  634  948 

690  539 

4o5 

14.9 

0.188 

788  209  147.27 

98  583  617 

654  9^2 

98 

o.2o3  5i5  040  226.25 

100  325  487 

690  944 

419 

i5.o|o.i88 

689  €25  529.78 

99  238  552 

654  834 

101 

o.2o3  6i5  365  712.62 

ICI  016  43i 

691  356 

4i3 

9. 

Log.  E'. 

DifF.  I. 

II. 

III. 

Log.  F'. 

DifF.  I. 

II. 

III. 

i5^o 

0.188  689  6a5  53o 

99  238  552 

654  834 

lOl 

o.2o3  61 5  365  713 

loi  oi6  43i 

691  356 

4i3 

i5.i 

o.i88  590  38b'  978 

99  893  386 

654  733 

100 

o.2o3  716  382  \/^ 

lox  707  787 

691  ^iSq 

4^7 

l5.2 

0.  i88  490  49^  592 

100  548  119 

654  633 

io3 

o.2o3  818  089  931 

102  399  556 

692  186 

4^9 

i5.3 

0.188  389  945  473 

101  202  752 

654  53o 

104 

o.2o3  920  489  487 

io3  091  742 

692  6o5 

4M 

i5.4 
i5.5 

0. 188  288  742  721 

101  857  282 

654  A'2-^ 

10b 

0.204  C23  58 1  229 

io3  784  347 

693  029 

427 

0.188  186  885  439 

102  5ii  708 

654  321 

106 

0.204  ^27  365  570 

104  477  376 

693  455! 

428 

i5.6 

0.188  084  373  731 

io3  166  029 

654  217 

107 

0.204  23i  842  952 

io5  170  832 

693  884 

433 

.5.7 

0, 187  981  207  702 

io3  820  246 

654  110 

1C9 

0.204  337  Gi3  784 

io5  864  716 

ec,4  3i7 

437 

i5.8 

0.187  ^11  387  456 

104  j^f^  356 

654  001 

107 

o.2c4  A^^o.   878  5oc 

ic6  559  o3i 

6s4  7^4 

438 

i5,9 

0 . 1 87  772  913  1 00 

io5  128  357 

653  894 

1 12 

0.204  549  437  53^} 

1C7  253  787 

695  192 

444 

16.0 

0.187  667  784  743 

io5  782  25 1 

653  782 

109 

0.204  656  691  320 

107  948  979 

695  636 

445 

16.1 

0. 187  562  C02  492 

106  436  c33 

653  673 

ii3 

0.204  'J^A   640  299 

io8  644  61 5 

696  081 

449 

16.2 

0.187  455  566  459 

107  089  706 

653  56o 

ii3 

0.204  873  284  914 

;o9  340  696 

696  53o 

453 

16.3 

0.187  348  é^-/^  753 

107  743  266 

653  447 

ii3 

0.204  982  625  610 

1 10  o37  226 

696  983 

455 

i6\4 

0. 187  240  733  /if^'j 

108  096  713 

653  334 

116 

o.2o5  092  662  836 

1 10  734  209 

697  438 

459 

16.5 

0. 187  i32  336  774 

109  o5o  047 

653  218 

116 

o.2o5  2o3  397  045 

111  43i  647 

697  897 

463 

16.6 

0. 187  023  286  727 

109  703  265 

653  102 

i'9 

o.2o5  3i4  828  692 

112  129  544 

698  36o 

4H 

16.7 

0.186  913  583  462 

110  356  367 

652  983 

ii6 

o.2o5  /l^i'^  958  236 

112  827  904 

698  824 

4ji 

16.8 

0. 186  8o3  227  095 

1 1 1  009  35o 

652  867 

122 

o.2o5  539  786  i4o 

ii3  526  728 

699  295 

47^ 

l6\,q 

0. 186  692  217  745 

111  662  217 

652  745 

1^9 

o.2o5  653  3i2  868 

I i4  226  023 

699  766 

477 

17.0 

0.186  58o  555  528 

1 12  3i4  962 

652  626 

123 

o.2o5  'j^']   538  8qi 

ii4  925  789 

700  243 

478 

17.1 

0.186  468  240  566 

112  967  588 

652  5o3 

122 

o.2o5  882  /^<^/^   680 

1 15  626  o32 

700  721 

483 

17.2 

0.186  355  272  978 

1 i3  620  091 

652  38 1 

126 

o.2o5  998  090  712 

1 16  326  753 

701  204 

485 

17.3 

0.186  241  652  887 

ii4  272  4/2 

652  255 

124 

0.206  114  417  465 

117  027  957 

701  689 

49^ 

17.4 
17.5 

0.186  127  38o  4i5 

114  924  727 

652  i3i 

128 

0.206  23 1  /^/^  4^.2 

117  729  646 

702  180 

491 

0.186  012  455  688 

u5  576  858 

652  oo3 

127 

0.206  349  175  c68 

1x8  43i  826 

702  671 

437 

17.6 

0.1 85  896  878  83o 

116  228  861 

65 1  876 

128 

0.206  467  606  894 

119  i34  497 

7o3  168 

499 

17.7 

0. i85  780  649  969 

116  880  737 

65 i  748 

l32 

0.206  586  741  391 

119  837  665 

703  SGj 

5o3 

17.8 

0.1 85  663  769  232 

117  532  485 

65 1  616 

129 

0.206  706  579  o56 

120  541  332 

704  170 

507 

17.9]  0.1 85  546  236  'j^'j 

118  184  101 

65 1  487 

i34 

0.206  827  120  388 

121  245  50Q 

704  677 

5ii 

18.0 

0.1 85  428  o52  646 

118  835  588 

65 1  353 

i37 

0.206  9/48  365  890 

121  960  179 

705  i88 

5l2 

18.1 

0.  i85  3o9  217  o58 

119  486  941 

65 1  216 

i34 

0.207  070  3i6  069 

122  655  367 

705  70c 

5i7 

18.2 

0. i85  189  73o  1 17 

rao  i38  157 

65 1  082 

i33 

0.207  ^92  97 ï  436 

123  36 1  067 

706  217 

522 

18.3 

0. i85  069  591  960 

120  789  239 

65o  949 

139 

0.207  3i6  352  5o3 

124  067  284 

706  73q 

523 

18.4 
18.5 

0.184  948  802  721 

121  440  188 

65o  810 

140 
109 

0.207  44^  399  787 

124  774  023 

707  262 

5.7 

0.184  827  362  533 

122  090  998 

65o  670 

0.207  565  173  81c 

125  481  280 

707  789 

533 

18.6 

0.184  705  271  535 

122  74i  668 

65o  53i 

143 

0.207  690  655  oq5 

126  189  074 

708  322 

533 

'Il 

0.184  582  529  867 

123  392  iqq 

65o  388 

141 

0.207  816  S44   169 

126  897  396 

708  855 

539 

18.8 

0.184  459  137  668 

124  042  587 

65o  247 

145 

0.207  943  741  565 

127  606  25 1 

709  394 

542 

18. q 

0.184  335  095  081 

124  6q2  834 

65o  102 

14b' 

0.208  071  547  816 

128  3i5  645 

709  936 

546 

19.0 

0. 184  210  402  247 

125  342  936 

649  95(^' 

^/,^ 

0.208  iqq  663  461 

129  025  58 I 

710  482 

548 

19.1 

0.184  o85  oSq  3ii 

125  992  892 

649  810 

148 

0.208  328  68q  04*? 

129  736  o63 

711  o3c 

553 

19.9 

0. i83  959  066  419 

126  642  702 

649  662 

i5i 

0.208  458  4^5  io5 

i3o  447  093 

711  585 

557 

19.3 

0. i83  832  4^3  717 

127  292  364 

649  5i3 

l52 

0.208  588  872  198 

i3i  158  676 

712  14c 

56o 

,9.5 

o.i83  705  i3i  353 

127  941  877 

649  36 I 

i5i 

0.208  720  o3o  874 

i3i  870  816 

712  700 

564 

o.i83  577  189  476 

128  591  238 

649  210 

i54 

0.208  85 1  901  690 

i32  583  5i6 

71 3  264 

5-37 

19.6- 

0.1 83  448  598  238 

129  240  448 

649  o56 

i54 

0.208  984  485  206 

i33  296  780 

713  83i 

572 

19-7 

0. i83  319  357  790 

129  889  5o4 

648  902 

i58 

0.209  ^ '7  781  986 

1 34  010  611 

714  400 

574 

19.8 

0.1 83  189  468  286 

i3o  538  406 

648  j/,^ 

i56 

0.209  ^^^  79^  ^97 

i34  725  014 

7^4  977 

^79 

'9-.9 

0.1 83  o5"8  929  880 

i3i  187  i5o 

648  588 

161 

0.209  386  5i7  61 1 

i35  439  991 

7i5  55S' 

583 

20,0 

0. 182  927  742  730 

i3i  835  738 

648  427 

^59 

0.209  ^21  9^7  602 

i36  i55  547 

716  139 

585 

6. 

20°  0 

Log.  E'. 

Diff.  I. 

II. 

m. 

Log.  F'. 

DifF.  I. 

II. 

IIL 

'• 

0. 182  927  742  730 

i3i  835  738 

648  427 

iDg 

0.209  521  957  602 

i36  i55  547 

716  109 

585 

20.1 

0. 182  7q5  906  992 

i32  484  i65 

648  268 

162 

0.209  658  1 i3  149 

i36  871  686 

716  724 

590 

20.a 

0. 182  663  422  827 

i33  i32  435 

648  106 

164 

0.209  794  984  83d 

137  588  410 

717  3i4 

595 

20.3 

0. 182  53o  290  394 

i33  780  539 

647  942 

i65 

0.209  932  573  245 

i38  3o5  724 

7^7  Î)^B 

596 

20.4 

0.182  396  609  855 

i34  428  481 

647  777 

166 

0.210  070  878  969 

139  023  633 

718  5c5 

6o3 
604 

20.5 

0..182  262  08 1  374 

i35  076  258 

b"47  61  1 

167 

0.210  209  902  602 

139  742  i38 

719  108 

20.6 

0. 182  127  co5  116 

i35  723  869 

Hl  AAA 

170 

0.210  349  ^44  740 

140  461  246 

719  712 

609 

■ 

20.7 

0.181  991  281  247 

i36  371  313 

647  274 

171 

0.210  490  iû5  986 

141  180  958 

720  321 

614 

20.8 

0.181  854  909  9^4 

137  018  587 

'q^J   io3 

172 

0.210  63i  286  944 

141  901  279 

720  935 

616 

20.9 

0.181  717  891  347 

137  665  690 

646  93 1 

•74 

0.210  773  188  223 

142  622  214 

721  55 1 

620 
626 

'T 

21  .0 

0.181  58o  225  657 

!38  3i2  621 

646  757 

175 

0. 210  915  810  437 

143  343  765 

722  171 

21  .  1 

0. i8i  ^^\   9i3  o36 

i38  q59  378 

^^   582 

178 

0.311  o59  i54  202 

144  o65  936 

722  j^j 

627 

21  .Q 

0.181  3o2  953  65^ 

139  6o5  96c 

^^Ç)  4o4 

177 

0.211  2o3  220  i38 

144  788  733 

723  424 

634 

21  .? 

0.181  i63  347  %^ 

140  252  364 

^4^  227 

181 

0.211  348  008  871 

145  5i2  157 

724  o58 

635 

21.4 
21,5 

0.181  023  095  334 

140  898  591 

646  046 

i8i 
184 

0.211  493  521  028 

146  236  2i5 

724  693 

642 

0. 180  882  196  745 

141  544  637 

645  865 

0.211  639  757  243 

146  960  908 

725  335 

644 

21  .6 

0. 180  740  652  lof 

142  190  502 

645  681 

184 

0.211  786  718  l5l 

(47  686  243 

725  979 

648 

21.7 

0. 180  598  461  604 

142  836  i83 

645  497 

186 

0.211  934  4o4  394 

148  412  222 

726  627 

652 

21.8 

0. 180  455  625  421 

143  481  680 

645  3 i 1 

189 

0.212  082  816  616 

149  l38  84q 

727  279 

657 

21.0 

32  .  C 

0. »8o  3i2  143  74' 

144  126  991 

645  122 

189 

0.212  23i  955  465 

r49  866  128 

727936 
728  597 

661 

665 

0. 180  168  016  75c 

144  772  ii3 

^44  933 

188 

0.212  38 i  821  593 

i5o  594  064 

22.  1 

o.iSo  023  244  637 

'45  4' 7  04^ 

HA  74^ 

193 

0.212  532  4'5  657 

l5l  322  661 

729  262 

668 

23  .  •,' 

0. 179  877  827  591 

146  061  787 

^44  548 

194 

0.212  683  738  3i8 

i52  c5i  921 

729  93o 

672 

22.3 

0. 179  731  7B5  804 

146  706  335 

H4  354 

^97 

0.212  835  790  241 

i52  781  853 

730  602 

678 

22.4 
0.2. .  5 

0. 179  585  c59  4^0 

147  35o  689 

H4  167 

1,97 

0.212  988  572  C94 

i53  5i2  455 

73i  280 

682 

0. 179  4'5j   708  780 

'47  .9.94  846 

643  960 

201 

o.2i3  142  084  549 

i54  243  735 

731  962 

684 

0,0. .  b' 

0.179  289  713  934 

148  638  8g6 

643  759 

201 

o.2i3  29S  328  284 

'54  B7^   697 

732  Q4Q 

689 

.  22.7 

0. 179  141  075  128 

149  282  565 

643  558 

202 

o.2i3  45 1  3o3  981 

i55  708  343 

733  335 

695 

29.8 

0. 178  991  792  563 

149  926  123 

643  356 

204 

o.2i3  607  012  324 

1 56  441  678 

734  o3o 

^S7 

22.9 

0.178  841  866  44c 

i5o  569  47^ 

643  l52 

210 

0.21 3  763  4^4  °^2 

157  175  708 

734  727 

703 

23.0 

c. 178  691  296  961 

i5i  212  63i 

642  942 

209 

o.2i3  920  629  710 

157  910  435 

735  430 

706 

23.1 

0.178  540  084  33c 

i5i  855  573 

642  733 

209 

0.214  078  540  145 

i58  645  865 

736  i36 

711 

23.  0 

0.178  388  228  757 

i52  498  3o6 

642  524 

2l3 

0.214  237  186  oto 

159  382  001 

736  847 

7^4 

23.3 

0. 178  235  730  45 1 

i53  140  83o 

649  3ii 

2l3 

0.214  396  568  01 1 

160  118  848 

737  56 1 

720 

23.4 

23.5 

0. 178  082  589  621 

i53  783  141 

642  098 

214 

0.214  556  686  859 

r6o  856  409 

738  281 

724 
727 

0. 177  928  806  48c 

i54  4^5  239 

641  884 

216 

0.214  717  543  268 

161  594  690 

739  oo5 

23.6 

0. 177  jj^  38i  241 

i55  067  123 

641  668 

221 

0.214  879  137  958 

162  333  695 

739  732 

733 

23.7 

0. 177  619  3i4  1 18 

i55  708  791 

64 i  447 

222 

0.21 5  041  47'^   '^53 

i63  073  427 

740  465 

736 

23.8 

0. 177  463  6o5  327 

i56  35o  238 

641  225 

225 

0.21 5  204  545  080 

i63  8i3  892 

74i  201 

742 

20.  q 

0. 177  307  255  089 

i56  991  463 

64 i  00c 

224 

o.2i5  368  358  972 

164  555  093 

741  943 

745 

24.  C 

0. 177  i5o  263  626 

i57  632  463 

640  776 

227 

o.2i5  532  914  o65 

i65  297  o36 

742  b«8 

75 1 

24. 1 

0. 176  992  63 1  160 

i58  273  239 

640  549 

227 

o.2i5  698  211  101 

166  o39  724 

743  439 

753 

24.2 

0.176  834  357  924 

l58  qi3  788 

640  322 

233 

0.21 5  864  25o  825 

166  783  i63 

744  192 

760 

24.5 

0. 176  675  /^i^/^   i36 

159  554  »  10 

640  089 

232 

0.216  o3i  o33  q88 

167  527  355 

744  9^2 

7b3 

24.4 

0. 176  5i5  890  026 

160  194  199 

639  857 

234 

0.216  198  56i  343 

i68  272  307 

745  7i5 

768 
773 

24.5 

0. 176  355  690  827 

160  834  obs 

639  623 

237 

o.2i6  366  833  65o 

169  018  022 

j4S  483 

24.6 

0. 176  194  861  771 

161  473  679 

639  386 

240 

0.216  535  85i  672 

169  jQ4  5o5 

747  256 

777 

24.7 

0.176  o33  388  092 

162  11 3  o65 

639  146 

239 

0.216  705  616  177 

170  5i 1  jQi 

748  o33 

782 

24.8 

0. 175  871  275  027 

162  752  ai  1 

638  907 

243 

0.216  876  127  938 

171  259  j^4 

748  8i5 

786 

24.9 

0. 175  708  522  816 

. 63  39 1  118 

638  664 

246 

0.217  047  387  732 

172  008  609 

749  6c 1 

7B0 

26.0 

0. 175  545  i3i  ^^?' 

164  029  782 

638  418 

245 

0.217  219  396  341 

72  758  210 

760  39 1 

798 

~ 

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Log.  E'. 


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z5. 1 

25.2 

25.3 

25-4 


25.5 
25.6 
25.7 
25.8 
25.9 
26.0 
26. 1 
26.2 
26.3 
26.4 


28.5 
23.6 
28.7 
28.8 
28.9 

29.0 
29 . 1 
29.2 

29 
2.9 -4 
29.5 
29.6 

29-7 
29.8 

29  9 

3o.o 


75  545 
75  38 1 
75  216 
75  o5i 
74  885 


i3i  698 

loi  916 
433  716 
127  345 
i83  o4y 


74  7'8 
j4  55 1 
74  383 
74  21 5 
74  045 


601  079 
38 1  691 
525  iSg 
o3i  68"i 
901  575 


73  876 
73  7o5 
73  534 
73  363 
73  190 


i35  o83 
732  46^ 

693  999 
019  941 
710  565 


72  844 
72  669 
72  495 
72  319 


766  144 
186  952 
973  268 

125  370 

643  541 


72  143 
71  966 

71  789 

71  6 1 1 
71  4^2 


528  o63 
779  224 
397  3l2 
382  618 
735  43s 


71  253 
71  073 
70  893 
70  711 
70  53o 

70  24j 
70  164 
69  980 
69  796 
69  6n 


456  061 
544  792 
001  93o 
827  777 
022  640 


586  827 
520  648 
824  417 

498  449 
543  06;? 


69  495 
69  239 

OC)  o52 

68  865 
68677 
68  488" 
68  299 
68  109 
67  918 
67  727 


958  578 
745  320 
903  614 
433  789 
336  176 
6ii  109 
258  925 

-"79  9^4 
6y4  568 
443  082 


67  535 
67  343 

67  '49 
S6  956 
66  761 
66  566 


585  853 

103  232 

995  5^3 
263  202 
906  568 
925  94'^- 


DifF.  I. 


G 4  029 

64  668 

65  3o6 

65  944 

66  58 1 


67  219 
6j  856 

68  493 

69  1 3o 
69  766 


jo  402 
71  o38 

71  6y4 

72  309 

73  944 

73  579' 

74  2i3 

74  H7 
76  481 
76   1 15 


76  748 

77  38 1 

78  C14 

78  G47 

79  -"-79 

79  9«i 

80  542 

81  174 
8i  8o5 

82  435 


II. 


164 
906 
648 
386 


83  066 

83  696 

84  325 

84  955 

85  584 


86  2.3 

86  841 

87  4% 

88  C97 
88  720 


89  352 

89  978 

90  6o5 

91  23l 

91  857 


92  482 

90  732 
'94  356 
94  980 


621 
659 
341 
664 
626 


III. 


63o 
629 
639 
629 
628 


117 


626 
626 
626 
625 
695 


777 
435 
090 
743 
392 


625 
694 
624 
623 
623 


o38 
682 
393 
962 

"596 


go  604  222  623  229 


291 

294 
295 

ôoi 


Los.  F' 


219  396 
392  i54 
565  663 
739  922 
914  934 


341 
55 1 

l52 

942 

720 


090  699 
267  217 

444  49^ 
622  517 
8oi  3oi 


980  842 
161  i4i 
342  198 
524  014 
706  591 


290 
463 
o54 
882 
770 
547 
048 
1  II 

3oi 


889  929 
074  028 
258  891 

444  5"i7 
63o  908 

I18  o65 
oo5  987 
194  677 
384  i35 
574  362 


i3c 
925 

548 
868 
758 


765  359 
957  127 
149  ^66 
342  979 
537  064 


°97 
767 

6S9 

665 

6^_ 

620 
383 

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927  5So 
123  972 
321  162 
5i9  i3o 


o65 
783 
893 
342 
082 


0.223 
0.223 
0.224 
0.224 

0.224 


717  877 
917  404 
1 17  712 
3i8  8o3 
520  676 


070 
270 
65o 
184 
85c 


0.224 
0.224 
0.225 
0.225 
0.225 


723  334 
926  777 
i3i  C06 
336  022 
541  826 


C.225 
0.225 
0.226 

o  226 
0.226 
0.226 


748  420 
955  8o3 
1^63  978 
372  945 
582  705 
793  259 


635 
528 
527 
633 
854 

203 

700 
370 

245 

36o 

758 


758  210 
5o8  601 
259  790 
01 1  778 
764   570 


76 

77 
78 

78 

73. 
8o' 

81 
81 
82 

83 


5i8  173 
272  591 
027  828 
783  888 

540  777 


84 
84 
85 
86 
87 


298  5oi 
057  o63 
816  468 
576  722 
337  829 

099  795 
862  623 

626  320 

390  890 
i56  339 


87 
88 

89 

90 

9^ 

91 

92 

93 

34 

94 


922  670 
689  892 
458  006 
227  019 
996  936 


II. 


III. 


798 

799 
804 
811 
8i5 


819 
823 
829 
835 
838 


767  763 
539  5o4 
3i2  164 
o85  749 
860  265 
635  718 

4^2  110 
189  449 
967  740 

74^  988 


39 

200 

201 
201 
202 
2o3 
204 
2o5 

2o5 
206 


527  200 
3o8  38c 
090  534 
873  666 
657  785 
442  893 
228  999 
016  "106 

804  221 
593  349 


347 

9^2 

9^7 
9^4 
968 


207 
208 
208 
209 
210 

2H 


383  497 
174  670 
966  875 
760  ii5 
554  398 
349  73 1 


786 
787 
788 
789 

790 


e. 

Log  E>. 

Difi*.  I. 

II. 

III. 

Log.  F'. 

DifF.  I. 

II. 

III. 

1 

3o°o 

0. 166  566  925  942 

195  604  222 

623  229 

372 

0.226  793  269  75^ 

211  349  73i 

796  387 

1060 

3o.i 

0. 166  371  321  720 

196  227  45 i 

622  857 

372 

0.227  004  609  489 

212  146  118 

797  447 

1068 

3o.Q 

0. 166  175  094  269 

196  85o  3o8 

622  485 

377 

0.227  216  755  ècj 

212  943  565 

798  5i5 

1079 

•ôo.'à 

o.z65  978  243  961 

•97  47^   793 

622  108 

38o 

0.227  429  699  172 

2i3  742  080 

799  587 

1079 

3o.4 
3o.5 

0. i65  780  771  i68 

198  094  901 

621  728 

383 

0.227  ^43  44^  ^^2 

214  541  667 

800  ^QS 

io85 
1092 

0. i65  582  QjS  267 

198  716  629 

621  345 

385 

0.227  857  982  919 

21 5  342  333 

801  751 

3o.6 

0.1 65  383  959  638 

'99  337  ^j4 

620  960 

389 

0.228  073  325  252 

216  144  084 

802  843 

1096 

3o.7 

0 . 1 65  1 84  '62 1  Q^4 

199  958  934 

620  571 

392 

0.228  289  469  336 

216  946  927 

8o3  93q 

1104 

3o.8 

0. 164  984  662  73o 

200  579  5o5 

620  179 

395 

0.228  5o6  4^6  263 

2:7  750  866 

8o5  043 

11 10 

3o.9 

0.164  784  o83  225 

201  199  684 

619  784 

4o3 

0.228  724  167  129 

218  555  909 

806  i53 

1118 

3i  .0 

0.164  582  883  541 

201  819  468 

619  387 

0.228  942  723  o38 

219  362  062 

807  271 

1121 

3i.i 

0.164  38i  064  073 

202  438  855 

618  984 

404 

0.229  ^^2  °85  100 

220  169  333 

808  3q2 

1 129 

3l.2 

0. 164  178  625  218 

2o3  067  809 

618  fe8o 

406 

0.229  382  254  433 

220  977  725 

809  52  1 

ii36 

3i.3 

0 . 1 63  975  567  379 

2o3  GjQ  419 

618  174 

412 

0.229  ^°3  232  i58 

221  787  246 

810  657 

1142 

3i.4 

0. i63  771  890  960 

2o4  294  593 

617  762 

4i5 

0.229  825  019  404 

222  597  903 

811  799 

1147 

3i.5 

0.1 63  567  596  367 

2o4  912  355 

617  347 

4^7 

o.23o  047  617  307 

223  409  702 

812  946 

1157 

3i,6" 

0. i63  362  684  012 

2o5  529  702 

616  93o 

419 

o.23o  271  027  C09 

224  222  648 

814  io3 

1160 

3i.7 

0. i63  157  i54  3io 

2c6  ij^   632 

6 1 6  5 1 1 

425 

o.23o  /^^S   249  657 

225  o36  75 1 

8i5  263 

1168 

3i.8 

0. 162  951  007  678 

206  763  143 

616  086 

427 

o.23o  720  286  408 

225  852  014 

816  43i 

1174 

3l.q 

0.162  ^44  244  535 

207  379  229 

61 5  659 

432 

o.23o  946  i38  422 

226  668  445 

817  6o5 

1184 

32.0 

0.162  536  865  3o6 

207  094  888 

6i5  227 

433 

o.23i  172  806  867 

227  486  o5o 

818  789 

1188 

32.  1 

0. 162  528  870  4i8 

208  bio  ii5 

614  794 

437 

o.23i  4°°  292  917 

228  3o4  839 

819  977 

1193 

32.2 

0. 162  120  260  3o3 

209  224  909 

614  357 

442 

o.23i  628  597  756 

229  124  816 

821  170 

12o3 

32.3 

0. i6i  911  o35  394 

209  839  266 

6i3  915 

443 

o.23i  857  722  572 

229  b4^  986 

822  373 

1208 

32.4 
32.5 

0.161  701  196  128 

210  453  181 

6i3  47'^' 

44^ 

0.232  087  668  558 

23o  768  359 

893  58 1 

I2l5 

0.161  490  742  947 

21 1  066  653 

6i3  023 

45i 

0.232  3i8  436  917 

23 1  591  940 

824  796 

1223 

32.6 

0. 161  279  676  294 

211  679  676 

6i2  572 

455 

0.232  55o  028  857 

232  4' 6  736 

826  019 

1229 

32.7 

0. 161  067  996  6i8 

212  292  248 

612  117 

457 

0.232  782  ^/^b   593 

233  242  755 

827  248 

1236 

32.8 

0. 160  855  704  370 

212  904  365 

611  66g 

4^6 

0.233  oi5  688  348 

254  070  co3 

828  484 

1244 

33.9 

0. 160  642  800  oo5 

2i3  5i6  025 

611  197 

467 

0.233  249  758  35 1 

234  898  487 

82q  728 

1259 

33. c 

0. 160  429  283  980 

214  127  222 

610  730 

467 

0.233  484  656  838 

935  728  2i5 

83o  980 

1255 

33.1 

0. 160  21 5  i56  758 

214  737  952 

610  263 

474 

0.233  720  385  o53 

236  559  195 

832  235 

1266 

33.2 

0. 160  000  4' 8  806 

2l5  348  91 5 

609  789 

477 

0.233  956  944  248 

237  391  43o 

833  5o) 

1272 

33.3 

0.  lôg  785  070  5q] 

2i5  958  004 

609  3l2 

479 

0.234  194  335  678 

938  224  931 

834  773 

1279 

33.4 
33.5 

0 . 1 59  569  1 1 2  587 

216  567  3i6 

608  833 

485 

0.234  432  56o  609 

939  o59  704 

836  o59 

1987 

0. 159  352  545  271 

217  176  149 

608  348 

488 

0.234  671  620  3i3 

939  895  756 

837  339 

1994 

33.6 

0. i5q  i35  369  122 

217  784  497 

607  860 

491 

0.234  911  5 16  069 

240  733  095 

838  633 

i3oi 

35.7 

0. i58  917  584  620 

218  392  357 

607  36q 

49^' 

0.235  i52  249  164 

241  571  728 

839  934 

i3o8 

33.8 

0. i58  699  192  268 

218  999  726 

Qo^   P73 

4q8 

0.235  393  820  899 

242  41 1  662 

841  242 

1017 

35.9 

0. i58  480  192  542 

219  606  599 

606  375 

5o5 

0.235  636  232  554 

943  252  904 

842  55q 

i324 

54.  c 

0. i58  260  585  943 

220  212  974 

6o5  870 

5o5 

0.235  879  485  458 

244  095  463 

843  883 

i332 

34.1 

0. i58  040  372  969 

220  818  844 

6o5  365 

5l2 

0.236  123  58o  921 

944  939  346 

845  21 5 

i337 

34.2 

0. 167  819  554  125 

221  ^2/^   20q 

604  853 

5i4 

0.236  368  590  267 

945  784  56 1 

846  552 

1348 

34.3 

0. i57  598  129  qi6 

222  029  062 

604  339 

520 

0.236  614  3o4  828 

246  63i  ii3 

H7  9°o 

i354 

34.4 

0.157  376  108  854 

222  633  401 

6o3  819 

522 

0.236  860  935  94' 

247  479  01 3 

84q  9,54 

i363 

34,5 

0. i57  i53  467  4^3 

223  237  220 

6o3  297 

598 

0.237  108  4i/^  954 

248  328  267 

85o  617 

i368 

34.6 

0. i5G  930  23o  233 

223  840  5l7j6o2  Jl)^ 

53o 

0.207  356  743  221 

249  178  884 

^5i  q85 

i38o 

34.7 

0. i56  706  389  71 ô 

224  44^  286  602  239 

535 

0.237  6o5  922  io5 

25o  o3o  869 

853  365 

i384 

34.8 

0.1 5b  481  ^/i^  43o 

225  045  525  601  704 

53q 

0.237  855  952  974 

25o  884  234 

854  74^ 

1395 

34.9 

o.i56  256  900  qo5  925  ^/^j   229:601  i65 

545 

0.238  106  8"'>7  208 

25 1  738  983 

856  144 

1401 

35.0 

o.i56  c3i  253  676226  248  094600  620 

546 

0.238  358  576  191 

253  595  127 

857  545 

i4to 

9. 

35°  o 

Log.  E'. 

DifF.  I. 

11. 

III. 

Log.  F' 

Diir.  I. 

II. 

III. 

0. i56  o3i  253  676 

226  248  394 

600  620 

546 

0.238  358  576  191 

262  595  127 

857  545 

i4ic 

35.  ] 

0.  i55  8o5  oo5  282 

226  849  oi4 

600  074 

552 

0.238  61 i  171  3i8 

253  4-^2  672 

858  955 

1417 

35.2 

0.1 55  578  i5S  268 

227  449  088 

599  522 

556 

0.238  864  623  990 

254  3i 1  627 

860  379 

1427 

35.3 

0. i55  35o  707  180 

228  048  610 

598  966 

56 1 

0.23g  1 i8  935  617 

203  171  999 

86 1  79q 

1434 

35.4 
35.5 

0. i55  122  658  570 

228  647  576 

598  4o5 

563 

56q 

0.239  374  107  616 

256  o33  798 

^63  23: 

i44 
145c 

0.  i54  894  C'io  994 

229  245  981 

597  842 

0.239  ^^^   '4^  4M 

256  897  o3i 

864  67^ 

35.6' 

0. i54  664  765  oi3 

229  843  823 

597  273 

575 

0.239  887  o38  445 

257  "61  707 

866  126 

146c 

35.7 

0. i54  4'54  9^21  '9° 

23o  44^  096 

596  698 

575 

0.240  144  800  l52 

258  627  833 

867  586 

1467 

35.8 

0. i54  204  480  094 

23 i  037  794 

596  123 

584 

0.240  4o3  427  985 

259  4^5  419 

869  o55 

147b- 

35.9 
36.  c 

0.  i53  973  44^-   3oo 

23 1  633  9 1 7 

5q5  539 
594  953 

586 
591 

0.240  662  923  4'^4 

260  3B4  472 

^.70  529 

i486 
1492 

o.i53  741  808  383 

232  229  4^^ 

0.240  923  287  876 

261  235  00 i 

872  oi5 

36.1 

0.  i53  5o9  578  927 

232  824  409 

594  362 

595 

0.241  184  522  877 

26a  107  016 

873  5o7 

i5oi 

36.2 

0. i53  976  754  718 

233  418  771 

593  7G7 

601 

0.241  44^  ^29  893 

262  980  523 

875  co^ 

l5l2 

36.3 

0.1 53  043  335  747 

234  012  538 

593  166 

604 

0.241  709  610  4i6 

263  855  53 1 

876  52C 

i5i9 

36.4 
36.5 

0. i52  809  323  209 

234  60 5  704 

592  562 

609 

0.241  973  465  947 

264  732  o5i 

878  o3p 

1529 
i536 

0. i52  574  717  5o5 

235  198  266 

591  953 

614 

0.242  238  197  9q8 

265  610  090 

879  56^ 

36.6 

0. i52  339  5i9  239 

235  790  219 

591  339 

618 

0.242  5o3  808  088 

266  489  658 

881  104 

ib47 

■ày.y 

0,  i52  io3  729  020 

236  38 1  558 

590  721 

624 

0.242  770  297  746 

267  370  76a 

882  65 1 

i554 

35. 8 

0.  i5i  867  347  4^^- 

236  972  279 

590  097 

627 

0.243  037  668  5o8 

268  253  4i3 

884  205 

i564 

35.9 

o.i5i  63o  375  i83 

237  562  376 

589  470 

634 

0.243  5o5  921  921 

269  i37  618 

885  769 

1574 
i583 

37.0 

0. i5i  39a  812  807 

238  181  846 

588  836 

637 

0.243  575  059  539 

270  023  587 

887  343 

37.1 

0. i5i  i54  660  961 

208  740  682 

588  199 

642 

0.243  845  082  927 

270  910  j'^o 

888  926 

1589 

37.2 

0. i5o  915  920  279 

23q  328  881 

587  557 

648 

0.244  ^i5  993  657 

271  799  656 

890  5i5 

iÇo3 

37.3 

0 . 1 5o  H76  59 i  398 

239  916  438 

586  909 

65 1 

0.244  387  793  3i3 

272  690  171 

892  118 

1609 

37.4 

0 . 1 5o  4^^  ^74  960 

240  5o3  347 

586  258 

659 

0.244  660  483  484 

273  582  289 

893  727 

1622 

07.5 

0. i5o  196  171  6i3 

241  089  6o5 

585  599 

660 

0.244  934  o65  773 

274  476  016 

895  349 

1627 

37.6 

0. 149  955  082  008 

241  675  204 

584  9^9 

667 

0,245  208  541  789 

275  371  365 

896  976 

i638 

07.7 

0. 149  713  406  804 

242  260  145 

584  ^72 

673 

0.245  483  913  i54 

276  268  341 

898  fei4 

i65o 

37.8 

0.149  4?'^   146  661 

242  844  41 5 

583  599 

677 

0.245  760  181  495 

277  166  955 

900  264 

1657 

^^7-9 

0. 149  228  3o2  246 

243  4^-8  014 

582  922 

683 

687 

0.246  037  348  45o 

278  067  219 

901  921 

l66q 

38. 0 

0.148  984  874  232 

0.44  010  936 

582  239 

0.246  3i5  4i5  669 

278  969  14c 

903  590 

1677 

38.1 

0.148  740  863  296 

^244  593  175 

58i  552 

692 

0.246  594  384  809 

279  '872  73o 

9o5  267 

1686 

38 .  u 

0. 148  49S  270  121 

245  174  727 

58o  86c 

699 

0.246  874  257  539 

280  777  997 

906  955 

•%9 

38.3 

0. 148  25 1  095  394 

245  755  587 

58o  161 

702 

0.247  i55  o35  536 

281  684  q5c 

908  652 

1707 

38.4 
38.5 

0.148  oo5  339  807 

246  335  748 

579  459 
578  749 

710 
712 

0.247  436  720  486 

282  593  602 

910  35q 

1717 

0. 147  759  C04  059 

246  915  207 

0.247  719  3i4  088 

283  5o3  961 

912  076 

1728 

38.6 

0.147  5i2  088  859. 

247  493  956 

578  037 

7'9 

0.248  002  818  o4q 

284  4' 6  0^7 

913  804 

1738 

38.7 

0  j47  264  594  896 

248  071  993 

577  5i8 

726 

0.248  287  234  086 

285  329  841 

9i5  542 

'747 

38.8 

0. 147  oi6  522  903 

248  649  3ii 

576  599, 

729 

0.248  572  563  q27 

286  245  383 

917  28q 

'7^9 

38 .  q 

39.  c 

0.146  767  873  592 

249  225  9o3 

575  863 
575  127 

^736 
740 

0.248  858  809  3io 

9.87  162  672 

918  c48 

1771 
1778 

0.146  5 18  e4j  689 

249  801  766 

0.249  145  971  982 

288  081  720 

990  819 

39. 1 

0.146  268  845  923 

25o  376  893 

074  38? 

748 

0.249  4^4  o53  702 

289  002  53q 

922  5q7 

178q 

3q.9 

0. 146  018  469  o3o 

25o  95 1  280 

573  639 

760 

0.249  7^3  o56  241 

289  925  i36 

924  386 

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39.3 

0. 145  767  517  75o 

25 I  524  919 

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o.25o  012  981  377 

290  849  522 

926  187 

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09.4 

0. 145  5i5  992  83 1 

252  097  '808 

572  i3c 

765 
767 

0.200  3o3  83o  899 

991  775  709 

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1 82 1 

09.5 

0.145  263  895  023 

202  669  938 

371  365 

o.25o  5q5  606  608 

292  703  709 

929  821 

i833 

39.6 

0. 145  01 1  225  o85 

253  241  3oô 

570  598 

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o.25o  888  3io  317 

293  633  53o 

93i  654 

1843- 

39-7 

0.144  737  983  782 

253  811  901 

569  823 

781 

o.25i  i8i  q43  847 

994  565  184 

933  497 

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39.8 

0.144  5o4  171  881 

254  38i  724 

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0.25l  47^   Soq  o3i 

295  498  683 

935  35o 

1868 

39-9 

0. 144  249  790  157 

254  95o  766 

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o.25i  772  007  714 

296  4^4  035-937  22c 

1879 

40.0 

0.143  994  839  391 

2o5  519  021 

567  4^3 

798 

0.252  068  44^  749 

297  371  255^939  099 

1886 

6. 

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II. 

III. 

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798 

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297  371  255 

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1886 

40.1 

0.143  739  320  370 

566  665 

8o5 

0.252  365  81 3  004 

298  3io  354 

940  985 

1901 

40.2 

0.143  483  233  886 

256  653  149 

565  860 

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0.252  664  123  358 

299  25 i  339 

942  886 

1912 

40.3 

0.143  226  58o  737 

267  219  009 

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8.7 

0.252  963  374  697 

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944  798 

1923 

40.4 

0. 142  969  36i  728 

267  784  060 

564  234 

823 

0.253  263  568  922 

3oi  139  023 

946  721 

1934 
1948 

40.5 

0. 142  711  577  668 

258  348  294 

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828 

0.253  564  707  q45 

3o2  o85  jÂf^ 

948  655 

40.6 

0. 142  453  229  374 

258  911  705 

562  583 

834 

0.253  866  793  689 

3o3  034  399 

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1956 

40.7 

0. 142  ^^^  317  669 

259  /^i^  288 

56 1  749 

841 

0.254  169  828  088 

3o3  985  002 

952  559 

1971 

40.8 

0.141  934  843  38i 

260  o36  o37 

56o  908 

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0.254  ^1^  81 3  09c 

3o4  937  56 1 

954  53o 

1982 

40.9 

41. c 

0. 141  674  807  344 

260  596  945 

56o  061 

855 

0.254  778  750  65 1 

3o5  892  091 

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0. 141  i^i^  210  399 

261  157  006 

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858 

0.255  084  642  742 

3o6  848  6o3 

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20c5 

41.1 

0. 141  i53  o53  393 

261  716  212 

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867 

0.255  391  491  345 

307  807  1 10 

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0.140  891  337  i'8i 

262  274  56o 

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0.255  699  298  455 
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3o8  767  622 

962  53o 

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4. .3 

0. 140  629  062  621 

262  832  041 

556  609 

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309  73o  i52 

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41.4 

0. 140  366  23o  58o 

263  388  65o 

555  730 
554  844 

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0.256  317  796  229 

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41.5 

0. 140  102  841  930 

263  944  38o 

0.256  628  490  942 

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968  66c 

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0.139  838  897  55c 

264  499  224 

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0.256  940  i52  260 

3i2  629  978 

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41.7 

0.139  574  398  326 

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0.257  253  782  238 

3i3  600  706 

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41.8 

0. i39  309  345  148 

265  606  25 1 

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0.257  ^^'^   382  ^^ 

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320  454  789 

987  738 

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2198 

0.137  438  538  565 

269  451  882 

545  622 

962 

0.259  788  944  686 

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0.137  169  086  683 

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42.7 

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0.260  432  819  666 

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0. i36  628  547  oi5 

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0.260  756  244  240 

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2249 

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0. i36  357  461  i55 

271  628  579 

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0.261  ^0^   078  624 

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326  414  277 

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2268 

43.1 

0.1 35  8i3  662  258 

272  71 1  067 

539  754 

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0.261  732  492  901 

327  4i5  337 

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2282 

43.2 

0. i35  540  95i  191 

273  25o  821 

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0.262  069  908  238 

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0. i35  267  700  37c 

273  789  571 

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0.262  388  326  903 

329  424  275 

1007  907 

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43.4 

43.5 

0.1 34  993  910  799 

274  327  3l2 

536  722 

1027 

0.262  717  75i  178 

33o  452  182 

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0.134  719  583  487 

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0.263  048  i83  36o 

33 1  442  402 

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43.6 

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275  399  729 

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1042 

0.263  379  625  762 

532  454  949 

1014  887 

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43.7 

0. i34  169  3i9  724 

275  934  393 

533  622 

1047 

0.263  712  080  711 

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1017  242 

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43.8 

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0.264  045  55o  547 

334  487  078 

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2387 

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0. i33  616  917  3i6 

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0.264  38o  037  625 

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0.264  715  544  3i6 

336  528  691 

1024  400 

44.1 

0. i33  062  084  617 

278  062  563 

529  383 

1077 

0.265  o52  073  007 

337  553  091 

1026  816 

2431 

44.2 

0. l32  784  322  o54 

278  591  946 

528  3o6 

1090 

0.265  389  626  098 

338  579  907 

1029  247 

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44.0 

0. i32  5o5  730  108 

279  120  252 

527  216 

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0.265  728  206  oo5 

339  609  i54 

1  o3 1  ^QfJif 

2463 

44.4 

0.1 32  226  609  856 

279  647  468 

526  122 

iio3 

0.266  067  8i5  159 

340  640  848 

io34  i57 

24q5 

44.5 

0. i3i  946  962  388 

280  173  590 

525  019 

1111 

0.266  408  456  007 

341  675  oo5 

io36  636 

44.6 

o.i3i  'Ç>Ç,^  788  798 

280  698  609 

523  908 

1 120 

0.266  750  i3i  012 

342  711  641 

io39  i3i 

2bo8 

44-7 

0. i3i  386  090  189 

281  222  517 

522  788 

1 126 

0.267  099  842  653 

343  750  772 

ic4i  63q 

2626 

44.8 

0. i3i  104  867  672 

281  745  3o5 

521  662 

1.37]  0.267  436  5q3  4o,5| 

M^  792  4" 

io44  i65 

3545 

44-q 

0.1 3o  823  122  367 

282  266  9S7 

020  525 

11  43; 

0.267  781  385  836 

345  836  576 

i 046  710. 

l'bh'j 

m 

45.0 

0.1 3o  540  855  400 

282  'j'&j   492019  382 

1 153' 

0.268  127  222  412 

346  883  286 

1049  267; 

1):^^^^ 

nr 


45°  o 

45.1 
45.2 

45.- 
45.4 

45.5 

45 
45 

45.8 

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46.1 
46.2 

46.3 
46.4 
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46.6 
46. 
46.8 
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47- 
47- 

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47 
47-6 

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47 

47 


48.  c 

48.1 
48.2 
48 
48.41 

48.5 
48.6 

48.7 
48.8 
48.9 


Log.  E'. 

100  540  855 
i3o  268  067 

129  974  7^» 

129  690  935 

129  406  595 

129  121  735 

128  836  362 

128  55o  47^ 

128  264  077 

127  977  168 


127  689  748 
127  401  8jq 
127  1 i3  383 
126  834  44^ 
126  534  994 
126  245  043 
125  954  590 
125  663  635 
125  372  181 
125  oHo  228 


4oo 

908 

o34 
g3i 

7.59 
687 
892 
562 
890 
080 

344 
qoî> 
086 


DilF.  I. 


282 
283 
283 
284 
284 
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285 
286 
286 
287 


787  492 
3o6  ^jA 
825  io3 
342  172 
858  072 


IL 

519  382 
5i8  229 
517  069 
5i5  900 
5i4  7^3 


372  795 
886  33o 
398  672 
909  8io 
419  736 


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288 
288 
341289 
Ô93  289 


819 
479 
^4^ 
5m 

459 


290 
290 
291 
291 
92 


124  787  778 
124  494  83-1 
ia4  201  390 
123  907  456 
123  6i3  029 


123  3i8  112 
123  022  706 

122  726  8i2 

122  4^0  4^1 
122  i33  565 


121  836  2i5 
121  538  383 

121  240  070 
120  94.1  278 
120  642  007 


120  342  2b"o 

120  042  o38 

119  741  342 
119  440  174 

119  i38  535 


49 
49 
49  • 
49 
_49.. 

49 
49 
49 
49 

00.0 


1 1 8  836  427 
118  533  852 
1 18  23o  810 
1 17  927  3o3 
117  623  334 


097 

737 
700 

3i8 

932 

892 

559 
3i3 
5o5 
55:. 
848 
800 
83o 
367 
855 
738 

484 
564 
46c 
665 
682 
027 
227 
817 
345 


92  946  36o 
293 
293 

^4  426  386 
294  917  040 


928  442 
435  916 

942  l52 

447   '4' 

95o  874 


5i3  535 
5i2  342 
5 II  i38 
509  926 

5o8  706 


507^  474 
5o6  236 
5o4  989 
5o3  733 

5o2  ^Çt'o 


III. 


453  340 
954  53o 

454  438 
953  002 
45o  362 


DOl  190 

499  908 
498  614 
497  3io 
495  998 


494  ^77 

441  037493  345 

934  382I492  004 

490  654 

489  293 


295 
295 
296 
'96 

•^'97 


"^97 
298 
298 

^^99 
299 


406  333 
894  256 
38o  798 
865  952 
349  705 
"832~J48 
3i2  970 
792  463 
270  5i4 
747  1 1 5 


487  923 
48€  542 
485  i54 
483  753 
482  343 


480  922 

479  493 

478  o5i 
4'jÇ>  601 
475  i39 


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3oo 
3oi 
5oi 

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1 17  3i8  903 
117  oi4  012 
1 16  708  663 
1 1 6  402  867 
1 16  096  595 
ii5  789  881 


369 

459 
198 

176 

99^ 

"^79 


222  254 
695  920 
168  104 
638  790 
107  983 


5o2 
3o3 
3o3 
3o3 
3o4 

3^ 
5o5 
3o5 
3o6 
3o6 
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575  655 
o4i  80C 
5o6  4*0 
969  472 
43o  976 


890  9 I o 
349  261 
8c6  022 
261  178 

7^4^  7'9 
160  633 


473  m^ 
472  184 

470  6 
469  1 
467  672 


^'à^  145 
464  610 
463  062 
461  5o4 
459  934 


458  35 1 
456  761 
455  i56 
453  541 
45i  914 
45o  276 


Log.  F' 


0.268  127 
0.268  474 
0.268  822 
0.269  171 

0.269  521 


222  4'2 
io5  698 
o38  25 i 
022  647 
06 i  478 


0.269  872 
0.270  224 
0.270  577 
0.270  931 
0.271  287 


z57  353 
3i2  898 
53o  756 
8i3  587 
164  070 


0.271  643 
0.272  001 
.273  359 
0.272  719 
0.273  080 


DifF.  I. 


346 

347 
348 
35o 
35 1 
352 
353 
354 
355 
356 


883  286 
932  553 
984  396 
o38  83 

095  875 


i55  545 
217  858 
282  83 1 
35o  483 
420  828 


II. 


584  898 
078  785 
648  461 
296  675 
026  192 


57 
358 
359 
36o 
36 1 


0.273  ^\ 
0.273  804 
0.274  168 
0.274  533 
0.274  899 


839  799 
740  298 
73o  5ic 
81 3  27^ 
99»  459 


0.275  267 
0.275  635 
0.276  oo5 
0.276  375 
0.276  747 


267  9^2 
645  595 
127  365 
716  178 
414  99° 


i535 
i548 
i558 
1570 
i583 


0.277  120 
0.277  494 
0.277  869 
278  245 
278  622 


226  778 
154  537 
201  285 
370  o58 
663  913 


0.279  °°^ 
0.279  38o 
,279  761 
0.280  143 
0.280  526 


o85  928 
639  202 
326  856 
i52  o3o 
117  8 


0.280  910 
0.281  295 
0.281  681 
0.282  069 
0.282  458 


227  61 5 
484  417 

891  021 
452  179 
169  ^€4 


0.282  848 
0.283  239 

0.283  63i 
0.284  024 
0.284  4^9 


047  272 

088  322 

296  i57 
^'jàf  142 
225  665 


0.284  814 
0.285  211 
0.285  609 
0 . 286  009 
0.286  409 
0.286  811 


954  i38 
863  998 

955  706 
255  'j/i^'j 
706  629 
371  888 


493  887 

56q  676 
648  2l4 

729  5i7 
810  607 


362 
363 
565 
366 

367 

368 
369 
570 
371 
372 


9°o  499 
990  212 
082  768 
178  181 

276  ^'jli 


377  663 
481  770 
588  8i3 
698  812 
811  788 


373 

375 

377 
378 

'^79 
38o 

38 1 

382 

384 


927  759 
046  748 
168  773 
293  855 
422  oi5 


553  274 
687  654 
825  174 
965  858 

109  727 


385 
386 
387 
388 

% 
391 
3g  2 
393 

394 
395 

396" 
398 

399 

400 

4oi 
403 


256  802 
407  ic4 
56o  658 
717  485 
877  608 


o4i  c5o 
207  835 
377  985 
55 1  523 
728  473 


908  860 
093  708 
280  04 i 
470  882 
665  259 
863  195 


049  267 
o5i  843 
o54  435 
057  044 
059  670  2643 


III. 


2576 
2592 
2609 
2626 


062  3i3 
064  973 
067  652 
070  345 
073  cSg 


2660 
2679 
2S93 
2714 
2730 


075  789 
078  538 
08 1  3o3 
084  090 
086  892 


089  7i3 
092  556 
095  4i3 
098  292 
01  190 


04  107 
07  043 

09  999 
12  976 
i5  971 


18  989 

22  025 

25  082 

28  160 


3i 


209 


2749 
2765 
2787 
2802 


2843 
2857 
287g 
2898 
29'7 


293b' 
2956 

2977 
2995 
3oi8 


34  38o 

37  520 

40  Ç>%/^ 
45  869 
47  075 


5o  3o2 
53  554 
56  827 
60  120 
63  442 


66  785 
70  i5c 
73  538 
76  gSo 
80  387 


83  S4i^ 
87  333 
90  841 
94  ^77 
97  9^6 
01  5:^x 


3o36 
3o57 
3078 
3099 

3l21 

3 140 
3i64 
3i85 

3206 
3227 


3202 
3273 
3296 
3319 

3143. 

3365 

3388 

5412 

5431 

5461 


5485 
^5o8 
3536 
5559 
5584 
36io 


e. 

Log  E', 

Diff.  I. 

II. 

III. 

Log.  F'. 

Diflf.  I. 

II. 

III. 

5o°o 

0. ii5  789  881  279 

3o7  166  633 

45o  276 

i65i 

0.286  811  371  888 

402  863  195 

1201  520 

36 10 

5o.  1 

0 , 1 1 5  482  7 1 4  64^ 

3o7  616  909 

448  625 

1662 

0.287  214  235  o83 

404  064  715 

i2o5  i3o 

3637 

5o.2 

0. 1 i5  176  C97  737 

3o8  o65  534446  963 

.673 

0.287  6j8  299  798 

4o5  269  845 

1208  767 

3662 

5o.3 

0. 114  867  o3a  2o3 

3o8  5i2  497 

445  290 

1686 

0.288  C23  569  643 

406  478  612 

1212  429 

3688 

00.4 

0.114  558  519  706 

3o8  967  787 

443  604 

1699 

0.288  43o  048  255 

4C7  691  041 

1216  1 17 

3714 

3743 

5o.5 

0. 114  249  56 i  919 

309  401  391 

441  905 

1709 

0.288  837  739  296 

408  907  i58 

1219  83i 

bo.6 

0. 1 13  94°  16°  '^28 

309  845  296 

440  196 

1723 

0.289  246  64^  4^4 

410  126  989 

1223  574 

3769 

00.7 

0. l l3  600  317  232 

3io  283  492 

438  473 

1733 

0.289  656  773  44^ 

411  35o  563 

1227  343 

3794 

5o.8 

0. 1 i3  320  o33  740 

3io  721  965 

436  740 

•748 

0.2q0  068  124  006 

4:2  577  906 

i23i  i37 

3824 

50.9 
5i  .0 

0. 1 i3  009  3ii  775 

3ii  i58  705 

434  992 

1759 

1772 

0.290  480  701  912 

4i3  809  043 

1234  961 

385 1 

0.112  6q8  i53  070 

3ii  593  697 

433  233 

0 .290  894  5io  955 

41 5  044  004 

1238  812 

388o 

bi.i 

0.112  386  559  373 

3i2  026  qâo 

43i  461 

.784 

0 . 29 1  309  554  959 

416  282  816 

1242  692 

3907 

ai. 2 

0.112  074  532  443 

3i2  458  091 

429  Gjj 

1798 

0.291  725  837  yjB 

417  525  5o8 

1246  599 

3936 

5i.3 

0. m  762  074  o59 

3i2  888  068 

42J   879 

1809 

0.292  143  363  283 

418  772  1C7 

i25o  535 

3965 

5i  .4 
5i.5 

0.111  449  i85  984 

3t3  3i5  947 

426  070 

1823 

0.292  562  i35  390 

420  022  642 

1254  5co 

3994 

0. 1 I 1  i35  870  037 

3i3  742  017 

424  247 

.837 

0.292  982  i58  o32 

421  277  142 

1258  4s4 

4023 

5i  .6 

0. 1 10  822  128  020 

3i4  16S   264 

422  410 

1847 

0.293  4^5  435  174 

422  535  636 

1262  517 

4o55 

5i.7 

0.110  607  961  756 

3i4  588  674 

420  563 

.863 

0.293  825  970  810 

423  798  ]53 

1266  572 

4082 

5i.8 

0.110  193  373  082 

3i5  009  237 

418  700 

1876 

o.2g4  249  768  963 

425  064  725 

1270  654 

4^^4 

5..9 

0.109  8)8  363  845  3i5  427  937 

416  824 

1887 

0.294  6j4  833  688 

426  335  379 

1274  768 

4>44 

52.0 

0. 109  562  935  908 

3i5  844  761 

414  937 

1903 

0.295  101  169  067 

427  610  i47 

1278  912 

4175 

62. 1 

0. 109  247  091  147 

3i6  259  698 

41 3  o34 

1916 

0.295  528  779  21/ 

428  889  o59 

1283  087 

4207 

32.2 

0. 108  930  83i  449 

3i6  672  732 

411  118 

.928 

0.295  957  668  273 

43o  172  146 

1287  294 

4238 

52.3 

0. 108  614  i58  717 

317  o83  85o 

409  190 

^944 

0.296  387  840  4^9 

43 1  459  440 

1291  532 

4269 

52.4 
52.5 

0. 108  297  074  867 

317  493  040 

407  246 

■  956 

0.296  819  299  859 

02  75o  972 

1295  801 

4302 

0. 107  979  58 1  827 

317  900  286 

4o5  290 

'970 

0.297  252  o5o  83 1 

i34  046  773 

i3oo  io3 

4334 

52.6 

0. 107  661  681  541 

3i8  3o5  576 

4o3  320 

.985 

0.297  686  097  60/ 

i35  346  876 

i3o4  4^7 

4368 

02  .7 

0. 1C7  343  375  965 

3i8  708  896401  335 

'999 

0.298  121  444  4^^ 

436  65i  3i3 

i3o8  8o5 

4400 

52.8 

0. 1C7  024  667  069 

319  1 10  23i  3q9  336 

20l3 

0.298  558  095  '/(^'^■ 

457  960  1 18 

i3i3  2o5 

44M 

52.9 
53.  c 

0. ic6  705  556  858 

3i9  5o9  567397  3y.3 

2026 

0.298  996  o55  91 1 

439  273  323 

i3i7  639 

44^7 

0. 106  386  047  271 

319  906  890395  297 

2c4l 

0 . 299  435  329  234 

440  590  962 

i322  106 

45oi 

53.! 

0. 106  066  i4o  38 1 

320  3o2  187 

393  256 

2057 

0.299  ^7^  9^°  ^9^ 

44^  913  068 

1326  607J4537  1 

53.2 

0. ic5  745  838  iq4 

320  695  44^ 

391  199 

2071 

o.3co  3i7  833  2iS4 

443  239  675 

i33i  144 

4572 

53.3 

0. io5  425  142  751 

321  086  642 

389  128 

2084 

o.3oo  761  072  93q 

444  570  819 

i335  716 

460b 

53.4 
53.5 

0. ic5  io4  o56  109 

321  475  770 

387  044 

■l  1  00 

o.3oi  2o5  643  jSi- 

445  906  535 

i34o  3&1 
1344  963 

4642 

0. 104  782  58o  33q 

321  862  814 

384  944 

2  I  1  5 

o.3qi  65 1  55û  29'' 

447  246  856 

4678 

53.6 

0. 104  4^0   717  525 

322  247  758 

382  829 

2l3o 

o.3g2  098  797  149 

448  591  819 

1349  64' 

47.5 

53.7 

0.  ic4  i38  4^2   767 

322  63o  587 

38o  699 

Î145 

o.3o2  547  388  968 

449  941  46c 

1354  356 

4749 

53.8 

o.io3  8i5  839  i8o 

323  oi 1  286 

378  554 

21  59 

o.3o2  997  33o  428 

45 1  295  816 

1359  ic5 

4788 

55.9 
34.  c 

0. ig3  492  827  894 

323  389  840 

376  395 

1.176 

o.3o3  448  626  244 

453  654  921 

i363  895 

4827 

0. ic3  169  438  o54 

323  766  235 

374  219 

2190 

o.5o3  901  281  i65 

454  018  814 

i368  720 

4862 

54.1 

0. 102  845  671  819 

324  140  4'^4 

372  029 

2206 

o.3o4  355  299  979 

455  387  554 

1373  582 

4901 

54.2 

0. 102  521  53 1  365 

324  5i2  483 

369  8a3 

2223 

o.3o4  810  687  5i3 

456  761  1 16 

1378  483 

4q/io 

54.3 

0.  1C2  ] 97  018  882 

324  882  3c6 

367  60C 

2236 

o.3c5  267  44^   629 

458  1^9  599 

i383  423 

4980 

54.4 
54.5 

0.  ICI  872  i35  676 

325  249  906 

3b5  364 

2255 

o.3o5  725  588  228 

459  523  02P, 

i388  4o3 
1393  4'îo 

3C17 

0. 101  546  886  670 

325  6i5  270J363  loq 

2267 

o.3o6  i85  111  25o 

460  91 1  425 

3060 

54.6 

o.ici  221  271  4co 

325  q78  579i36o  842 

2287 

o.3o6  646  022  675 

462  3o4  845 

i3q8  480 

5097 

54.7 

0.  ICO  8q5  2q3  021 

326  539  -221  358  555 

23oo 

o.3o7  108  327  520 

453  703  325 

i4o3  577 

5i4i 

54.8 

0. ICO  568  953  800 

326  697  7761355  255 

23 iq   o.3c7  672  o3o  845 

465  106  902 

1408  7)8 

5i8i 

54-9 

0.  ICO  242  £56  024:327  o54  o3i  353  936 

2333   o.3o8  o37  137  747 

466  5i5  '620 

i4i3  898 

5222 

OD.O 

0.099  916  2C1  9931327  407  967351  6o3 

2.35 1   o.3o8  5o3  653  367 

467  929  5i8 

1419  120 

5264 

Log.  E' 


0.99 

099 

099 
098 

C98 


098 

097 
097 
09  S 


916  201 
587  794 
260  o34 
93x  925 
6o3  4^9^ 
2/4  6^9 
945  527 
616  045 
286  22S 
956  072 


99^ 
026 

456 

634 

9^7 

718 

409 
416 

174 

i34 


096 

096 
095 

095 

095 


625  585 
294  769 
963  626 
"632  ï57 
3oo  367 


767 
559 
012 

649 

009 


094 
<^94 

094 
093 

093 


968  256 

635  829 
3o3  087 
970  o33 

636  669 


649 

145 

09 

^97 

794 


DifT.  I. 


327 
327 
328 
328 
328 


407  967 
759  570 
108  822 
455  707 
800  209 


329 
329 

oôo 

33o 


142  309 
481  993 
819  242 
i54  040 
486  367 


33o 
33i 
33 1 
33 1 
33a 

332 
332 
'333 
333 
333 


816  208 
143  547 
468  363 
790  640 
1 10  36o 


IL 


35 1 

349 
346 
344 
342 

339 
337 
334 
332 
399 


6o3 

259 

885 
5o2 
100 


327 
324 

322 
3lQ 

3.7 


093 
092 
092 
092 
091 


3o2  999 
969  bV5 
634  760 
3oo  176 
965  307 


83 1 
875 
612 
74s 
001 


333 
334 
334 
334 
335 


091 
091 

090 
090 
090 


63o  144 
294  690 
958  950 
622  924 
286  "616 


089 
089 
o8q 
088 


088 
087 
087 
087 
086 


95o  o3o 
61 3  167 
276  o3o 
938  623 
600  949 


,086 
,086 
,o85 
o85 
_o85_ 
.084 
,084 
,084 
o83 
o83 
.083 


263  010 
924  809 
586  35o 
247  635 
908  667 


869 
025 
392 

790 
061 
066 
685 
820 
393 
346 
642 
265 
219 
53\ 


427  5o4 
742  o54 
o53  994 
363  3o3 
669  963 


3i4 
3ii 

309 
3o6 
3o3 


973  956 
275  263 
573  866 
869  745 
162  880 


335 

335 
336 
336 
336 


453  202 

740  844 
025  633 
307  602 
586  729 


336 
337 
337 

357 
337 


862  995 
i36  38 
4o6  865 
^74  427 
9^9  047 


569  45o 
229  986 
890  27g 
5'5o  33 1 
210  146 


247 
437 
190 
6"i8 
854 


338 
338 
338 
338 
339 
339 
339 
539 
34b 
340 


869  728 
529  078 
188  aoi 
847  099 
5o5  776 
164  235 


o56 
401 
088 
341 

404 

547 


200  704 
459  377 
715  046 
967  688 
'217  284 


684 
249 
79B 
327 

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339 
816 

277 
720 
144 


55o 
940 
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66b 
993 


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235 1 
2367 
2383 
2402 
2416 


2435 
2451 
2471 
2486 

25o2 


2523 

2539 
■3557 
2676 

2594 


3oi 

298 

295 
293 

290 

H^ 
284 
281 
279 

276 
273 
270 
267 

264 

261 


3o7 
6o3 

^79 
i35 
572 
592 
789 

9^9 

127 

266 


258 
255 

202 

249 
246 


386 

4^4 
562 
620 
657 
673 
669 
649 
596 
526 


463  810 
707  247 
947  572 
184  764 
4i8  798 


Ô40 

340 
341 
341 
341 
341 


649  655 
877  3.3 
101  747 

322  937 

540  857 

755  486 


243 
240 
237 
234 
23o 


2610 
263i 
2649 
2667 
686 


2704 
2724 
2744 
2763 
2780 


2803 
2820 
2842 
2861 
2880 


2902 
2922 
2942 
2963 
2984 


Log.  F' 


o.3o8 
o.3o8 
0.309 
0.309 
o.3io 


5o3  653 
971  582 
44^^  931 
9 1 1  704 
383  907 


367 
885 
523 
545 
258 


467 

469 
470 
472 
473 


3oo4 
3027 
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3070 
0089 


437 
325 
192 

o34 
857 


227 
224 

221 
217 
214 

2n 


658 
434 
190 
920 
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3 199 


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3291 
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3337 


o.3io 
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o.3i2 

0.3l2 


857  545 
332  623 
809  147 
287  122 
766  554 


202 
262 
670 
9^7 


o.3i3 
o.3i3 
o.3i4 
o.3i4 
o.3i5 


247  44s 
729  812 
2i3  649 

698  965 

i85  766 


710 

522 
067 

o55 
245 


o.3i5 
o.3i6 
o.3i6 
0.317 
0.317 


674  o58 
i63  847 
655  139 

^47  9^9 
642  255 


DifT.  I. 


999  5i8 
■348  638 
773  022 
202  71 3 
63j   755 


475 
47S 
477 
479 
480 


II. 


078  189 
524  060 
975  4i3 
432  292 

894  743 


482 

483 
485 
486 
488 


362  812 
836  545 
3i5  988 
801  190 
292  199 


444489 
491 
492 
494 
495 


5o6 
335 
886 
161 


o.3i8 
o.3i8 
0.319 
0,019 

0.320 


i38  091 
635  454 
134  35o 
634  785 
i36  766 


2x5 

x54 
x34 
367 
1x5 


497 
498 

5oo 
5oi 
5o3 


0.320 

0.32X 
0.32X 
0.322 
0.392 


640  298 

x45  389 
652  044 
x6o  271 
670  075 


0.323 
0.323 
0.324 
0.324 
0.325 


i8x  464 
694  445 
209  020 
725  20 X 
242  994 


0.325 
0.326 
0.326 
0.327 
0.327 


762  4°4 
283  440 
806  108 
33o  414 
856  367 


695 
478 
891 
416 
591 
0x0 
326 

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549 
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660 
3io 
020 
866 
985 


0.328 
0.328 
0.399 
o .  329 
o.33o 


383  974 
913  241 

444  177 
976  788 
5x1  082 


o.33i 
o.33i 
0.332 
0.332 
0.333 
0.333 


047  066 
584  748 
124  i36 
665  238 
208  061 
752  6x3 


58o 

9^9 
334 

225 
059 

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765 

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563 
528 


789  062 
29 X  829 
800  55 1 
3x5  275 
836  054 


362  939 
895  980 
435  233 
980  748 
532  5 80 


5o5 
5o6 
5o8 

5oq 

5x1 


090  783 
655  4x3 
226  525 
8g4  175 
388  419 


5x2 
5x4 
5x6 
5x7 
5x9 


979  3i6 
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181  3oo 
792  5o7 

4io  604 


591  c35  65c 
522  667  710 

524  3o6  846 

525  953  1 X9 
527  6c6  595 


529 
53o 
532 
534 

535 


267  339 
935  4' 5 
6x0  89 X 
293  834 

984  3l2 


537 
539 
541 
542 
544 
698^546 


682  394 
388  149 
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822  965 
552  X70 
289  336 


12c 


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424  ^H 
429  691 
435  042 
440  4^4 


455  87. 

45 1  353 

456  879 
462  45 1 
468  069 


473  733 

479  44^ 
485  2 

491  009 
496  863 


5o2  767 
5o8  722 
5i4  724 
520  779 
526  885 


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5264 
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555 1 
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533  041 
539  253 
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55 I  832 
558  2o3 


564  63o 
571  1x2 
577  65o 
584  ^44 
590  897 


597  607 
604  377 
611  207 
6x8  097 
625  046 


632  c6c 
639  x36 
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653  4j6 
660  744 


668  076 
675  47S 
682  943 
690  478 
698  082 


7c5  755 
713  5oo 
721  3x6 
729  2o5 
737  i65 
745  201 


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6371 
6427 


6482 
6538 
6594 
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6710 


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6890 

6949 
7014 


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7x37 
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7467 
7535 
7604 
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78x6 
7889 
7960 
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64.1 
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0.082 
0.081 
0.081 
0.081 
0.080 
0.080 
0.080 


Log.  E'. 

164  a35 
822  480 
480  5i3 
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795  969 
453  378 
1 1 o  699 

424.  463 
081 


DifF.  I. 


547|34i 
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47'8,342 
081  342 
452342 
999542 
15^343 


755  486 

966  802 

174  781 

379  ^97 
080  629 


112 


376 
143 


0.079 
0.079 
o .  079 
o .  078 
0.078 


737  576 
393  861 
049  968 
7o5  903 
36 1  667 


0.078 
0.077 
0.077 
0.076 
0.076 


017  st66 
672  702 

327  979 
983  102 
638  073 


0.076 
0.076 
0.075 
0.075 
0-074 
0.074 
0.C74 
0.073 
0.C73 
0.073 


292  896 

947  ^7^ 
602  1 16 

256  520 

910  792  4 


564  905 
218  964 
872  853 
526  635 
180  3o5 


0.072 
0.072 
0.072 
o.o/i 
0.071 


833  866 
487  323 
140  679 

79^  9^9 
447   108 


960 
358 
893 
143 
712 

232 

359 
772 

^79 
3i4 

9^7 
834 
8i6 
724 
24 
eio 
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352 
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233 


343 
343 


778  453 
972  S44 
i63  779 
35 1  233 
535  i83 


040 
343 
344 
344 
344 
344 
344 
344 
345 
545 
345 
345 
345 
345 
345 

345 
346 
346 
346 
346_ 
346 


715  602 
892  465 
o65  750 
235  43 1 
401  480 


563  873 
722  587 
877  593 
028  865 
176  377 


320  io3 
460  018 
596  092 
728  3oo 
856  614 


981  007 
101  45i 
217  920 
33o  084 
438  8i5 


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584346 
9571346 
3i6|346 


543  184 
643  465 
739  627 
83i  641 
9V9  479 


0.071 
0.070 
0.070 
0.070 
o .  069 


100  188 
753  i85 
406  ic3 
o58  945 
711  717 


0.069 
o .  069 
0.068 
0.068 
0.067 


364  422 
017  o65 
669  65o 
322  181 
974  ^^ 


0.067 
0.067 
0.066 
0.066 
0.066 
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279  Soi 
93 1  864 
584  197 
236  5o3 
888  788 


837  347 
727,347 

347 
347 
347_ 

347 
347 
347 
347 
3_47_ 

347 
347 
347 
347 
347 
347 


221 

585 

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1 10 
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176 
718 
902 

302 

529 

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082  5cx6 
i57  636 

228  4?^ 

294  979 


357  i3o 
414  895 
468  242 
617  iSg 
56 1  554 


601  457 
636  816 
66j  600 
693  773 
71 5  3o5 
732  162 


n. 


211  3i6 

207  979 
204  616 

201  232 
97  824 


94  391 
90  935 

87454 

83  960 
80  419 


76  863 
73  285 
69  681 
66  049 
62  393 


58  714 
55  006 
5i  272 

4?  5l2 

43  726 


39  915 
36  074 
32  208 
28  3i4 
24  393 


20  444 
i6  469 
12  464 
08  43 1 
04  369 


00  281 
g6  162 
92  014 
87  838 
83  63i 

79  396 
75  i3o 
70  835 
"  5o8 
i5i 


66 
62 


57  765 
53  347 
48  897 

44  41 5 
39  903 


35  359 
3o  784 
26  173 
21  532 
16  857 
12  i5i 


III. 

3337 
3363 
3384 
3408 
3433 


3456 

3481 

35o4 

353 

3556 


Log.  F'. 


0.333 
0.334 
0.334 
0.535 
0.335 


752  6i3 
298  903 
846  937 
396  725 
948  274 


698 
034 
671 
422 

774 


3578 

36o4 

363 

3656 

3679 


3708 
3734 
37& 
3786 
38 1 


384 

5S6f: 

389. 

3921 

394f 


397^^ 

4oO: 

4o3: 
4062 

08^ 


4119 

414? 

417^: 

4207 

4935 


4266 

4295 
4327 

4357 

4386. 

44 
445c 
4482 
45 12 
4544 


4575 
4611 
464 1 

4575 

4706 
474^- 


0.336 
0.337 
0.337 
0.338 
0.338 


5oi  593 
o56  691 
6i3  574 
172  253 
732  736 


890 
ii5 
871 
659 
002 


o .  339 
0.339 
0.340 
0.340 
0.341 


295  o3o 
859  146 
425  092 
992  876 
562  5o8 


747 
462 

041 

4o3 
554 


0.342 
0.349 
0.343 
0.343 
0.344 


i33  997 
707  352 
282  583 
859  698 
438  707 


586 
683 
116 

260 
542 


0.345 
0.345 
0.345 
0.346 
0.347 


019  620 
602  44^ 
187  196 
773  878 
362  5o3 


541 

894 
342 
726 
983 


0.347 
0.348 
0.349 
0.349 
o.35o 


953  082 
545  623 
i4o  137 
736  636 
335  128 


i54 

379 
902 
072 
344 


o.35o 
o.35i 
0.352 
0.359 
0.353 


935  695 
538  i37 
142  675 
749  25 1 
357  874 


0.353 
0.354 
0.355 
0.355 
0.356 


968  557 
58i  3io 
196  144 
8i3  072 
432  io5 


0.357 
0.357 
0.358 
0.358 
0.359 


o53  254 
676  532 
3oi  95o 
929  621 
559  256 


280 
552 
943 
346 

77' 
339 
293 
992 
9^4 
662 

962 
'667 
755 
336 

649 


Diff.  I. 


546  289 

548  o34 

549  787 
55 1  549 
553  319 


555  097 

556  883 
558  678 
56o  482 
562  294 


336 
537 
85i 
352 
116 

226 
756 
788 
4o3 
685 


564  ii5 

565  945 
567  784 
569  632 
571  489 


7i5 

362 
i5i 
o32 


573  355 

576  23o 

577  ii5 
679  009 
58o  912 


582  826 
584  749 
586  682 
588  625 
590  578 


692  541 
594  5i4 
596  498 
598  492 

600  496 


097 
433 

i34 
292 

999 

353 

448 
384 
267 

iZi 

295 

523 
170 
272 
936 


II. 


745  201 
753  3i4 
761  5oi 
769  y64 
778  109 


786  53i 
795  o32 
8o3  61 5 
812  282 
821  o3o 


829  864 
838  783 
847  789 
856  881 
866  o65 


875  336 
884  701 
894  i58 
903  707 
913  354 
923  095 
932  936 
942  873 
959  914 
963  o54 


973  298 
983  647 
994  109 

9Co4  664 

201 5  336 


III. 


8  ii3 

8  187 
8  263 
8  345 
8  422 

8  5oi 
8  583 
8  667 
8  748 
8  854 


8  9^9 

9  006 
093 
184 
271 

365 
457 

^49 

64? 

74' 


602  5l2 

604  538 
606  575 
608  693 
610  682 


272 

39 

4o3 

425 

5S8 


612  752 
614  834 
616  927 
619  o32 
621  149 


o.36o 
o.36o 
o.36i 
0.369 
0.369 
0.363 


191  169 
825  271 
461  575 

100  094 
740  842 
383  83o 


068 
io3 
39q 

743 

061 

495 


623  277 
625  4'8 
627  570 
629  735 
63i  912 


954 

^99 
922 

748 
3oo 

7o5 
088 
58 1 
3i3 
4^9 


634  102 
636  3o4 
638  519 

64o  74j 
S49  988 
S45  942 


o35 
296 

344 
3i8 
364 
627 


2026  119 
2o37  012 
2048  029 

2069  ^43 

2070  386 


2c8i  745 

2093  223 

2104  82G 
21 16  552 
2128  4°^ 


2140  383 
21 52  493 
2164  732 
9177  106 
2189  616 


2202  261 

921 5  048 

2227  974 

2241  046 

9954  263 

9267  627 


9  84i 
9  937 
o  041 
o  i4o 
o  244 
o  349 
o  455 
o  562 
o  672 
o  783 


893 

010 

121 

243 

359 


478 

6o3 
726 
853 
978 


2  1 10 
2  259 
2  374 
2  5io 
2  645 


2  787 
9  926 

3  072 
3  217 
3  364 
3  5i5 


65°  o 
65.1 
65.2 
65.3 
65.4 

65.5 
65.6 
65.7 
65.8 
65^ 

66.0 
G6.1 
66.2 
66.3 
66.4 

66.5 
66.6 
66.7 
66.^ 
66.  c) 

67,0 
6j .  1 
67.2 
67.3 

^4 
67.5 
67.6 
67.7 
67.8 
^7-9 
68.0 
68.1 
68.2 
68.3 
68.4 

68.5 
68.6 
68.7 
68.8 
68  .g 

6q.o 
69.1 
69.2 
69.3 

^9 
69 


69, 
70, 


Log.  E'. 


o.  o65 
o.o65 
o.o65 
0.064 
0.064 


888  788 
541  o56 
193  3ii 
845  56o 
497805 


0.064 
o.o63 
o .  o6'3 
o.o63 
0,062 


i5o  o53 
802  3o8 
454  575 
106  858 
759  i63 


224 

062 

749 
027 

668 

483 

3i4 

o35 

559 

832 


Diff.  I. 


0.062 
0.062 
0.061 
0.061 
o.o6i 


411  495 
o63  859 
716  260 
368  702 
021  192 


834 
585 

i3o 
563 
006 


o.c6o 
o  060 
0.059 
0.059 
o .  o59 


673  733 
326  332 

97^  994 
63i  723 
284  526 


o.o58 
o.o58 
o.o58 
0.057 
0.057 


0.057 

o.o56 
o.g56 
o.o56 
o.c55 


937  407 
590  372 
24'5  4^6 
896  576 
549  J25 
2o3  181 
856  64j 
5io  23i 
i63  938 
817  773 


o.o55 
o.o55 
0.054 
0.054 
0.054 


471  74a 
125  85i 
780  106 
434  5l2 

089  076 


o.o53 
o.o53 
o.c53 
o.oSa 
o.o52 


743  8o3 
398  700 
o53  773 
709  027 
364  468 


619 

b02 

186 

S44 
285 

456 
544 

970 
195 
723 

'Ô94 
888 
726 
268 

2l5 

3o9 
333 
1 11 

5io 
439 

^49 
734 
i3c 
iiq 
825 


o.o5a 
o.o5i 
o.o5i 
o .  o5o 
o.o5o 


020  104 
675  940 
33 1  983 
q88  236 

644710 


o.o5o 
o .  049 
0.049 
o.o4q 
0.048 

G.  048 


3oi  409 
958  34b 
61 5  5io 
272  924 
93o  589 
'588  5i'3 


418 
110 

160 
871 

^ 
724 
702 
016 
2o3 

S46 

576 


347 
347 
347 
347 
347 


732  162 
744  3i3 

751  722 
754  359 

752  i85 


II. 


347 
347 

347 
347 
347 


745  169 
733  27 
716  47 
694  727 
667  998 


347 

347 
347 
347 
347 


636  25 1 
599  453 
557  567 
5io  557 
458  387 


347 

347 

347 

347 
347 

347 

346 

346 

346 

346 

346^ 

346 

M6 

346 
346 


40 1  017 
338  416 
270  542 
197  359 
118  829 


634  912 
945  574 
85o  775 
75o  472 
644  629 
533  206 
416  162 
293  458 
i65  o53 
o3o  906 


345 
345 
345 
345 

345 


890  976 
745  222 
093  601 
436  071 
272  590 


345 
344 
344 

M4 
M4 


io3  ii5 
927  604 
746  01 1 
558  294 
364  4^7 


344 
^43 
343 
343 
343 
343 
342 
342 
342 
342 
341 


164  3o8 
957  95o 
745  289 
526  277 
3oo  870 
069  022 
83o  686 
585  8i3 
334  357 
076  270 
811  5o4 


12 
7 

— 2 

_7 
1 1 
16 
21 
26 
3i 


36 
41 

52 

57 


i5i 

409 
637 
174 
016 

"Sûô 
8o3 

749 
7'^9 
747 

7.98 
886 

010 
170 
370 


III. 


4742 
4772 
4811 
4842 
487^ 


Log.  F', 


4913 
494e 
4980 
5oi8 
5o5i 


62 
67 

78 
83 


89 
94 

00 
o5 


6o3 
874 
i83 
53o 
917 
338 

799 
3o3 
843 
423 


75 
81 
87 
93 

900 
206 
212 
9  1 9 
9  25 
93 1 

38 

^À4 
5i 

58 
964 
271 


044 
704 

4o5 
i4y 
93o 

754 
621 
53o 
481 
^ 
5ii 
593 

7^7 
887 

^99 


358 
661 
012 
407 
848 

336 
873 
456 

087 
766 

49^\ 


5o 
5124 
5 160 

520C 

5233 


527 

5309 

5347 

5387 

542 


5461 
55o^ 
554c 
558o 
562) 


566c 
5701 
5749 
578? 
5824 


586: 
5909 
5951 

^99^ 
6'o36 

6082 

612/, 
617c 
6215 
6259 


63o3 
635 1 
6395 
6441 
6488 


6537 
6583 
663i 
6679 
673c 
6778 


0.363  383 
0.364  029 
0.364  6j6 
0.365  326 
0.565  978 


83o  425 
073  o52 
583  3o6 
374  702 
460  909 


0.366  632 
0.367  289 
0.367  948 
0.368  610 
0.3S9  273 


855  74q 
573  2o3 
627  410 
o32  674 
8o3  462 


0.369  939 
0.370  608 
0.371  279 
0.371  952 
0.372  628 


954  4c8 
5oo  3i8 
456  170 
837  116 
658  490 


0.373  3o6 
0.373  987 
0.374  670 
0.375  356 
0.376  044 


935  804 
684  757 
921  233 
661  3o7 
921  247 


0.376  735 
0.377  429 
0.378  124 
0.378  823 

0.379  5^4 


717  520 
066  790 
985  925 
492  001 

602  3oi 


Diff.  I. 


645 
647 

653 
654 


242  627 
5io  254 
791  396 
086  207 
394  840 


656 
659 
661 
663 
666 


717  454 
o54  207 
4o5  264 
770  788 
i5o  ci4^ 


668 

070 
G73 
675 
678 


545   910 

955  852 
38o  (^46 
821  374 
277  3i4 


680 
683 
685 
688 
690 


748  953 
236  476 
740  074 
259  94o 
796  273 


o.38o  328 
o.38o  934 
o.38i  643 
0.389  355 
0.383  069 


334  325 
705  789 
734  627 
439  00c 
837  3oo 


0.383  786 
0.384  5o6 
0.385  22g 
0.385  954 
0.386  682 


948  147 
790  401 
383  160 
745  768 
897  8. 


0.387  4i3 
0.388  147 
0.388  884 
0.389  623 
0.390  366 


859  i58 
649  891 
290  382 
801  265 

2o3  446 


o . 39 1  111 

0.391  859 
0.392  610 
0.393  365 
0.394  122 


5i8  7^^ 
766  72c 
97 1  099 
'i53  082 
335  220 


0.394  882 
0.395  645 
0.396  4^2 
0.397  181 
0.597  954 
0.398  729 


540  089 
790  644 
110  i5i 
522  199 

o5o  706 
719  921 


693 
695 
698 

701 
7o3 


349  270 
919  i35 
5o6  076 
110  3oo 
732  024 


706 

709 
711 

7^4 

717 


371  464 
028  838 
704  373 
398  3oo 
110  847 


719 
729 

725 

728 

73o 


842  254 
592  759 
362  60^ 

102  o5i 
961  339 


II. 


2267 
2281 
2294 
23o8 

2322 


III. 


2336 
235 1 
2365 
238o 
2394 


2409 
2425 
2440 
2455 
2471 


2487 
25o3 
25 19 
2536 

2552 


2569 
2586 
2604 
2621 
2639 


733 
736 

7^9 
742 

745 


790  733 
640  49' 
5io  883 

402  1 

3i4  663 


748 
761 
754 

760 


248  611 
204  309 
182  o53 
182  i38 
204  869 


763 
766 

7% 

772 

775 
778 


25o  555 
319  507 
412  048! 
528  5o7|3i4o 
669  2 1 5:3 1 65 
834  5i23igo 


23  589 
2,3  918 

24  ^'49 

24  589 

94  933 

25  284 


6. 

Log.  E*. 

DifF.  I. 

ÏI. 

III. 

i 
IV. 

70"  o 
70. 1 
70.2 
70.3 
70.4 

0.048  588  5i3  576 
0.048  246  702  072 
0.047  906  162  064 
0.047  "563  900  33o 
0.047  222  923  697 

341  811  5o4 
341  540  008 
341  261  734 
340  976  633 
340  684  656 

271  496 
278  274 
285  101 

291  ^11 
298  905 

6  778 
6  827 
6  876 
6  928 
6  979 

A3 

52 

5i 
5o 

70.5 
70.6 
70.7 
70.8 
70-9 

0.046  882  239  041 
0.046  541  853  290 
0.046  201  773  4^3 
0.045  862  006  ^^^ 
0.045  522  559  5o9 

340  385  75 i 
340  079  867 
339  'j^^  954 
339  )i^àf^   960 
339  1 19  83i 

3o5  884 
3i2  9i3 

319  994 
327  129 
334  3i4 

7  029 
7  081 
7  i35 
7  i85 
7  240 

52 

54 

5o 
55 
53 

71.0 
7..1 
71 .2 
7:.3 
71.4 

0.045  i83  439  678 
0.044  844  654  161 
0.044  5o6  210  198 
0.044  168  1 i5  082 
0.043  83o  376  160 

338  785  517 
338  443  963 
338  095  1 1 6 
337  738  922 
337  375  327 

341  554 
348  847 
556  194 
363  595 
371  o5o 

7  293 
7  Ml 

7  5l2 

54 
54 
54 

57 

71.5 
71 .6 
71.7 
71.8 

71-9 

0.043  493  000  833 
0.043  i55  996  556 
0.042  819  370  841 
0.042  483  i3i  257 
0.042  147  285  A'x'o 

337  004  277 
336  625  715 
336  239  584 
355  84'5  83 1 
335  444  396 

378  562 
386  i3i 
393  753 
6p\   435 
409  172 

7  569 
7  622 
7  682 

7  7^7 
7  7^^ 

53 
60 

55 

59 

72.0 
72.  i 
72.2 
72.3 
72.4 

0.041  811  841  o3o 
o.o4i  476  8o5  806 
0.041  142  187  55o 
0.040  807  994  117 
0.040  474  '233  420 

335  o35  224 
334  618  256 
334  193  433 
333  760  697 
333  319  987 

416  968 
424  823 
432  736 
^/ip   710 

448  742 

7  855 
7  9i3 

7  974 

8  OÔ2 

8  093 

58 
61 

58 
61 

53 

72.5 
72.6 
72.7 
72.8 
72-9 

0.040  140  913  433 
0.039  808  042  188 
0.039  Al^   ^27  778 
o.o3q  143  678  35q 
o.o38  8i2  202  148 

332  871  245 
332  4i4  410 
33i  949  419 
33i  476  21 1 
33o  994  726 

456  835 

473  208 
481  485 
489  827 

8  i56 
8  217 

l  ^77 
8  342 

8  406 

61 

60 
65 

64 

73.0 
73.1 
73.2 
73.3 
73.4 

o.o38  481  207  422 
o.o38  )5o  702  523 
0.037  ^20  695  857 
0.037  491  195  8q4 
0.037  162  21 1  167 

33o  5o4  899 
33o  006  666' 
329  499  963 
328  984  727 
328  460  891 

498  233 
5o6  7o3 
5i5  236 
523  836 
532  5oo 

8470 
8  533 

8  600 

8  QQi 

8  73i 

63 

H 
67 

69 

73.6 
73.7 
73.8 
73-9 

o.o36  833  750  276 
o.o36  5o5  821  885 
o.o36  178  434  725 
o.o35  85i  597  596 
o.o35  525  3'i9  366 

327  928  391 
327  387  160 
326  837  129 
326  278  23o 
3q5  710  396 

541  23l 
55o  o3i 
558  899 
567  834 
576  837 

8  800 
8  868 

8  935 

9  oo3 
9  075 

68 
67 
68 
72 

72 

74.0 
74.1 

74.3 
74.4 

o.o35  199  608  970 
o.o34  874  475  411 
o.o34  549  927  "j'o^ 
o.o34  225  975  176 
o.o33  902  626  864 

325  i33  559 
324  547  647 
323  952  588 
323  348  3i2 
322  734  749 

585  912 
595  o59 
604  276 
6i3  563 
622  9^3 

9  147 
9  217 

9  287 
9  36o 
9  A^7 

70 

73 
77 
73 

74-5 
74.6 

lA-1 
74.8 

74.9 
70.0 

o.o33  579  892  ii5 
o.o33  257  780  289 
o.o32  936  3oo  8a3 
o.o32  6i5  463  227 
o.o3q  295  277  o85 
o.o3i  975  752  o57 

322  1 1 1  826 

321  479  ii^^Ç, 
320  837  596 
320  186  142 
3i9  525  028 
3i8  854  179 

632  060 
641  870 
65 1  454 
661  114 

670  849 
680  Ç,^^ 

9  5io 
9  584 
9  660 
9  735 
9  817 

9  ^91 

82 

74 
82 

ô. 

Log  F'. 

Diff.  I. 

II. 

III. 

IV. 

70°  o 

o.3g8  729  719  g2i 

778  834  5i2 

3  190  23o 

25  284 

362 

70. 1 

o.3gq  00^  554  433 

782  024  742 

3  2i5  5i4 

s  5  646 

367 

70.2 

0.400  290  579  175 

785  240  256 

3  241  160 

26  oi3 

37. 

70.3 

0.401  075  819  43i 

788  481  416 

3  267  173 

26  385 

377 

70.4 

0.401  864  3oo  847 

791  748  589 

3  293  558 

26  7S2 

392 

70.5 

0.402  656  049  4^^ 

795  042  147 

3  020  320 

27  i54 

39S 

70.6 

0.403  45i  091  583 

798  362  4^j 

3  347  474 

27  55o 

404 

70.7 

0.404  249  ^^^4  o5o 

801  709  941 

3  375  024 

27  954 

412 

70.8 

0.405  o5i  i63  991 

8o5  084  965 

3  402  978 

28  366 

416 

70-^ 

o.4c5  856  248  956 

808  487  943 

3  43 1  "344 

28  7:^2 

430 

71.0 

0.406  664  736  899 

81 1  919  287 

3  460  126 

2g  212 

44-^ 

71.1 

0.407  476  656  186 

8i5  379  4i3 

3  489  338 

29  654 

444 

71.2 

0.408  292  o35  599 

818  868  751 

3  5i8  992 

3o  098 

453 

71.3 

0 . 409  1 1 0  904  35o 

822  387  743 

3  549  090 

3o  55 1 

47^ 

71.4 

0.409  933  292  093 

825  936  833 

3  579  641 

3i  022 

472 
4M 

71 .5 

0.410  759  228  926 

829  5i6  474 

3  610  663 

3i  494 

71 .6 

0.411  588  745  400 

833  127  137 

3  642  i57 

3i  978 

M 

71.7 

0.412  421  872  537 

836  769  294 

3  674  i35 

32  472 

5o5 

71.8 

0.413  258  641  83i 

840  443  429 

3  706  607 

32  977 

517 

71 -.9 

0.414  099  o85  260 

844  i5o  o36 

3  739  5P4 

33  494 

53 1 

72.0 

0.414  943  235  296 

847  889  620 

3  773  078 

34  025 

536 

72. 1 

0.415  791  124  916 

85 1  662  698 

3  807  io3 

34  56 1 

55i 

72.2 

0.416  642  787  614 

855  4^   801 

3  841  QQ4 

35  m 

56i 

72.3 

0.417  498  257  4i5 

859  3ii  465 

3  876  775 

35  672 

58 1 

72.4 

0.418  357  568  880 

863  188  240 

3  912  447 

36  253 

585 
597 

72.5 

0.419  220  757  120 

867  100  687 

3  948  700 

36  838 

72.6 

0.420  087  857  807 

871  049  387 

3  985  538 

37  435 

614 

72.7 

0.420  958  907  194 

875  o34  925 

4  022  973 

38  049 

63o 

72.8 

0.421  833  942  1 19 

879  057  8 98 

4  061  022 

38  679 

^44 

72.9 

0.422  7i3  000  017 

883  118  920 

4  099  70» 

39  323 

654 

73,0 

0.423  596  118  937 

887  218  621 

4  i39  024 

39  ^77 

671 

73.1 

0.424  483  337  "558 

891  357  645 

4  ^7^   001 

40  648 

689 

73. Q 

0.425  3/4  695  2o3 

895  536  Q^^ 

4  219  649 

41  337 

702 

73.3 

0.426  i27o  23i  849 

899  756  295 

4  260  986 

42  o3q 

720 

73.4 

0.427  169  988  144 

904  017  281 

4  3o3  095 

42  759 

738 

73.5 

0.428  074  oo5  425 

908  320  3o6 

4  345  784 

43  497 

751 

73.6 

0.428  982  325  73i 

912  QÇ)B   090 

4  389  281 

44  248 

773 

73-7 

0.429  894  991  821 

917  o55  371 

4  433  529 

45  021 

786 

73.8 

0.430  812  047  192 

921  488  900 

4  478  55o 

45  807 

8i3 

7^-9 

0.431  733  536  092 

925  967  45o 

4  524  357 

4^  620 

833 

74.0 

0.432  b59  5o3  542  • 

900  49'  807 

4  570  977 

47453 

842 

74-1  . 

0.433  589  995  349 

935  062  784 

4  618  43o 

48  295 

868 

74.2 

0.434  525  o"58  i33 

939  681  214 

4  ^^Q  725 

49  i63 

^b4 

74.3 

0.435  4^4  739  547 

S^4  347  939 

4  715  888 

5o  o57 

9 '9 

7A-4 

0.436  409  087  a86 

949  o63  8217 

4  7^5  945 

5o  976 

.931 
9^9 

74  5 

0.437  358  i5i  110 

953  829  773 

4  816  921 

5i  907 

74.6 

0.438  3ii  980  885 

908  Q4Q  693 

4  868  828 

52  866 

g83 

7^-7 

0.439  270  627  578 

963  5i5  521 

4  991  694 

53  84g 

1  010 

74-8 

0  440  234  143  099 

968  437  21 5 

4  S7^o  543 

54  85g 

1  037 

74-9 

0.441  202  58o  3i4 

973  412  758 

.5  o3o  403 

65  8g6 

1  062 

75.0 

0.442  175  993  072 

978  443  160 

5  086  298 

56  958 

1  084 

/hl 


ô. 

Log.  E". 

DifF.  I. 

II. 

III. 

IV. 

75^0 

o.o3i  975  762  068.78 

3i8  854  179 

680  66G 

9  891 

82 

75. 1 

o.oDi  '656  897  878.27 

3i8  173  6i3 

690  557 

9  973 

78 

75.2 

o.o3i  338  794  364.79 

3i7  482  966 

700  53o 

10  o6i 

83 

75.3 

o,o3i  021  341  408.98 

3i6  789  426 

710  58i 

10  134 

80 

75.4 

o.o3o  704  458  983. c5 

3i6  071  845 

720  716 

10  214 

84 

75.5 

o.o3o  388  087  138.55 

3i5  35i  i3û 

730  939 

lo  298 

81 

75.6 

o.o3o  073  o36  008. 5o 

3i4  620  201 

741  227 

10  379 

88 

75.7 

0,029  768  416  807.37 

3i3  878  974 

761  606 

10  4^7 

83 

75.8 

0.029  AA4  536  832.54 

3i3  127  368 

769  073 

10  55o 

89 

75-, 9 

0.029  i3i  409  464-85 

3i2  365  296 

779  623 

10  639 

84 

70.0 

0,028  819  044  169-78 

3i  1  692  672 

783  262 

10  723 

92 

76. 1 

0.028  507  45 1  498-27 

3ic  809  410 

793  985 

10  8i5 

88 

76.2 

0.028  196  642  087.82 

3io  oi5  4^5 

Soi  800 

10  9o3 

89 

76.3 

0.027  886  626  6b\3.35 

3c9  210  626 

8i5  703 

10  992 

95 

7^-A 

0.027  ^77  416  038.35 

3o8  394  922 

826  H95 

11  087 

90 

76.3 

0.027  269  021  115.79 

307  568  227 

837  782 

Il  177 

96 

76.6 

0.036  961  452  889. 14 

3o6  73o  44^ 

848  969 

1 1  273 

93 

1^-7 

0  026  654  722  4^4.08 

3c5  881  486 

860  232 

11   366 

97 

76.8 

0.026  348  840  958.11 

oo5  02  1  254 

871  698 

11  463 

99 

76 -.9 

0.026  043  819  703.87 

3o4  149  656 

883  061 

1 1  562 

96 

77.0 

o.o^5  7  H)  670  0.^7.81 

3o3  266  5g5 

8q4  623 

11  658 

102 

77.1 

0.025  4^56  ^o3  453. 3 1 

3o9  371  972 

906  281 

11  760 

ICO 

77.9 

0.0.25  i34  o3i  48 i.c5 

3oi  465  691 

918  o4i 

11  860 

102 

77.0 

o.c'^4  83a  565  790.31 

3oo  547  660 

9^9  .90' 

ij  969 

106 

77-4 

0.02,4  539  018  140.38 

299  617  749 

941  863 

12  0G8 

io3 

77.5 

0.024  232  400  391.38 

298  676  886 

953  93 i 

12  171 

J07 

77.6 

O.C23  933  j'^i^  5c5.45 

297  721  955 

966  103 

12  278 

109 

77-7 

O.C23  636  OG9  550.26 

296  755  853 

978  38o 

12  387 

107 

77.8 

0.023  339  246  697.07 

295  777  47^ 

990  767 

12  494 

1  )5 

77-9 

O.G93  043  469  204.18 

294  786  706 

I  ool  261 

12  6o() 

108 

78.0 

0.032  748  682  617.70 

293  783  445 

1  01 5  870 

12  717 

117 

78.1 

0.022  ]^S/^  899  073.33 

292  767  676 

1  028  587 

12  834 

1.4 

78.9 

0.092  i6a  i3i  4')7 -^"^ 

291  738  988 

1  041  421 

12  948 

118 

78.3 

0.091  870  392  609.66 

290  697  567 

1  o54  369 

i3  066 

120 

78.4 

0,021  679  694  942.60 

289  643  198 

1  067  435 

i3  186 

i'9 

7P.5 

0.021  290  o5i  744-70 

288  676  7S3 

1  080  621 

i3  3c5 

122 

f8.G 

0.021  001  475  982.41 

287  496  142 

1  093  926 

i3  427 

126 

78.7 

0,020  713  980  840.09 

286  401  216 

1  107  353 

i3  553 

126 

78.8 

0.020  /{o.'j   679  623.70 

285  293  863 

1  120  906 

i3  679 

126 

78.9 

0.020  143  286  760.96 

284  172  967 

1  1^.4  585 

!3  8o5 

l32 

79.0 

0.019  858  112  804.33 

283  0I8  372 

1  i48  390 

i3  937 

i3i 

79-1 

0.019  575  074  431.64 

281  889  98a 

1  162  327 

14  068 

135 

79-^^ 

0  019  293  184  449-58 

280  727  655 

1  176  396 

14  203 

135 

79.3 

0.019  012  466  794.62 

279  65 1  260 

1  190  698 

14  338 

140 

79  4 

0  018  732  906  534.98 

278  36o  662 

1  204  936 

14  478 

^^-^9 

79  •  S 

0.018  454  544  873.05 

277  i55  726 

1  919  414 

14  617 

143 

79-6 

0.018  177  389  i47-44 

275  936  3i2 

1  a34  o3i 

14  7G0 

147 

79-7 

0.017  '^°i  452  835. 17 

274  702  981 

1  248  791 

14  9^7 

145 

79-8 

0.017  62"  ySo   553.87 

270  453  490 

1  263  698 

i5,  062 

153 

79-9 

0.017  ?5)   297  064.06 

272  189  792 

1  278  760 

i5  2o5 

153 

80.0 

0.017  c8i  107  271 .63 

270  9 1 1  042 

1  293  966 

i5  358 

153 

Y 


e. 

Log.  F'. 

Diff.  I. 

II. 

m. 

IV. 

75°  o 

75.2 
75.3 
75.4 

0.442  175  993  072.45 
0.443  i54  436  a32.65 
0.444  137  965  691.21 
0.445  126  638  £^0^.^ 
0.446  120  5i2  4i9-32 

078  ^^   160 
983  529  458 
988  672  714 
993  874  014 
999  i34  480 

5  086  298 
5  143  356 
5  201  3oo 
5  260  46S 
5  320  777 

56  958 

58  044 

59  166 

60  3i  1 

61  490 

1  086 
1  122 
1  145 

1  179 
1  209 

75.5 
75.6 

75.8 

7'^ -9 

0.447  ^9  646  899.26 
0.448  124  102  i56.i7 
0.449  ï33  939  679.94 
0.450  149  222  169.97 
0.451  170  oi3  567.98 

1  004  455  257 
1  009  837  524 
1  01 5  282  490 
1  020  791  398 
1  026  365  524 

5  382  267 
5  Z,/^  966 
5  5o8  908 
5  574  126 
5  ^/^^  ^"^A, 

62  699 

63  942 
65  218 
Ç>^   528 
67  876 

1  243 

1  276 
1  3io 
I  348 
1  384 

76.0 
"j^.  1 
76.2 
76.3 
76.4 

0.452  196  379  091.74 
0.453  228  385  269.83 
0.454  266  099  977.90 
0.455  3c9  5q2  476-23 
0.456  358  933  448.08 

1  o32  006  178 
1  o37  714  708 
1  043  492  498 
1  049  340  972 
1  o55  261  592 

5  708  53o 
5  777  790 
5  848  474 
5  920  620 
5  994  272 

69  260 

70  684 
73  146 
73  652 
75  198 

1  424 
1  6,Ç>'i. 
1  5o6 
1  546 
1  596 

76.5 
76.6 

76-7 
76".  8 
76.9 

0.457  ^\Â[   195  040.  i3 
0.458  475  450  903.74 
0.459  542  776  238.29 
0.460  616  247  835. 5i 
0.461  695  944  125.99 

1  061  255  864 
1  067  3ii5  334 
1  073  471  598 
1  079  696  290 
1  086  001  101 

6  069  470 
6  146  264 
6  224  692 
6  3o4  811 
6  386  ^^^ 

76  794 
78  428 

80  119 

81  853 
83  641 

1  634 
1  691 

1  734 
1  788 
1  844 

77.0 
77.1 
77.2 
77.3 
77-4 

0.469  781  q45  226.85 

0.463  874  332  991.74 
0.464  973  191  062,35 
0.466  078  604  921.93 
0.467  190  661  950.90 

1  092  387  765 
1  098  858  070 
1  ic5  4i3  860 
1  112  o57  029 
1  118  789  534 

6  470  3c5 
6  555  790 
6  643  169 
6  732  5o5 
6  823  855 

85  485 
87  379 
89  336 
91  35o 
93  428 

1  894 

ï  9^7 

2  014 

2  078 
2  142 

77.5 
77.6 

77-7 
77.8 
77-9 

0.468  009  45'  484 •^''o 

0.469  435  064  ^'Jtl^.OX 

0.470  567  595  546. 24 
0.471  707  l3q  071 .25 
0.472  853  793  228.33 

1  i'^!5  6i3  389 
1  i32  53o  673 

1  139  543  523 

1  146  654  '^7 
1  j53  864  848 

6  917  283 

7  012  853 
7  110  633 
7  210  691 
7  3i3  102 

95  570 

97   779 
100  059 

102  4^1 
104  840 

2  209 
2  280 
a  352 

2  429 

2  5o5 

78.0 
78.1 
78.2 
78.3 
78.4 

0.474  007  658  076.26 
0.475  168  836  026.21 
0.476  337  43 1  9^7-^7 
0.477  5i3  553  097. 26 
0.478  697  309  501.24 

1  i6i  177  95o 
1  168  595  893 
I  176  121  179 
1  i83  756  404 
1  191  5o4  240 

7  417  942 
7  525  287 
7  635  225 
7  747  836 
7  863  312 

107  345 

109  938 

113  611 

ii5  376 
1 1 8  333 

3  593 
2  673 
2  765 
2  857 
2  906 

78.5 
78.6 
78.7 
78.8 
7B.9 

0.479  888  8i3  741.19 
0.481  088  181  192.91 
C.482  295  53o  090.28 
0.483  5 10  981  621 .47 
0.4^4  734  660  o3o.94 

1  199  367  4^2 
1  207  348  897 
1  3i5  45 i  53i 

1  223  678  4'0 
1  332  o32  694 

7  981  AA^ 

8  103  634 
8  226  879 
8  354  284 
8  484  963 

121  189 
124  245 
127  4o5 
i3o  679 
i34  066 

3  o56 
3  160 
3  274 
3  387 
3  5o8 

79 -o 
79-1 
79-1 
79-^ 
79-4 

0.485  966  692  7^4.04 
0.487  207  210  38i .62 
0.488  456  347  067,79 
0.489  714  240  356.58 
0./90  q8i  cil  456.26 

1  240  517  657 

1  249  i36  686 
1  257  893  289 
1  266  791  099 

1  275  833  885 

8  619  029 
8  756  6o3 

8  897  810 

9  042  786 
9  191  661 

137  574 

i4i  207 
144  975 
148  875 

i52  926 

3  633 
3  768 

3  900 

4  o5i 
4  '.98 

79-5 
79-^ 
79-7 
79-8 

79-9 
80.0 

0.492  256  865  340.61 
0.493  541  890  886.93 
0.494  835  261  020. 23 
0.496  1/0  1 33  804.48 
0.497  453  ^'^•j  900.84 
0.498  -"77  c3-.2  i33.oi 

j  285  035  546 
1  294  370  i33 
1  3o3  871  844 
1  3i3  535  o37 
1  3^3  364  233 
1  533  3 -"4  i3o 

9  ^4  587 
9  5oi  711 
9  663  193 
9  829  195 
'9  999  898 

10  173  477 

i57  1^4 
161  482 
166  002 

170  70 3 
175  579 
180  652 

4  358 

4  5;-î0 

4  7C1 

4  876 

5  073 
5  269 

2 

6. 

Log.  E'. 

DiiT.  I. 

IL 

III. 

IV. 

80»  o 

0.017  08^  i°7  27^ '^^ 

270  9 1 1  042 

1  293  955 

i5  358 

i53 

8o.i 

0.016  810  196  23o.o4 

269  617  087 

1  3o9  3i3 

i5  5n 

160 

8o.2 

0.016  540  579  143.42 

268  307  775 

1  324  824 

i5  671 

i59 

8o.3 

0.016  273  271  3(38.49 

266  982  951 

1  340  495 

i5  83o 

168 

80.4 

0.016  oo5  288  4i7-33 

265  642  456 

1  356  325 

15998 

i63 

80.5 

o.oi5  739  645  960.70 

264  286  101 

1  372  323 

16   i6i 

173 

80.6 

o.oi5  475  359  800.22 

262  9i3  808 

1  388  484 

16  334 

171 

80.7 

0.0 i5  212  44^   021.67 

261  525  324 

1  404  818 

16  5o5 

180 

80.8 

0.014  95o  920  697.80 

260  120  5o6 

1  421  323 

16  685 

178 

80.9 

0.014  '^.90  ^°°  19'!  58 

258  699  i83 

1  4.38  008 

16  863 

182 

81.0 

0.014  432  101  009.44 

257  261  175 

1  454  871 

17  045 

191 

81, î 

0.014  ^74   8^9  834-36 

255  806  3o4 

1  471  916 

17  236 

189 

81.2 

o.oi3  919  o33  529.63 

254  334  388 

1  489  l52 

17  425 

195 

81.3 

o.o]3  664  699  142- 11 

252  845  236 

1  5o6  577 

17  620 

200 

81.4 

o.oi3  411  853  906.49 

25i  338  659 

1  524  197 

17  820 

202 

8i.5 

o.oi3  160  5i5  246.78 

249  814  462 

1  542  017 

18  022 

210 

81.6 

0.012  910  700  784.83 

248  272  445 

1  56o  039 

18  232 

210 

81.7 

■  0.012  66a  428  339.69 

246  712  406 

1  578  271 

18  442 

218 

81.8 

0.012  4^5  715  934.32 

245  i34  i35 

1  596  7i3 

18  660 

221 

81.9 

0.012  170  58i  799.27 

243  537  422 

1  6i5  373 

18  881 

228 

82.0 

0.011  927  c44  377.56 

241  922  049 

1  634  254 

ï9  109 

23l 

82.1 

o.cii  685  122  328.24 

240  287  795 

1  653  363 

19  340 

237 

82.9 

o.ou  444  834  533.42 

238  634  432 

1  672  7o3 

19  577 

246 

82.3 

O.Oll  206  200  101.23 

236  961  729 

1  692  280 

19  823 

245 

82.4 

0.010  969  238  371.92 

235  269  449 

1  712  io3 

20  068 

29 

259 

82.5 

o.oio  733  968  923.41 

233  557  346 

1  732  171 

20  327 

82.6 

0.010  5oo  411  '576.80 

23i  825  175 

I  752  498 

20  586 

270 

82.7 

0.010  268  586  402.22 

23o  072  Gj'j 

1  773  084 

20  856 

275 

82.8 

o.oio  o38  5i3  725.00 

228  299  593 

1  793  940 

21  i3i 

280 

82.9 

0.009  810  214  l32.22 

226  5o5  653 

1  8i5  071 

21  4'  1 

295 

83.0 

0.009  583  708  479.23 

224  690  582 

1  836  482 

21  706 

293 

83.1 

0.009  359  017  896.54 

222  854  loo 

1  858  188 

21  999 

309 

83.2 

0.009  1^^  ^^^  797-^° 

220  995  912 

1  880  187 

22  3o8 

3r5 

83.3 

0.008  915  167  884.65 

219  1 15  'j'ïB 

1  902  495 

22  623 

323 

83.4 

0.008  6q6  c52  159.72 

217  2i3  200 

1  925  118 

22  946 

334 

83.5 

0.008  478  838  930.08 

2i5  288  112 

1  948  064 

23  280 

343 

83.6 

o.oc8  263  55o  818.09 

2i3  340  048 

1  971  344 

23  623 

355 

80.7 

0.008  o5o  210  770.16 

211  368  704 

I  .994  967 

23  978 

364 

83.8 

0.C07  838  842  066. 17 

209  373  737 

2  018  q45 

24  342 

376 

83.9 
84.0 

0.0C7  629  468  329  53 

207  354  792 

2  043  2R7 

24  718 

390 

0.0C7  422  ii3  537.40 

2o5  3 1 1  5o5 

2  068  oo5 

25  108 

400 

84.1 

0.007  216  802  032.29 

2o3  243  5oo 

2  093  1 l3 

25  5o8 

4i5 

84.2 

0.0C7  oi3  558  532.49 

201  i5o  387 

2118  621 

25  923 

4^^9 

84.3 

0.006  812  4c8  145. 18 

199  o3i  766 

2  144  544 

26  352 

445 

84.4  . 

0.006  6i3  37S  078.88 

196  ?:^'j   22a 

2  170  896 

26  797 

459 

84.5 

0.006  4' 6  4'^'9  156.87 

194  716  326 

2  197  693 

27  256 

475 

84.6 

0.006  221  779  83 1.25 

192  5i8  633 

2  224  949 

27  731 

498 

84.7 

0.006  029  254  198.30 

iqo  293  GS4 

2  252  680 

28  2  9. 9 

^^°§ 

84.8 

o.oo5  8ô8  9b-o  5i3.83 

188  o4i  oo4 

2  280  909 

28  708 

5^6 

84-9 

o.oo5  65o  919  510.43 

i85  760  095 

2  3o9  647 

29  274 

553 

85.0 

c.oc5  455  i59  4i4-92 

i83  450  448 

2  338  921 

29  827 

576 

ô. 

Log.  F*. 

Diff.  I. 

II. 

m. 

IV. 

H 

80°  o 
80. 1 
80.2 
80.3 
80.4 

0.498  777  o39  i33.3i 
o.5oo  110  3g6  262.94 
o.5oi  453  935  869.83 
o.5o2  807  83 I  606.17 
o.5o4  172  269  391.86 

1  333  364  i3o 
1  343  539  607 
1  363  895  736 
1  364  437  786 
1  376  171  2.44 

10  176  4jj 
10  356  129 
10  542  o5o 
10  733  458 
10  93o  569 

180  659 
i85  921 
191  408 
197  1 1 1 
2o3  049 

5  269 
5487 

5  703 

6  938 
6  ]86 

80.5 
80.6 
80.7 
80.8 
80.9 

o.5o5  547  440  636. 00 
o.5o6  933  542  448.78 
o.5o8  33o  777  880. 10 
0.609  7%  356  164.30 
o.5i  I  159  4,92  978.79 

1  386  101  8i3 
1  397  235  4^1 
1  408  578  284 
1  420  i36  8i5 
1  43i  917  708 

11  i33  618 
11  34-2  853 
11  558  53i 

11  780  923 

12  010  3i9 

209  235 
2l5  678 
222  392 
229  396 

236  702 

6  443 
6714 

7  004 
7  3o6 
7  626 

81.0 
81.1 
81.9 
81.3 
81.4 

o.5i2  591  410  716.56 
o.5i4  o35  338  773.59 
o.5i5  491  5i3  85i.5o 
o.5i6  960  180  277.50 
o.5i8  44i  590  341.65 

1  44^  928  067 
1  4^6   176  078 
1  468  66Q  497 
1  481  41°  064 
1  494  4^4  3' 2 

12  247  021 
12  491  349 
19  743  637 
i3  004  248 
i3  273  654 

244  3a8 
262  288 
260  61 1 
269  3o6 
278  402 

7  9^0 

8  323 

8  695 

9  C96 
9  517 

81.5 
81.6 
81.7 
81.8 
81.9 

0.519  9^^  004  653. 61 
0.52I  443  692  519.75 
0.522  ^64  932  341. 63 
0.624  5oo  012  o38. 64 
0.626  049  229  4.96.04 

1  607  687  866 
1  521  239  822 
1  535  079  697 
1  549  217  4^^ 
1  663  663  539 

i3  55i  956 
i3  839  876 
14   i37  769 
14  446   o83 
14  766  348 

287  919 
297  884 
3o8  324 
3i9  265 
33o  740 

9  965 
10  440 

10  941 

1 1  47^ 

12  046 

82.0 
82.1 
82.2 
82.3 
82.4 

0.627  612  893  033.96 

0.629  19^  321  920.70 

o.53o  784  846  896.40 
0.632  393  810  745.33 
0.534  018  568  898.22 

1  578  428  887 
1  693  524  975 
1  608  963  849 
1  624  768  i53 
1  640  921  176 

i5  oq6  088 
16  438  874 
i5  794  3o4 
16  i63  023 
16  645  712 

342  786 
355  43o 
368  719 
382  689 
397  391 

12  G44 
i3  289 
i3  970 

14  702 

i5  476 

82.5 
82.6 
82.7 
82.8 
82.9 

0.535  669  490  073.64 
0.537  3i'6  9'66  061.91 
0.638  991  366  953.05 
0.540  683  i32  914.02 
0.542  392  684  018. i3 

1  667  466  888 
1  674  409  991 
1  691  765  961 
1  709  56 1  104 
1  727  782  614 

16  943  io3 
ij   355  970 

17  785  143 

18  23i  5io 
18  6qG  016 

412  867 
429  173 
446  367 
464  5o6 
483  664 

16  3o6 

17  1.94 

18  i39 

19  i5'8 

20  245 

83. 0 
83.1 
83.9 
83.3 
83.4 

o.:544  120  4bb'  63 1.80 
0.545  866  946  262.03 
0.547  6^2  6o3  672.34 
0.549  417  945  47^-^7 
o.56i  223  496  276.87 

1  746  478  63o 
1  766  658  3io 
1  785  341  899 
1  8o5  55o  8b6 
1  826  3o7  696 

19  179-  680 

19  683  689 

20  208  907 

20  766  '890 

21  328  884 

5o3  909 
626  3 18 
547  983 

^7'-  994 
697  46'o 

21  409 

22  665 
24  ou 

26  4'^^^ 

27  017 

85.5 
83.6 
83.7 
83.8 
83.9 

o.5b3  049  8o3  972.58 
0.554  897  440  553.47 
0.556  jQj   oo3  477.33 
0.558  669  117  221 .78 
o.56o  574  434  979.55 

1  847  636  58o 
1  869  562  924 
1  892  1 i3  745 
1  916  3i7  758 
1  939  2o5  488 

21  926  344 

22  55o  821 

23  204  oi3 

23  887  730 

24  6o3  948 

634  477 
653  192 
683  7"i7 
716  218 

760  843 

28  716 
3o  626 
32  5oi 
34  626 
36  936 

84.0 
84.1 
84.2 
84.3 
84.4 
84.5 
84.6 
84.7 
84.8 
84.9 
1   85. 0 

0.562  bi3  640  468.46 

0.664  477  449  904.33 

0.566  466  614  "130.76 
0.668  481  920  927.66 
0.670  624  197  627.00 

1  963  809  436 

1  989  164  227 

2  "01 5  3o6  797 
2  042  276  699 
2  070  1 i5  801 

26  354  791 
26  142  670 

26  969  802 

27  839  209 

28  753  ^47 

787  779 

827  232 
869  400 
914  545 
962  918 

39  453 
42  168 
45  145 
48  373 
61  929 

0.072  594  3i3  327.99 
0.674  693  182  875.56 
0.676  821  769  089.25 
0.678  981  086  8r3.6i 
0,681  179  906  672.76 
0.583  396  269  3i8.33  . 

2  098  869  548 
2  128  586  2i3 
2  169  317  726 
a  191  119  869 
2  224  062  645 
2  258  i8o  7S4 

29  716  665 

30  731  5i2 
3i  802  i34 
32  932  786 

54  128  119 

55  393  249 

1  014  847 
1  070  622 

1  i3o  662 
1  195  333 
1  265  1 3o 
1  340  574 

55  7^5 

6o  ooo 
64   678 
69  797 

75  444 
,  81  666 

/ 


B. 

Log.  E\ 

Diff.  I. 

II.  . 

m. 

1 
IV. 

85°  o 
85.1 
85.2 
85.3 
85.4 

o.oc5  4^5   i59  41 4- 92 
o.oo5  281  708  967.11 
o.oo5  100  597  439-91 
0.004  9^^i  8^4  660.81 
0 . 004  745  5 1 1  o39 . 70 

i83  45o  44s 
181  111  527 

178  742  779 
176  343  628 
173  913  472 

2  338  921 
2  368  j4S 
2  399  i5i 
2  430  i56 
2  461  789 

29  897 

30  4o3 
3i  oo5 
3i  633 
39  983 

576 
602 
628 
65o 
687 

85.5 
85. S 
85.7 
85.8 

85. q 

0.004  571 

0.C04  4°° 

0.004  23l 

0.004  064 
0.001  900 

597  56i .43 
145  877.98 
188  2S7.47 
707  698.28 
887  853.32 

171  45 i  683 
168  957  611 
166  43o  569 
i63  869  845 
161  274  689 

2  494  072 
2  527  04a 
2  56o  724 
2  595  i56 
2  63o  370 

32  970 

33  iS82 

34  432 

35  214 

36  041 

712 
750 
782 
827 
869 

86. o 
86.1 
86  a 
86.3 
S6.4 

0.00  )  7';9  6i3  163.78 
o.oo3  58o  968  845.28 
o.oo3  434  990  9^6-97 
o.oo3  271  716  34^-47 
o.oo3  121  182  880.46 

i58  644  319 
i55  977  908 
i53  274  594 
i5o  533  4'63 
147  753  556 

2  666  4' i 
2  703  3i4 
2  741  i3i 
2  779  907 
2  819  695 

36  903 

37  817 

38  776 

39  788 

40  863 

9'4 

959 
1  012 

1  075 

1  i33 

86.6 
86.7 
86.8 

S6.q 

0.002  973  42q  323.82 
0.002  '828  495  463.1 3 
0.002  686  422  159.80 
0.002  547  25 1  410-7^ 
0.002  411  026  416. 56 

144  933  861 
142  073  3o3 
139  170  749 
i36  224  9q4 
i33  234  757 

2  860  .558 
2  902  554 
2  945  755 

2  990  237 

3  o36  o83 

41  996 

43  901 

44  482 

45  846 

4^   302 

1  2o5 

1  281 

1  364 

1  4^^ 
1  558 

87.0 
87.1 
87.2 
87.3 
87.4 

0.002  277  791'  65q.68 
0.002  147  592  985.62 
0.002  020  477  696.43 
o.ooi  896  494  652. 10 
0.001  775  6q4  383.73 

i3o  198  674 
127  ii5  289 
123  983  044 
120  800  268 
1 17  565  164 

3  o83  385 
3  i32  245 
3  182  776 
3  -235  1 04 

3  589  370 

48  860 

5o  53 1 
52  328 
54  266 
56  363 

I  671 

1  797 

1  938 

2  097 
2  275 

87.5 
87.6 

87.7 
87.8 

^7-9 

0.001  658  129  219.50 
0.001  543  853  425.72 
0.001  43?.  923  364.99 
o.ooi  325  3q7  674.99 

O.OOl  221  337  4?^ '22 

114  275  794 
1 1 0  930  06 i 
107  525  690 
104  060  204 

100  53o  893 

3  345  733 
3  4'^4  ^71 
3  465  486 
3  599  3ii 
3  596  I 10 

58  638 
61  1 15 
63  825 
66   799 
70  078 

2  477 
2  710 

2  974 

3  279 
3  641 

88.0 
88.1 
88.9 
88.3 
88.4 

0.001  120  806  578.23 
0.001  023  871  '/q4-77 
o.coo  93o  6o3  200. 3o 
0 . 000  84 1  074  5 11 . 80 
0.000  755  363  500.95 

96  934  783 
93  q68  5q5 
89  528  688 
85  71 1  011 
81  81 i  011 

3  eee  iSS 

3  7^9  9^7 
3  817  677 

3  900  000 

3  sSj  461 

73  719 

77  770 
82  323 

87  461 
93  3i9 

4  o5i 

4  553 

5  i38 

5  858 

6  727 

88.5 
88.6 
88.7 
88.8 
88.9 

0.000  673  553  4^9-53 
0.000  595  79.8  940.02 
0.000  521  986  169.93 
0.000  452  4'^.4  225.98 
0.000  387  i5o  969.90 

77  823  55o 
73  742  770 
69  56 1  q44 
65  273  256 
60  867  520 

4  c8o  780 

4  180  826 

4  288  688 
4  4c5  736 
4  533  740 

100  046 
107  862 
1 ly   048 
128  004 
141  289 

7  816 

9  1^6 

10  956 

i3  285 

16  454 

89.0 
89.1 

89.  Q 
89.3 
89.4 

o.oco  326 
0.000  269 
o.oco  218 
0.000  171 
0.000  129 

283  45o.3o 
949  669 . q3 
290  918.50 

4^4  Q39.28 
65o  384.72 

56  3-^3  780 
5i  658  75i 

46   825  q79 

41  814  554 

36  597  014 

4  675  029 

4  839  772 

5  on  425 
5  217  540 
5  461  357 

157  743 
178  653 
206  ii5 
243  817 
298  867 

20  910 
27  462 
37  702 
55  040 
88  25o 

8q.5 

89.6 

89-7 
89.8 

B9-9 
90.0 

0.000  093 
0.000  061 
0.000  o36 
o.oco  017 
o.coo  004 
o.coo  000 

o53  371 .21 
917  714.05 
542  270.57 
3i4  148.93 
787  090.76 
oco  000. co 

3i  i35  657 
25  375  443 
19  228  12a 
12  527  o58 
4  7^7  09 ï 

5  760  214 

6  147  321 

6  701  064 

7  7^9  9^7 

387  107 

553  743 

1  o38  goS  j 

[ 

166  636 
485  i6o 

e. 

85°o 
85.1 
85.9 
85.3 
85.4 

Log.  F'.  . 

Diff.  I. 

II. 

III. 

IV. 

0.583  396  aSg  3i8.23 
0.585  ^^^  A^o  081.87 
0.587  948  014  094.62 
0.590  278  321  9':^o.83 
0.592  Ç>A^  785  è3o.4i 

a  258  180  764 
c  C93  574  oi3 
2  33o  307  836 
2  368  463  899 
2  408  i3o  770 

35  393  949 

36  733  823 

38  166  o63 

39  666   871 
41  273  mo 

1  340  674 
1  422  240 
1  5io  808. 
1  607  009 
1  711  710 

81  666  : 

88  568 

9^6  201 

104  701 

ii4  169 

85.5 
85.6 
85.7 
85.8 
85.9 

0.595  o54  916  599.81 
0.597  ^°4  ^21  249.91 
0 .  599  ^96  7 1 1  /i^^^ .  80 
0.609  533  9i3  189.34 
o.6o5  117  876  944-55 

2  449  404  65o 
2  492  390  240 
2  537  201  699 
2  583  963  766 
2  632  812  964 

42  Q  85  690 

44'èii  4^3 
46  762  067 
48  849  208 

5l  086  2Q2 

1  825  869 

1  960  698 

2  087  ibi 
2  236  994 

2  4° i  786 

124  799 
i36  553 

H9   843 
164  791 
i8i  677 

86.0 
86.1 
86.2 
86.3 
86.4 

0.607  7^°  ^^9  9°9-°7 
0.610  4M  ^%  075.26 
o.6i3  171  976  227.83 
o.6i5  965  434  829.71 
0.618  817  749  149-84 

2  683  899  166 
2  737  387  i53 
2  793  468  602 
2  852  3 14  3ao 
2  914  176  863 

53  487  987 
^56  071  449 
5«  855  71  "8 
61  862  633 
65  ij6  686 

2  583  462 

2  784  269 

3  006  8i5 
3  254  i53 
3  529  876 

2CO  807 
222  546 

247  338  ^ 
275  723 
3o8  365 

86.5 
86.6 
86.7 
86.8 
86.9 

0.621  731  926  002.75 
0.624  7' ^  2ig  542.37 
0.627  769  169  643.37 
o.63o  879  584  546.69 
0.634  076  678  340.46 

2  979  293  539 

3  047  94o  101 
3  120  424  904 
3  197  093  793 
3  278  336  649 

m   646  562 
72  4^4  8q3 
76  6GS   889 
81  242  766 
86  956  864 

3  838  241 

4  1,84  086 

4  573  867 

5  014  108 
5  6i3  948 

345  845 
389  781 
44<^  241 
499  840 
669  71 1 

87.0 
87.1 
87.9 
87.3 

0.637  ^55  014  889.22 
0.640  719  608  3oi .93 
0.644  ^7^  972  627.06 
0.647  7^^   191  223. 1 1 
o.65i  389  000  4^4-^1 

3  364  693  4 i3 
3  466  364  295 
3  654  218  696 
3  658  809  241 
3  770  886  71 1 

91  770  812 

97  854  471 

104  590  546 

1 12  077  47° 

120  433  169 

6  o83  669 
€  j56   074 

7  486  996 

8  356  '6c)9 

9  ^^^  747 

652  416 

760  85 1  ; 

868  yj4 

1  on  048 

1  i83  991 

87.5 
87.6 
87.7 
87.8 
87.9 

0.665  169  887  174.84 
0.669  061  207  066.09 
0.663  072  326  850.67 
0.667  233  797  301.26 
0.671  647  665  193.66 

3  891  319  880 

4  021  1 19  796 
4  161  470  460 

4  3i3  767  823 

4  479  670  o5i 

129  799  9»'6 
140  35o  654 
162  297  373 
166  902  228 
181  4l2  642 

10  55o  738 

1 1  946  719 
i3  604  855 
i5  690  4^4 
17  989  293 

1  396  981 
1  658  i36 

1  985  559 

2  398  879 
2  926  862 

88.0 
88.1 
88.9 
88.3 
88.4 

88.5 
88.6 
88.7 
88.8 
88.9 

0.676  027  235  174-93 
0.680  688  397  8S8.16 
0.685  649  042  496.79 
0.690  63o  o85  213.94 
0.696  966  062  395.61 

4  661  162  693 

4  860  644  628 

5  081  042  718 

5  026  967  182 

6  699  926  686 

^99  481  9^5 
220  398  090 

244  924  4^4 
273  968  5o4 
3o8  698  288 

20  916  i65 
24  626  374 
29  o34  040 

34  739  784 
42  074  739 

3  610  219  . 

4  607  666 

5  70 5  y 44 
7  334  955 
9  ^97   '554 

0.701  555  978  081 .90 
0.707  454  602  o56.oo 
0.713  793  999  066.99 
0.720  386  841  378.02 
0.727  614  617  762.00 

5  908  623  974 

6  269  397  001 

6  661  842  321 

7  128  776  384 
7  677  725  357 

35o  773  027 
409  445  320 
466  934  o63 
548  i^48  973 
655  bi 1  6i4 

61  679  293 

64  488  743 

89  014  910 

106  662  641 

142  5io  764 

12  816  4S0 
17  626  167 

24  647   73 ' 
35  848  193 
54  325  2P7 

89.0 
89.1 
89.9 
89.3 

89.4 
89.5 
89.6 
89.7 
89-8 
89.9 
90.0 

0.735  199  343  119.4') 
0.743  625  680  090.29, 
0.762  667  139  439.03 
0.762  783  667  217.10 
0.774  188  442  696.41 

8  333  336  971 

9  i3i  469  349 

10  126  4' 7  77^ 

1 1  404  886  409 
i3  114  638  897 

798  199  378 

994  9^8  499 

1  278  467  63 1 

1  709  753  488 

9  416  554  994 

196  836  o5i 

283  609  209 

499  985  867 

706  800  806 

1  990  38o  55o 

86  673  i5i 

145  776  655 

277  5i4  c)4c) 

583  679  75'> 

1  610  248  983 

5  706  908  060 

0.787  3o3  081  5^3. 90 
0.802  8.34  974  714.4'^ 
0  8r!a  079  4o9  767.80 

0.847  818  094  4^7.91 

0.888  678  8'86  838.43 
Infini. 

16  53 1  193  191 
19  238  128  044 
25  745  691  739 
40  760  732  341 

3  70S  934  853 

6  607  563  696 

16  oi5  100  602 

2  800  698  842 
8  607  536  907 

C:=^    ^' 


^  ^.r 


TABLE 

Valeurs  des  Fonctions  E,  calculées  à  douze  dé 
de  demi-degré  en  demi-degré  ,  depuis  o° 

de  45". 

IL 

cimales^  pour 
jusqu'à  90%.] 

'  toutes  les  . 
'angle  du 

amplitudes  <p , 
module  étant 

<P 

E 

DifF.  I. 

II. 

III. 

IV. 

V. 

o^o 
0.5 
1 .0 
1.5 
2.0 
2.5 

0.00000  ooooo  00 
0.00872  65908  79 
0.01745  28494  88 
0.02617  84436  20 
0.03490  3o4ii  94 
0.04362  63io3  20 

872  65908  79 
872  62586  09 
872  55941  32 

872  45975  j4 
872  32691  26 
872  16090  4o 

3322  70 

6644  77 

9965  58 

13284  48 

16600  86 

19914  07 

3322  07 
3320  81 
33i8  90 
33 16  '38 
33i3  21 
3309  42 

126 

191 
252 

3i7 

379 

44^ 

65 
61 
65 

62 
66 
59 

3.0 
3.5 
4.0 

4-5 

5.0 

o.o5234  79193  60 
0.06106  75369  93 
0.06978  48322  jy 
0.07849  94747  i5 

0.08721  11343  i4 

871  96176  33 
871  72952  84 
871  4S424  38 
871  16595  99 
870  83473  41 

23223  49 

26528  46 
29828  39 
33 122  58 
36410  48 

33o4  97 

3299  93 
3294  ig 

3287  90 

3280  92 

5o4 
574 
629 
698 

764 

70 
55 

^9 
66 
56 

5.5 
6.0 
6,5 

7.5 

0.09591  94816  55 
0. 10462  41879  48 
0. ii332  49^51  01 
0.12202  i3657  86 
o.i3o7i  3i834  95 

870  47062  93 
870  07371  53 
869  64406   85 
869  18177  °9 
86"8  68691  17 

39691  40 
42964  68 

46229  76 
49485  92 
52732  59 

3273  28 

3265  08 
3256  16 
3246  67 
3236  5o 

820 
892  . 

949 
1017 

1081 

72 
57 
68 
64 
61 

8.0 
8.5 

9.5 

10.0 

0. 13940  00526  12 
0.14808  16484  70 
0. 15675  76474  19 
0.  i654'^  77268  90 
0. 17409  i5654  56 

868  15958  58 
867  59989  49 
867  00794  71 
866  38385  66 
865  72774  4^ 

55969  09 
59*194  7"8 
69409  o5 
656i i  25 

68800  70 

3225  6q 
3214  27 
3202  20 
3189  45 
3176  09 

1 142 
1207 
1275 
1344 
1401 

65 
68 

'^ 

63 

10.5 
1 1 .0 
11.5 
12,0 
12.5 

0.18274  88428  97 
0. 19139  92402  68 
0.20004  24399  60 
0.20867  81257  65 
0.21730  59829  39 

865  03973  71 
854  31996  99 
863  56^58  o5 
862  78571  ^4 
861  97153  33 

71976  79 
701 38  87 
78286  3i 
81418  41 
84534  60 

3162  08 

3.47  44 
3i32  10 
3ii6  19 

3o99  54 

1464 
1534 
1591 
i665 

1720 

h 

74 
55 

75 

i3.o 
i3.5 
i4-o 
14.5 
i5.o 

0.22392  56982  72 
0.23453  69601  45 
0.2431 3  94586  o4 
0.25173  28854  i5 
0.2603 1  69341  39 

861  12618  73 
860  24984  59 
859  34968  11 
858  40487  24 
857  43660  52 

87634  14 
90716  48 
93780  87 
96826  72 
9q853  34 

3082  34 
3o64  59 
3o45  85 
3026  62 
3oo6  78 

1795 
1854 
1923 
1984 
2o55 

6^ 

i5.5 
i6.o 
i6.5 
17.0 
17.5 

0.26889  i3ooi  gi 
0.27745  56809  0.9 
0.28600  97756  i5 
0.29455  32856  86 
o.3o3o8  59146  18 

856  43807  18 
855  40947  06 
854  35 100  71 
853  26289  32 
852  14534  76 

1  02860  12 
1  o5846  35 
1  08811  39 
1  11754  56 
1  14675  25 

2986  23 
2965  04 
2943  17 
2990  6q 
2897  47 

2119 
2187 
2248 

2322 

238o 

68 
61 

74 
58 

75 

18.0 
18.5 
19.0 
19.5 

20.0 

20.5 
21  .0 

o.3ii6o  73680  94 
O.3201 1  73540  45 
0.32861  55827  24 
0.33710  \j66'/  64 
0.34557  56212  53 
o.354o3  68637  95 
0.36248  52145  82 

85o  99859  5i 
849  82286  79 
848  61840  40 
847  38544  89 
846  12425  42 
844  835o7  87 
843  5i8i8  77 

1  17072  72 
1  20446  39 
1  20295  5i 
1  26119  47 
1  28917  55 
1  31689  10 
1  34453  44 

2873  6j 
2849  12 
2823  ()6 
2798  c8 
2771  55 

2744  34 
2716  48 

2455 

25  16 
2588 
2653 
2721 
2786 
2858 

61 
72 
65 
68 
65 
72 
68 

TABLE  II. 

Valeurs  des  Fonctions  F,  calcule'es  à  douze  de'cimales^  pour  toutes  les  amplitudes  <p , 
de  demi-degré  en  demi-degré ,  depuis  o"  jusqu'à  90%  Tangle  du  module  étant 
de  45°. 

^ 

F 

DifF.  I. 

II. 

III. 

IV. 

Y. 

o°o 

0.5 

1.0 

1.5 
2.0 

2.5 

0.00000  00000  00 
0.00879  67016  41 
0.01745  37355  71 
0.02618  14340  92 
0.03491  01295  3i 
0.04354  01542  53 

872  67016  41 
872  70339  3o 
872  76980  21 

872  86954  39 

873  000,47   22 
873  16864  21 

3322  89 

6645  91 

99S9  IS 

13292  83 
16616  Q^ 
19941  j6 

3323  02 
3323  27 

3323  65 

3324  16 

3324  77 

3325  5i 

25 

38 
5i 
6i 
74 
9'^ 

3.0 
3.5 
4-0 
4.5 
5.0 
5.5 
6.0 
6.5 

7.5 

0.05257  18406  j4 
0.06110  55212  71 
0.06984  i5285  95 

0.07858  Oiq52  87 

0.08732  18540  83 

873  368o5  sj 
873  60073  24 

873  S6eS6  92 

874  16587  96 
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2B593  68 
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33249  5i 
36579  '7 

3326  41 

3327  36 

3328  4j 

3329  6G 
333i  01 

95 
1 11 

119 
i35 
139 

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4%7G   5o 
49912  04 
53949  28 

3332  40 

3333  92 
3335  '54 
3337  24 
3339  o3 

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162 
170 

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8.0 
8.5 

9.5 

10.0 

0. 13985  32895  00 

0. 14862  52202  22 
°- ^^740  2809775 

0. ifabi8  63922  4? 
0 • 1 7497  63o 1 9  20 

877  19307  22 

877  75895  53 

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878  qqo96  73 

879  657\3  58 

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63272  01 

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69963  72 

3340  88 
3342  82 
3344  84 
3346  87 
3349  02 

^94 
202 

2o3 
2l5 
212 

10.5 
11 .0 
11.5 
12.0 
12.5 

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o.2oi38  73400  12 

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73312  j4 
76663  88 
80017  22 
83372  77 
86730  58 

335i  i4 
3353  34 
3355  55 
3357  81 
336o  02 

220 
221 
226 
221 
224 

i3.o 
i3.5 
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14.5 

i5.o 

0.22786  73769  oq 
0.23671  09543  5'8 
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0.26329  70861  qo 

884  35774  49 

885  25865  09 

886  iq3i7  95 

887  i6i35  28 

888  i63i9  3i 

90090  60 

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1  o3552  85 

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3370  95 

221 
223 
212 
2l3 

2o5 

i5.5 
16.0 
16.5 
17.0 
17.5 

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1  20427' 01 

3373  00 

3374  95 
3376  82 

3378  e4 

338o  22 

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182 
i58 
i57 

18.0 
18.5 
19.0 
19. 5 
20.0 
20.5 
21 .0 

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897  39236  g4 

898  69809  28 

900  03765  2^ 

901  4i '07  95 

902  81 836  07 

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1  44114  77 

338 1  79 

3383  12 

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3386  i3 

3386  65 

3387  00 

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II. 

III. 

IV. 

V. 

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21  .5 

22. O 
22.5 
23.  O 

0.36248  52145  82 
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843  5i8i8  77 
842  17085  3i 
840  80235  39 
839  4°^97  ^ 
837  9790 I  1 1 

1  34433  44 
1  37149  92 
1  39837  82 
1  42496  4£ 
1  45125  18 

2716  48 

2687  90 
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2598  1 1 

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23.5 

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i     24.5 

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25.5 

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835  o5o52  64 
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83o  46S10  71 

ï  47723  29 
1  50290  07  ' 
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1  55326  99 
1  57795  70 

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2534  80 

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2468  71 

3434  66 

3198 
3262 
3341 

34o5 
5479 

64 

79 
64 

74 
69 

26.0 
26.5 
27.0 
27.5 
28.0 

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824  00969  80 
822  33636  96 

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2399  87 

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2253  75 

3548 
3617 
3690 
3757 
3832 

^9 
73 
67 

75 
68 

28.5 
29.0 
29.5 
3o.o 
3o.5 

0.48748  18974  36 
o.4,f)568  82997  ^^ 
o.5o387  75i52  o5 
0.5 1204  93223  60 
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820  64022  80 
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817  "18071  55 
8i5  41811  78 
8i3  634i5  3o 

1  71867  91 
1  74o83  34 
1  76259  yj 
1  7839'é  48 
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221 5  43 
2176  43 

2i36  71 
2096  27 

2055  12 

3900 
3972 

4044 
4ii5 

4187 

72 
72 

71 

72 
72 

3i  .0 
3i.5 

32.0 
32.5 
33.0 

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8c6  29281  78 
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1  8653i  78 
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20l3  25 

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1927  36 
i883  3x 
i838  56 

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44o5 
4475 
4549 

71 

75 
70 

74 
69 

33.5 

34.0 
34.5 
35.0 
35.5 

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cSyS-jy   18146  c8 
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jq6   68604  i3 
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i  93974  08 
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1  99073  20 

1793  07 
1746  89 
1699  93 
i6'52  3o 
i6o3  88 

4618 
4696 
47'63 
4842 
4912 

67 

79 

70 

70 

36. 0 
36.5 
37.0 
37.5 
38. 0 

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790  71432  95 
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784  60273  22 

2  00677  08 

2  0223l  84 
2  03736  78 
2  o5 1 9 I  II 

2  o65q4  14 

i554  y6 
i5o4  94 
14^4   33 
i4o3  o3 
i35i  00 

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5o6i 
5i3o 
52o3 
5279 

^9 

70 

38.5 
39.0 
39.5 
40.0 
40.5 

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1298  21 

1244  72 
1190  49 
n55  56 
1079  85 

5349 
5423 
5493 
5571 
5637 

74 

78 
66 
79 

4»  .0 
41.5 
42.0 
42.5 
43.0 

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o.Sq474   .96779  29 
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772  oi5o9  84 
y 6s   87615  87 
767  72698  42 
765  568.4  65 
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2  149*17  45 
2  i5883  77 
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2  17642  20 

1023  48 
966  32 
908  5i 

849  92 
790  68 

5716 
5781 
5859 
5934 
^999 

65 

II 

75 

70 

43.5  ' 
44.0 
44.5 
45.0 

i 

0.72541  53930  60 
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761  2238o  IJ 

759  c3947  29 
756  '84783  72 
754  '64950  i5 

2  18432  88 
a  19163  57 
2  19833  57 
2  20442  19 

730  69 
670  00 
608  69 
546  53 

6069 
61 38 
6209 
6275 

69 
71 
66 

73 

<p. 

F. 

Diff.  I. 

II. 

ijr. 

IV. 

V. 

S1°0 

0.370G3  43727  82 

902  8i836  07 

1  44114  Tj 

3387  00 

+  5 

3i 

21  .5 

0.37966  25563  89 

904  26960  84 

\   47601  77 

3387  o5 

—26 

2') 

22.  O 

0.38870  5i5i4  73 

906  76462  61 

1  60888  8a 

3386  79 

55 

35 

22.5 

0.39776  24967  34 

907  24341  43 

1  54276  61 

3386  24 

90 

35 

23. O 

0.40683  49308  77 

908  78617  04 

1  67661  85 

3385  34 

136 

40 

23.5 

0.41592  27925  8i 

910  36278  89 

1  61047  19 

3384  09 

i65 

37 

24.0 

0.42502  64204  70 

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1  64431  28 

3382  44 

202 

62 

24.5 

0.43414  6i53o  78 

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338o  42 

254 

40 

25.0 

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916  29071  c8 

1  71194  14 

5377  88 

IH 

54 

25.5 

0.45243  52859  22 

917  00766  22 

1  74572  02 

3374  94 

348 

60 

26.0 

0.46160  53624  44 

918  76337  24 

1  'j'j^/^Ç>  ^^ 

3371  4e 

398 

55 

26.5 

0.47079  28961  68 

920  53284  20 

1   8i3i8  42 

3367  48 

453 

61 

27.0 

0.47999  82245  88 

922  34602  6a 

1  84686  90 

336a  96 

5i4 

63 

27.5 

0.48922  16848  5o 

924  19288  62 

1  88048  86 

3367  8i 

677 

63 

28.0 

0.49846  36 137  02 

926  07337  37 

1  91406  G6 

3352  04 

640 

71 

28.5 

0.60772  /^/it'j^  39 

927  98744  o3 

1   94768  70 

3345  64 

7'' 

73 

29.0 

0.51700  42218  42 

929  93502  73 

1  98104  34 

3338  53 

784 

74 

29.5 

o.5263o  35721  i5 

931  91607  07 

2  01442  87 

333o  69 

868 

84 

3o.o 

0.53562  27328  22 

933  93049  ^^ 

2  04773  56 

3322  1 1 

94^ 

83 

3o.5 

0.54496  20378  16 

935  97823  60 

2  08096  67 

33 12  69 

1024 

8q 

3i  .0 

0.55432  18201  Ç)Ç) 

968  06919  17 

2  11408  36 

33o2  46 

1 1 13 

91 

3i.5 

0,56370  24120  83 

940  17627  53 

2  14710  81 

6291  32 

1204 

100 

32.0 

0.57310  41448  36 

^^1   32o38  34 

2  18002  i3 

3279  28 

i3o4 

98 

32.5 

0.58252  73486  70 

^^  6co4o  47 

2  21281  4i 

3266  24 

1402 

108 

33.0 

c. 59197  23527  ^7 

946  71621  89 

2  24647  65 

3262  22 

1610 

109 

33.5 

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948  96869  64 

2  27799  87 

3237  12 

1619 

117 

34.0 

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961  26669  41 

2  3io36  99 

3220  90 

1766 

ii8 

34.5 

0.62044  14388  01 

953  64706  40 

2  34267  9a 

32o3  67 

1854 

126 

35.0 

0.62997  69094  4^ 

966  88964  32 

2  37461  49 

3 186  o3 

1980 

i3o 

35.5 

0.63953  58o58  73 

968  26426  Si 

2  4oG4^  62 

3i65  23 

21 10 

137 

36. 0 

0.649H  84484  54 

960  67072  33 

2  4381 1  76 

3i44  i3 

2247 

i38 

36.5 

0.65872  5i556  87 

963  10884  08 

2  46966  88 

3i2i  6S 

2385 

148 

57-° 

o.€6835  62440  95 

965  67869  96 

2  60077  54 

3097  81 

2533 

162 

37.5 

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968  07917  5o 

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3072  48 

2686 

i58 

38, 0 

0.68769  28198  4i 

970  61092  85 

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3o46  63 

2843 

174 

58.5 

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976  17340  68 

2  69296  4^ 

3oi7  20 

3oi7 

109 

39.0 

0.70713  o663i  94 

976  76634  14 

2  62610  6S 

2987  17 

3176 

173 

39.5 

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978  38944  80 

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2966  41 

3349 

182 

40.0 

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2921  92 

353\ 

1S8 

40.5 

0.73648  26453  5i 

983  72495  87 

2  71 176  16 

2886  61 

3719 

193 

41.0 

0.7463.  98949  38 

986  43671  o3 

2  74o6ji  yj 

2849  42 

0912 

200 

4ï-5 

0.75618  42620  4i 

989  17732  80 

2  769 11  19 

2810  3o 

41 12 

2cb 

42.0 

0.76607  6o353  21 

991  94643  99 

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2769  18 

4317 

219 

42.5 

0.77699  54997  ^° 

994  74365  48 

2  82490  67 

2726  01 

4636 

21 1 

43.0 

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997  55856  i5 

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2680  65 

4747 

260 

43.5 

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1000  42072  83 

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4977 

234 

44.0 

0.80692  28291  ^Ç> 

ioo3  29970  16 

2  9o63o  5i 

2583  41 

021 1 

208 

44-5 

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1006  20600  67 

2  961 i3  9a 

2661  3o 

^49 

s45 

45.0 

0.82601  78762  49 

1009  i36i4  69 

2  95645  22 

2476  81 

5594 

255 

f' 

E. 

Diff.  I. 

II. 

III. 

IV. 

V. 

45°  o 

45.5 
46.0 
46.5 
47.0 

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746  801 63  c)4 

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2  20988  72 
2  21472  5o 
2  21892  80 
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546  63 
483  78 
420  00 
356  19 
291  38 

6276 
6348 
6411 
6481 
6646 

73 
63 
70 
66 
67 

47-5 
48.0 
48.5 
49.0 
49.5 

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o.8co54  73489  34 
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o.8i53o  76769  84 

•j4^  67904  96 
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2  22926  c8 
2  23oi9  14 
2  23o44  77 

226  92 

-i59  79 

93  06 

+  26  63 

-42  37 

66i3 
6673 
6743 
6800 
6861 

60 

T 
57 

61 

es 

5o.o 
5o.5 
5i.o 
5i.5 

52.  0 

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2  23oo2  40 
2  22891  42 
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2  22140  70 

110  98 
i8o  26 
260  o5 
320  42 
391  41 

6927 
6980 

7037 

7099 
7145 

53 
62 

46 
60 

52.5 
53.0 
55.5 
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54.5 

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721  3o4oi  49 
719  08662  20 
716  87366  77 

714  66614  23 
712  4^470    16 

a  21749  29 
2  21286  43 
2  20761  62 

2  20 144  09 

2  19463  66 

462  86 
53491 
607  43 
680  43 
753  94 

7206 
7262 
7300 
735 1 
7393 

47 
48 
5i 
42 
44 

55.0 
55.5 
56. 0 
56.5 
57.0 

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2  18709  72 

2  17881  85 
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827  87 

902  24 

976  98 

1062  17 

1127  68 

7437 
7474 
7019 
7601 
7681 

37 
45 
3  y. 
3o 
34 

57.5 
58. 0 
58.5 
59.0 
59.5 

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693  04700  5i 
690  94716  92 

2  l3822  78 

2  12619  29 
2  11339  65 
2  09983  69 
2  o855o  89 

i2o3  49 
1279  S4 
i36'6  06 
1432  70 
1609  58 

7616 
7642 
7664 
7688 
7706 

27 
22 

17 

19 

60.0 
60.5 
61 .0 
61.5 
62.0 

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688  86166  o3 
686  79124  72 
684  73670  04 
682  69879  i6 
680  67829  38 

2  07041  3i 
2  06454  68 
2  03790  88 
2  02049  78 
2  002.3 1  3o 

1686  63 
i663  80 
1741  10 
1818  48 
1895  87 

7717 
7730 
7738 

7739 
774a 

i3 
8 

1 
+  3 
—  9 

62.5 
63. 0 
63.5 
64.0 
64.5 

0.99918  91245  78 
1.00697  58843  86 
1.01274  28106  5i 
1 .01949  01007  02 
1 .02621  79696  01 

678  67698  08 
GjS   69262  65 
674  72900  5i 
672  78688  99 
670  86406  35 

1  98335  43 
1  96362  14 
1  943 1 1  62 
1  92183  64 
1  89978  60 

1973  29 
2o5o  62 
2127  88 
22û5  o4 
2281  97 

7733 
7720 
7716 

7693 

7673 

7 
10 

23 

20 
27 

65. 0 
65.5 
66.0 
66.5 
67.0 
67.5 
68.0 
68.5 
69.0 

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1 .06967  35o39  84 

668  96426  76 
667  08730  12 
666  23392  19 
663  40489  4^ 
6Si  60C97  96 

1  87696  63 
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1  82902  77 
1  80391  4o 
1  77804  40 

2368  70 
2435  16 
2611  3i 
2687  06 
^662  41 

7646 
7615 
7576 
7535 
7489 

3i 
40 

40 
45 
55 

1 .06618  96137  80 
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658  07161  57 
656  3474s  88 
664  65i53  83 

1  76141  99 
1  72404  69 

1  69693  oS 

1  66707  S4 

2737  3o 
2811  64 

2886  4i 

2968  53 

7434 
7077 
73i2 
7243 

57 
65 
69 
75 

%. 

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F. 

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II. 

III. 

IV. 

V. 

45°  o 
45.5 
46.0 
4b-.  5 
47.0 

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0. 86656  16949  /^j 

1009  i36i4  59 
1012  09969  8i 
101 5  0738'i  84 
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1091  10896  02 

2  96645  22 

2  98122  o3 

3  00641  90 
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3  06200  60 

2476  81 
2419  87 
236o  38 
.  2998  32 
9233  69 

5594 

59  49 
69  06 
64  70 
67  46 

255 

267 
264 

276 
278 

47-5 
48.0 
48.5 
49.0 
4.9-5 

o.8j6jy  27768  49 
0.88701  4^'jçjS   II 
0.89798  67255  90 
0.90759  oo3i7  17 
0.9 17(^2  45074  6s 

1094  16096  62 
1027  93460  84 

io3o  33o6i  22 
io33  447^7   52 
io36  58476  68 

3  07434  22 
3  09600  38 
3  1 1696  3o 
3  13719  16 
3  i5666  00 

21 66  16 
2096  92 
2022  86 
1946  84 
1867  88 

70  24 
73  06 
76  02 
78  96 
89  04 

282 
296 

2.q4 

3o8 
3o3 

5o.o 
5o.5 
61 .0 
5i.5 
62.0 

0.92899  o355i  37 
0.93868  77Sc)4  o5 
0.9491 1  69370  61 
0.95957  8o366  89 
0.97007  12383  66 

1039  74142  68 
1042  91676  56 
1046  10996  28 
1049  32016  77 
1062  54649  74 

3  17533  88 
3  19319  72 
3  21020  49 

3  29632  97 

3  24164  00 

1785  84 
1700  77 
1612  48 
1621  o3 
1426  29 

85  07 
88  29 

94  74 
98  o5 

322 

3i6 
399 
33'i 
33 1 

59.5 
53.0 
53.5 

54.0 
54.5 

0.98059  67033  40 
0.99115  45837  14 

1 .00174  50991  17 

1.01236  8i5i3  73 

1  .C23o9  40.941  70 

io55  78803  74 
1059  04384  o3 
1069  31292  56 
io65'  5q4^7   97 
1068  88685  41 

3  26680  29 
3  26908  53 
3  28135  41 

3  39967  44 

3  30971  97 

i328  24 
1226  88 
1 122  o3 
ioi3  83 
903  08 

101  36 
104  85 
108  20 
1 1 1  76 
ii5  18 

349 
336 
355 
343 
369 

55.0 
55.5 
56. 0 
56.5 
57.0 

1.03371  99637  11 

1.04443  48583  79 
i.o55i8  98713  82 
1 .06597  80804  10 
1 .07679  95522  73 

1079  18956  68 
1075  5oi3o  o3 
1078  82090  28 
1082  14718  63 
)o85  47^.93  79 

3  3i 173  36 
3  31960  95 
3  32628  36 
3  33174  16 
3  33694  o3 

786  90 
668  10 
545  81 
419  87 
290  43 

ii8  80 

129  29 
136  94 
129  45 

i33  09 

349 
365 
55 1 
364 
369 

57.5 
58. 0 
58.5 
69.0 
59.5 

1 .08765  434*5  5.9 
1 .09854  24902  34 
1 . 10946  40273  61 
i.i2o4i  Sç)S86   66 
1 . i3i4o  73162  14 

1088  81486  82 
1099  15371  27 
1095  494*3  °5 
1098  83475  48 

1 102  17418  3o 

3  3.5884  46 
3  34041  78 
3  34062  43 
3  33942  82 
3  33679  38 

167  33 

-f.  20  65 

—119  6i 

263  44 

410  83 

i36  68 
140  26 
143  83 
147  38 
i5o  92 

368 
357 
356 

354 
?46 

60.0 
60.5 
61 .0 
61.5 
62.0 

1 . 14242  9û58o  /^ 
1.15348  41678  12 
1 . i 6457  96044  36 

1 . 17569  4^1 17  43 

i.i868i  92181  18 

iio5  01097  68 
1108  84366  24 
1112  17073  06 
1 1 i5  49063  76 
1118  80180  5i 

3  33968  66 
3  39706  82 
3  31990  ,70 
3  3i 1 16  76 
3  3oo8i  68 

56 1  74 

716  13 
873  95 

io35  17 
1199  68 

i54  38 
167  83 
161  22 
164  5i 
167  78 

345 
359 

399 

327 
3i5  , 

69.5 
63. 0 
63.5 
64.0 
64.5 

1 . 19803  72361  69 
1 . 90995  82690  jS 
i.29o5i  91767  77 
1 . 93 I 79  88496  90 
1 .24311  81060  68 

1 129  10262  09 

1125  39143  99 
1128  66658  45 
ii3i  92604  48 
ii35  16898  14 

3  28H81  90 
3  27614  44 
3  26976  o5 
3  24963  66 
3  39374  32 

1367  46 
1Ô38  39 
1712  39 
1889  34 
2069  i3 

170  93 
174  00 
176  96 

179  '79 
189  52 

3o7 
296 
284 
273 
269 

r 

65. 0 
65.5 
66.0 
66.5 
67.0 

1.95446  97958  89 
1 .96585  37931  28 
1 .97726  96808  93 
1 .98871  74440   12 
1 . 3oo 1 9  67688  09 

1 138  399.72  46 
1 141  59677  65 
1144  77631  19 
1147  93247  .97 
1 1 5 1  06240  48 

3  2o3c6  19 
3  i8o53  54 
3  16616  78 
3  12999  5i 
3  io"i78  44 

2261  65 
2436  76 
2624  27 
2814  07 
3oo5  96 

i85  II 
187  5i 
189  80 
191  89 
19?  81 

240 
299 
209 
199 
169 

67.5 
68.0 
68.5 
69.0 

i .3i 170  73928  57 
1 . 32394  90347  49 
1.33489  "13938  89 
i .34649  4i5o3  00 

1154  16418  92 
1 1 67  2359 1  4o 
1 1 60  27664  1 1 
1 i63  28141  55 

3  07172  48 
3  03979  71 
3  00677  44 
2  96986  12 

3i9.9  77 
3395  27 
3592  3a 
3790  61 

195  5o 

197  o5 

198  29 
^99  39 

i55 

194 

1 10 

80 

<p. 

E. 

DifF.  I. 

II. 

III. 

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Y. 

6q°o 
69.5 
70.0 
70.5 
71  .0 

i.oSSgS  19329  81 
1.09247  84483  64 
1.09900  82929  83 
1 .10552  17626  qi 
1 . 11201  91605  84 

654  65i63  83 
662  98446  19 
65 1  34697  08 

^49  7^978  93 
648  i6363  42 

1  66707  64 
1   63749  1 1 
1  60718  i5 
1  57616  61 
1  54441  99 

2968  63 
3o3o  96 
3io2  64 
3173  52 
3243  63 

72  43 
71  68 
70  88 
70  01 
69  04 

76 
80 
••  87 
97 
91 

71 .5 

JZ.O 

72.5 
73.0 
73.5 

1 . ii85o  07969  26 
1 . 12496  69890  69 
i.i3i4i  8b6i3  e'G 
1.13785  83450  74 
1.1449.7  61782  63 

64s   61921  43 
645  10722  97 
643  62837  08 
642  i833i  89 
640  77274  42 

1  61198  46 
1  47886  89 
1  44506  19 
1  41067  4.7 
i  37543  83 

33i2  67 
338o  70 
3447  72 
35i3  64 
3578  3^ 

68  i3 

67  02 
65  92 

64  74 
63  53 

1 1 1 

110 
118 
121 
i3o 
i36 
146 
i4o 
i58 
164 

74.0 
74.5 
75.0 
75.5 
76.0 

1 . i5o68  3qo57  °6 
1.16707  78787  65 
1 . 16345  84552  79 
1 . 16982  59994  39 
1.17618  o88".6  59 

639  39730  69 
638  05765  14 
636  76441  60 
635  48822  20 
634  26967  81 

1  33966  45 
1  3o323  54 
1  26619  4° 
1  22854  39 
1  19029  97 

3641  91 
3704  14 
3765  01 
3824  42 
3882  43 

62  23 
60  87 
69  41 
68  01 
56  43 

■ 

76.5 
77.0 
77.5 
78.0 
78.5 

1.18259  34784  40 
1. i8H85  41722  24 
1. 19517  335 12  54 
1.20148  14094  16 

1 .20777  87460  75 

633  06937  84 
63 1  91790  3o 
63o  8o58i  62 
629  73366  69 
620  70198  42 

1  16147  64 
1  11208  68 
1  07216  o3 
1  Ô3i68  17 
99069  87 

3938  86 
3993  65 
4046  86 
4098  3o 
4147  96 

5479  . 
53  21 

5i  44 

49  es 

4?   88 

i58 
177 
178 
178 
192 

79-0 
79-5 
80.0 
80.5 
81.0 

1 .21406  57659  17 

l .22c34  28787  72 

1 .22661  04994  36 
1 . 23286  90474  93 
1 . 239 1 1  8947  r  23 

627  71 128  65 
626  76206  64 
626  86480  67 
6r^,4  98996  3o 
624  16797  86 

94921  91 
90726  07 
86484  27 
82198  44 
77870  69 

4196  84 
4241  80 
4286  83 
4527  86 
4367  87 

46  96 
44  o3 
42  03 
40  02 
3791 

193 
soi 

200 
211 
216 

8]. 5 
82.0 
8a.  5 
83. 0 
83.5 

1 .24536  06269  °9 
1 .26159  45196  36 
1  ,26782  10620  91 
1 .26404  06948  62 
1 .27026  38620  73 

623  38927  27 
622  66424  55 
621  96327  61 
621  31672  21 
620  71491  97 

73602  72 
69oq6  94 
64656  40 
60180  24 
66673  68 

44c5  78 
4441  54 
4476  16 
45o6  66 
4635  65 

36  76 
33  62 
3i  40 
29  09 
26  87 

214 
222 

23l 
222 

240 

84  0 
84.5 
85. 0 
85.5 
86.0 

1 .27646  10112  70 
1 .28266  26930  99 
1.28886  90611  25 
1 .29606  08716  00 
i.3oi23  84832  23 

620  i58i8  29 
619  64680  26 
619  18104  76 
6ii8  76116  23 
6i8  38736  86 

6ii38  o3 
46675  61 
41988  52 
37379  37 

32760  44 

4562  62 
4586  99 
4609  16 

4628  q3 
4646   23 

24  47 

32  16 
19  78 

17  3o 
14  96 

23 1 

238 
248 
235 

25l 

86.5 
87.0 
87.5 
88.0 
88.5 

1 .30742  20669  09 
1 .3io6o  29666  61 
1 .31978  07437  72 
1 .32596  61876  90 
1 .33212  97646  6j 

618  06986  42 
617  77882  21 
617  54439  18 
617  35669  77 
617  21 583  96 

28104  ^1 

23443  o3 

i876q  41 

14086  82 

9394  71 

4661  18 
4673  62 
4683  69 
469 1  1 1 
4696  09 

12  44 

9  .97 
7  62 

498 

247 
245 
254 

89.0 
89.5 

90.0 

1.33830  19130  62 
1.34447  3\3i9  86 
1.36064  388 10  48 

617  12189  24 
617  07490  62 

4698  62 

<p' 

F. 

Diff.  I. 

II. 

m. 

IV. 

V. 

69»  o 

69.5 

70.0 
70.5 
71 .0 

1.34642  4i5o3  00 
i.358o5  6(^644   55 
1 .36971  94771  22 
I .38141  13092  40 
1.39313  20618  09 

11 63  281.41  55 
1166  26126  6y 
1169  i832i  18 
1172  07626  69 
1 174  92540  01 

2  96985  12 
2  93194  61 
2  89204  5i 
z   86014  32 
2  80623  41 

3790  6ï 
3990  00 
4190  19 
4090  91 
4691  98 

1.99  39 

200  19 

2CO  72 

201  07 

201  o5 

80 

53 

4-  35 

—  2 

21 

71.5 

72.0 
72.5 

73.0 

70.5 

1.40488  j3i58  10 
1.41665  86321  52 
1.42846  355 16  37 
1 .44^^^   55949  62 
1 .45'.uS  426^7  40 

1177  73i63  42 
1180  49194  85 
11 83  20433  25 
11 85  SG67'/   78 

1188  47728  21 

2  76031  43 
a  71238  40 
2  66944   53 
2  6io5o  43 
2  55656  91 

4793  o3 
4993  87 
6194  10 
5393  62 
5591  74 

200  84 
200  23 

199  42 
198  22 
196  76 

61 

81 

120 

146 

181 

74.0 

74.5 

76.0 

75.5 

76.0 

1 .46403  90355  61 
1-47594  9^740  73 
1 .48788  47^91   02 

1-49984  44917  98 
i.5n82  80938  16 

1191  o3385  12 
1193  53460  29 
1 196  97726  96 
1198  36o2o  18 
1200  68137  18 

2  5oo65  17 
2  44276  6j 
2  38293  22 
2  32 1 1 7  00 
2  26760  45 

5788  5o 
5983  46 
6176  22 
6366  55 
6554  10 
6708  43 
6919  28 
7096  29 
7269  10 
7437  39 

^94  95 
192  77 
190  33 
187  55 
184  33 

218 

244 

278 

322 
348 

76.5 
77.0 
77.5 
78.0 
78.5 

1 . 52383  49075  34 
1 .53586  42902  97 
1 . 5479  ^  56046  95 
1.55998  81 588  85 
1 .57208  12669  39 

1202  93887  63 
i2o5  i3o83  98 
1207  ^5541  90 
1209  3 1080  54 
1211  29622  89 

2  19196  35 
2  12467  92 
2  06 538  64 
1   98442  3o 
1  91173  25 

180  85 
177  01 
172  81 
168  29 
i63  37 

584 
4i5 

453 

49'^ 
5j6 

79 -o 
79-5 
80.0 
-80.5 
81.0 

1 .58419  42192  28 
1.59632  62888  42 
1 . 60847  67320  4a 
1.62064  47887  52 
1.6328a  96830  j4 

i2i3  20696  14 

121 5  04432  00 

1216  80667  10 
1218  48943  22 
1220  09407  ^4 

1  83735  86 
1  76135  10 
1  68376  12 
1  60464   52 

1  62406  16 

7600  76 
7708  98 
7911  60 
8068  36 
8198  97 

i58  22 
162  62 
146  76 
i4o  61 
134  o5 

660 
586 
6i5 
664 
673 

81.5 
82.0 
82.5 
83. 0 
83.5 

1 . 645o3  06238  48 
1.65724  68o52  38 

1 • ^^947  7407^  47 
1.68172  15968  73 
1 -69397  86277  82 

1221  6i8i3  go 

1223  06021  09 

1224  41896  26 
1226  69309  09 
1226  88142  41 

1  44^07   19 

1  36874  17 

1  27413  83 
1  18833  32 
1  10139  97 

8333  02 
8460  34 
858o  5i 
8693  35 
8798  62 

127  32 

120  17 
112  84 

io5  27 
97  34 

716 
733 
767 

793 
807 

84.0 
84.5 
85. 0 
85.5 
86.0 

1 .70624  73420  23 
1.71852  71702  61 
1.73081  71326  34 
i.743n  63395  4G 
1 .75542  38924'  74 

1227  98282  38 

1228  99623  73 

1229  99069  12 
i23o  76629  28 
i23i  49923  24 

i   01341  35 
92445  39 
83460  16 
74393  ç^G 
66255  24 

8896  96 

8986  23 

9066  20 
9108  72 
9202  5o 

89  27 
80  37 
7a.   52 
63  78 
54  S7 

83o 
845 
874 
88i 
892 

86.5 
87.0 
87.5 
88.0 
88.5 

1.76773  88847  98 
1.78006  04026  4G 
1.79238  76267  68 
1 .80471  93284  17 
1.81705  48802  4i 

J232  16178  48 

1232  71231  22 

1233  18026  4q 
1233  556 18  24 
1233  85669  49 

66062  74 
46795  27 
07491  75 
28161  26 
18782  99 

9267  47 
9003  62 
9340  60 
9368  -26 
9386  84 

46   06 
36  98 
27  76 
18  58 

9*^7 
922 

918 

89.0 
89.5 
go.o 

1 .82939  32471  90 
1.84173  34924  38 
1 .85407  46773  01 

1234  02462  48 
i234  11843  63 

9396  15 

TABLE  III, 

Contenant  les  Sinus   naturels  à  quinze  de'cimales  ,  et  leurs  Logarithmes  à  quatorze 
décimales,  pour  tous  les  arcs  de  quinze  en  quinze  minutes  ,  depuis  o"  jusqu'à  90". 


Arc. 


o^oo' 
o.  i5 
o.3o 
0.45 
1 .00 


i.i5 
1 .3o 
1.45 

f2.00 


2.  l5 

2.3o 

2.45 

3.00 


3.i5 
3.3o 
3.45 

4.00 


4.15 
4.3o 
4.45 

5.00 


5.i5 

5.3o 
5.45 
6.00 


6.  i5 
6.3o 
6.45 

7.00 


7.  i5 

7.30 
7.45 
8.00 


8.i5 
8.3o 
8.45 

9.00 


Sinus. 


o.oocoo  00000 
0.00436  33092 
0.00872  65354 
o.oi3o8  95955 
0.01745  2/^cS4 


00000 

84747 
98374 
71345 
37284 


0.02181  4885o 
0.02617  69483 
o.o3o53  85i32 
0.03489  94,967 


34561 

07873 
09823 

025oi 


0.03925  98157 
0.04361  93873 
o . 04797  8 1 285 
o. 00233  59569 


59069 
65336 

21344 
42944 


0.05669  27875 
0.06104  85395 
0.06540  31292 
0.06975  ^47^7 


63378 
34857 
30143 


0.07410  84901 
0.07845  90957 
0.08280  82075 
0.08715  57427 


95399 
27845 
12204 

47658 


0.09150  1618.6 

0.09584  57025 

. 1 00 1 8  806 1 6 

o. 10452  84632 


63402 
20224 
12076 
67654 


0.10886  68748 
o. 1 i39o  32167 
o . 1 I 753  73974 
o. 12186  93434 


51965 
67907 

57838 

o5!48 


o. 12619  89691 
o.i3o52  61922 
o. i3485  09302 
o. 13917  3iooq 


9.  i5 
9.30 
9-45 


35&3o 

20o52 
73723 

6oo65 


o. 14349  26219  91179 
0.14780  941  11 
o.  1 52,1 1^3386 1 
o .  1 5643*  4465o 


o. 16074  25656 
o. i65o4  76058 
o. 16934  95o38 
o. 17364  81776 


2961 
4o93i 

60678 
49025 
66930 


(}^r,    Log-Sinus. 


Infini-négatif. 
63981   59982  o3o4 
94084  18596  7687 
11699  62283  8061 
241 85  53 184  2289 


33875 
41791 
4HH 
54281 


29285  7723 
90153  8883 
78892  8599 
91 638  9609 


59394 
60967 
68"io4 
71880 


82571  8436 
95616  1593 
33o34  7541 
01 636  7602 


75352 
78567 
81559 
84358 


78116  1488 
52787  7168 
85277  5659 
45i84  8i65 


86986 
%<^4^4 
9 1 807 
94039 


79655  2043 
32984  0645 
33838  9369 
60083  3oi8 


96142 
98167 
00081 
01923 


87768  0277 
28715  3969 
59741  7702 
45655  3272 


03689 
o538"5 
07017 
08689 


57661  7987 
87663  7394 
60702  2886 
44712  9169 


ioio5 
1 1669 
1 2985 
14355 


58073  6095 
76687  261 1 
39467  9460 
53o39  9954 


16682 
16970 
18219 
19433 


96713  7739 
20867  7564 
69840  2341 
2441 3  6701 


2o6i3 
21760 
22878 
23967 


08967  9906 
92289  4481 
39286  1014 
02600  1167 


Afc. 


90°  00 
89.45 
89.30 
89.15 
89.00 


88.45 
88. 3o 
88. i5 

88.00 


87.45. 
87.30 
87.16. 
87.00 


86.45 
86. 3o 
86. i5 
86.00 


86.45 
85. 3o 
85.15 
85.  co 


84.45 
84.30 
84.  i5 
84.00 


83.45 
83. 3o 
83. 16 
83. 00 


82.46 
82.30 
82.16 
82.  co 


81.45 
81. 3o 
8i.i5 

81 .00 


80.46 
80. 3o 
80.16 
80.00 


Sinua. 


1 . 00000 
°- 99999 
0-9999^ 
0-9,9991 
0.99984 


00000  00000 
04807  20734 
19230  64171 
43276  74007 
76961  66391 


o -.99976 
0.99965 
0.99963 
0.999^9 


20270 
73249 
36908 
08270 


7.9909 
76667 
36713 
19096 


0.99922 

0-99.904 
0.99884 
0.99862 


90662 
82216 
83864 
95347 


40723 
81 858 
84961 
54674 


0.99839 
0.99813 
0.99785 
0.99766 


16706 

47984 
89262 
40602 


67349 
21867 
386c4 
69824 


0.99726 
0.99691 
0.99666 
0.99619 


01860 
73337 
66024 
46980 


99486 
33128 
97761 
91740 


0.99680 
0.99669 

0.99462 


49276 
61986 
86182 
18953 


74662 
67179 
60912 
68273 


o .  99406 
o . 99667 
0.99606 

0.99254 


63382 
18556 
84569 
6i5i"6 


22620 
76688 
54926 

41 322 


0.99200 

o-'99i  44 
0.99086 
0.99026 


40496 
4861 3 
68973 
80687 


79716 
73810 
86882 
41670 


0.98965 
0.98901 
0.98866 
0.90768 


i3868 
58633 
i5io4 
834o5 


19670 
61917 
67761 
961 38 


Log-Sinus. 


98699 
98628 
0.98555 
0.98480 


63665 
66016 
60690 
77530 


60232 
37231 
68078 
12208 


ocooo 
99999 
9.9998 
9999^ 
9999^ 

99989 
99985 

99979 
99973 


00000 
58658 
34660 
27913 
38498 


cooc 

0986 

8204 
44'^^ 

0922 


66373 

1 1626 

73938 
53589 


7472 

2321 
2171 

2i58 


99966 
9.9908 

99949 
99940 


60455 

64610 

95724 

44062 


99930 
.99918 
99906 
99894, 

998""8o 
99866 
99860 
99834 


09490 
91968 
9 1 453 
07898 


6811 

6027 

OC2C 
9372 

56o3 
o554 
6691 


41255 
9 1 472 
68493 
42260 


99817 

99799 
99780 

99761 


42709 

59777 
93394 
43489 


9123 
8658 

8714 
1760 

7863 
4684 
7015 
8180 


.99741 
^^7J^^ 
99697 
99676 


09987 
92810 
91876 
07098 


6925 
o333 
2i58 
3o9.7 


99661 
99626 
99601 
99676 


38.691 
8566 1 
48816 
27754 


0298 
7928 

6322 

2188 


99548 

99620 

99461 


99431 
99400 

99668 

99335 


22376 
32676 

68244 

_9927o_ 

55538 
26960 

l3322 

14589 


8389 
378'! 
3c42 
65o8 

9988 

45  q  7 

6553 


Arc. 


o°oo 
o.i5 
o.5o 
0.45 


1  .co 
i.i5 
1 .3o 
1.45 


2.00 
2.  i5 

2.3o 

3.45 


3.C0 
3.i5 
3  3o 
3.45 


4.00 
4.i5 
4.3o 
4.45 


5.00 
5.i5 
5.3o 
5.45 


6.C0 
6. 10 
6.3o 

6.45 


7.C0 
7.  i5 
7.3o 
7.45 


8.C0 
8.i5 
f.5o 
8.45 


9.C0 
9.15 
9.3o 

,q  .45 


Sinus. 


o . 1 7364 
0.17794 
o. 18223 
o. 18662 


81776 

35454 
55254 

4o36o 


66930 
73842 

.92147 
08734 


o. 19080 
0 . 1 9609 

0.19936 

o. Q0064 


89953 

o3220 

1751 1 


76545 
16128 

i7'97 

40178 


o . 2079 i 

0.21217 

, 2 1 643 

22069 


16908 
76721 
96)^39 
74350 


1775,9 
56446 
38io3 

2l5oi 


0.22493 
0.22920 
o . 23344 
o . 23768 


10543 
03909 
53638 
58923 


43865 

22414 
55906 
26173 


24192 

24616 

o.25o38 

25460 


18955 
32930 
00040 
1 9482 


99668 
28993 
54442 
05528 


0.26881 
o.263o3 
0.26723 
27144 


90461 

^9l44 

83760 
04498 


02621 

67976 
78267 
66074 


27663 
0.27982 

28401 
0.28819 


73658 
.qoi4o 

53447 

62681 


1^9.99 
30992 

03923 

34089 


,  29237 
,29654 

,50070 
,3o486 


17047 
15749 
67995 
42990 


22737 
76671 
04273 
28011 


3090 1 
o.3i"3i6 
o . 3 1 730 
o . 32 I 43 


69943 
38064 
46564 
94663 


74947 
83760 
06092 
o3i62 


0.32556 
0.32969 
o.33'38o 
o . 3379 1 


81544 
06462 
68692 
67180 


67167 
62787 
33771 
03327 


0.34202 
p , 346 1 1 

35o20 
0.35429 


01433 
70670 
73812 
10379 


0.36836 
o . 3624^ 
0.3663©' 
o . 37055 


T.9495 
8o382 
12267 
74375 


26669 

77^9^ 
69468 

977 '6 
463oo 
33702 
24297 
09836 


0.37460 
0.37864 
0.38268 


66934 
86173 
34323 


16912 
62433 
66090 


Los-Sinus. 


23967 
26028 
26063 
27073 
28069 
29023 
29965 
3o886 


O330O 

22396 

30434 
48041 


1 167 
io85 
4638 
6206 


88449 
57266 
53093 
68229 


6041 
7476 
i4i5 

3232 


31787 

32669 
335 '53 

34379 


89 1 02 
96803 
67606 
72867 


7855 
6916 
i3io 
5582 


35208 
36o2i 
368 18 

37600 


8o33o 
53540 
62634 
v34o52 


4126 

2532 

1441 

6927 


38367 
39120 
39869 
4"o586 


61767 
665oi 
96421 
17226 


8694 
2196 
2791 
3708 


41299 

42000 
42689 
43367 


623o5 
72901 
88240 
45664 


6934 
7208 
2170 
0481 


44o33 
44689 
45534 
45968 


80760 
27422 
18046 
83528 


854û 
61 19 
2626 
1667 


46693 
47208 
47814 
48410 


63399 
56898 
18041 
66696 


7743 
3093 
1781 


48998 

49577 
60147 
60709 


23640 
i5632 
64453 
919% 


8607 
4326 
6292 
7982 


61264 
5i8io 
62349 
62880 


19176 
66246 
62665 
96784 


6476 
2142 
3966 
7803 


53406 
53922 
64432 
54936 


16846 
3oo23 
52963 
01667 


55432 
66923 
66407 
66885 


91618 

377  JO 
54326 
55344 


4565 
9179 
9244 
35 18^ 

2167 
9682 
1623 
7619 


67367 
67823 
68283 


64170 
63^B3 
96606 


8339 

2332 

83io 


Arc. 

80°  00' 
79-45 
79.30 
79 . 1 6 


79.  Oû 

78.46 
78.30 
78.16 


78.00 
77.45 
77.30 
77.16 


77.00 
76.46 
76.30 
76.16 


76.  co 

76.45 

76.30 

75.16 

75.00 

74.45 

74 -30 
74.16 


74.00 
73.45 
73. 3o 
73.15 


73- 00 
72.45 
72.30 
72. 16 


72.00 
71.45 
71 .3o 
71 .  16 


71 .00 
70.45 
70.30 
70. 16 


70.00 
69.45 
69.30 
69.16 


69 .  00 
68.45 
68. 3o 
68.16 


68.00 
67.45 
67.30 


Sinu.s. 


0.98480 
0.98404 
0.98326 
0.98245 
0.98162 
0.98078 

0-97992 
0.97904 


77550  12208 
06976  4S29 
49076  6^955 
03977  26610 


71834 
62804 
4704G 
54724 


4766^) 
o323c 
2g83g 
84584 


0.97814 
0.97723 
0.97629 
0.97534 


76007 
11064 
60071 
23206 


338o6 
62679 

1993" 

0851-^ 


0.97437 
0.97337 
0.97236 
o . 97 I 34 


00647 
92684 
99203 
20698 


85235 
60448 
97677 
1326 


0.97029 

0.96925 

0.96814 

.96704 


67262 
09097 
76403 

59^89 


75997 
06764 
78108 
13945 


,96692 

.96478 
96363 
,96245 


68262 
73238 
04532 
52364 


89068 
28813 
08623 
53647 


96126 

0.96004 
0.96881 
96767 


16969 
98643 
97348 
i36o8 


383 19 
86929 
68193 
04816 


0.96630 
96601 
0.95371 
0.96239 


47669 

99444 
69607 
67996 


63o36 
67187 
48227 
43278 


96106 

0-94969 
9483u 

0.94693 


66162 
9 1 262 
3656a 
01294 


96164 

01877 

't)620C 

96 1 06 


0.94561 

0.94408 
0.94264 

94^7 


86765 
90203 
14910 
60162 


93969 
0.93819 
0.93667 
o.935i3 


26207 
13369 
21892 

62096 


99317 
92784 
92178 
66370 
85908 
22484 
48398 
86012 


93358 
0.93200 

g3o4i 
0.92880 


04264 
78692 
76679 
96628 


97202 
83799 
82026 
71924 


0.92718 
0.92664 
0.92387 


38545 
o5o4o 
96326 


66787 
17666 
1 1287 


Lo^- Sinus. 


99335 
9900 1 
99266 
99231 


14589 

3o6o3 
61227 
06328 


6992 
1761 
1 221 

C02C 


99 '94 
99  '  57 

99''9 

99080 


66764 
39393 
27066 
28633 


6900 
4V^G 
8845 
9713 


99040 

9 ''9  99 
98968 
98916 


4^959 
72826 
i5i3i 
70688 


9773 
465. 
2607 
4262 


98872 
98828 
98783 
98737 


39328 
20877 
16167 
21988 


204c 

1379 
7460 
7897 


98690 
98643 

98594 
98544 


41186 
72667 
16913 

71064 


0969 
6'645 
o865 
6142 


9^^494 
98443 
98391 
98338 


37781 
16887 
o5i63 
06397 


027c 
1466 
6931 
2618 


98284 
98229 
98173 
981 17 


16370 
37860 
69643 
i"i486 


2353 
8385 
021 1 
447^ 


98069 
98001 

97941 

97881 

97820" 
97768 
97696 
97631 


63 166 
24414 
96016 

63:^55 

6o3>^4 
65838 
79361 


4586 
ce 

6669 
4601 

i883 
371 1 
8679 


97601 

97434 
97367 


00653 
29468 
6'65i6 
c85ii 


873- 
8656 
5o86 
7026 


97298 

97229 
97168 
97087 

97015 
96941 
96867 
96793 


68164 
14179 
76267 
44093 
17376 

95793 
79020 
66735 


4^^9C1 
7641 

7583 
4863 
8887 
7638 
7o33 
C290 


96716 
96609 
96661 


68604 
54^^93 


7322 
41 1 1 
2094 


Arc. 

22°  3o' 
22.45 

23.00 

23.  i5 


33. 5o 
23,45 
24.00 
24. 1 5 


?4-3o 

M -45 

î5.oo 
■36.1 5 
25. 3o 
î5.45 
36.00 
î6.i6 


36. 3o 
36.46 
37 .  00 
27. 16 
irj .  3o 
37.45 
28.00 
38.16 
28.30 
28.45 
?9 .  00 
19  •  '  5 


29.30 
29.45 

3o.oo 
3o .  1 5 
3o.3o 
30.45 
3i  .00 
3i.i5 


34.30 
34.45 

35.00 


Sinua 


0.38268 
0.38671 
0.39073 
o_^39474 
0.39874 
0.40274 
o . 40673 
0.41071 


34323 
09616 

ri284 

58563 

90689 
66898 
66430 
8^626 


66090 
3682 
89274 
84267 


26246 
58707 
76800 
13477 


0.41 4^9 
0.41866 
0.42261 
o.4aB56 


32426 

97375 
82617 
87399 


66239 
37428 
40699 
01458 


0.43061 

0.438:57 
0.44228 


10968 
62674 
1 1467 
86902 


08296 
04417 
89077 
19001 


0 .  ^/\\i  1 9 
0.46009 
0 . 45399 
X 45787 


78131 
84410 

04997 
39 1 5 1 


09809 
37435 
59647 
16967 


0.46174 
0.46661 
0.46947 
0.47331 


b6i32 

45^o3 
16627 
96671 


35o34 
261 1 1 
86891 
84843 


0.47716 
0.48098 
0.48480 
0.48862 


87602 
87689 
96202 
12414 


0.49242 
0.49621 

o.5oooo 
5  0377 


355oi 
65o36 
00000 
59770 


69609 
19588 
46337 

03467  9 


Log-Sinus. 


,68283 
,68758 
.69187 
,59631 


96606  83 10 
64826  7796 
80116  6658 
53796  6909 


.60069 
,  6o5o3 
.60931 
.61354 


96819 

ï97.9"'5 
32999 
4638o 


9343 
7602 
4026 
8164 


9 
9 
9 
9 

. 6 1 772 

.62186 

62694 

.62998 

69686  7965 
11968  4616 
82594  o3i5 
90260  1791 

9 
9 
9 
9 

.63398  43502  6242 
60793  60606  35 14 

.64184  19616  2863 
64670  5834 1  6079 

.64962 
,  6633o 
,66704 
66074 

66802 
67 1 60 
67615 


74374 
76087 

69026 


o3o9 
1710 
5299 
6972 


66998 
66164 

^'^^^^ 

465o4 


0202 
5363 
6961 
69 1 2 


,  67866 
,68213 
.68557 
.68897 


29016 
49667 
12291 
23428 


4i39 
2264 

0064 
3476 


76208 
00000 
46626 


0.60763 
o . 5 1 1 29 
o.5i6o3 
0.61877 


86629 
3o86'o 
80749 
32681 


60704 
77062 
10054 
60621 


.62249 
0.62621 
0.62991 
o.53oGi 


86647 
59236 
92642 
46 1 69 


15949 
61870 

.33206 

16612 


o . 55729 

•  54097 

0.64463 

0.54829 


96083 
447^3 
9o35o 
52296 


46824 

67994 
16027 

1.99 '4 


o . 56 1 95 
o . 55557 

0.66280 

66640 
0.56999 

0.67357 


69863 
o233o 
29034 
49276 


62369 
67626 
64363 


12068 
19602 
70747 
96069 
24853 
963o5^ 
5io46'9 


,69233 

.69897 
.70223 


88236 
12043 
00043 
67298 


6248 
8678 

36o2 

2067 


.70646 
.70866 
.71 i83 

.71497 


88745 
99200 
93360 
76808 


6072 
5 126 

5499 
8o3o 


.71808 
,721 16 
,72420 
,72722 


61017 
23565 
97077 
76351 


9397 
6966 
7971 
8188 


73021 
,73317 
,76610 
,75901 


66239 
6771 1 
87646 
2883 1 


.9902 
9604 
9155 
255 1 


.74188 

•lAAi'^ 
.  74766 
,76035 


94971  2628 
89686  601 1 
16612  8727 
78912  8829 


.76312 
,76687 
.76869 


80268  9774 
26890  2242 
i3oi3  5406 


Arc. 


67°  3o' 
67. 1 5 
67.00 
66.46 


66. 3o 
66.16 
66.00 
66.45 
66. 3o 
65. 16 
65.00 
64.46 


64.50 
64.16 
64.00 
63.46 


63. 3o 
65. 16 
65.00 
62.45 
62.50 
62.  i5 
62.00 

61 .3o 
61.16 

61 .00 
60.45 


Sinus. 


,92387 
,9222c 
,92060 
■9 '^79 


96326  1 1 287 
09716  70462 
48534  62440 
12101  48898 


60. 3o 
60. 16 
60.00 
69.45 


69.30 
69 . 1 5 
69.  co 
68.45 


58. 3o 
58. 16 
68.00 
l7:45_ 
67.30 
67.  i5 
67.00 
56.46 


66. 3o 
66.  i5 
66,00 
66.46 
5573^ 
65.  i5 
65. 00 


, 9 1 706 
.91651 
.91554 
.91176 


00743  86124 

14791  19447 
54676  4260 

20455  77089 


9099S 
90814 

go63o 

90445 


12708  76643 
51768  26081 
77870  5665o 
61454  64568 


90268 
90069 

89879 
89687 


62843 
82393 
40462 
27416 


49861 
22688 

99 '^7 
526" 


89493 
89997 

89  ICO 

88901 


4.6616 
89434 
66241 
71414 


02026 
11167 
88568 
86736 


88701 
88498 
88294 
88089 


o8o5i 
76374 
76928 
07682 


87881 
87672 
87461 
87949 


71 126 

67667 

.97071 

60070 


78222 
66042 
689^.7 
o5585 
61966 
07608 
69696 
72797 


0.87066 
0.86819 
0.86602 
o . 86383 


0.86162 
0.86940 
0.86716 
o . 8649 1 


56969 
88144 
54067 
56062 

9  '  6o4 
64116 
76007 
18706 


69900 
89 1 42 
84439 
o439'6 


41626 
01453 

09112 

72947 


0.86264 

o.85o35 
0.84804 
0.84672 

Ô784559' 
o . 84 1 o5 
0.86867 
0.8.6628 


o  1 643 

22249 

80961 

78217 

"i4458~ 

90129 

06679 

6i55'8 


54092 
96663 
66426 
06973 


Log-Sinus. 

9.96661  55469  2094 
9.96482  55754  7489 
9.96402  60827  0645 
9.96621  68617  566o 


9.96239  77861  8189 
9.96166  89089  7764 
9.96073  01626  6927 
9.96988  i5o86  7298 


.96902 
,96816 
,96727 
,96668 
,96548 
.95457 
,96666 
,9627^ 

■95'79 
.96084 

,94988 

.94891 


29085  8202 
45228  6078 
67114  8658 
70668  1087 
82486  6286 
96167  8966 
01869  4696 
08247  93'35 
11834  2827 
12182  7473 
08840  6900 
01648  6196 


■.94792 
,94696 
,94595 
9449^ 


89269 

72040 

49268 

20467 


5886 
0968 
9848 
8409 


.94389 
.94286 
.94181 
.94076 


86o5o 
42604 
92687 
34481 


7867 
3686 
4672 
1261 


•93969 
,93861 
.93763 
93643 


67768 
91884 
b63i6 
10606 


53o6 
8126 
9686 
6840 


,93552 
,96419 
,96606 
,95192 


06886 
86896 
55961 
15474 


3 109 
6336 
7961 
1458 


12886 
64396 
45494 

47760 


,85388 

86146 

82903 

o . 82668 


jo. 89412 
0.82164 
0.81915 


68220 
96123 
76726 

^749±^ 

61886 

69379 


67168 
02545 
66042 

27  '  8.') 


22016 
42164 
88999  9 


,96076 
,92969 
,92849 
,99726 


67866 
88624 
04866 
06177 


1 106 
0464 
1024 

0700 


92602 
92481 
92669 
99266 


9i9'8 
61417 
14029 
49075 


2538 

9900 
8694 
9960 


,921 10 

'9^9H 
9 1 857 
.91739 


66899 
66816 
49135 
00161 


1719 
9685 
2197 
1806 


9 '599 
,91468 
, q 1 566 


67 1 5 1 
62410 
46194 


2709 
8945 
2486 


¥ 


Arc. 


35°  oo' 
35. i5 
35. 3o 
35.45 

36. 00 

36TT5" 

36. 3o 
36.45 
37.00 

37.30 
37.45 
38. 00 
38.  i5 
38. 3o 
08.45 
jg.oo 

3g .  1 5 
3g .  3o 
39.45 

40.00 

40.15 
40. 5o 
40.45 
41 .00 


Sinus. 


,57357 
,57714 
, 58070 
58424 
58778 


64363 
5igoo 
29557 
5)6656 

'52529 


5 1046 

37234 

1 0940 
92473 


Los-Sinus. 


69130 
59482 
59832 
60181 


96483 
27867 
4600  5 
5o23i 


63582 
5i34i 

70659 
52048 


60529 
60876 
61221 
61 566 


39880 
14290 
72800 
14753 


42894 
0872 

25658 


61909 
62251 
62592 
6^932 


39493 
46366 
34721 
03910 


09834 
37620 
84059 
49837 


639,70 
63607 
63943 
64278 


53285 
82202 
900 1 9 
76096 


62516 

77764 
8o585 
86559 


64612 

65275 

656o5 


3979S 
8o483 

97594 
90289 


42964 
3o"i84 
62723 
9o5o7 


41. i5 
41 .3o 

41.45 

42.00 

42. 1 5 
42. 3o 

43 .  00 


65934 
66262 
66588 
66913 


58. 5i 
00482 
16660 
o6o63 


00069 
i5738 
oc834 
58858 


,67236 
67559 
,67880 
,68199 


68074 
02076 
07455 
836oo 


34668 
i566o 
02942 
6249g 


43.15 
43.30 
43.45 
44-00 

44^75" 

44 -30 

44  45 

45.00 


685i8 
68835 
69151 
,69465 


29903 
45756 
3o557 
83704 


69779 
70090 
, 7040 1 
70710 


26359 

93754 
82269 
58997 


04598 
92642 
47244 
67811 


41680 
85 1 

969 
86548 


t 


,75859 
,76128 
76395 
,  76659 
7699/1 


i3oi3  5406 
5o8o5  7353 
4o365  4769 
84725  2028 
86852  9506 


77181 
77438 


49654  i364 
75973  2607 
68595  5686 
30248  6401 


78196 

78690 
78934 


636o3  9399 
'jiQ'jS  3o59 
55835  3919 
19787  0607 


79175 

79^^  4 
79652 

79887 


65594  7385 
95670  7095 
12379  3908 
i8o38  5449 


80120 
8o35i 
80579 
80806 


14920  4^56 
o5253  1226 
91221  2705 
74967  5243 


8io3i 
81254 
81475 
81694 


58593  3976 
44160  3i 18 
33690  5738 

29168  3225 


81911 
82126 

82339 

8255'i 


02540  447^ 

45717  477q 

70574  45o6 
08951  7436 


82760 
82968 
83'i  74 
83378 


63655  8868 
33460  36 18 
23 106  3545 
333o3  5o54 


83580 
83781 
83980 

84177 
84372 
84566 
84758 
,84948 


65730  63o2 
22o36  4207 
o384o  1245 
12732  2059 


50274  9899 
i8oo3  2841 
17424  9879 
5oo2i  6801 


Arc. 


55°  00' 
54.45 
54.30 
54.15 

54.00 


Sinus. 


53.45 
53. 3o 
53.  i5 

53.00 


52.45 
52. 3o 
52.  i5 

52.00 


51.45 
5i  .3o 
5i.i5 
5 1.00 


50.45 
5o.3o 
5o.  i5 
5o.oo 


49-45 
49 .30 
49.15 
49.00 


48.45 
48. 3o 
48. i5 
48.  co 


47.45 
47.30 
47-15 

47.00 


46-45 
46. 3o 
46.  i5 
46.00 


45.45 
45. 3o 
45.15 
45.00 


o.SigiS 
0.81664 
0.8141 1 
0.81157 
0.80901 


0.80644 
o.8o385 
0.80125 
0.79863 


20442 
i555i 
55i83 
39819 
69943 
46042 
68606 
38126 
55 100 


88992 
6 1  ^79 
563 19 
65oi 

74947 


0.79600 
0.79335 
o . 79068 
0.78801 


20025 
33402 
95737 

07536 


67483 
17217 
9106 
iZ.293 
34622 
91235 
43843 
06722 


0.78531 
0.78260 
0.77988 
0-77714 


69308 

8i568 
4483o 
596 1 4 


80745 
52414 
92882 
5697 


0.77439 
0.77162 
0.76884 

o . yS6c4 


26440 
45833 
18320 
44431 


82186 
87720 
73460 
18978 


0.76323 
0.76040 
75756 
0.75470 


24697 
59656 
49843 
95802 


82529 
coo3i 
84o5o 
22772 


0.75183 
74895 
0.74605 
0.74314 


98074 
57207 
73760 
48254 


78977 
89002 
617C0 
77^94 


o . 7402 1 
0.73727 
73432 
0.73135 


81274 
73368 
25094 
37016 


86832 
10124 
35686 

19171 


0.72837 
72537 
0.72236 
0.71 933 


09698 
43710 
39620 

98003 


82400 
12288 
59756 
3865 1 


, 7 1 63o 

,71325 

,71018 

0.70710 


19434 
04491 
53756 
67811 


24654 
54182 
23285 
86548 


Log-Sinus. 


,91336 
,91203 
,91068 
,90932 
.90795 
,90667 
,90617 
,90377 
,90234 
,90091 
■  89946 
,89800 
,89653 
,  89604 
,89354 
,89203 
,89060 


46194  2486 
14754  i335 
6o33i  7566 
81166  6286 
76445  8697 

45404  9466 
87226  558 1 
01090  8127 
86164  9534 
4i6o3  1134 

ee546  0810 

60121  0648 
21441  3954 
4c)QoS   3677 

43700  8847 

02796  23oi 
25944  7926 


88896 
88740 
88583 
88426 


12189  7791 

6o5:?4  9276 
70049  21 i8 
39665  535 1 


88265 
88104 
87941 
87777 


6838o  4223 
56i53  6992 
98928  164:' 
98629  2666 


87612 
87445 
87277 
87107 


53 164  7069 
61424  i85û 
22278  9429 
34681  4351 


,86935 
,86763 
,86688 
,86412 


97164  9418 
08843  1734 
68409  8716 
74538  3939 


,86235 
,86006 
86876 
,86693 


,855c9 
,85324 
,85i37 
,84948 


26281  2903 
22069  8667 
60713  7384 
40900  3701 

6iii94  6024 
2c538  i683 
17249  1927 
5oc2i  6801 


t                               TABLE  IV. 

Valeurs  de<ïog-tang  (45°  H-  7  ^  )  pour  tous  les  angles  (p  de  3o  en  3o  minules  ,  depuis  0' 
jusqu'à  90°,  calculées  à  douze  décimales,  avec  leurs  différences  premières,  secondes, 
troisièmes  ,  quatrièmes  et  cinquièmes. 

<P 

,/tang(45°+i^). 

DifF.  I. 

II. 

m. 

IV. 

Y. 

o°co' 
o.3o 
1 .00 
1 .3o 
9.00 

2.3o 

0.00000  00000  00 
0.0087a  67670  24 
0.01745  41786  84 
0.02618  99298  67 
0.03491  36769  69 

0.04364  7083 1  4o 

872  67670  24 
87a  74216  60 

872  87611  83 

873  07461  02 
873  34071  jj 
873  67354  21 

13296  23 

19949  19 
26610  76 
3328a  44 
39966  86 

^'o  6648*87 
6653  96 
6661  '66 
6671  6g 
6684  41 
66gg  Qj 

% 
5  09 
7  60 
10  i3 
12  72 
i5  26 
17  87 

261 

253 
269 
264 
261 
256 

3.00 
3.3o 
4.00 
4.30 

5.00 

0.05238  38i85  Sj 
0.06112  45506  73 
0.06986  ^()434  ^^ 
0.07862  o6865  95 
0.08737  74^59  62 

874  07321  06 
874  53987  58 
876  07071  64 
876  67493  Qj 
876  34376  74 

4<5SQS  62 
53384  oS 
60122  o3 
66883  07 
73669  81 

Qjij  54 
6737  g7 
6761   04 
6786  74 
6816  i3 

20  43 
23  07 
26  70 
28  39 
3i  o3 

264 
963 
969 

964 
976 

5.3o 
6.00 
6.3o 

7.C0 
7.3o 

0.09614  08706  36 
0.10491   16782  91 
0. 11069  ^53i4  4° 
0. 12247  81176  99 
0. i3i27  5i25o  63 

^jj  08046  55 

877  8853 1  49 

878  76862  69 

879  70073  ^4 

880  71201   i5 

80484  S4 

87331   10 

^94211  o5 

1  01127  5i 

1  o8o83  3o 

6846  16 
6879  95 
6916  4^ 
6966  79 
6997  93 

33  79 
36  61 
39  33 
42  i4 
4498 

972 
282 
281 
984 

8.00 
8.3o 
9.00 
g.3o 

10.  co 

0.14008  22451  78 
0. 14890  01736  23 
0.16772  96101  91 
0.16667  12691  'j'5 
0. 17642  58296  62 

881  79284  45 

882  94366  68 

884  16489  82 

885  45704  7q 

886  82061  4'5 

1    16081  23 
1  22124  14 
1  29214  97 
1  3"6366  66 
1  43662  20 

7042  91 
7090  83 
7141  69 
7195  54 
7262  60 

À7  92 
5o  86 
53  86 
56  ^^ 
60  00 
63  20 
66  47 
09  72 
73  i3 
76  53 

294 

299 
3n 
3o4 

320 

10. 3o 
11 .00 
11 .3o 
12.C0 
12. 3o 

0.18429  40367  97 
0. 19317  66971  62 
0.20207  42389  ^j 
0.91098  76926  62 
0.21991  76953  97 

888  256i3  66 

889  76418  35 
89*1  34535  55 

893  00028  45 

894  72963  62 

1  60804  70 
1  58i 17  20 
1  66492  90 
i  72935  07 
1  80446  96 

7312  5o 
7376  70 
7442  17 
76 1 1   8g 
7686  03 

327 
395 
341 
340 
369 

i3.co 
i3.3o 
i4-oo 
14.30 
i5.co 

0.22886  49917  49 
0.23783  03327  97 
0.24681  44770  43 
0.25581  81906  42 
0.26484  22477  61 

896  53410  48 
898  41442  4^ 
900  37135  99 
902  40671  19 

904  6i83i  73 

1  88o3i  98 

1  96693  '63 

2  03435  20 
2  11260  64 
2  19173  27 

7661  56 
7741  67 
7826  34 
7912  73 
8oo3  90 

80  12 
83  Bj 
8739 

96  o5 

355 
372 
?73 
388 
399 

i5.3o 
18.00 
16. 3o 
17.00 
17.30 

0.27388  74309  34 
0.28296  45314  34 
0.29204  43496  5i 
o.3oii6  76964  80 
0.31029  53887  20 

906  71006  00 
908  98182  17 
9 i 1  33468  2g 
913  76932  40 
916  28707  61 

2  27177  17 
2  36276  12 

2  43474  11 
9  61776  21 
2  6ûi83  ^5 

8098  96 

8197  99 
83oi   10 

8408  42 

8590  cg 

99  04 
io3  1 1 
107  32 
1 1 1  67 
1 16  o3 

4c7 
4.1 
435 
436 
465 

18. co 
18. 3o 
19.00 
19.00 
20.  co 

o.3iq45  82694  81 
0.32864  71486  o5 
0.33786  29081  01 
0.34710  64016  81 
0. 35637  86047  25 

918  88891   24 
qai   67694  q6 
924  34934  80 

927  2io3i  44 
93o  16010  20 

2  68703  72 
2  77339  84 
2  86096  ^4 

2  94978  76 

3  00991  12 

8636  12 
8766  80 
8882  12 
9012  36 
gi47  5i 

120  68 
126  32 
i3o  94 
i35  16 
140  35 

4H 

491 

620 

529 

Ztang(45»-|-i<p). 

Diff.  I. 

II.       m. 

lY. 

V. 

20°  oo' 
20. 3o 
21 .00 
21  .3o 
22.00 
22. 3o 

0. 35637  85o47  26 
0.36568  01057  45 
0.37501  2io58  yj 
0.38437  54198  72 
0.39377  09765  16 
G.40319  97191  61 

93o  160ZO  20 
933  2000 1  32 
936  33 139  96 
939  55566  44 
942  87426  45 
946  28871  11 

3  o3q9i  12 
3  i3i38  63 
3  22426  49 
3  3i86o  oi 
3  4^444  QS 
3  5ii86  14 

9144  5i 
9287  86 
9433  52 
9084  65 
9741  48 
9904  10 

i4o  35 
145  GG 
i6i  i3 
i56  83 
162  63 
168  75 

63 1 

647 
670 

fil 

bi3 
621 

23. 00 
23. 3o 
24.00 
24.30 

25.00 

0.41266  26062  72 
0.4^-216  06119  97 
0.43169  47267  4s 
0.44126  59678  04 
0.45087  53299  62 

949  80067  26 
953  41147  49 
967  i23io  58 
960  93721  48 
964  ■85651  65 

3  61090  24 
3  71163  09 
3  81410  90 

3  91840  17 

4  02467  60 

10072  86 
10247  81 
10429  27 
10617  43 
10812  66 

174  96 
181  45 
188  16 
195  i3 
202  32 

65o 
670 

%7 
719 

743 

25. 3o 
26.00 
26.30 
27.00 
27.30 

0.46052  3886 1  17 
0.47021  26880  42 
0.47994  28169  83 
0.48971  53744  28 
0.49953  14828  40 

968  88019  26 
973  01289  41 
977  26674  45 

981  61084  12 

986  o8o35  99 

4  13270  16 
4  24286  04 
4  36609  ^7 
4  46961  87 
4  68619  63 

11014  88 
1 1224  63 
11442  20 
11667  7^ 
11901  67 

209  76 
217  67 
226  66 
233  91 
242  60 

782 

799 
835 
869 

899 

28.00 
28.30 
2g.  00 
29.30 

3o_.  00 

o.ôogSg  22864  39 
0.61929  89620  01 
0.52926  26696  93 
0.53920  4653q  42 
0.54930  61443  34 

990  66665  62 

996  37176  92 

1000  19842  49 

ioo5  14903  92 

1010  22622  17 

4  70621  3o 

4  82665  57 

4  95o5i  43 

5  07718  26 
5  20646  80 

12144  27 
12396  86 
12666  82 
12927  65 
i32o8  36 

25 1  69 

260  96 
270  73 

280  81 
291  44 

937 

977 
1008 
]o63 
1096 

3o.3o 
3i  .00 
3i.3o 
33.00 
32. 3o 

0.66940  84066  61 

0.66966  27333  48 
0.67977  04455  61 
0.69003  28931  70 
o.6oo35  14553  94 

101 5  43267  97 
1020  77122  i3 
1026  24476  09 
io3i  85632  24 
1037  60904  42 

5  33854  16 
5  47353  s£ 
5  61166  16 
5  76272  18 
5  89714  û3 

13499  80 
i38o2  19 
14116  o3 
14441  86 
14780  10 

3o2  39 
3i3  84 
326  83 
338  26 
35 1  26 

1145 
1198 
1243 
i3oi 
i366 

33.00 
33. 3o 
34.00 
34.30 
35 .  00 

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o.63i66  81199  39 
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0.66283  66797  2° 

1043  5o6i8  46 
1049  55ii2  58 
io55  74738  07 
1062  09869  74 
1068  60866  60 

6  04494  ï3 
6  19626  49 
6  35 121  67 

5  60996  86 

6  67265  87 

i5i3i  36 
15496  18 
15876  19 
lb2bq  01 
16678  3o 

364  82 
379  01 
393  82 
409  29 
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1481 

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35. 3o 

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36. 3o 

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37 .  3o 

0. 66352  26653  80 
0.67427  54776  27 
o.685o9  66842  91 
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0.70696  11666  3o 

1076  28122  47 
1082  12066  64 
1089  i3i 14  69 
1096  31708  80 
1 io3  683o9  42 

6  83944  17 

7  01047  95 

7  18694  21 

7  366oo  62 
7  66086  81 

17103  78 
17646  26 
18006  41 
18486  19 

18983  44 

44ci  48 
460  i5 

47878 
498  26 
5i8  67 

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2042 
2142 

38. 00 
38. 3o 
39 .  00 
39 .  3o 
40.00 

0-71798  79.975  72 
0.72910  03370  96 
0.74029  oo836  43 
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0.76290  96620  67 

mi  23396  23 
in8  97464  48 
1126  91036  84 
1 i35  04649  4° 
1 143  38867  73 

7  74069  26 

7  93671  36 

8  i36i3  56 
8  34218  33 
8  55409  3i 

19602  1 1 
20042  20 
20604  77 
21 190  98 
21801  99 

540  09 
662  67 
686  21 
61 1  01 
63?  o5 

2348 
2364 
2480 
2606 
2749 

40. 3o 
41  -co 
41 .3o 
42.00 
42. 3o 

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0.82096  66186  11 

ii5i  94277  04 
il 60  71488  34 
1169  71 i38  69 
ii7'8  93892  64 
1188  40443  68 

8  77211  3o 

8  996^0  35 

9  22763  96 
9  4665o  24 
9  71071  71 

22439  o5 
23io3  60 

23796  99 
24620  77 
26276  66 

664  65 
693  39 
723  78 
766  88 
789  58 

2884 
3o39 
3210 
3370 
3568 

43.00 
43.30 
44- 00 
44.30 
45.00 

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1 198  1 i5i5  29 
1208  07863  65 
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1228  79684  32 
1239  6S644  73 

9  96348  36 
10  22414  69 
10  49306  00 

10  77060  41 

11  06717  29 

26066  23 
26891  49 
27754  33 
28666  88 

29601  44 

825  26 
862  84 
902  55 
944  66 
988  93 

3768 

3971 
420 1 

4457 
4696 

«p. 

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II. 

III. 

IV. 

V. 

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45.30 
46.00 
46. 3o 
47.00 
47. 3o 

0.88137  36870  19 
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0.90627  54876  94 
0.91889  52557  iS9 
0.93163  iGi4j   64 
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1239  SS644  7^ 

1260  62362  02 

1261  97680  76 
1273  63589  85 
1285  61125  20 
1297  .91372  48 

1 1  06717  2q 

11  353i8  73 
Il  66909  10 

1 1  97535  35 

12  3o247  28 
12  64097  56 

29601  44 
30690  37 
31626  25 
32711  93 
3385o  28 
36o44  63 

988  93 
io35  88 
]o85  68 
ii38  35 
1194  26 
1253  56 

46  95 
49  80 
62  67 
55  90 
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62  99 

48.00 
48. 3o 
49.00 
4.9  ■  3o 

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5o.3o 
5i  .00 
5i.3o 
52.00 
52. 3o 

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1.01068  3i886  83 

i3io  55470  04 
i323  54612  i3 
i336  90062  3i 
i35o  63107  i3 
i364  76160  10 

12  99142  09 
i3  35440  18 
i3  73054  82 

14  12o52  97 

14  525o5  77 

36298  09 

37614  Q4 
38998  16 
40452  80 
41983  26 

i3i6  55 
i383  5i 
1454  65 
i55o  44 
1611  17 

66  96 
71  14 
75  81 
80  71 
86  01 

1 . 02433  07046  93 
1 . o38 1 2  347 1 2  80 
I .o52o6  56867  70 
1.06616  17106  06 
1 .08041  60719  49 

1379  27665  87 

1394  221 54  90 

1409  6o938  36 
1425  4361 3  43 
144^   74069  16 

'4  .94489  o3 
i5  38o83  46 
i5  83376  07 
16  3o455  73 
16  79423  4y 

43594  43 
46291  61 
47080  66 
48967  74 
60969  60 

1697  18 
1789  o5 
1887  08 
1991  86 
2104  01 

9'  87 

98  o3 

104  78 

112  i4 

120  o5 

53.00 
53.30 
54.00 
54.30 

55.00 

1.C9483  34788  65 
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1. i24'7  72166  98 
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i5i2  06066  73 
i63i  02431  62 

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17  83446  68 

18  38734  35 

18  96374  79 

19  565o6  07 

53o63  61 
55287  6j 
67640  44 
6oi3i  28 
62770  41 

229,4  c6 
2352  77 

2490  84 

263.9  i3 
2798  59 

128  71 
i38  07 
148  29 
169  4^ 
171  59 

55. 3o 

56 .  00 
56. 3o 

57.  co 

57.30 

1 . 16964  47967  61 
I . i85o5  06906  20 
1 .20075  85i 19  27 
1.21667  48178  82 
1.23280  64623  o3 

i55o  68937  69 
1670  78214  07 
1691  63069  65 
161 3  16444  21 
i635  4i523  12 

20  19276  48 

20  84845  48 

21  53384  G6 

22  26078  91 

23  00127  70 

66669  00 
68539  '8 
71694  25 
76048  79 
78618  74 

2970  18 
01 55  07 
3354  54 
3569  q5 
38o2  81 

184  89 

199  47 
2i5  41 

232  86 
262  17 

58. 00 
58. 3o 
59 .  00 
59 .  3o 
60.00 

1 . 249 16  06146  1 5 
1.26674  47796  97 
1.28256  68194  23 
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1 .31695  78969  25 

i658  4i65o  82 

1682  2o3q7  26 
1706  81666  26 
1732  29209  yj 
1768  67669  14 

23  78746  44 

0.4   6 1 1 67  c^^ 

25  47^44  '62 

26  38449  37 

27  33879  21 

82421  55 
86476  53 
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95429  84 
1  00377  3o 

4064  98 
4328  32 
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4947  46 
6298  48 

273  34 
296  6j 

392  47 

35 1  02 

382  65 

60 .  3o 
61.00 
61 .3o 
62.00 
62.30 

1.33454  46628  39 
1.35240  48166  '^4 

1.37064  83q6l  60 
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1843  76727  i5 
1874  27016  35 
1905  90761  3o 

28  34266  5i 

29  39932  29 

30  61289  20 
3i  Q^j44  95 
32  92766  27 

1  06675  78 
1  1 i356  91 
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568i  i3 
6098  84 
6566.57 
7066  90 
7604  73 

417  71 

466  73 
5oo  33 
548  83 
6o3  17 

63.  co 
63. 3o 
64  00 
64.30 

65.00 
65 .  3o 
66.00 
65. 3o 
67.  co 
67.30 

1.42678  82466  40 
1 .44^^?   70983  07 
1.46690  83325  b3 
1.48599  58i6i  53 
1.60645  42373  32 

1938  88617  67 
1973  12341  06 
2Go8  74836  5o 
2045  842 1 1  79 
2084  49^38  91 

34  23823  49 

35  62495  44 

37  09376  29 

38  65i27  12 
40  3o483  56 

1  38671  q5 

1  46879  iB5 
1  66751  83 
1  65356  44 

1  76770  77 

8207  90 

8871  98 

9604  61 

10414  33 

1 i3i 1  02 

664  08 
732  63 
809  72 
896  6^ 
996  4^» 

1 .62729  91712  23 

1.54854  71534  70 

1.67021  67611  5o 
1 . 59232  37024  42 
1 .61489  09161  73 

2124  79822  47 
2166  86076  80 
2210  794 '2  92 
2256  72137  3i 
23o4  77663  67 

4^  06264  33 
43  93336  12 
45  92724  39 
48  06626  26 
5o  32976  23 

1  87081  79 

1  99388  27 

2  12801  ^j 
2  27449  97 
2  43477  85 

i23c6  48 
i34i3  60 
14648  10 
16027  88 
17673  88 

11  07  12 

1234  ôo 

1379  78 
1^46   00 
17^6  91 

68.00 
68. 3o 
69  00 
69.30 

70.00 

1.63793  86826  3o 
1 .66148  97466  10 
1.68656  84558  98 
1 .71020  09168  67 
1.73541  61626  69 

2366  To63q  80 
2407  87093  88 
2463  24699  69 
2621  42468  02 
2682  61966  58 

62  76454  08 
55  37506  81 
58  17868  33 
61  19498  66 
6 4  44607  62 

2  6io5i  73 

2  8o362  52 

3  oi63o  23 
3  26108  96 
3  61093  71 

19310  79 
21267  71 
23478  73 
26984  76 
28834  04 

1966  92 
2311  02 

2606  02 
2849  29 
3260  93 

70°  oo 
70. 3o 
71 .00 
71 .3o 
72.00 
79.30 


73.00 
73.30 
74.00 
74.30 
75.00 


75.30 
76. co 
76.30 
77.00 
y'j.'So 


78.00 
78.30 
7,9  •  00 
7.9  •  5^1 
80.00 


80. 3o 
81 .00 
81. 3o 

82.  co 

-.3o 


83. 00 
83. 3o 
84.00 
84.30 
85. 00 

85. 3o 
86. co 
86. 3o 
87.00 
87.00 
88.00 
88. 3o 
8q .  00 
89.30 
90.00 


logtang(45°+ïf) 


.73541  51626  69 
.76124  13593  27 
.78771  20167  37 
.81486  22442  70 
.84273  00347  01 
.87135  65893  02 


.90078  66900  4^ 
.93106  ^i^j4  °7 
.96226  71939  84 

.c^c^44o   92666  32 
2.02768  94218  00 


2.06186  83 162  91 
9.09732  39967  20 
9. 13404  30420  19 
2. 17212  18296  29 
2 . 2 1 1 66  8079 1  80 


2.26280  9.J044  26 
2.29666  20607  45 
2.34040  06926  28 
2.38719  47201  18 
9.43624  60637  16 


2.48778  76890  32 
2.54209  04360  61 
2.69947  16731  21 
2 .  66'o3o  6 1 276  69 
2.72604  18019  66 


2.79491  90679  2V. 
2. 86849  86656  14 
9.94870  02390  j4 
3.o3585  77606  91 
3 . 1 3 1 3o  1 33 1 5  '61 


3.20678  26218  81 
35467  36124  07 
^.4883o  01457  85 
3.64253  33673  24 
3.8'i492  474 n  98 


4.04812  54186  83 
4.33585  19194  43 
4.74134  87603  65 
5.43461  4^799  36 
Inf.  logarithmique. 


DifF.  I. 


2682 
2647 
2715 
2786 
2862 
2943 


61966 
06674 
02276 
77904 
65546 
01007 


3028 
3ii8 
32i5 
33i8 

3427 


24373 
80666 
20626 
o  1 662 
88934 


3545 
3671 
3807 
3964 
41 13 


66814 
90462 
87876 
62496 
46262 


4.^86 

4473 
4679 
4906 
5i54 


93663 
863 17 
40276 
i3336 
i6353 


5430 
6738 
6o83 
6473 
6917 


27470 
1 1370 
45544 

66744 
72669 


7427 
8020 
8716 

9544 
10648 


95976 
16834 
761 15 
36809 
1 1 903 


1 1789 
i3362 
16423 
1 8239 

22320 


09906 

66333 
321 15 

i3838 

06774 


28772 
4û54q 
69316 


66007 
68409 
62 1 96 


II. 


67 

75 
80 

86 


44607 
96701 
75628 
87641 
36461 
23366 


96 
102 
109 
117 


126 
i36 
146 
i58 
172 


66292 

39959 
8x027 

87282 

_67879_ 

33638 
97423 
74619 
83766 
473 10 


187 

205 

226 

249 

276 


92754 

53968 

73060 
o3oi7 
11117 


3o7 
346 
390 

5io 


692 

695 

828 

ioo3 

1240 


83900 
34.73 

i58i5 
23417 
T9857 
69280 
^oQç)4 
76093 
98002 


3i 

78 
68 
5i 
36 


68 

57 
5.3 
5o 
06 


1673 
2060 
2816 
4080 
6452 


66428 
66781 
81723 
92936 
58239 


11777 
28766 


o34oi 
93786 


III. 


61093 

12012 

47819 
87904 
32926 


83667 
41067 
06266 
80697 
667^9 


9 

10 

12 

i3 
i5 


63784 
77196 
09 1 37 
6'3563 
45443 


20 

23 

27 
3i 


6i2o3 
19102 
29967 
08099 
72783 


37 

u 
54 


60273 
77026 
04616 
07601 
96440 


io3 
i33 

175 
237 
333 


39422 
01413 
16398 
21908 
68426 


487 

766 

1266 

2371 

5324 


09353 
16941 
11212 
66296 
45i'68 


16989  90384 


IV. 


28834  c4 
39.084  97 
35807  01 
40086  01 
46021  26 
60741  56 


57399  S^ 

66187  54 
74349  1 2 
86162  17 
98026  09 


13411  89 
31941  24 
54416  24 
81830  i3 
15769  62 


67898  68 
io855  09 
78142  85 
Q4Q^5  23 

77490  2.9 


7 

9 

12 

i5 
21 


26762  4 
27689  93 
02986  01 
88838  4q 
42983  56 


29 
42 
62 

95 
i54 


61991  07 
13985  01 
06609  69 
35517  88 
60926  71 


268 

509 

1 106 

9969 

11666 


o6588  53 

96971  10 

54083  86 
79872  23 

46216  00 


3260  93 
3722  04 
4278  co 

4936  24 

6720  3i 
6668  38 


7787  60 

9154  58 

10820  o5 

1286a  92 

16386  80 


18629  35 
22476  00 
27473  89 
33869  39 
42139  06 


52966  5i 
67287  76 
86640  38 
12807  06 
49262  14 


C0837  60 
75396  08 
85852  48 
54144  07 
19C08  5i 


ERRATA  de  la  Table  de  Gardiner,  édition  d'Avignon. 


Nombres. 


826 

1071 


Corrections  du  lo£ 


7"  chiffre o 

^"ets" 48 

^' 7 


Nombres. 


io83 
io85 
1  io5 


Corrections  du  log. 


10*  chiffre 6 

i9«et  i3« 46 

i3« 1 


Nombres, 


1 1 15 
1126 
ii35 


Corrections  du  log. 

1 3*  chiffre 1 

i3* 3 

13*' 1 


TABLE  V. 

Logarithmes  à  19  décimales  pour  tous  les  nombres  impairs  de  ii63  à  i5oi  ,  et  pour 
tous  les  nombres  premiers  de  i5oi  à  loooo. 

Nota.   Cette  Table  fait  suite  aux  logarithmes  à  120  décimales  des  Tables  de  Gardiner ,  édit.  d'Avignon. 
Elle  est  extraite  des  grandes  Tables  du  Cadastre,  déposées  au  Bureau  des  Longitudes  ,  et  dont  la  notice 
se  trouve  dans  le  tome  V  des  Mémoires  de  l'Institut. 

Nomb. 

a^rùf^  Logarithmes. 

Nomb. 

Logarithmes. 

Nomb. 

Logarithmes. 

ii63 

ii65 
1 167 
1 169 
1171 

06557  ^7^47  28448  4ii4 
06632  69253  62037  7769 
06707  o856o  45370  1735 
06781  45111  61840  1107 
o6855  68950  72363  1299 

1243 
1246 
1247 
1249 
1261 

09447  11286  4i£4A  7635 

09616  93514  31766  1469 
09686  64534  78642  6137 
09666  24383  741 36  5 120 
09726  73096  93419  9661 

i323 
1326 
i327 
1629 
1331 

i2i55  98441  87600  9733 
12221  68782  72826  "6662 
12287  09228  64436  6119 
12362  49809  42731  9976 

12417  80654  J^^jS    1223 

U73 
1175 
1177 

1181 

06929  80121  16529  2447 
07003  j^QSQ  07755  0740 
07077  64628  43434  6816 
07161  38o5o  96089  i354 
07224  98976  i35i4  7991 

1263 
1265 
1267 
1269 
i2bi 

09796" 10709  94149  9998 
09864  37268  17066  944i 
09933  62776  86967  7472 
10002  67301  07862  6975 
10071  60866  73081  6210 

i333 
i335 
1337 
1339 
i34i 

12483  01494  13869  206 1 
12648  12667  00694  0268 
12613  14072  61984  3683 
12678  06770  12008  ^j^/^ 
12742  87778  61698  9129 

u83 
ii85 
,,87 
1189 
1191 

07298  4744^  27930  3691 
07371  835o3  46122  6701 
07445  07189  64691  2204 
07618  18546  18691  58i8 
07691  17614  82777  5o32 

1263 
1265 
1267 
1269 
1271 

10140  336o5  5533o  ^4^7 
10209  06255  ii836  7244 
10277  66148  83441  3410 
10346  16220  94704  7763 
10414  556o5  54008  1742 

1343 
1346 
1347 
1349 
i36i 

12807  60126  68716  3665 
12872  22843  38426  7849 
12936  76967  22985  6122 
i3ooi  19496  71904  2476 
i3o65  53490  22o3o  6913 

1  iq3 
n95 

11.99 

12C1 

oj^£^  04436  70341  8728 
07736  79062  841 56  4898 
07809  4i5o4  06410  6668 
07881  9i83o  98848  6760 
07964  30074  02906  0489 

1273 
1276 
1277 
1279 
1281 

10482  84o36  53665  3967 
10661  01847  69973  9764 
10619  08972  6341 5  2866 
10687  06444  78653  9226 
10764  91297  ^/^Ç)%S  3019 

i353 
i35& 
1367 
1359 
i36i 

i3i29  yj^SS   97622  9726 
i3i9'3  92962  10424  5343 
13267  ^8'4'76  ^97'57   0691 
i332i  94567  32494  3ii4 
i3385  81262  03334  6909 

1203 
12C5 

1207 

1209 

121  1 

08026  66273  39844  7438 
08098  70469  10887  1889 
08170  72700  97349  2146 
08242  63oo8  '60771  8862 
o83i4  4'^4'^i   43062  2453 

1283 
1286 
1287 
1289 
1291 

10822  66663  74998  6o36 
10890  31276  67^13  3420 
10967  86469  o4386  6846 
11026  29170  634o3  0241 
11092  62422  66420  3o88 

i363 
i365 
i367 
1369 
1371 

13449  58658  34673  6617 
i35i3  26613  yèjj/^  8420 
13576  86145  67822  27q0 
i364o  34481  33989  9936 
i37o3  74547  89612  6697 

12l3 
12l5 
1217 
1219 
12P.1 

o8386  08008  66672  9742 
08467  62779  34330  991 3 
08629  06782  3oo64  9888 
08S00  37066  i838i  9245 
08671  56639  44882  4749 

1293 
1296 
1297 
1299 
i3oi 

11169  86248  80394  o38i 
11226  97684  17270  6323 
11293  99760  84080  0814 
11 360  91610  73097  8800 
11427  72966  61686  2544 

1373 
1376 
1377 
1379 
i38i 

13767  06372  36755  1114 
i383o  26981  66281  455o 
13893  39402  66923  6777 
13966  42661  76849  7681 
14019  36786  78631  2844 

1223 
1225 
1227 
1229 
123l 

08743  64670  36286  4633 
0881 3  60887  oo55i  2710 
08884  4^'oQ.'j   27004  2409 
08966  18828  86454  o856 
09026  80629  3i3i6  3078 

i3o3 
i3o6 

i3c7 
.309- 
i3i  1 

11494  44157  12684  6916 
11661  o5ii6  7/^99  7667 
11627  55875  80644  2978 
11693  96466  60765  8000 
11760  26916  90084  2777 

i383 
•i386 
1387 
1389 
1391 

14082  21801  09310  6824 
14144  97734  00467  3586 
14207  64610  73984  8627 
14270  22467  37616  6730 
14332  71299  92046  4100 

1233 
1235 
1237 
1239 
1241 

09096  30765  96731  6432 
09166  69676  96684  6355 
09236  96996  29120  6636 
09307  i3o63  76063  4583 
09377  17814  98729  8296 

i3i3 
.i3i5 
i3i7 
i3i9 

l321 

11826  47260  89479  3435 
11892  67528  26776  6738 
11968  67749  61783  8079 
12024  47955  4^-^65  2966 
12090  28176  14527  2041 

1393 
1396 
'% 
1^99 
1401 

14396  11164  23q63  4808 
14457  42076  09616  3591 
14619  64061  14181  9060 
i458"i  7j\44  91827  6288 
14643  81 352  86774  60ÛO 

, 

Nomb. 

Logarithmes. 

Nomb. 

Logarithmes. 

Nomb. 

Logarithmes. 

i4o3 
i4o5 
1407 
1409 
141 1 

14705  76710  28359  9128 
14767  63242  41098  D977 
14829  4o3'/4  34j4S   7022 
14891  09931  09^56  4v 
14952  70137  54347  8324 

i5ii 

1023 

i63i 
1543 
1549 

17926  44G43   3qo25  3697 
18269  99033  36042  6788 
18497  '61906  98261  0274 
i8836  59260  63 148  2676 
19006  14177  59206  0026 

1889 
1901 
1907 
1913 
1931 

276^3  19679  21833  585 1 
27898  21168  65443  i382 
28035  06950  46006  6229 
28171  49700  27296  85Sq 
28678  22737  79394  7088 

i4i3 
i4i5 
1417 

i4'9 
1421 

i5oi4  21618  48558  6114 
15075  64398  6o3o9  0404 
i5i36  98502  47460  4044 
15198  23954  57474  0045 
15269  40779  ^74^9   7488 

i553 
1669 
1667 
1671 
1679 

19117  14667  28558  5244 
19284  61161  88841  6808 
19606  89964  68690  i3o9 
19617  6i85o  39973  33o5 
19838  2i3oo  08294  2326 

1933 

'949 
1961 

'973 
'979 
1987 
1993 
'997 
'999 
2oo3 

28623  18540  28553  0108 
28981  18391  17621  4349 
29026  72693  945 18  0691 
29612  70862  62191  187c 
29644  57942  06396  2666 

1423 
1425 
1427 
1429 
i43j 

i532o  49000  84284  3325 
i538i  48643  44529  0084 
15442  39731  14646  9530 
i55o3  22987  90970  23o3 
i5563  96337  59776  3575 

i583 
1697 
1601 
1607 
1609 

19948  09148  62355  9115 
2o33o  49161  38482  9323 
20439  i33i9  19299  7330 
20601  68767  65344  5362 
2o655  60440  99029  5498 

29819  78671  09816  i5oo 
29960  72987  00487  6o32 
3oo37  80648  70702  5693 
3oo8i  27941  18116  939c 
3oi68  C9492  93576  2274 

1433 
1455 
1437 
1439 
1441 

15624  61903  97344  4760 
i5685  19010  70011  i3oo 
15745  67681  34225  6571 
i58o6  07939  366c5  1948 
i5866  39808  13989  3oi5 

i6i3 
.1619 
1621 
1627 
1637 

20763  43673  88961  5206 
20924  68487  53373  7368 
20978  3oi48  485 I 4  9447 
2ii38  76629  36858  7876 
21404  86794  11941  4394 

201 1 
2017 
2027 

20P.9 

2009 

3o34i  20706  96741  9391 
30470  68982  12766  4356 
3o685  37486  93008  7091 
30728  20470  33345  9873 
30941  72267  78140  0007 

1445 
1445 

1447 
•449 
i45i 

15926  653 10  93494  2o33 
15986  78470  92666  6618 
16046  853 11  19057  4711 
16106  83854  71174  5842 
16166  741^4  37735  8736 

1667 
i663 
1667 
1669 
1 693 

21932  26084  19336  7421 
22089  22492  19619  2397 
22193  559q8  28006  3246 
22245  63366  79246  7111 
22866  69681  08935  2423 

2o53 

2o63 
2069 
2081 
2o83 

3i258  89493  70691  8735 
01449  92979  73i5i  6648 
31576  04906  66734  5911 
31827  20802  11626  9347 
3i868  92699  4774^   865o 

1453 
1455 

1457 
1459 

1461 

16226  56142  98021  5291 
16286  29933  21926  0938 
16345  95517  69990  1441 
16405  52918  93451  6141 
16465  02169  34296  7697 

1697 

'699 
1709 
1721 
1723 

22968  18423  17675  7974 
23019  33788  69045  6^078 
■23274  20627  20736  8346 
23578  08703  27660  2693 
23628  62774  48028  4915 

2087 
2089 

2099 
21 11 

21 13 

31962  24490  65454  o3io 
31993  84399  8o3o8  6790 
32201  24385  82400  4376 
32448  82333  07666  5796 
32489  94970  523i3  3676 

1463 

1465 
14Ç7 
1469 
1471 

16624  43261  253 10  833o 
i6583  76246  90128  2610 
16643  oii38  43282  6822 
16702  17967  90266  4920 
16761  26727  27530  1111 

1733 
1741 
1747 
1753 
1769 

23879  86627  13917  C009 
24079  87711  17331  2026 
24229  29049  82930  9396 
24378  19160  93794  9323 
24526  58394  574*61  261 3 

2129 

2l3l 

2137 
2141 
2143 

32817  566 14  38322  566o 
32868  34497  14201  9742 
32980  46221  64069  4114 
33o6i  eS6j2  94438  3296 
33io2  217)0  41828  6701 

1473 
1475 
1477 

1479 
1481 

16820  27468  42630  9101 
16879  202o3  i4i8i  7998 
16938  04953  11949  4968 
16996  81739  96892  4532 
17055  5o58'5  21208  4794 

1777 
1783 
1787 
1789 
i8oi 

24968  74278  g63oi  6254 
26116  i343i  76354  6016 
26212  45525  g5644  2368 
26261  o34o5  67372  9990 
2555 1  37128  19533  3260 

2i53 
2161 
2179 

2203 
2207 

335o4  40298  254S7   1907 
33465  47668  8324 1  3'3i8 
33825  72302  46266  6213 
34301  4497^   60767  6114 
34380  2333i  61655  0376 

i483 
1485 
1487 
1489 
1491 

171 14  1 i5io  28382  0264 
17172  64536  5323 1  1674 
17231  09685  21954  2134 
17289  46977   52176  1462 
17347  76434  52994  5541 

i8ii 
1823 
i83i 
1847 
1861 

26791  84603  i4o58  4076 
26078  e66S6  54976  3oi4 
26268  83443  01696  4710 
26646  68954  4o^4i  4076 
26974  63731  30767  01 i4 

221 3 
2221 
2237 
2239 
2243 

34498  141 3q  27267  9464 
34664  85585  48473  9662 
34966  69840  96629  6816 
36"oo5  40935  79o3o  2666 
35082  92735  82967  7382 

1493 
1495 
1497 

'499 

i5oi 

17406  98077  26026  4o5o 
174S4   U926  60448  4529 
17622  i8oo3  43062  35 1 5 
17680  16328  48279  4666 
17633  06922  43270  3895 

1867 
1871 
1873 
1877 
1879 

27114  43179  49078  3062 
27207  37875  00009  9190 
27253  77773  70237  3706 
27346  42726  21346  3i54 
27392  67801  00626  6094 

2261 
2267 
2269 
2273 
2281 

36237  54950  00619  9849 
35545  16201  26617  3878 
56583  44968  84935  9774 
35669  94367  24970  82c 1 
358 12  52852  76648  566o 

Nomb. 

Logarithmes. 

Nomb. 

Logarithmes. 

Nomb. 

Logarithmes. 

> 

2287 

35926  ^x^^   06748  4858 

2687 

42926  76664  33 168  4560 

3079 

48840  96889  03198  1002 

2293 

36o4o 

4o547  29938  8543 

2689 

42969  c8o22  233oi  6062 

3o83 

48897  35247  26608  2541 

2297 

36116 

09951  95026  0737 

2693 

43020  63534  ii5io  4335 

3089 

48981  79083  01460  6355 

2309 

36342 

39029  17176  34o3 

2699 

43120  28845  565 16  6347 

3109 

49262  07220  43191  8169 

23l  1 

36579 

99454  79109  3 157 

2707 

43248  82557  7o5o6  41 58 

.-.)  1 1 9 

49401  53747  67143  7660 

2333 

36791 

47387  93752  6251 

2711 

43312  95175  80485  553 1 

3l21 

49429  37686  65332  6900 

2339 

36903 

02218  09153  0463 

2713 

43344  97937  61596  io53 

3i37 

49661  45186  97745  0393 

2341 

36940 

]4i36  96624  3470 

2719 

43440  92075  87500  12o5 

3i63 

60009  9-919  15722  8453 

2347 

37051 

30895  98592  5730 

2729 

43600  35356  69896  53io 

3167 

60064  80633  71911  9449 

235 1 

37125 

26291  24939  3636 

2731 

43632  17001  39733  3169 

3169 

60092  22391  9o3co  5o88 

2357 

37235 

95825  24323  7634 

2741 

43790  90355  39498  3820 

3i8i 

60266  36691  07353  366 1 

2371 

37493 

15539  78188  1529 

274,9 

43917  47398  43468  4667 

3187 

5o338  20634  73732  6748 

a^jj 

37602 

91817  28180  2699 

2753 

45980  62113  93330  2552 

3191 

50392  68o4i  93510  4264 

238 1 

37675 

93954  04879- 863 1 

2767 

44200  91591  40951  9800 

32o3 

6o555  69386  63821  7667 

2o83 

37712 

40423  /fi^^è   1 122 

2777 

44357  58797  50257  5886 

3209 

5o636  97170  96604  0684 

2389 

37821 

61497  4q877  8861 

2789 

44544  85 142  66049  8590 

3217 

60745  10609  01969  8096 

2393 

37894 

26986  15437  35 1 3 

2791 

44575  98364  8863 i  0466 

3221 

60799  07248  19691  3911 

2^99 

38oo3 

02479  67830  625 1 

2797 

44^Q3  ^'4^^i65  71027  2097 

3229 

60906  80460  17161  6366 

2411 

38219 

72103  jj4^'5   6681 

2801 

44731  3 1088  23568  2046 

3261 

61201  69694  96126  6732 

2417 

38327 

665o4  07650  3677 

28o3 

44?^^  ^977   60286  1236 

3253 

61228  4o532  8i853  6767 

24^3 

38435 

34141  37506  2o53 

2819 

45009  60758  71602  3289 

3267 

61281  77686  64873  1186 

2407 

38685 

55201  S47M  3o65 

2833 

45224  60745  20437  1986 

3269 

5i3o8  436c4  66144  1888 

2441 

38756  77794  17188  6082 

2837 

45285  93057  96852  2861 

3271 

61468  06441  24981  6290 

2447 

38863 

09693  51789  1886 

2843 

/^Z']']   68596  3044^  ^'^74 

3299 

5i838  23i56  45343  8794 

2459 

39075 

85287  38717  i549 

285i 

45499  72173  09469  9883 

33oi 

5 1864  66243  3o3.i  63io 

24K7 

39216 

91494  89736  0392 

2857 

46691  02400  S'2j4Z   0027 

33o7 

51943  41949  13702  8464 

2473 

3q322 

41163  6i2q7  2858 

2861 

4565 1  78678  06262  6426 

33i3 

62022  14368  81969  9859 

2477 

3q392 

6oo65  85836  9841 

2879 

4^9^4   16648  78082  0062 

3319 

52100  72624  o86o3  9604 

25c3 

39846 

08496  08223  24o3 

2887 

46044   67838  80720  4883 

3323 

621530341278711  o3;)3 

2621 

40 1 57 

28456  76445  9143 

2897 

46194  84962  03761  8o65 

3329 

62231  37961  56667   38 11 

253i 

40329 

21451  58254  2356 

2903 

46284  70068  31673  7266 

333 1 

62267  46326  91176  8006 

2539 

40^^^ 

27008  73722  2  253 

290.9 

46Zj4  37212  470^9  1879 

3343 

62413  63766  92668  6294 

2543 

4o534 

636oi  75708  8867 

2917 

46493  64291  21732  6772 

3347 

62465  67123  67777  ^387 

2549 

4o636 

98354  63267   5167 

2927 

4664^  27224  33791  9603 

3359 

62621  ooo38  4^^Q4   2840 

255i 
2557 

40671 

04586  09790  0289 

^9^9 

46819  96860  72612  5652 

336 1 

62646  86124  6^477  4396 

40773 

07280  26335  4^22 

2953 

47026  34469  66078  4423 

3371 

52776  87626  20971  9209 

2579 

41145 

13421  37937  4993 

2957 

47086  13245  26117  6377 

3373 

62801  63411  89201  4567 

2591 

41346  74129  85824  8i3o 

2963 

47170  16614  8oo5i  0901 

3589 

53007  i5688  37378  2488 

2693 

4i38o 

25167  69351  4828 

2969 

47261  01976  96044  638o 

3391 

63o32  77897  78086  3029 

2fioq 

41647  4079'  00220  7695 

2971 

47290  26618  o3 6 64  0482 

3407 

53237  21 336  67877  4o83 

2b"  17 

41780  37226  39880  9743 

2999 

47697  64667  69627  1346 

3413 

633i3  62882  78638  85i6 

2621 

41846 

70209  46600  4622 

3ooi 

47726  69964  24862  6237 

3433 

53567  38o34  26760  1264 

2633 

42045 

08591  o6c58  1571 

3oii 

47871  07555  12769  3i56 

3449 

53769  31943  67390  7261 

2647 

42275  39413  01348  2174 

3oi9 

47986  3ii3o  23097  7336 

3467 

63869  93796  42406  8037 

2657 
265q 

42439 
42471 

15544  1C277  5i55 

3o23 

48043*81471  77817  1026 

3461 

53920  16992  94127  7060 

85373  3 1667  0409 

3o37 

48244  479 '9  18265  2082 

3463 

63g45  24916  4s46o   8298 

2663 

42537 

11664  38941  2502 

3o4i 

483oi  64201  44i32  1610 

3467 

53995  384i6  563q6  6849 

2671 

42667 

3888o  21372  8399 

3o49 

48416  74243  6638o  6867 

3469 

54020  42998  42069  8234 

2677 

42764  83711  86932  6378  1 

3o6i 

48586  33295  q7334  6406 

3491 

54294  98488  14178  8187 

2S83 

42862 

06726  71909  oo34 

3067 

48b7i  37769  82486  4944 

'M99 

54394  39424  82906  445 1 

Nomb. 

Logarithmes. 

Nomb. 

Logarithmes. 

Nomb. 

Logarithmes 

35n 

35i7 
3527 
3529 
3533 

54543  08294  6535 1  2io3 
54617  23683  16942  58o3 
54740  54596  67489  633i 
54765  16583  59969  1987 
54814  36374  34845  A<^o^ 

3907 
3911 

3917 
39'9 
3923 

59184  34113  24784  4534 
69228  78169  52i3o  6928 
69295  35716  47866  8683 
69317  62654  78102  6917 
69361  83û8i  29535  9io3 

4297 
4327 

4337 

4339 

4349 

633 16  53636  83903  1908 
636 18  68961  98724  2773 
63718  94221  48761  9i3i 
63738  96601  29211  9103 
63838  94076  65335  9S26 

3539 
3541 

3547 
3557 
3559 

54888  05626  37514  8845 
54912  59267  58iii  0625 
54986  11884  71942  -j^ç^^ 
55ig8  3865 1  85780  3342 
55i32  79880  o3845  9033 

3929 
3931 
3943 

3947 
3967 

69428  20288  11806  1101 

69460  3o438  20089  1841 
69682  67770  73223  i8o5 
69626  71263  96516  33o4 
69846  22004  74160  6198 

4367 
4363 
4373 
4391 
4397 

63918  75599  35753  9070 
63978  62129  86820  1293 
H'^77.  94773  44856  9996 
64266  34371  04387  7932 
6431 5  64666  19706  2620 

3571 
358 1 
3583 
3593 
3607 

55278  98501  92781  9423 
55400  43210  11902  9310 
55424  68081  66110  5931 
55545  72172  04649  4896 
55714  61423  i8363  ii33 

3989 

4001 
4oo3 
4007 
401 3 

60086  4o363  09859  5628 
60216  855 1 3  78997  1702 
60238  66901  c6io5  1223 
60281  93424  32699  7829 
60346  91697  33838  7345 

4421 
4433 

4447 

64454  00988  26022  6796 
64662  o5i49  06874  oo"65 
64671  69393  69603  7919 
^474^  ^77^'^   73675  9412 
64806  71294  48934  6334 

36 1 3 
3617 
3623 
363i 
3637 
3643 
3659 
5671 
3673 
3677 

55786  79615  68022  23o4 
55834  85o87  61619  7283 
55906  83340  34536  8287 
56oo2  62489  12892  317a 
56074  33oio  54711  9111 

4019 
4021 
4027 

4049 
4o5i 

60411  8ccbi  92034  8608 
60433  40731  02911  1042 
60498  16296  07431  6667 
60734  77767  6841 3  4006 
60766  22431  83688  23c4 

44^^ 
44&7 
4463 

4481 

4483 

64845  76942  82622  627,5 
64904  26340  %Ç>\']^   3636 
64962  68868  40629  4319 
65 137  49439  13043  2455 
65i56  87388  66791  8705 

06145  91712  4i9i5  9002 
56336  24094  86607  /^^'>4 
56478  43845  03986  7736 
565o2  09283  45293  7607 
56549  36298  68862  3886 

4067 
4073 

4079 
4091 

4093 

60820  60077  04326  i85o 
60991-  44' 00  86997  6990 
6io55  37063  17094  585o 
61182  ^^'j^/if   98373  7604 
61204  17446  46269  55co 

4493 
4507 

45i3 
4617 
4519 

66263  64185  90025  0931 
65388  75580  70977  6206 
65446  53336  2o"i45  8404 
65486  00906  61394  2024 
655o4  2341 3  3 1201  7644 

3691 
0697 
3701 
3709 
37^9 

56714  40451  90657  1723 
56784  945o5  73106  7959 
5683 1  9o85o  96111  7809 
56925  68333  28610  1425 
57043  61783  58972  5899 

4099 
4n  1 
4127 
4139 
4i33 
4 139 
4i53 
4.57 
4169 
4177 
4201 
4211 
4217 
4219 
4229 

61267  79183  16601  7600 
61394  747^7   80349  7610 
61 563  44688  7741 5  9649 
61684  48828  74702  i328 
61626  54062  81708  1904 

4623 
4647 

4H3 

456 1 

4567 

66642  66877  45918  63/;  n 
66772  49642  o5\ 08-201 6 
66791  69368  29955  i8cc 
66906  00722  40938  2990 
66963  10116  C70C0  6o:j3 

3737 
3733 

3739 
3761 
3767 

57135  93927  53839  6579 
57205  79899  26304  5400 
57275  5465 1  54219  61 54 
57530  33334  22399  '^55 
67599  56202  03267  63oi 

61689  64264  00769  9660 
61 836  19311  09878  1660 
61878  C0245  06214  7633 
61898  89203  64933  6199 
62086  44762  65"i2i  1164 

~4683 
4591 

4-^37 
46o3 

4621 

66114  98672  4/q'èÇ^   6096 
66190  72927  66020  7865 
^'?)'i4'j   45c37  5o3o9  61 85 
663o4  09748  9^924  2395 
^'^47'5   69686  '18704  9792 

3769 
377.9 
3793 

38û5 

57622  61374  49604  9556 
57737  68919  17014  '6076 
57898  28427  02790  5417 
57944  06971  39797  1887 
58oi2  63254  11682  4589 

62335  26816  37991  9779 
62438  62414  20265  0739 
62600  36oio  14863  4^04 
63520  96263  81880  9968 
62623  76861  46qoo  3864 

4637 
4639 
4643 
4H3 

4G5i 

66623  70968  96804  43c4 

'q^Ç)4'2.  43726  18769  6021 

66679  86836  ^Ç>\'j/^  0620 
66735  95461  83087  0780 
66764  63396  11616  4776 

0821 
5823 
3833 

3847 
385 1 

58217  70376  88408  8355 
58940  42980  19028  1110 
58353  88193  5435a  1387 
685 12  Qi863  0681 5  4900 
58557  35i86  22731  1023 

423l 

^•^^^ 
4243 
4253 

4269 

62644  3o253  31294  6565 
62746  82724  69709  6169 
62767  3o3i7  666i5  8733 
62869  53827  i4o23  3oo3 
62930  76400  73748  8538 

4667 
4663 
4673 

4679 
4691 

66810  62379  32731  3190 
66866  b4^^4  ^44^^   o65q 
66969  67810  243i3  3119 
67016  3o45i  92180  2386 
67126  54329  471 58  3624 

3853 
3863 
3877 
388 1 
3889 

68679  90090  i3ooo  9919 
68692  47081  44^30  3d25 
58849  68010  07210  0141 
588(^4  36427  40014  9113 
58983  79431  47459  7475 

4261 
4271 
4273 
4283 

4289 

62961  16342  00453  2343 
63o52  96714  26824  0677 
63073  28928  17196  5iq4 
63 174  80745  96569  3486 
63235  6046a  3907'3  1963 

4703 
4721 
4733 

472q 
4733 

67237  49787  46079  4^7^^ 

67403  40004  31254  89 qj 
67421  79455  76699  938P 

£^747^  93i4o  15426  27641 
67613  "65o44  67994  01 15' 

1 

Nomb. 


475i 
47% 
4/83 

4787 

4789 

4793 

47.99 
4801 

4813 

4817 


Logarithmes. 


67678 
67761 
67970 
68006 
68024 


5o3o4 
67047 
o38o8 
34274 
48370 


iqaoS  4734 

98767  4844 
71964  1482 
81948  5629 
42607  7033 


483i 
48S1 
4871 
4877 
4889 
4903 
4909 

4919 
493 1 

4933 

4937 
4943 
4961 

4957 
4967 

49^9 
4973 
4987 
499^ 
4999 
5co3 
6009 
5oii 

502! 
002,5 

oo39 
5c5i 

5o59 

5077 

5o8i 

"5087 

'^^99 
5ioi 

6107 
5ii5 

5i  19 
5147 
5.53 
5167 
5171 


68060 
681 15 
68i33 
68241 
68277 


74289 

07499 

17059 

586i6 
6G460 


91787  8760 
32421  3927 
69165  7458 
77358  49°° 
14434  0372 


684o3 
68672 
68761 
688i5 
68922 


70374 
56210 
81295 

27555 

00372 


865 19 
74542 
71769 
91666 
63835 


7603 
i6o3 
0260 
3287 
5893 


69046 

69099 
69187 
69293 
6901 1 


1 8932 
3o32o 
68225 
60026 
m  54 


461^8 
998b\9 
69331 
3ii37 
62141 


2536 
4272 

3221 
7324 
2286 


69346 

^9^9 
69469 

69621 

69609 


31272 
06104 
29263 
89189 
41^99 


igôSi 
60776 
31484 
o5i5o 
96223 


i363 

7830 
0807 
9206 
3420 


69626 

69783 

69836 

69888 

69923 

69973 
69992 

7°-79 
70096 


89967 
84692 
93682 
16660 
^1367 
06028 
io3i6 
44°^7 

022l3 
31781 


45532 
32294 

18363 
55 1 09 
62690 

"HS^o'g" 
89614 
4^47^ 
74^4^ 
69649 


7954 
94^.6 
ci55 
7364 
2207 


Nomb. 


5i79 
5189 

5197 
6209 
6227 


523 1 
5233 
6237 
6261 
6273 


6279 
5281 
6297 
53o3 
5309 


5323 
5333 

5347 
536 1 
538 1 


5387 
5393 
5399 
6407 
54i3 


i5i4 
3236 

6996 
9111 

3096 


70234 
70337 
70406 
70660 
70694 


43683 
73685 

4^794 
71634 

91949 


55768 
12349 
08667 
04606 
10296 


7083 
5472 
3620 
o3  64 
6716 


70646 
70748 
70766 
70816 
70867 


17376 
60119 
53235 
68678 
57927 


3i364 
67473 
5ii86 

55540 
26536 


7002 
6829 
9120 
0645 
9761 


709.8 
7  M  5a 
71206 
713^3 
71357 


5 1 296 
41682 

01 4M 
84616 
45377 


60246 
60169 
61074 
46661 
72069 


4348 
5456 
7488 
7155 
7653 


5417 
5419 
5431 
5437 
5441 


5443 
5449 
5471 
5477 

5479 


5483 

55oi 
55o3 
6607 
6619 


6621 
6627 
553i 
6557 
5565 

"5569 
5573 
558 1 
5691 
5623 


Logarithmes. 


71424 
71608 
71675 
71676 
71826 


691 10 
36706 
27168 

45574 
26000 


17894 

949^7 
22869 
32697 
97760 


o3i9 
2406 
5o6o 
1761 
5634 


71868 
71876 
71908 
72106 
72206 


47200 
07347 
26739 
83oi7 
77713 


27436 
39666 
0.486 

97 '59 
3.464 


oo5o 

2449 
8954 
0960 
i389 


72265 
72271 
72402 
72462 
72601 


1 6620 
6 1 674 
99729 
16271 
27253 


00968 
88494 
35597 
1866a 
41.66 


726 1 5 
72697 
7281 1 
72843 

73086 


64^^61 
15836 
01841 
49609 
29920 


72754 
82876 
co34o 
74264 
46493 


4606 
8o5i 
7071 

6797 
97^4 
8690 
6352 
6120 
7878 
8842 


73134 
731 83 
73231 
73296 
73343 


69755 
04202 
33274 
63696 
80270 


46954 
88162 
71242 
76624 
91061 


9362 
4017 
4935 
6482 
3260 


73376 
73391 
73487 
73535 
70607 

73583" 
7363 1 
73806 
73854 
73870 


88356 
91610 
98027 
9333o 
87269 
83343 
68079 
67147 
27409 
i3oo4 


87202 
1 2390 
92627 
01710 
06904 


7034 
8986 
5336 

7747 
5669 


17073 
04108 
77469 
28786 

34709 


7660 
8249 
2694 
2045 
769 1 


70901 

74044 
74°59 
7409 1 
74.86 


82468 
16449 
96128 
60764 
03940 


83480 
49766 
1 1 166 
81282 
66263 


90^7 
9683 
5.26 
5460 
54.8 


74201 
74248 
74280 

74484 
74530 


77471 
94645 
36684 
03967 
9°"599 


401 38 
8.776 
69166 
85^79 

40827 


2700 
1396 
5762 

1774 
9784 


74577 
74608 

74671 

74748 

74996 


72178 
90430 
20226 
94922 
80835 


89739 
56200 
16660 
68672 
09402 


0674 
2049 
44' '8 
8673 
8802 


Nomb. 


5639 
5541 

5647 
665 1 

5653 


6667 
6669 
6669 
6383 
6689 
'6693" 
6701 
6711 
6717 
6707 


6741 
6743 

^749 
5779 
6783 


0791 
58oi 
6807 
68i3 
6821 


6827 
5839 
5843 
5849 
586i 


6867 
586i 
6867 
5869 
5879 


588i 
6897 
6903 
6923 
6937 


6939 
6953 
6981 
6987 
6007 


601 1 
6029 
6037 
6043 
6047 


Logarithmes. 


76120 
76135 
76181 
76212 
76227 


20945 

60997 
77877 
53072 
89854 


88353 
25393 
36879 
97898 
60118 


1618 
6692 
1780 
2690 
6960 


76268 
76273 
76350 
76467 
755û3 


61787 

96939 
64^69 
76660 
69337 


40409 
35328 
90970 
44730 
67771 


75534 
76695 
76671 
76716 
76868 


11 838 
10410 
2.601 
81922 
48498 


11647 
o4i3i 
64771 
14272 
82441 


218/, 

o3io 
0438 
3446 
5546 

6766 
9618 
6249 
6667 
C039 


76898 
769^1 3 
76969 
76185 
76216 
76276 
76350 
76396 
7644° 
76499 


76468 
88162 
23o86 
26^44 
31923 


67619 
81166 

45974 
66383 

03694 


2841 
4735 
8634 
0639 
6213 


36649 
28654 
18260 
©3229 
76992 


33373 
67597 
33324 
56388 
84880 


9618 
o365 
2017 
i536 
585^ 


766/14 
76633 
76665 
76708 
76723 


60180 
84762 
58863 
16213 
00981 


90i5o 
61287 
10267 
65322 
107.8 


0628 
3o46 
6226 
2621 
2821 


76767 

7^797 
76841 
76866 
76930 


62240 
17213 
60882 
41096 

54601 


27960 
81618 
i633i 
13573 
89081 


0404 

HQ9 
6542 
4661 
7334 


76945 
77063 
77107 
77264 
77283 


11794 
1 1277 

27832 
17326 
49272 


02007 
77806 
2 1 1 94 
40943 
39018 


6191 

6864 
7373 

521( 

1376 


77^71 
77475 

77677 

77720 

77866 


33262 
68826 
38024 
92681 
76319 


77021 
61763 
12107 
4S6H 
47355 


77894 
78024 
78082 
78126 
78153 


67279 
52838 
1 1768 
26942 
99686 


68616 
65352 
53472 
48456 
06941 


6222 
3540 
0,^39 
8434 
2452 

7433 
6101 
9465 
4214 
7129 


Nomb. 

Logarithmes. 

Nomb. 

Logarithmes. 

Nomb. 

Logarithmes. 

6o53 
6067 
6073 
6079 
6089 

78197  06739  12552  0273 
78297  39949  44048  2468 
78340  328  Ti  22563  4564 
78383  21433  84441  0902 
78454  59740  54522  5789 

6473 
6481 
6491 
6621 
6629 

81110  56070  17930  3969 
81164  20214  53i5i  0093 
8i23i  16091  3ii23  7730 
81431  42002  07469  568o 
81484  ^^^^Q   04463  2882 

6917 

6947 
^949 
6959 
696 1 

83991  77766  78680  9882 
84179  72988  74355  2963 
84192  23ii6  79460  8701 
84254  68364  96014  9484 
84267  16337  '60788  4232 

609 1 
6ioi 
61 13 
6121 
6i3i 

78468  85995  01421  2721 
78540  10249  92387  SogS 
78625  43957  89780  2451 
78682  28794  99187  4273 
78753  i3i6i  27234  2555 

6547 
655 1 
6553 
6563 
6669 

81604  23409  21996  61 83 
8i63o  76994  31939  8000 
81644  oiSj^   56i38  66o3 
81710  24042  66923  1482 
81749  92618  67768  2742 

%^7 
6971 

%77 
6983 

6991 

84^04  58io5  34569  2922 
84329  60827  36607  i<^77 
84366  87229  79143  7641 
84404  20420  41016  6201 
84453  93021  29007  903 1 

6i35 
6143 
6i5i 
6i63 
6173 

78767  29646  87492  9752 
78838  o5i53  19563  3i63 
78894  57270  20747  7609 . 
78979  21677  30675  3779 
79049  62769  67109  5491 

6671 
6677 
6681 
6699 
6607 

81763  14671  90616  356o 
81802  78418  "59266  2l3l 
81829  18907  99996  9143 
81947  81283  62122  6991 
82000  43o68  o83i7  9009 

^Si37 

7001 

7013 
7019 
7027 

84491  18739  12140  6064 
84516  00776  51945  8108 
84690  38388  98782  6226 
84627  62494  1221 3  1761 
84676  99535  37218  7868 

bigq 
6203 
621 1 
6217 

79^18  14961  4^^7^   8122 
79232  i6'363  51573  5128 
79260  17811  G^s^^  4^1 5 
79016  16292  4^o5o  7349 
79358  08673  681 55  8o83 

6619 
6637 
6653 
6669 
6661 

82079  238io  88203  7162 
82197  18176  42042  8139 
823oi  76234  4^049  2396 
82340  90148  92644  83 17 
82353  94336  56858  9914 

7039 
7043 
7067 
7069 

7079 

84751  09602  ©3248  1471 
84775  76883  92331  2669 
84862  01174  34133  9062 
84935  79816  61298  9623 
84997  19123  28860  1176 
86144  18146  72066  0698 
85 180  86142  28237  4944 
86264  09867  69798  8686 
86290  67687  96953  6733 
853^2  86147  12989  7236 

6221 
6229 

b2r)7 
6263 

79386  o2oi3  42669  6o55 
79441  833o8  J^\.4^  9842 
79567  i5o59  4^021  7452 
79636  61549  77521  2805 
79678  24117  oi3o7  7941 

6673 
6679 
6689 
6691 
6701 

82432  1 1 248  6077 1  2649 
82471  14434  64734  3175 
82536  11969  52633  3346 
82649  10298  79430  8769 
82613  96179  35914  7631 

7103 
7109 
7121 
7127 
7129 

6269 
6271 
6277 
6287 
6299 

79719  82698  38968  8839 
79733  68007  75349  8335 
79775  21286  50710  7351 
79844  34603  50187  4660 
79927  i6o83  49872  6416 

6703 
6709 

6737 

82626  92193  93726  2243 
82665  77918  76869  3094 
8273c  46410  89734  9394 
82820  86144  67945  4177 
82846  65473  52678  3337 

7161 
7»  59 

7177 
7187 
7193 

85436  67780  40869  6918 
85485  23694  17834  0070 
86694  29462  323i6  0249 
85654  7^4^  66747  85o'3 
86691  oo6o3  C0786  2334 

63oi 
63ii 
63i7 
6323 
6329 

6337 
6343 
6353 
6359 
636i 

79940  94796  16126  8i3o 
80009  81801  74775  6352 
8oo5i  08768  94367  9732 
80092  3i8i8  i32i8  2711 
8oi33  60966  74546  6674 

6761 
6763 

6779 
6781 
6791 

83ooi  09369  36117  8611 
83oi3  93874  25342  7260 
83ii6  56339  09442  4869 
83120  37443  77009  6941 
83193  37304  66746  4233 

7207 
721 1 
7213 
7219 
7929 
7237 
7243 
7247 
7263 
7983 

86776  45220  69442  2260 
86799  54966  60923  9877 
86811  69321  90066  1114 
86847  704^8  '13340  535c 
86907  82247  4^ç\^^  3440 

80188  37071  26239  6991 
80229  47' i3  974G3  7082 
80297  88553  35961  8202 
8o338  88249  836 1 3  4770 
8o352  53955  76532  3907 

6793 
68o3 
6823 
6827 
6829 

832o6  16145  90726  9776 
80270  04709  '60667  3988 
83397  60712  79906  1914 
83439  99028  51677  3i8o6 
83436  7M27  18406  0738 

86955  86726  26053  6296 
86991  84802  00716  7622 
8601 5  82613  18278  2466 
86061  76774  61746  3069 
86231  c3c99  54270  4127 

6367 
6373 
6379 
6389 
6397 

80393  48498  6384 1  7786 
80434  39184  79806  8761 
80476  26021  60460  4636 
80643  28881  32139  93 I 3 
80697  635o7  '7562  6493 

6833 
6841 
6867 
6863 
6869 

83461.  14207  22687  1748 
835 11  96904  24549  6290 
836 1 3  4i4q4  65374  8256 
8366 1  39988  90671  3896 
83689  55"i63  76433  73oi 

7297 
7307 
7309 
7321 
733 1 

863 14  45462  62667  4623 
86373  91073  45217  1178 
86385  79618  83972  9621 
86467  04068  53400  2688 
86616  32195  06086  2333 

6421 
6427 

6449 
645 1 
6469 

80760  26699  ^^4^^  6o85 
80800  82999  10399  9977 
80949  23769  37341  8335 
80962  70418  94049  7299 
8io83  71611  40488  3207 

6871 
6883 

6907 
6911 

80701  99486  40908  4o4o 
83777  77695  53733  2867 
83878  6i44q  A^^s4  6126 
83998  94560  06146  9348 
83954  08929  68968  8441 

7333 
7349 
7351 
7369 
7393 

86628  16849  96610  6483 
86622  82473  79647  2099 
86634  64227  49601  7583 
86740  85565  22791  2613 
86882  07061  97617  3791 

;» 


Nomb. 

Logarithmes. 

Nomb. 

Logarithmes. 

Nomb. 

Logarithmes. 

7411 

86987  681 32  66766   5706 

7829 

89370  62c,3o  64713  481 3 

?^9l 

91860  69161  449^1  9302 

lA^l 

87022  83790  11794  4326 

784. 

89437  14538  66237  6867 

8293 

91871  16653  82321  2210 

7433 

87116  41328  02949  4104 

7853 

89603  55974  52322  646s 

8297 

91892  10900  91335  7862 

745. 

87221  45633  97585  538 i 

7867 

89680  91601  69130  9601 

83ii 

91965  32823  io364  1971 

7457 
7459 

87266  41430  9065 1  5862 

7873 

89614  02614  42019  5842 

83i7 

91996  67014  83387  1454 

87268  06071  51929  6546 

7877 

89636  08454  69316  3791 

8329 

92069  28620  84808  4931 

7477 

87572  73806  46679  5095 

7879 

89647  IIC04  79277  !2,02S 

8353 

92184  24814  06867  9354 

7481 

87395  96547  43353  1458 

788S 

89669  16265  62884  0607 

8363 

92266  20967  84790  0284 

7487 

87430  78331  28o38  9680 

7901 

89768  20617  9^419  9192 

8369 

92267  35678  58554  2247 

748.9 

87442  383o5  865oi  8696 

79^7 

89801  17387  97601  6439 

8377 

92308  86164  4^399  2479 

7499 

87500  33536  0C041  0378 

79 '9 

89867  03429  66629  8291 

8587 

92360  66430  17459  1196 

7607 

87546  64i58  66385  6797 

79^7 

89910  88681  93399  4082 

83^9 

92371  01943  96662  7871 

7t)i7 

87604  45502  46095  1077 

7933 

89943  74542  86177  5637 

8419 

92626  06096  19435  2624 

7623 

87639  10618  19/87  5965 

7937 

89966  638o3  o5b35  6069 

8423 

92546  68006  91537  8604 

7629 
7537 

87670  72971  42664  Soig 

7949 

90o3i  24969  83726  6994 

8429 
8431 

92677  6o638  36746  2941 

87719  85i52  71789  7640 

7961 

90042  17534  57737  6041 

92687  90893  oi5oo  8211 

754. 

87742  89407  88219  7457 

7963 

90107  67167  26264  8523 

844'i 

92649  67892  73220  3694 

7547 

87777  43499  91398  c8i4 

7993 

90270  98129  69877  0730 

8447 

92670  24941  82644  9514 

754,9 

87788  94253  71483  9906 

8009 

90367  82936  63o64  3891 

8461 

92742  16960  60418  7062 

7559 
7661 

87846  43453  41468  9091 

8011 

9o368  67317  365o2  4680 

8467 

92772  96697  71664  6067 

87857  92380  62219  2l6l 

8017 

90401  i8836  97388  2264 

860 1 

92947  00161  77489  4989 

7573 

87926  79668  24612  8067 

8039 

90620  20286  62318  6417 

85 1 3 

93008  26333  92371  2241 

7b77 

^7949  7^^7^   49428  5429 

8o53 

90696  76990  92427  0713 

8521 

93049  o6663  06269  6942 

7583 

87984  10559  86562  5460 

8069 

90628  11557  72153  0643 

8627 

93079  62629  833co  2172 

1  7589 

88018  45528  26433  4408 

8069 
~8~^8r 

90681  97164  66545  4602 

8537 

93i3o  62814  21673  2321 

i  75.91 

88029  89914  25762  5916 

90746  61067  66856  1969 

8539 

93140  70135  66673  4714 

1  ^^°^ 

88098  49904  86753  4266 

8087 

90778  7443 1  10616  1702 

8543 

93161  o4o63  62962  02i5 

1  7607 

88121  34162  66019  2197 

8089 

90789  48354  16282  8982 

8563 

93262  69440  21782  1916 

1  7G21 

88201  19616  26668  6244 

8093 

90810  96403  92662  1732 

8673 

9331 3  28237  26734  2779 

1  7639 
7643 

883o3  65 100  27679  8002 

8101 

90863  86321  71969  3966 

858i 

93353  79019  71704  6627 

88)26  38696  84973  9862 

8111 

90907  44°' 4  00904  3ii5 

8597 

93434  69267  38255  5848 

7^49 

88060  46609  22292  4658 

8117 

90939  55469  67106  5346 

«599 

93444  79489  48970  0539 

7669 

88473  87377  69631  7802 

8123 

90971  64532  34344  6126 

8609 

93496  27078  17868  o832 

7673 

88496  61982  C0732  7035 

8147 

91099  77163  10642  8093 

8623 

93566  8386 1  00634  i53i 

7681 

8854'  7766 1  10936  0941 

8161 

91174  33778  66931  6961 

8627 

93585  97980  37880  43 1 5 

7687 

88676  68810  69267  3968 

8167 

91206  25655  8H5g2  3437 

8629 

93596  04589  89166  4655 

7691 

88698  28113  54973  0938 

8171 

91227  62104  98812  3276 

8641 

93656  4oo5i  35265  9626 

769q 

88643  43196  28938  2978 

8179 

91270  02081  90860  3549 

8647 

93686  54689  76622  5638 

7703 

88665  98978  61202  8219 

8191 

91333  69269  02623  1919 

8663 

93766  83i43  ,99006  1079 

7717 
77113 

88744  86002  49963  6908 

8209 

91429  02666  66949  0649 

866q 

93796  90029  61452  8369 

88778  60348  38371  5416 

821 9 

91481  89804  4747'^    1^21 

8677 

93836  96974  5 1806  3 137 

7727 

88801  09122  45028  7326 

8221 

91492  46482  06148  4869 

8681 

93866  97662  21061  1709 

7741 

88879  70674  56680  7607 

823 1 

91645  26016  88478  7685 

8689 

93896  97972  22890  2373 

7753 

88946  97839  69607  4 ' 9 ' 

8253 

91655  81 164  • i52o  4260 

8693 

H^'î  9^796  26177  43b6 

7767 

88969  37914  44186  3 148 

8237 

91676  90669  83684  i33i 

8699 

93946  93308  4363o  i333 

7769 

88980  67618  68o85  4232 

8243 

gi6c8  62998  4370a  7266 

8707 

93986  85444  69609  7175 

7789 

89148  17038  39620  0093 

8263 

91713  77627  56444   2692 

8713 

c)4oi6  77^4^  ^4'^74  9292 

779^ 

89170  4^762   39182  6942 

8269 

91746  29919  29663  4871 

57'9 

94046  66776  60628  9422 

7817 

89304  01119  67117  9356 

8273 

91766  30243  27374  9431 

8731 

94106  39882  19902  0168 

7823 

89337  333o2  46024  9201 

8287 

91839  73388  43700  i638 

8737 

94i36  23357  11761  1276 

Nonib. 

Logarithmes. 

Noiub. 

Logarithmea. 

Nomb. 

Logarithmes. 

874. 
8747 
8753 
8761 

8779 

94i56  11202  36070  7866 
.94185  91265  25373  5326 
94215  69284  67490  45 'O 
94255  368o3  34209  9240 
94344  50490  25o3o  4334 

9'73 
9181 
9187 

9^99 
9200 

96261  13935  07696  9014 
96288  99870  9,1791  1698 
96517  37163  75261  6470 
96374  06188  57884  io33 
96392  94220  26558  4660 

9587 

9601 
9613 

9619 
9623 

98168  27273  71286  3702 
98231  64696  92066  2628 

98286  89423  12075  223l 

98312  99247  347CO  0796 
98331  04857  94116  5461 

8783 
88o3 
8807 
8819 
8821 

94364  28827  52129  0182 
94463  07018  56278  2403 
94482  79963  43216  2457 
94541  Qo4'-iS   o3o63  1623 
9455 i  78220  77839  6193 

9209 
9221 
9227 
9239 
9241 

96421  24729  69819  2283 
96477  80220  22376  0392 
96606  06206  11198  6699 
96662  49671  09242  7782 
96671  89702  44220  8809 

9629 
9601 
9643 

9649 
9661 

98368  11867  06790  7016 
98367  13828  60196  6746 
98421  21667  61433  85 10 
98448  23o64  02262  7616 
98602  20821  09635  1666 

883i 
8807 
8839 
8849 
886. 

94600  98847  6b'j64   8792 
9463o  48549  93474  9225 
94640  3i338  99054  5994 
94689  4'95i  02326  7729 
94748  27365  56918  6220 

9267 

9277 
9281 
■9283 
9293 

96647  02637  29284  4^4^ 
96740  76665  97472  8126 
96769  47726  71889  7607 
96768  836o4  533i2  6174 
96816  69371  49970  49^6 

9677 

9689 
9697 
9719 

98674  07410  60074  5728 
98683  04898  58392  i668 
98627  89639  06991  2176- 
98663  73966  io'i'63  871c 
98762  16821  25483  7687 

8863 
8867 
8887 
8893 
8923 

94758  07493  04322  4^64 
94777   67084  64738  2990 
94875  5 1801  68269  8286 
94904  82923  i5663  8]o5 
95o5i  08929  85996  5961 

93 1 1 

9323 
9337 

9  Ml 

96899  63266  483 12  2539 
96936  93117  33527  48o5 
96955  66842  20843  6283 
97020  73588  06854  6092 
97039  33720  79600  1373 

9721 
973o 

9739 
9743 
9749 
9767 

97^9 
9781 

9787 
9791 
9803 
9811 
9817 
9829 
9833 

98771  09431  3o3o6  8-'9'> 
98824  67233  75378  3745 
9886 1  43658  33666  1168 
98869  27026  49816  7662 
98896  00703  9o338  o362 

8929 
8933 
8941 
8961 
8963 

96080  28229  64668  5 100 
96099  73339  88804  9762 
961 38  60948  80292  8196 
96187  15571  2836'4  3523 
96245  33964  23o33  2332 

9343 

9349 
9371 
9377 
939 1 

97048  63488  47660  2359 
97076  61697  80767  7041 

97178  69378  79114  4^^^ 
97206  39160  08022  2462 

97271  18406  47^^^   533o 

98976  11877  18778  1870 
98986  01C96  o3i8o  4i55 
99o38  32689  06233  6744 
99064  96883  18864  4092 
99082  70606  67478  85 12 

8969 
8971 
8999 
9001 

9007 

96274  40240  14898  36i6 
96284  08566  76701  5826 
96419  42518  16862  4479 
96429  07617  01126  9971 
96468  01627  43767  3472 

9397 
94o3 
941 3 

9419 
9421 

97298  92268  56348  7983 
97626  64361  08628  6434 
97372  80686  88027  4i4j 
97400  47968  97414  6429 
9740g  70037  941 3i  i3oi  , 

99135  90026  37960  2638 
99171  32767  13089  4582 
99197  87909  94583  6262 
99260  93350  67776  4994 
99268  60391  62127  9123 

901 1 
■9013 
9029 
9o4'i 
9043 

96477  29896  89717  1012 
96486  93710  66478  2455 
95563  96530  23261  9434 
96621  64692  43390  o833 
96631  253o8  41194  53o7 

9431 
9433 

9437 
9439 
9461 

97455  77448  53679  9» 80 
974^4   98344  387*2.  0960 
97483  39550  48640  0624 
97492  69860  89762  4482 
97693  70424  83iio  6222 

9839 
9861 
9867 

9859 
9871 

9883 
"9887 

99'^^ 
9907 
9923 

99296  09606  J0446  4446 
99348  03.90  69996  6076 
99374  47566  54462  3267 
9*9383  28666  13986  i43i 
99436  11619  08001  0209 

9049 
9039 
9067 

939  ' 
9io3 

96660  06882  13176  6632 
96708  02696  578q9  8612 
95746  36167  29931  2890 
96861  16677  64879  4120 
96918  45427  31191  4869 

9463 
9467 
9473 
9479 
9491 

9497 
9611 

9621 

9533 

9539 

97602  88400  91126  8842 
97621  23771  17377  1089 
97648  75373  06189  9361 
97676  20232  67460  6333 
97731  19733  96925  9941 

99488  87953  64910  6336 
99606  45341  56*1 41  5338 
99667  90606  n6u2  181 5 
99694  21629  92650  6282 
99664  29913  55472  4740 

9109 
9127 

9.33 

9  •■''7 
9i5i 

96947  07020  76107  1028 
96032  8o5o5  30143  1414 
96061  34576  47908  8154 
96080  36249  11769  745o 
96146  8656^  60786  3424 

97768  64380  o386i  1387 
97822  61816  74626  9001 
97868  26661  56944  5443 
97922  96930  221 56  3557 
97960  28487  87401  2681 

9929 
99^' 

9941 
9949 

9967 

99690  66106  96666  l520 

99699  29818  90706  7068 

99743  00707  97471  2019 

99777  943c8  666o3  9662 
99866  44582  60941  &468 

9157 
9161 

96176  32141  86782  6731 
96194  2883i  41387  2584 

9^47 
9601 

97986  69226  64902  8239 
98004  88460  64966  7533 

9973 

10007 

99882  68190  40286  0476 
ooo3o  38997  84812  4918 

FIN  DES  TABLES. 

EXERCICES 

DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES. 

SUITE  DU  TOME  III. 

J-JA  détermination  des  fondions  E  et  F,  selon  les  diverses  valeurs 
de  l'amplilude  et  du  module,  est  encore  Tobjet  principal  que  nous 
nous  sommes  proposé  dans  la  continuation  de  ces  recherches.  On 
peut  y  parvenir,  soit  par  le  moyen  d'une  table  particulière  dressée 
pour  chaque  valeur  donnée  de  l'angle  du  module,  soit  par  le  moyen 
d'un  système  de  tables,  qui  seraient  construites  en  faisant  varier  par 
des  intervalles  égaux  et  suffisamment  petits,  l'amplitude  et  l'angle 
du  module.  Le  dernier  moyen  est  celui  qu'on  jugera  le  plus  com- 
mode dans  la  pratique,  quoiqu'il  exige  dans  chaque  cas  une  double 
interpolation  ;  mais  le  travail  qu'il  suppose  est  une  entreprise  longue 
et  difficile,  dont  l'exécution  ne  peut  être  que  fort  éloignée.  Nous 
avons  tâché  au  moins  d'en  applanir  les  difficultés  par   un  travail 
préparatoire  dont  les  Tables  VIII  et  IX  contiennent  les  résultats, 
et  que  nous  expliquerons  avec  tous  les  détails  nécessaires.  Ces  Tables 
elles-mêmes  peuvent  déjà  suppléer  en  partie  aux  Tables  plus  éten- 
dues qui  nous  restent  à  désirer;  mais,  comme  elles  ne  procèdent 
que  de  degré  en  degré,  tant  pour  l'amplilude  que  pour  l'angle  du 
module,  leur  interpolation  sera  nécessairement  plus  difficile  ou  moins 
exacte  que  si  ces  intervalles  étaient  plus  petits. 

Si  l'on  veut  éviter  les  doubles  interpolations,  il  faudra  revenir  au 
premier  moyen,  c'est-à-dire  construire  pour  chaque  module  donné, 
une  Table  particulière  qui  étant  calculée  pour  un  certain  nombre 

n 


174  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

de  valeurs  de  l'amplitude,  puisse  faire  connaître,  avec  le  moins  de 
travail  possible,  les  fonctions  qui  re'pondent  à  toute  autre  valeur 
donnée  de  l'amplitude.  Nous  avons  déjà  indiqué,  dans  les  recherches 
précédentes,  plusieurs  méthodes  qui  remplissent  cet  objet,  et  nous 
avons  fait  l'application  d'une  de  ces  méthodes  a  la  Table  particu- 
lière pour  le  module  sin  45%  laquelle  a  été  calculée  jusqu'à  douze 
décimales ,  afin  de  pouvoir  être  sur  de  l'exactitude  de  la  onzième 
ou  au  moins  de  la  dixième.  Mais  on  a  pu  remarquer  que  le  calcul 
d'une  pareille  Table,  quand  il  ne  serait  fait  que  de  degré  en  degré, 
est  très-Jongj  ce  n'est  donc  que  dans  le  cas  où  l'on  aurait  un  grand 
ïiombre  de  fonctions  à  calculer  sur  le  même  module,  qu'on  peut 
se  livrer  à  un  travail  préliminaire  aussi  considérable.  En  réfléchis- 
sant de  nouveau  sur  celle  matière ,  il  nous  a  paru  qu'on  pouvait 
plus  facilement  atteindre  le  même  but  par  la  méthode  du  §  IV, 
modifiée  convenablement.  On  verra  en  effet  qu'un  tableau  formé 
de  quelques  lignes  seulement ,  d'après  un  module  donné ,  peut 
servir  à  calculer  jusqu'à  dix  décimales  ou  plus,  les  fonctions  E  et  F 
correspondantes  à  une  valeur  quelconque  de  l'amplitude  <p,  et  qu'il 
suffit  pour  cela  d'ajouter  au  calcul  ordinaire  de  l'interpolation  ,  celui 
de  quelques  formules  trigonométriques  très-simples.  La  formation 
de  la  Table  auxiliaire  et  le  calcul  qu'exige  son  application,  sont 
déjà  peu  compliqués,  lorsqu'on  ne  veut  obtenir  que  dix  décimales; 
ils  se  simplifieraient  encore  bien  davantage,  si  l'on  se  bornait  à 
sept.  Au  resle,  pour  faciliter  l'usage  de  cette  méthode,  nous  avons 
construit  la  Table  VII,  qui  fournira  immédiatement,  pour  chaque 
angle  du  module  moindre  que  ^5°,  l'élément  principal  sur  lequel 
le  calcul  de  la  Table  auxiliaire  doit  être  fondé. 

Persuadé,  comme  nous  le  sommes,  que  celle  méthode  est  la 
plus  facile  à  employer  dans  la  pratique ,  tant  qu'on  n'aura  pas  à  sa 
disposition  un  système  suffisamment  étendu  de  Tables  elliptiques  , 
nous  l'avons  exposée  avec  détail,  et  nous  l'avons  appliquée  à  divers 
exemples,  en  développant  quelquefois  fort  au  long  les  calculs  qu'elle 
exige.  Le  dernier  exemple  relatif  au  module  sin  8i°,  a  été  calculé 
surtout  avec  tous  les  soins  nécessaires  pour  que  l'exactitude  des  ré- 
sultats puisse  être  garantie  jusqu'à  la  quatorzième  décimale.  II  est 
à  croire  qu'on  n'aura  jamais  besoin  d'une  si  grande  précision  ;  mais 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  lyS 
nous  avons  donné  cet  exemple  comme  la  limite  du  degré  d'exac- 
Mlude  auquel  on  peut  parvenir,  par  les  Tables  connues,  dans  ua 
des  cas  les  plus  difficiles  de  la  théorie  des  fonctions  elliptiques. 

Avant  d'exposer  ces  diverses  méthodes  d'approximation,  nous 
avons  traité  de  quelques  autres  objets  que  nous  allons  indiquer 
sommairement. 

Le  §  VIII  donne  les  valeurs  des  fonctions  E  et  F,  telles  qu'elles 
résultent  immédiatement  de  l'intégration  par  séries.  On  y  trouvera 
deux  Tables  qui  donnent  pour  chaque  degré  du  quadrant,  la  valeur 
de  l'intégraleyT/cpsin*  (p,  avec  dix  décimales,  et  celle  des  deux  in- 
tégrales fd<p  s\n^  (p  ,  fd(p  sin^  0  ,  avec  neuf  décimales. 

Dans  le  §  IX  nous  avons  donné  l'intégrale  complète  des  équations 
différentielles  du  second  ordre  auxquelles  satisfont  les  fonctions  F 
et  E,  considérées  dans  toute  leur  généralité. 

Dans  le  §  X  nous  faisons  voir  que  toute  fonction  rationnelle  de 
sin  ùû  et  cos  &>,  dont  le  dénominateur  est  incomplexe,  étant  déve- 
loppée en  série,  suivant  les  puissances  de  «,  on  peut  assigner  ua 
terme  quelconque  du  développement,  par  le  moyen  des  coeffîciens 
H„ ,  K„.  Nous  donnons  en  même  tems  l'expression  générale  de 
chacun  de  ces  coeffîciens ,  sous  deux  formes  différentes. 

Le  §  XI  a  pour  objet  de  réduire  à  la  forme  la  plus  simple,  la 
formule  générale  qui  sert  à  déterminer  la  fonction  E^,  suivant  la 
méthode  des  modules  croissans. 

Toutes  ces  recherches  sont  terminées  par  quelques  considérations 
générales  sur  les  moyens  qu'il  faudrait  employer  si,  dans  la  déter- 
mination des  fonctions  elliptiques,  on  voulait  obtenir  plus  de  i4 
décimales  exactes;  Tusage  de  la  Table  des  logarithmes  des  sinus 
cesse  d'avoir  lieu  à  ce  degré  ;  celui  de  la  Table  des  logarithmes  des 
nombres  peut,  moyennant  quelques  artifices  de  calcul,  être  pro- 
longé jusqu'à  20  ou  22  décimales,  ainsi  que  nous  le  faisons  voir 
dans  le  calcul  des  fonctions  complètes  F'<?,  E'<?,  pour  le  module 
cz=z sm/^S".  Mais  au-delà  de  ce  nombre  de  décimales,  il  faut  revenir 
aux  calculs  arithmétiques  ordinaires ,  par  lesquels  seuls  on  peut  . 
obtenir  un  degré  d'exactitude  indéfini. 

Paris,  le  i"  Juin  1818. 


Ï76  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

§  VIII.  Formules  pour  exprimer  les  fonctions  E  et  Y  en 
séries  développées  suivant  les  puissances  de  c\ 

1 38.  Si  l'on  développe ,  suivant  les  puissances  de  c*,  les  valeurs 

de  d'E  et  de  û?F  ,  savoir:  ^{p(i — c'sin'cp)»  et  d(p{i — c'sin^fp)"*,  on 
aura  immédiatement  par  l'intégration  , 

E=(p — -c*/^cpsin*<p — ^-^c^fd(psm^(p — ^  '  '  '    c^^^p sin^ <p —  etc., 

F=9+- c'/?/(psin'(p-|-^ cyj(psin^(p+  ^ '   '  .c^y^(psin^(p-{-  etc.; 


a.4    -^^^         r   1    2^_g 

donc  si  l'on  fait  pour  abri 
S 


donc  si  l'on  fait  pour  abréger  . 

'^Sû       -    fd(f>sm'^  =  Z',    fd((ism^(p=Z",    /^(psin«(p  =  Z'',  etc.,   —    ^f 


ces  intégrales  étant  prises  à  compter  de  <p=o,  on  aura 

£{^'.iç|f^  .   ..  E  =  ?-ic-Z'-^c4Z"_l^c'Z"'-etc., 

'  ■  ^2  Q.4  2,4.6  ' 

F  =  (p  +  -  c^Z'  4-  —,  c^Z"  +  ^4  c'Z'"  +  etc.  ; 

et  comme  les  quantités  Z',  Z",  Z'",  etc. ,  forment  une  suite  dé- 
croissante, non-seulement  pour  toutes  les  valeurs  de  (p  moindres 
que  j-Tt  y  mais  encore  pour  la  limite  (p  =  j7r,  où  elles  deviennent 

-  .  -,  — ^  .  -,     '  ,\  .  -,  etc. ,  il  s'ensuit  que  les  valeurs  des  fonc- 

2    2'  2.4    2'  2.4.0     2'  '  ^ 

lions  E  et  F  seront  d'autant  plus  faciles  à  calculer,  avec  un  certain    ^ 
degré  d'approximation,  par  les  séries  précédentes,  que  le  module  i 

^y       c  sera  plus  petit. 

iSg.  Pour  l'usage  de  ces  formules,  il  est  nécessaire  d'avoir  une 
Table  des  fonctions  Z',  Z",  Z'",  etc. ,  calculée  au  moins  de  degré 
en  degré.  La  Table  des  fonctions  Z'  ou  Z'((p)  se  déduit  aisément        ,  > 
des  Tables  connues,  au  moyen  de  la  formule  Z'p  =  \{<p — ~sia2<p);  ^  <-^  "^ 
cette  Table  se  borne  naturellement  h  la  valeur  (p=:^7r;  pour  la  con- 
tinuer indéfiniment,  on  a  les  formules 

Z'(7r  — (?>)  =  i';r  — ZW, 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  i^;' 
Quant  aux  fonctions  TJ'^p  et  Z'"(p,  elles  se  de'duisent  de  la  fonction 
Z'  au  moyen  des  formules 

mais  on  trouvera  peut-être  plus  simple  de  mettre  la  valeur  de  Z'"  sous 
cette  forme 

Z>  =  i  [5Z"((p)  —  cos  (p  sin^  (p]  ; 

c'est  ainsi  que  nous  avons  calcule'  les  deux  Tables  ci-jointes;  l'une 
donne  la  fonction  Z'  exprimée  avec  dix  décimales  et  trois  ordres 
de  différences;  l'autre  contient  les  fonctions  Z"  et  Z"',  exprimées 
avec  neuf  décimales  seulement  et  leurs  premières  différences. 

On  voit  que  les  différences  de  la  fonction  Z'  devraient  être  pro- 
longées Jusqu'au  cinquième  ordre,  pour  que  l'interpolation  de  la 
Table  donnât  dix  décimales  exactes;  mais  alors  cette  opération  serait 
pénible ,  et  il  est  plus  simple  de  calculer  directement  la  fonction 
7J  par  la  formule  Z'((p)  =  ^(2(p  —  sin  2(p).  Pareil  inconvénient  se 
fait  remarquer,  à  un  plus  haut  degré  encore,  dans  les  deux  autres 
fonctions;  et  quoique  dans  les  applications,  les  valeurs  rapidement 
décroissantes  de  <?*,  c*,  c®,  permettent  de  réduire  progressivement 
le  nombre  des  décimales  dans  les  fonctions  Z',  Z",  Z'",  etc.,  ce- 
pendant nous  pensons  qu'excepté  les  cas  où  la  valeur  de  <p  se  trouve 
immédiatement  dans  la  Table,  on  devra  préférer  les  formules  du 
§  précédent,  qui  sont  beaucoup  plus  commodes  et  presqu'aussi 
convergentes. 


jjS 

EXERCICES  DE  CALCUL  INTEGRAL 

^ 

Z'=  l)  ^ 

DifF.  I. 

II. 

III. 

^ 

Z' 

Diff.  I. 

IL 

III. 

o° 
1 
a 
3 

4 

5 

0.00000  ooooo 
0.00000  17721 
0.00001  4^74^ 
0.C0004  78230 
0.00011  33098 
0.00022  11869 

17721 

1  04^9.0 

3  36489 

6  54868 

10  78771 

16  07680 

i  06299 

2  12469 

3  18379 

4  2390*3 

5  28909 

6  33270 

1  06170 
1  05910 
1  o5524 
1  o5oo6 
1  04361 
1  03592 

45° 
46 

47 
48 

49 

5o 

0.14269  90817 
0.  i5i57  80212 
0. 16076  i36i7 
0. 17024  85466 
0. i8oo3  86496 
0. 19013  o'5j47 

887  89396 
918  33406 
948  71849 
979  oio3o 
1009  17261 
1069  16S44 

3o  44'^'^'^ 

3o  38444 
3o  29181 
3o  16221 

29  99593 
29  79306 

5566 
9263 
12960 
16628 
20288 
269 1 6 

6 

7 
8 

9 

lO 

11 

12 

i3 

i4 

i5 

o.ooo38  19549 
0.00060  60499 
0.00090  383 1 I 
0. 00 128  55677 
0.00176  14268 

22  40950 
29  77812 
38  17366 
47  58591 
58  00337 

7  36862 

8  39554 

9  41220 
10  4^746 

Il  4^000. 

1  02692 

i  01671 

1  oo52i 

99256 

97862 

5i 

52 

53 

54 

55 

56 
57 
58 

lî 

61 
62 
63 

64 
65 

o.2oo52  20591 
0.21121  1 6740 
0.22219  68278 
0.23347  4769° 
0.94504  23891 

1068  96149 
1098  5i538 
1 127  794i2 
1166  76201 
Il 85  38378 

29  55389 
29  27874 
28  96789 
28  62177 
28  24077 

27616 
3ic85 
34612 
38ico 
4154. 

0.00234  14S05 
o.oo3o3  55944 
o,oo385  06147 
0.00480  5 1569 
0.00589  9^9^9 

69  4 1339 

81  802 o3 

95  15422 

109  ^bi'jo 

124  683o2 

12  38864 
i3  35219 
14  29948 
i5  22932 
16  i4o63 

96355 

94729 
92984 

9 1 1 3 1 

89162 

0.25689  62269 
0.26903  24724 

0.28144  6971 5 
0.29413  523 11 
0.30709  24247 

i2i3  69455 

124»  4499' 
1268  82696 

1296  71966 

l322  09731 

27  82536 
27  37606 
26  89340 
26  37796 
26  83o4i 

44931 
48265 
61645 

54754 
67905 

i6 

17 
18 

19 

20 

21 
22 

23 

24 

25 

26 
27 
28 

lî 

3i 

32 

33 
34 
33 

0.00714  6524i 
0.00855  4760S 
o.oioi3  3319S 
0 . 0 1 1 89  09 1 0 1 
o.oi383  60228 

140  82365 
157  85590 
170  75905 
194  51127 
214  08971 

17  o3225 

17  9o3i5 

18  75229 

19  57844 

20  08081 

87090 
84907 
82622 

80237 

77755 

o.32o3i  33978 
0.33379  26760 
0.34752  44658 
o.36i5o  26722 
0.37672  08961 

1347  92772 

1373  17908 
i397  89064 
1421  82239 
1445  i55o7 

96  261 36 
24  64166 
24  00176 
23  33268 
22  635 18 

60980 
66981 
66907 
69760 

72606 

0.01597  69199 
0.01832  16251 
0.02087  791^9 
0.0 2365  33o39 
0.02665  50457 

234  4'7o59 
255  62888 
277  53900 
3oo  174 18 
323  50687 

91  i583G 
21  91012 

92  635 18 

23  33269 

24  00173 

75176 
79506 
6975 1 
66904 
63984 

66 
6j 
68 

69 

70 

0.39017  24468 
0.40485  03493 
0,41974  73531 
0.43485  59403 
0.45016  83358 

1467  79025 
1489  7oo38 
i5io  86872 
i53i  23966 
i56o  81798 

21  91013 
21  i5834 
20  38o83 
19  57843 
18  76222 

75179 
77761 
80240 
82621 
84907 

0.02989  Cl  144 
o.o3336  59004 
0.03708  67021 
0.04106  07175 
0.04529  3o369 

347  5o86o 
372  i5oi7 
397  40154 
423  23194 
44^   60989 

24  64157 

95  25 137 

25  83o4o 

26  37795 
26  8934c 

60980 
57903 
54755 
5 1545 
48266 

71 

72 

73 

75 

76 

77 
78 

79 
80 

0.46667  65i56 
0.48137  22176 
0.49724  69611 
0.5 1329  20072 
3.62949  84696 

1669  67020 
1687  47336 
1604  5o56i 
1620  64623 
i636  87666 

17  9o3i5 
17  03226 
16  14062 
16  22933 
14  29946 

87089 
89164 
91129 
92987 
94726 

0.04978  91 358 
0.05455  41687 
0.05959  29622 
0.06491  00092 
0.07050  94539 

476  5o329 
5o3  87935 
53 i  70470 
55q  94547 
588  56724 

27  37606 

27  82535 

28  24077 
98  69177 
98  96789 

44929 
4î542 
38 100 
34619 
3io85 

0.54585  72261 
0.56235  89753 
0.67899  42476 
0.69675  34062 
0.61262  66660 

î66o  17602 
i663  62722 
1676  91687 
1687  32588 
1697  74335 

i3  35220 
12  38865 
] 1  41C01 
10  41747 
9  41224 

96355 

97864 

99264 

1  00623 

1  01670 

36 
37 
38 

39 
40 

0.07639  5i363 
0.08957  04876 
0.08903  86263 
0.09580  23o4o 
0. 10286  39121 

617  535i3 
546  81387 
076  36777 
706  16081 
736  15674 

99  27874 
29  553go 
99  79304 

29  99593 

30  16222 

27516 
23914 
20289 
16629 
1 2957 

81 
82 

83 

84 

85 

0.62960  AoqSb 
0.64667  56544 
0. 66383  11667 
0.68106  o363i 
0.69835  28877 

1707  15569 
1716  661 i3 
1722  91974 
1729  26946 
1734  54154 

8  39664 
7  3686i 
6  33272 
5  28908 
4  23903 

1  09693 
1  o558q 
1  04364 
1  o5oo5 
1  06624 

4' 

43 
44 
45 

0.V1022  54795 
0.11788  86691 
0. 12585  477^6 
0. 13412  47287 
0. 14269  90817 

768  31896 
796  61075 
826  99521 
857  4353o 
887  89395 

3o  29179 
5o  3'844S 
3o  44'^'^') 
3o  45865 
3o  44'^^^ 

9267 
5563 
i856 
—  i855 
5566 

86 
87 
88 
89 
90 

0.71669  83o3i 
0.73308  61088 
0.76060  67624 
0.76794  6543c 
0.78639  81634 

1738  78067 
1741  g64^6 

1744  08906 

1745  16204 
1745  16204 

3  18079 

2  1247c 

1  06298 

c 

— 1  0629 P 

i  06909 
i  06172 
i  06998 
1  06298 

j 

CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES. 

179 

o° 

Z", 

DifF.  I. 

Z" 

DifF.  I. 

'P 

Z" 

DifF.  I. 

Z" 

DifF.  I. 

0.00000 

0000 

0 

o.oooco  0000 

0 

45- 

0.04452  43 11 

45 1  7388 

0.01627  0269 

229  8662 

1   ^ 
1 

0.00000 

0000 

10 

0.00000  0000 

0 

46 

o.o4^c4  1699 

483  2410 

0.01856  8821 

254  3119 

2 

0.00000 

0010 

0.00000  0000 

0 

47 

0.06087  4' 09 

5i5  7442 

0.021 n  1940 

280  3937 

^ 

0.00000 

0079 
o33i 

0.00000  0000 

1 

48 

0.06903  i55i 

549  2016 

0.02391  5877 

3o8  ii55 

4 
5 

0.00000 

678 

0.00000  0001 

5 

49 

0.06462  3566 

58'3  56oi 

0.02699  7012 

337  4721 

0.00000 

1009 

^497 

o.coooo  0006 

14 

bo 

0.07005  9167 

6i8  7632 

6.o3o37  1733 

368  4623 

S 

0.00000 

2606 

2899 
5i  1 1 

0.00000  0020 

37 

5i 

0.07654  6799 

654  7487 

o.o34o5  6356 

401  o653 

l 

0.00000 

54n5 

0.00000  oo57 

89 

b2 

0.08309  4286 

691  4602 

o.o38o6  7009 

435  2628 

0.00001 

o5i6 

8387 

0.00000  0146 

i85 

bo 

0.09000  8788 

728  7967 

0.04241  9637 

470  9861 

9 

lO 

1 1 

O.OOOOl 

8903 

1  302I 

0.00000  o33i 

357 

04 

0.09729  6755 

766  7135 

0.04712  9388 

5o8  2116 

o.ooooS 

1924 

1  9333 

0.00000  0688 

64{i 

bb 

0.10496  389c 

806  121 5 

0.06231  1604 

546  8708 

0 . oooo5 

1257 

2  7674 

0.00000  1334 

1106 

56 

o.ii3oi  5io5 

843  9382 

0.06768  0212 

586  8894 

J2 

0.00007 

8931 

3  8419 

o.oocoo  244c 

i8o8 

^7 

0. 12145  4487 

883  0778 

0.06354  9 'Ob' 

628  i836 

1,^ 

O.OOOII 

7050 

5  1969 

o.coooo  4^48 

2844 

b8 

0, i3o28  5965 

922  45 ic 

0.06983  0942 

670  658o 

'4 

0.00016 

q3iq 

6  8"745 

0.00000  7092 

4324 

^9 

0.13960  9776 

961  9662 

0.07663  7622 

714  2068 

10 

0.00023  8064 

89189 

0.00001  1416 

6388 

bo 

0.14912  9437 

1001  6291 

0.08367  9^9^ 

768  7i36 

i6 

o.ooo32 

7253 

1 1  3766 

0.00001  7804 

9200 

61 

0.16914  4728 

1041  0435 

0.09126  6726 

804  0619 

17 

0 . 00044 

1009 

14  2919 

0.00002  7004 

1 

2953 

b2 

0. 16965  5i63 

1080  4108 

0.09930  7245 

85o  0866 

18 

o.ooo58 

3928 

17   7154 

0.00000  9957 

1 

7872 

bô 

0. i8o35  9271 

1119  6320 

0. 1C780  8101 

896  65gg 

19 

0 .  0007b" 

1082 

21  6952 

o.oooo5  7829 

2 

4218 

b4 

0 . 1 9 1 65  459 1 

11 58  3o6i 

0 . 1 I 677  470c 

943  66c8 

20 
21 

0 . 00097 

8034 

26  2802 

0.00008  2047 

3 

2283 

6b 

o.2o3i3  7652 

1196  6322 

0.12621  i3o8 

990  8686 

0.00124 

o83b 

3i  5198 

0.00011  4330 

4 

2400 

66 

o.2i5io  3974 

1234  4^87 

0. i36i I  9994 

io38  1662 

22 

0.001 55 

6034 

37  4627 

0.0001 5  6730 

5 

4934 

6j 

0.22744  806 1 

1271  5342 

0.14660  i'546 

ic85  3373 

23 

0.00193 

0661 

44  1575 

0.00021  1664 

7 

0294 

68 

0.24016  34o3 

i3o7  908c 

0. 16735  49 '.9 

1 1 32  237 1 

24 

0 . 00237 

2236 

5i  65i3 

0.00028  1958 

8 

8920 

^9 

0.25324  2483 

1343  43oi 

0. 16867  7290 

1 178  6726 

25 

0.00288 

874.9 

59  9906 

0.00037  0878 

11 

1290 

70 

0.26667  6784 

1378  0019 

0. 18046  4016 

1224  4392 

26 

0 . 00348 

8655 

%  2199 

0.00048  2173 

i3 

7935 

71 

0.28045  68o3 

1411  6266 

0. 19270  8608 

1269  41 12 

27 

0 . oo4 1 8 

o854 

79  3820 

0.00062  0108 

16 

0090 

72 

0.29457  2069 

1440  9092 

0. 20640  2720 

i3i3  3417 

.8 

0.00497  4^74 

go  5172 

0.00078  9498 

20 

6245 

73 

0.30901  1161 

1475  0676 

o,2i853  6137 

i356  o652 

2.9 

0.00687  984b 

10  266380.00099  5743 

24 

911] 

74 

0.32376  1737 

i5c4  8821 

0.23209  6789 

1397  3980 

3o 

01 

0.00690 

6484 

11  58567 

G. 001 24  4854 

29 

863o 

7^ 

0. 33881  o558 

i533  2964 

0.24607  0769 

1437  1693 

0.00806 

5o5i 

i3o  1284 

0.00154  3484 

35 

5464 

76 

0.35414  3522 

i56o  2177 

0.26044  2362 

1475  1729 

32 

0.00936 

6335 

145  5071 

0. COI 89  8948 

42 

0291 

77 

0.36974  5699 

i585  5671 

0.27619  4^9^ 

i5ii  2681 

33 

0.01082 

i4g6 

162  0184 

o.oo23i  9239 

49  3809 

78 

o.3856o  1370 

1609  2699 

0.29030  6772 

1645  2807 

34 

0.01 244 

1590 

179  6832 

0.C0281  3o4'8 

57  6717 

73 

0.40169  4069 

i63i  2558 

0.30676  9679 

1677  c545 

00 

0,01423 

8422 

188  5187 

o.oo338  9765 

66 

9720 

80 

0.41800  6627 

i65i  4^9^ 

0. 321 53  0124 

1606  4421 

3G 

0.01622 

3609 

218  5378 

0.00405  9485 

77 

5521 

81 

0.43452  1223 

1669  8206 

0.33769  4545 

i633  3o59 

37 

0 . 0 I 840 

8987 

239  7486 

0.00483  3oo6 

88 

8807 

82 

0.46121  9429 

1686  2840 

0.35392  7604 

1667  6191 

38 

0.02080 

6470 

262  i55o 

0.00672  i8i3 

loi 

6266 

83 

0.46808  2269 

1700  8oo3 

0  37060  2796 

1678  9670 

59 

0.02343 

8023 

285  7556 

0.00673  8069 

ii5 

65i4 

84 

0.48609  0272 

1713  3253 

0.58729  2466 

1697  5466 

40 
4' 

0.02628 

5579 

3io  5444 

0.00789  4583 

i3i 

o»99 

8b 

0.50222  3526 

1723  8216 

0.40426  793c 

1713  1690 

0.02939 

1023 

336  5io) 

0.00920  4782 

147  7893 

S6 

0.61946  1741 

1702  2671 

0.42139  9620 

1725  7588 

4"^ 

0.03275 

6124 

363  6365 

0.01068  2675 

166 

0127 

87 

0.53678  43l2 

1738  6o63 

0.43860  7208 

1735  2660 

43 

0  .o363q 

2489 

391  9021 

0.01234  2802 

i85 

7382 

88 

0.55417  0375 

1742  8499 

0.46600  9768 

1741  6117 

44 

o.c4o3i 

i5io 

421  2801 

0.01420  0184 

207 

0075 

89 

0.57169  8874 

'744  9749 

0.47342  6876 

^744  7977 

40 

0.04452 

4311 

45 1  7388 

0.01627  0269 

229 

8562 

90 

0.58904  8623 

0.49087  3802 

.\, 


a8o  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

§  IX.  Intégrale  complète  des  équations  différentielles  du 
second  ojxlre  y  auxquelles  satisfont  les  fonctions  Y  et^  , 
(  art.  45^  i .  p.  )  i  ^  ^  - 

i4o.  Il  s'agit  d'intégrer  complètement  les  deux  e'quations  diffé- 
s^     rentielles  du  second  ordre 

*"      XJ^V^^'^^X.  (l-0^  +  -— .^-Z+— ^  =  0 (2), 

dans  lesquelles  A  =  \/{\  — c*  sin*  (p)  ;  cp  étant  constant,  et  c  étant  la 
variable  par  laquelle  il  faut  exprimer  les  fonctions  y  et  z. 

Puisque  nous  savons  d'avance  qu'on  satisfait  à  ces  équations,  en. 
faisant  j'  =  E(c,  (p) ,  2  =  F(c,(p),  ou  simplement  j^  =  E,  z  =  F, 
nous  pourrons  faire  disparaître  le  dernier  terme  de  chaque  équation, 
en  faisant  j-  =  E  + Y,  z  =  F-f-Z,et  nous  aurons,  pour  déterminer 
Y  et  Z,  les  deux  équations 

(— )7^  +  ^-'-J-^-^Y  =  '' (^). 

(— ■)f-  +  i^^^.f-z  =  o....(4), 

équations  entièrement  semblables  à  celles  qui  déterminent  les  fonc- 
tions complètes  E'c,  F'c.  \ 

i      \^           c-                                      f     ,     ,  du              g*    du       ddu        c"      ddu        i       du 
-<;  o  V.V    Comme  on  a  en  cjeneral    y  = — 1  .  -^,     -j-  =—  .  -^, —  .  -j-, 

^•i     t  ^  de  1}     db  *      de"-         6'"      db^         b^     d^, 

f    ces  équations  dififérenlielles,  rapportées  immédiatement  à  la  variable 
b,  prendront  la  forme  suivante. 

Les  fonctions  EV,  F'c,  ne  sont  que  des  valeurs  particulières  de  Y 
et  Z  ;  mais  nous  allons  faire  voir  qu'au  moyen  de  ces  valeurs  par- 
ticulières, on  peut  trouver  les  intégrales  complètes  des  équations 
(3)  et  (4} ,  contenant  chacune  deux  constantes  arbitraires. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  iSi 
i4i.  Puisque  réquallon  (6)  est  absolument  de  même  forme  que 
re'qualion  (4),  il  s'ensuit  que  si  la  fonction  -^(c)  est  une  valeur  par- 
ticulière de  Z  dans  l'équation  (4) ,  la  fonction  -^(ù)  sera  pareillement 
une  valeur  particulière  de  Z,  dans  1  équation  (b);  et  comme  ces  deux  (  ^  -  - 
e'quations  se  réduisent  à  une  seule,  il  s'ensuit  que  de  la  valeur  par-  "r       V 

ticulière  Z  =  -sj/W  ?  ^^  déduira  l'intégrale  complète  de  l'équation  (4), 
savoir:  1    C  5  «^  ^^      i>  ip  ^  "  <r -^  J 

^=''4W+'^4W (7),  \  .,,      ^>  ,/     „  <v^.  --'-' 

»2  et  «  étant  les  deux  constantes  arbitraires.  \  '    -*  ^  '"^-4*7^' 

La  valeur  Z  =  4 W  ^^V''^  s^'''^^^"'®  ^  ^'^^"^^^^"    l        "*         j '^  "^^^^  ¥ '^\^  '^  3j  Tf^"»^ . 


dans  laquelle  on  suppose  4'=  x">  "^'^^T'  soit  donc 

4  =  A  +  A'c»  +  AV  +  A'"6-«  +  etc. , 
et  en  faisant  la  substitution,  on  trouvera 

A'  =  (i)»A,    A"  =  (J)"A',    A^  =  (f)'A",  etc., 
par  conséquent 

4(.)  =  A  (i  +  -  c«  4-  ,-77^.  ^*  +  -ly^rê".  ^'  4-  etc.). 

Celte  valeur,  en  faisant  A={'^,  est  en  effet  celle  de  la  fonclion 

complète  F'cj  ainsi  de  cette  fonction  complète  supposée  connue, 

on  déduit  très  simplement  l'intégrale  complète  de  l'équation  (4)  ou  ^ 

celle  de  l'équation  (6)  qui  lui  est  équivalente.     :'^f  •?■:::  ^f^  V-^  /S  '^  ^      \  ^-^  "^  ^ 

142.  Il  ne  parait  pas  aussi  facile  de  trouver  l'intégrale  complète 
de  l'équation  (5)  qui  n'est  pas  semblable  à  sa  transformée  (5)  j  ce- 
pendant on  y  parvient  par  les  considérations  suivantes. 

Puisque  dans  le  cas  particulier  où  l'on  a  à  la  fois  Y:=:E'6',  Z=F'<?, 
ces  deux  quantités  sont  liées  entr'clles  par  l'équation     /'  ^w  £  ;:    t>^^  f^^  '  ^ ^)    ^^  cis:  ^ 

il  est  évident  d'abord  que  4(<^)  étant  la  même  fonction  qui  a  été  dé- 
veloppée dans  l'article  précédent,  la  supposition  de  Z  =  4W^  ^^ 

o 


i82  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

ou  simplement  Z  =4 j  donnera  exactement 

valeur  qui  devra  satisfaire  à  l'équation  (3). 

Essayons  maintenant  si  en  faisant  Z  =  4(^)>  la  valeur  qui  en  ré- 
sulte pour  Y,  savoir: 

satisfera  également  à  l'équation  (5).  Si  cela  est ,  nous  connaîtrons 
deux  valeurs  particulières  de  Y,  et  de  là  l'intégrale  complète  de 
l'équation  différentielle  (3). 

Or  en  regardant  4  comme  fonction  de  Z>,  et  faisant  à  l'ordinaire 

#  =  4^  ^^  =  4",  la  valeur  Y  =  ^"4  —  ^c''4',  donnera  d'abord 
mais  si  l'on  change  c  en  Z»  dans  l'équation  (8) ,  on  aura 

.■4"= -(1^)4'  + 4; 


^  =  i-4'  +  H; 
différenciant  de  nouveau ,  on  a 

^X  =  è»4"+3Z.4'  +  4; 
et  substituant  ces  valeurs  dans  l'équation  (5) ,  on  trouve 

c«Z;'4" + Â(  I  —  3^*04' —  ^'4  =  o  » 

équation  qui  s'accorde  avec  les  précédentes.  Donc  en  effet  l'équa- 
tion (5)  est  satisfaite  par  la  valeur  Y  =  ^*4  — ^<?*4'' 

145.  Connaissant  ainsi  deux  valeurs  particulières  qui  satisfont  à 
l'équation  (3)  et  à  l'équation  (5)  qui  lui  est  équivalente,  on  aura 
l'intégrale  complète  de  l'une  et  l'autre  équation,  savoir; 

Y  =  »,'[HW+*v.!^^]  +  «'[*-4W-ic-.^i^] (9), 

w'  et  n'  étant  deux  constantes  arbitraires. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       i85 
Si  l'on  substitue  à  4W>  ^^  fonction  F'c  qui  lui  est  proportion- 
nelle ,  l'intégrale  (7)  pourra  s'exprimer  ainsi 

de  même  l'intégrale  (9)  deviendra 

mais  on  a  ^^  =  i;  (E^c  -  b'V'o) ,  ^-^'^  =  ^,  (E'è  -  c'F'i)  ;  doue 
l'intégrale  complète  de  l'équation  (5)  sera 

Y  =  m'E'c  4-  nXF'b  —  E'b)  -  ^ L -,  û^X  -^  f ^ 

de  là  on  déduit  les  intégrales  complètes  des  équations  proposées 
(r)  et  (2),  savoir:  ^  f  ^  \ 

jr  =  E(^,  (p)  +  m'E'c  +  ;2'(F'^  — E'Z»),   .  r.  G^  |  -^Vcr;:- 


-  ^c  -  Ct 


i 


j  X.  Développement  des  quantités  ^„-^>  ^S*^-»  ^^^^^^^^  ^^^ 
puissances  de  Varc  œ ,  les  nombres  m  et  n  étant  entiers. 

144.  Dans  l'article  160  de  la  quatrième  partie,  nous  avons  donné 
quatre  formules  très -remarquables  pour  développer,   suivant  les 

puissances  de  l'arc  «,  les  quantités  tang«,  cot<3e>,  ^7^,   log  sin  ce. 

Ces  séries  sont  formées  suivant  une  loi  très-simple ,  au  moyen  des 
coefliciens  H,,  H,,  H3,  etc.,  qui  remplacent  avec  avantage  les 
nombres  Bernoulliens,  et  qui  se  calculent  aisément,  soit  par  la  loi 
des  suites  récurrentes,  soit  par  l'équation  S»„=H„7r*". 

On  a  vu  ensuite  dans  l'article  162,  que  le  développement  de  —^ 

dépend  d'une  autre  suite  de  coefficiens  K,,  R»,  K3,  etc.,  qui  se 
forment  par  la  loi  des  suites  récurrentes.  ■ 

Nous  nous  proposons  maintenant  de  faire  voir  qu'avec  ces  deux 
suites  de  coefficiens,  on  peut  dévelop^r  très-simplement  toutes  les 

quantités  comprises  dans  l'une  des  formes—-,  ^— ,  m  et /z  étant 


i84  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

des  nombres  entiers  positifs.  La  quantité  -^-^ ^^—  se   de'compose 

toujours  en  plusieurs  termes  de  cette  forme,  par  l'application  réité- 
rée de  la  formule  t— -— =  -7-^ ! —  :  elle  est  donc  suscep- 

sin    ^y  cos    »  sin^o»  cos"»  '■ 

tible  d'un  semblable  développement.  A  l'égard  du  simple  produit 
sin"*  &)  cos"  û) ,  il  peut  se  transformer  en  un  nombre  fini  de  termes 
de  la  forme  AsinAo)  ou  AcosAi»,  dont  le  développement  est 
connu  et  ne  dépend  point  des  coefficiens  H  et  K. 

145.  On  connaît  les  premières  valeurs  H,,  H^,  H^,  etc.,  par  la 

formule  H„  =  Sa,  f-J  ,  et  par  la  Table  de  l'art.  75,  IV.  P.;  lorsque 

n  surpassera  i5,  on  pourra  négliger  les  termes  de  l'ordre  5^  ,  et  on 

aura  plus  simplement  H„=  —^  fi  +— \etlogH„= — 2n\og7r-\-^, 

m  étant  le  nombre  0,4542944^ ,  etc. 

A  l'égard  des  coefficiens  K„,  leurs  premières  valeurs  sont 

TT  l     TT-  5      ^   _6j_     y.  277_     ^  5o52r 

^»— 2'  ^•—24'  ^2~~72o'  ■^'^""8064'  ^^"^3628800* 

K  ___54£553^     g.^ 
gbooooao  ' 

On  peut  continuer  de  former  ces  coefficiens  par  la  loi  des  suites 
récurrentes,  jusqu'à  Kg  inclusivement j  les  suivans,  jusqu'à  K.^,  se 
formeront  plus  aisément  par  la  formule 

AY"-^'k  _, i-4--^ ?--4-etc 

dont  quatre  termes,  ensuite  trois,  et  deux  seulement,  donneront 
log  K,  exact ,  jusqu'à  la  quatorzième  décimale.  Passé  K,^,  il  suffira 

de  faire  K„=2f-j       .   C  est  amsi   que  nous  avons   construit   la 

Table  suivante  pour  trouver,  aussi  loin  qu'on  voudra  et  avec  Pexac- 
litude  de  14  décimales  au  moins,  les  logarithmes  des  coefficiens  K„; 
nous  y  joignons  en  même  lejns  ceux  des  coefficiens  H.,  calculé» 
avec  i5  décimales. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       i85 


n 

log  H„. 

log  K„. 

1 

9,22184  87496  i6556 

9,69897  00043  56o2 

2 

8,04575  74905  60675 

9,31875  87626  2441 

3 

7,02456  81914  90757 

8,92799  75^85  7950 

4 

6,02456  81914  90737 

8,53592  92499  63oo 

5 

5,02893  :?9968  93187 

8,14370  89054  0759 

6 

4,o343o  83885  54592 

7,75i47  i3222  2278 

7 

3,03992  83811  9465o 

7,35923  18099  5914 

8 

2,04560  86738  44077 

6,96699  20827  8903 

9 

i,o5i3o  39493  31827 

6,57475  233 17  1744 

10 

0,05700  29604  17575 

6,i825i  25779  8926 

1 1 

9,06270  29042  86780 

5,79027  28239  2453 

12 

8,06840  3o8i2  28294 

5,39803  30698  635 I 

i3 

7,07410  53164  24183 

5,00579  33i58  o3i5 

i4 

6,07980  3566i  82144 

4,61 355  55617  4284 

i5 

5,o855o  38195  80455 

4,22l3l  58076  8254 

• 

72 

Tn               1 
—  —  2/ll0g7r 

l0g2— (2/Z+l)l0g^ 

V\  '  i  ^  tj 


•i't^î  -T^ 


146.  La  quatrième  des  e'quations  {d)  (n°  160,  quatrième  Partie), 
donne  le  développement  de  Iogsin<w,  comme  il  suit 

log  sin  ût)  =  log  ^y  —  H.o)*  —  \  H^ce)*  —  f  HgO)^  —  etc.  ; 

pour  avoir  un  développement  semblable  de  logcos^,  je  fais 

Zcosw  =  — N,&)» — N.fri'^  — Nao;^ —  eic.j 

j'en  lire  par  la  différenciation 

tang  ca  =  2N,û)  +  4N.«3  _|_  gNaO)^  +  etc. 

Mais  par  la  seconde  des  équations  (J),  on  a 

itanga=(2*— i)H.û;-f-(2^— i)H,a>3+(2«-^i)H3a>5+  etc.; 


i86  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

donc  la  série  des  coefficlens  N, ,  N»,  N3,  etc.,  se  déduit  de  la  série 

connue  Hi ,  Hj,  H3,  etc.,  suivant  cette  loi 

N'  =  (2"-i)H.,  N,  =  (2^-i)îi%  N3=(2^-0^%  etc., 
de  sorte  qu'on  a 

logcosa)=:— (2^— i)H./y*— (2^— i)?-^^^— (2«  — i)ïï^a;^— etc.; 

c'est  une  cinquième    formule  à   ajouter  aux  formules  (d)  ;  elle  se 
déduirait  également  de  Téquation  sin  2cù  ■==.  2s\n.  cû  coscù. 

147.  Réciproquement  si  Icosa  est  donné  par  la  formule 

l  cos  û)  =  —  N,&)*  —  L^^ee^  —  NsO)^  —  etc. , 
on  en  déduira  immédiatement 

/sia«  =  log«-|«--^'«t-|a.«-||«'-ele., 

l'expression  générale  des  diviseurs  5,  i5,  65,  255,  etc.,  étant  2"" — i. 
Ces  formules  sont  utiles  pour  calculer  avec  un  degré  d'approxi- 
mation déterminé,  les  logarithmes  des  sinus  et  cosinus  d'un  petit 
arc  û).  Ainsi  en  supposant  que  l'arc  co  ne  surpasse  pas  5°,  et  qu'on 
n'ait  pas  besoin  de  plus  de  14  décimales,  on  aura  en  logarithmes 
vulgaires 

log  N,  =  9,35675  43i56  37 

log  N,  =  8,5586o  3o653 

log  N3  =  7.98457  180 

log  N^  =  7,46683  3, 

et  par  ces  coefTiciens,  on  connaîtra  à  la  fois  Is'inco  et  l coscù,  d'où 
l'on  déduira  logtangcij.  On  a  aussi  directement 

H  TT 

Ztangû)=log^+(2* — 2)H,a*+(2^ — 2)  —  &)^-|-(2* — 2)~û)^-\~e{c. 

148.  La  première  des  équations  (d)  donnera  par  des  différencia- 
tions successives 


s  in 


J^  =  ^  —  2H,  —  6H/^»--  loHsO)^—  14HX—  etc., 
T^  =  ^ +  2.3  H.«  +  4.5H3^^ +  6.7  H,a,^+  etc.. 


sin"* 
cos 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       187 

-A.:==^4-f.  +  i.2.5H.  +  5.4.5H3a)»  +  5.6.7H4«'^+  elc. 

4H, —        i2H.a)" —       20  Hs»^-—  elc; 

conlinuant  ainsi,  on  aura  en  géne'ral  le  développement  des  quan- 
lilés  de  la  forme  ;^k-y£^Ê^>  ^^  manière  qu'on  pourra  assigner 
un  terme  quelconque  du  développement  en  fonction  des  coefficiens 
H„.  C'est  ainsi  que  dans  le  développement  de  -:-7-,  un  terme  quel- 
conque Pdt)''",  aura  pour  coefficient 

De  même  par  les  différences  successives  de  la  seconde  des  équa- 
tions (d)j  on  aura  le  développement  des  quantités  — ^^,  — jki^'. 

Et  par  les  différences  successives  de  la  troisième  des  équations  (<:/), 
on  aura  le  développement  des  quantités    .  ....     ,  -^-7,— . 

rr  T  sin   ^    ta     sin     a 

Tous  ces  développemens  se  font  par  les  seuls  coefficiens  Hj,  H^, 
H3,  etc.,  et  un  terme  quelconque  de  la  série  peut  s'exprimer  géné- 
ralement par  un  nombre  déterminé  de  coefficiens  H,. 

149.  Si  à  ces  diverses  formules  on  joint  celles  qui  résultent  des 
différences  successives  de  la  formule 

=  I  +  R,^''  +  K.o)^  4-  Kg»'  +  etc. , 


COS  4) 


et  qui  en  général  feront  connaître  le  développement  des  quantités 
;  tous  les  cas  que  peuvent  présenter  les  quatre  fonc- 


1 


COS  "^    «       C03 

1            I         COS  a      sin  •  /.      .  1,  »•  1 

lions  T-—  y ,  -. —  , ,  n  étant  un  nombre  entier  quelconque, 

sin"  «     COS"  «     sin"  «     cos"  «  *  ^7 

seront  compris  dans   ces  formules  ;  et  comme  îés  deux  fonctions 

,      sin'"»    ces"*  4>  11  l♦•Jli••^ 

proposées — ,^-. -^^r—»    auxquelles    on    peut   joindre   ia    troisième 
— ^^^p- j  peuvent  toujours  se  décomposer  en  un  certain  nombre 


sin"'  a  ces"  a 

de  termes  compris  dans  les  quatre  fonctions  précédentes,  il  s'en- 
suit que  le  développement  de  ces  quantités  sera  toujours  tel ,  qu'on 


i88  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

peut  assigner  un  terme  quelconque  de  ce  développement  par  les 

coefficiens  H„  et  R„. 

i5o.  Soit  par  exemple  la  quantité  proposée  -r-^ j-j   il  faut  lui 

donner  d'abord  la  forme  — -, — 1-  -:— ,  ensuite  — j 

cos"  a  sin  a  cos  a  '  cos'  *  cos  a 

-f-   . — - ,  et  on  appliquera  les  formules 

——=  I  +K,a»"  +  K^a.'^  +  R3û)^+elc., 


cos  « 


=  (2K.  H-5.4K,a»  +  5.6K3«^  +  7.8KX+etc., 
(+14-        K,to'-f-        R.^'f-I-        Ra'^^+elc, 

cos    '•  '  -^"^ — '"^  ^"^ 


-.  =  ;--(^-OH,-(°-^)3H.«--(i^)5H3«<-  etc., 

d'où  il  suit  qu'en  représentant  par  P„fi!J°",  le  terme  général  du  déve- 
loppement de -:-t T-,  on  aura 

'  *•  sin  u  COS''  a  ' 

Lorsque  wsera  devenu  assez  grand  pour  qu'on  puisse  négliger  -^,  re- 

lalivement  à  l'unité,  on  aura  simplement  H„  =  -— ,  K„=  -VaT: }  ^^ 
qui  donne 

/o\2n-l-i  ,  ^     ,  ^     /o\2n-H3  .2 

formule  qui  pourra  même  se  réduire  aux  deux  premiers  termes. 

i5i.  Connaissant  ainsi  le  terme  général  du  développement  d'un 
grand  nonbre  de  fonctions,  lequel,  dans  son  expression,  ne  con- 
tiendra jamais  qu'un  certain  nombre  de  termes  affectes  des  coeffi- 
ciens K„,  H„,  il  ne  sera  pas  inutile,  pour  compléter  ce  point 
d'analyse  ,  de  donner  ici  l'expression  générale  de  ces  deux  coefficiens. 

Pour  avoir  d'abord  l'expression  générale  du  coefficient  R„,  soit 

r=i— cosû)  =  -a)' ~.cà^-{ j-^-y-r^ùù^ —  etc.;  on  aura 

2  2.3.4  a. 0.4-0.0 

-^  =  — ^  zz::  I  -f-r  +  /»  +  r  -{-etc. 
cos  u         1  —  r  • 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      189 

Or,  1°.  dans  le   développement  de  r,  le  coefficient  de  &»*"  est 


(— 0"^'       _     (-0 


ou 


1.2.3.  ..2n'      "''*     r(2«+j)' 

2°.  Puisqu'on  a  r*=j(3 — 4^080) +cos2û)),  le  coefficient  de  <»" 
dans  r*  est 

2r(2/i  +  i)  ^"^         ^>'' 

3°.  Puisqu'on  a/-^=:5:(io  —  i5cosct)-i~6cos2co  —  cos3û>),  le  coef- 
ficient de  û)*"  dans  r'  est 

conlinuant  ainsi  et  rassemblant  tous  les  résultats   dont  la   loi  est 
manifeste,  on  aura  le  terme  général  cherché,  savoir  ; 

i52.  Pour  avoir  semblablement  l'expression  générale  de  H„,  nous 
la  déduirons  du  développement  de  — —  ,  dont  un  terme  quelconque, 
suivant  la  seconde  des  équations  (d),  est  (2" — i)  2H„«y*"~"'. 

Et  puisqu'on  a =  i +r+/'+elc. ,  le  développement  de  ^^^ 

sera  donné   par  celui  des   différens   termes   de   la   série 

sin  û)  +  /■  sin  «  +  r*  sin  co  -{-  r'  sin  co  +  etc. 

Or  1°.  dans  le  développement  de  sina>,  le  coefficient  de  &>•""* 

r(2n) 

2°.  Puisqu'on  a  rsina)  =  ^(2sinûi)  —  sin 20)),  le  coefficient  de  &)""' 
dans  rsin&),  sera 

2r(2n)    K^      ^       J> 

3*.  Puisquoaa/-*sinû>  =  ^r^siaû) — 4sin2a>-J-(sin3(i) — sino))"], 

P 


^ 


190  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL, 

le  coefficient  de  ^'"'~'  dans  r'sino),  sera 

4*.Deceque/-^sin&)=^|-^-^sinû) ^sin2û)+6(sia5«— sin^y)! 

[  — (sm/^ct) — sin2û))) 

il  s'ensuit  que  le  coefficient  de  a*""*'  dans  cette  quantité  sera 

8r(2«)    L  2.3  2  '      ^  ^      \-^  ^J 

La  loi  de  toutes  ces  quantités  est  facile  à  saisir,  elle  dépend  de  Tex- 
pression  générale  de  T'usina),  ou  (i — cos &))*  sin  « ,  en  sinus  des 
multiples  de  l'arc  &>;  et  la  somme  de  tous  les  coefficiens  étant  éga- 
lée à  (2"" —  i)2H.,  on  en  tire 

4.1(3— -1-4.2*"-'+^) 

-  i[4»n-.-2"-'-6(5  — -0+^^2— -5^-^] 

+  -L^  r5=>n-._5«-._8(4'"— -2»"— )+^  (3»"—- 1  ) 

a. 3   -^       ^  2.3.4  J  — «^<^-/- 

Dans  les  applications,  on  devra  calculer  autant  de  lignes  horizon- 
tales de  la  formule,  qu'il  y  a  d'unités  dans  «3  toutes  les  autres  seront 
nulles. 

i53.  D'autres  manières  de  développer  les  mêmes  fonctions  pro- 
duiraient des  résultats  d'une  autre  forme  pour  l'expression  générale 
des  coefficiens  K„,  H„.  Nous  avons  trouvé,  par  exemple, 

Zcosû)=— (2»— i)H,a)*— (24--i)îiî,û)4— (2«— i)2^û)«— etc.; 

d'un  autre  côlé, 

/cosû)  =  ^/(i  —  sin*û»)= — isîn*a) — ■Jsin'*<&; — |sin^û> — etc., 

l'expression  générale  du  coefficient  H„,  se  trouvera  donc  par  celle 
du  coefficient  de  w^""  dans  la  suite  Ysin*a)4-:^sin^a+^sin^a>-l- etc. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       191 
Or,  1°.  puisque 

isin»«  =  ^(i  —  cos2a))  =  i(i.  2*0)»-- ^-^2*^^-1- etc.), 

le  coefficient  de  o)*"  dans  le  développement  de  ^sin^o»,  sera 


1        (-iK-^^^an. 


2'.  Puisque  ^sm^cû-= — -^  (3  — 4^08  2a>  +  cos  /^a>),  le  coefficient 
de  û)'"'  dans  le  développement  de  cette  quantité,  sera 

S+.2  *  r(_27i+0^  ^^ 

5".  Puisque  ^sin^&)=;5^ — g(io — i5cos  2&)4-6cos4û!) — cos6ù>),  le 
coefficient  de  &>""  dans  le  développement  de  cette  quantité,  sera 

26.3-  r(2/i+iA  ^.4    -i-  ^    .2    ^. 

Ces  expressions  suivent  une  loi  très-simple,  et  il  en  résulte  immé- 
diatement la  valeur  du  coefficient  H„,  savoir  ; 

■"«  — (2— -i).4rCa/i4-oL         ^*2^^^       ^'^  > 

-i.l(8--8.6^-+^^.4-+^#..--) 

+etc.^, 

et  parce  que  X{7.n-\-\)-=.:inY{^n) y  cette  formule  peut  être  réduite 
comme  il  suit  ; 

-i.I(4"- 8.3-4-  ?^..--^') 
nouvelle  forme  à-peu-près  aussi  simple  que  celle  du  coefficient  K, 


192  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

154.  Considérons  encore  la  formule 

dont  le  second  membre  peut  être  aussi  représenté  par  sina+^^sin'a 

+^sin^a)+etc.;  pour  avoir  le  terme  général  de  son  développement 

■1/ „ 
— ; — a'""*"*,  tout  se  réduit  à  chercher  le  coefficient  de  a*""^'  dans 

271+1  ' 

chaque  terme  de  la  suite  sin&)4-îsin^<îe5  +  |sin^&)+€lc. 

Or.  1°.  danssmojjCe  coefficient  est  -7 — r-x\ 

'  '  r(97i  -f-  2)  ' 

2°.  Puisque  |sin^û)  =  g-— (Ssina  —  sin5û)),le  coefficient  de  a>*"**"* 
dans  le  développement  de  cette  quantité,  est 

__>__- J fZin-hl KN  . 

3.2^^(27l  +  2)    ^^  >*' 

Z".  Puisque  |sin^a)=  p-—(iosinû) — 5sin5a)+sin5û)),  le  coef- ' 

fîcient  de  ûj'""^'  dans  ce  terme  développé,  sera 

( A" 

La  loi  de  ces  expressions  étant  manifeste,  on  en  déduit  celte  nou- 
velle valeur  du  coefficient  K„, 

+  etc.]|, 

laquelle  comparée  à  celle  de  l'art.  i5i,  fournit  des  identités  assez 
remarquables. 

i55.  La  conclusion  générale  que  nous  tirerons  des  formules  dé- 
montrées dans  ce  chapitre  ,  est  que  lente  quanllté  de  ia  forme 

P 

~,  dans  laquelle  P  est  une  fonction  rationnelle  et  entière 


6in    «  cos  « 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  iqS 
de  s'inca  et  cos»,  étant  développée  suivant  les  puissances  de  a>  , 
on  peut  toujours  assigner  un  terme  quelconque  du  développement 
par  le  moyen  des  coefficiens  K„,  H.,  dont  la  loi  est  connue.  La 

sin'"a,co6^  >  prise 
depuis  û)  =  o,  laquelle  comprend  une  infinité  de  transcendantes; 
on  suppose  les  nombres //^  et  n  entiers  et  i  positif. 

Parmi  les  plus  simples  des  transcendantes  comprises  dans  cette 
intégrale  générale,  se  trouvent  /sino»,  Icosa,  /tangco,  /(i-f-cos&^) 

c=2/cos7û),  /(i — cosû))=2/sin-iâ!) ,  /(i-|-sin&))=Zcosaj-|-/r-^— .— j, 
l(i  —  s\nct>)=lcosa> — 4  l(- — ^— j ,  etc. 

^  ''  \i  — sin  a/  ' 

On  pourrait ,  par  de  semblables  procédés ,  trouver  la  loi  générale 

du  développement  des  quantités  de  la  forme  — -■ ,  — ; ,  ce 

qui  conduirait  à  des  résultats  plus  généraux  sur  le  développement 
d'une  fonction  rationnelle  quelconque  de  sinco  et  cosco;  mais  les 
coefficiens  par  lesquels  on  pourrait  représenter  les  termes  généraux 
de  ces  développemens,  n'auraient  plus  rien  de  commun  avec  H»  et 
K„,  si  ce  n'est  la  forme  de  leur  expression  générale. 

§  XI.  Réduction  de  la  formule  qui  exprime  la  fonction  Yjp , 
dans  la  méthode  des  modules  croissans. 

i56.  La  formule  dont  il  s'agit  est  celle  de  l'art.  i25  ci-dessus; 
nous  l'avons  déjà  simplifiée  fart.  124),  dans  la  supposition  que  b'^ 
et  è'^tang^tp' soient  négligeables;  mais  quand  on  la  laisse  dans  son 
état  de  généralité,  pour  obtenir  tel  degré  d'exactitude  qu'on  vou- 
dra, le  calcul  en  est  long  et  difficile.  Nous  avons  donc  recherché 
les  moyens  d'amener  celte  formule  au  dernier  degré  de  réduction 
dont  elle  est  susceptible,  et  nous  y  sommes  parvenus  de  la  manière 
suivante. 

Après  avoir  formé  la  série  des  modules  croissans  ^,  <?',  c",  et 
celle  de  leurs  complémens  A,  b' ,  V\  il  faut  calculer  la  suite  des 
amplitudes  décroissantes  (p,  9',  <p",  jusqu'à  une  limite  qui  est  dé- 


Ï94  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

terminée,  ainsi  que  celle  des  modules,  par  le  degré  d'exactitude 
qu'on  peut  obtenir.  Ces  amplitudes  se  calculent  directement  par  les 
,         ç^  équations  sin(2(p'' — (p)  =  cs\n^ ,  sia(2(p" — (p')=c' sm(p',  etc.;  mais, 

^1  -  1*^  quand  on  est  parvenu  à  celle  de  ces  équations  où  le  c  correspon- 

dant est  trop  peu  différent  de  l'unité,  il  convient  de  la  remplacer 
par  l'équation  correspondante  de  la  suite  tang((p  —  <^')  =  ^' tang.  (p', 
tang((p'  —  (p")  =  b"tang<p",  etc.,  d'où  Ton  peut  tirer  facilement  plus 
d'exactitude. 

Connaissant  ainsi  la  limite  O  de  la  suite  (p ,  (p\  (p",  que  nous  sup- 
poserons, par  exemple,  se  confondre  sensiblement  avec  le  qua- 
trième terme   <p"\  on  aura  la   valeur   de   Y(p    par    l'équation 

F(p  =  Rlog  tang  (45°-f-^0)  ,  dans  laquelle  le  logarithme  est  hyper- 
bolique ;  prenant  donc  dans  les  Tables  le  logarithme  vulgaire 
/lang(45°+:iO)=H,  on  aura  F(p  =  K.MH;  quant  à   la  valeur  de 

K,  elle  est,  comme  on  sait,  K=  \/\^c  d'c'^\ 

iSj.  Venant  ensuite  au  calcul  de  E(p,  la  formule  générale  de 
l'art.  123  pourra  être  représentée  ainsi 

E'p=zVF(p-\-'Pcsm<p, 

et  il  s'agit  de  calculer  les  deux  termes  dont  elle  est  composée. 

Le  premier  se  trouve  facilement  par  la  valeur  déjà  connue  de 
F(p  et  par  le  coefficient  L'  que  nous  avons  déjà  réduit  à  la  forme  la 
plus  simple  dans  le  calcul  des  fonctions  complètes  (art.  ig).  Tout 
se  réduit  donc  à  chercher  la  valeur  de  P. 

Or,  en  faisante?  —  <p'  =  ^/,  (?'  —  $"=«",  ®"— (p'"=û>%  etc.,  on 
am'a  les  équations  tangû)'=Z''lang(p',  tangce)"=Z'''tangp",  etc.;  lapre- 

mière  donne  sin(p=:sin(^'-|-ie)')=(i+Z'')sin(p'cosûe)'=  -^-sin^p'cos»', 

yc 

et  on  en  déduit  successivement 

•     ^r  l/c      sinffl         .        .,  t/c      sin  q>         l/c      \/c  sin  (p 


C         COS  a  ^  C  cos  u  c  c  COS  m    COS  a 

■  sin  r=  ^'r  .  ^i  .  ^-  .  — ^^ T.,  elc.  ; 

C  ce  COS  0)    COS  »    COS  «     '  ' 

substituant  ces  valeurs  dans  la  formule  de  l'art.  laS,  on  aura  d'abord 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      ig5 

_  ,    ay/c     6'  -f  1  —  C03  '■>' 

3         Q\/c         6"  4-  1  —  C"3  u" 
"•      c'   '       c"      '        COs  a'  cos  ai" 

9         £        2|/£;  ^"^  +  1  —  COS  a;"' 

"•     c^  *  c"  *      c'"      '  cos  »'  cos  «"  cos  «'* 

+  etc. 
Mais  la  quantité  ^~  (â'  +  i  — cosû)')  =  2 — (i  +  c)  cos  &>',  et  les 

autres  quantités  analogues  se  transforment  de  la  même  manière,  de 
sorte  qu^on  aura 

Q (l  4-  c)  cos  4»' 


C  + 


cos  « 


,      2         2 (l  -^  c)  cos  •>" 

'   I       ~7     •  /  Ti 

C  ces  «  cos  ca 

9  9         2  —  (l  +  c")  cos  *>'* 

^^  c'     *    c"    '       C06  «'  COb  «"  cos  <u'* 

H-  etc. ; 

,         j  .  .  ,     2 (l+c)C0S«'  ,,     .  ^,2 C0S«' 

les  deux  premiers  termes  en ^ ,- se  réduisent  a -—  ; 

^  '  cos  «  cos  « 

xi.  •  ^3         2 (l  -f-c')   COS  «"      I 

en  y  loignant  le  terme  suivant  -7  . > — -, —    „        ,  la  somme  est 

J     '       O  c  cos  U   cos  M  ' 

,     2        2 — co«<v"        .  1     /„  .  4         2 — (i+c")cos«'* 

— 14--7-. ; ;?;  aioutant  encore  le  4^  terme -tt;  • 


co.-ai  cos«        '  ce         cos»  COS»  cos» 

1  ..  2,4  2  —  COS  »"  ^  j 

la  somme  est  ^ —  i -, ,  -f-  -rs  •  -, » s  ;   un  terme  de 

c  COS  »  ce  cos  »   COS  »    COï  » 

plus  donnerait  semblablement  la  somme 

8(9— COS»") 


~  "r"    '„", 


e  cos  »  ce  cos  »  cos  »  c  c  c  cos  »  cos  »  cos  » 

et  ainsi  de  suite. 

i58.  Supposons  maintenant  qu^à  cause  de  la  diminution  très^- 
rapide  des  angles  &)',  dw",  «'",  etc.,  la  différence  i — coso)'"  soit 
négligeable,  on  aura  en  même  temps  avec  une  exactitude  suffisante 
c"'  =  i,  cosa'"=i,  ce  qui  donnera 

P  =  J-  — i.— , 

r  r  r  '  ■ 

en  faisant  pour  abréger  /•'  =  c'cos^',  r"=c" cos co". 

Dans  la  même  hypothèse,  on  doit  regarder  comme  négligeable  la 


196  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

quantité  (i — /")%  de  sorte  qu'on  pourra  faire   i — 2/'"-f-r"*=:o, 

ou  -ff  —  I  =  -^  j  ce  qui  réduit  la  valeur  de  P  à  deux  termes  seu- 
lement, savoir  ; 

p     =     -2 T  . 


r  r 


Supposons  log;V= — t,  t  sera  presque  toujours  une  quantité  fort 
petite;  cette  quantité  étant  donnée,  on  en  tirera  /•'/•"'= ej 

P=2e^'— i  =  e^^ï^[i  — (i— e-^ï^)T;    donc 
logP=2i— m(i— e-^^')^--|/7i(i— e-^^')^— jw(i  — e-^')s-.etc.; 
et  en  développant  jusqu'aux  t^  seulement , 

log  P  =  2«  —  Me  4-  M.H\ 

Cette  formule  sera  très-commode  pour  calculer  le  second  terme 
Pcsincp  de  la  valeur  de  F(p,  si  toutefois  les  quantités  de  l'ordre  t\ 
peuvent  être  négligées. 

iSg.  Si  l'on  veut  pousser  l'approximation  plus  loin,  et  qu'on  re- 
garde seulement  comme  négligeable  la  quantité  i — cos  &)*',  ainsi 
que  I  —  c'",  la  valeur  de  P  deviendra 

*       '^  —  r'r'r'  r  r"  /  ' 

et  parce  que  dans  le  même  cas  on  peut  regarder  comme  nulle  la 
quantité  (i— «/'")%  ce  qui  donne  -r„  —  1  =  -^,9  on  aura  plus  sim- 
plement 

P  =  -A ^_  I 

■•-       ■  t     II    Wq.  J  *  • 

jr    j-    j-     2.  j. 

Pour  faciliter  le  calcul  de  cette  formule ,  on  pourra  profiter  de 
la  réduction  indiquée   dans  l'article  précédent,  en  l'appliquant  à  la 

quantité  P'=  -77^  —  i  ;  on  aura  ainsi 

P=--i; 

qP  c  sin  (D  • 

alors  le  terme  Pcsincp  se  réduit  à  ; csinp;  et  parce  que 

/•  =^'cosû)'=^'-5^,  on  aura  simplementPcsin9=P'.2  v/csia<p'-csin(p, 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       197 

ce  qui  dispensera  de  calculer  cosse)'.  De  plus,  comme  csin^=sin6sin^ 
z={cos(Q  —  <p)  —  ^cos(ô  +  ^),  on  voit  que  dans  beaucoup  de  cas, 
cette  quantité  pourra  se  trouver  immédiatement  par  la  Table  des 
sinus  naturels. 

Au  reste  il  est  très-remarquable  que  la  valeur  de  E(p,  ainsi  re'duite 
par  plusieurs  transformations  successives,  se  déduirait  immédiate- 
ment de  l'expression  de  G,  tom.  I,  pag.  io5,  en  faisant  .B= — c% 

elsubstituant  les  valeurs  sin<p'=  14^  .   iïfi^    cin(p"==  ^^  .  ^  ^'     etc. 

c  cos»  c         cos«    ' 

Nous  observerons  enfin  que  la  valeur  de  P  peut  aussi  s'exprimer 
par  cette  série  convergente  : 

'^    i^        /  i^       /j."       n        r'r"r"       "^  <="'•> 

au  moyen  de  laquelle  l'approximation  peut  être  poussée  aussi  loin 

qu'on  voudra.  Les  deux  premiers  termes  se  réduisent  à  4  —  i  ; 

quant  aux  suivans,  qui  décroissent  rapidement,  ils  sont  faciles  à  cal- 
culer par  les  formules  logr= — t,  log(i — r)=:log(M^) — jZ+-î^Mi*. 

160.  Exemple  I.  Supposons  qu^on  veuille  calculer,  avec  toute 
l'exactitude  que  comportent  des  Tables  à  14  décimales,  les  fonctions 
F(?  et  E(p,  pour  le  module  <?=sin8i°  et  l'amplitude  (^=^5", 

Il  faut  d'abord  tirer  de  la  Table  VI  (*)  l'échelle  des  modules  et  le 
logarithme  de  R ,  comme  il  suit  ; 

c 9,994^1  99270  65o8  b 9,19433  24415  5701 

^''"  9>99999  16689  %5S  ^' 7>79ï96  S3o22  3974 

^"••-  9.99999  99999  ^002  b"....  4,98188  49441  5219 

K...  0,00268  58709  3716  b'"  ...  9,56170  98969  9640 


(*)  La  Table  VI  contient  l'échelle  des  modules  et  le  logarithme  de  K  ,  pour  tous 
les  angles  du  module  qui  ont  servi  à  construire  la  Table  des  fonctions  complètes , 
c'est-à-dire  ,  de  dixième  en  dixième  de  degré,  depuis  o°  jusqu'à  i5°,  et  de  demi- 
degré  en  demi-degré,  depuis  iB"  jusqu'à  45°.  Cette  même  Table  donne  les  modules 
croissans  c,  c,  c",  etc.,  et  leurs  complémens  6,  b' ,  b",  etc.,  de  45°  à  30°;  il 
eufilt  pour  cela  de  prendre,  au  lieu  de  l'angle  du  module,  son  complément  à  go", 
et  d'échanger  entr'elles  les  lettres  c  et  b,  en  substituant  les  signes  '  aux  signes  % 
comme  on  l'a  fait  dans  cet  exemple. 

9 


igS  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

On  procédera  ensuite  au  calcul  de(p'parre'qualionsin(2(p' — <p)=:cs'm<Pj 
et  par  les  formules  ordinaires  pour  l'usage  des  Tables. 

c 9,99461  99270  65o8  angle  cherch.  2(p'  —  <p  =  A, 

sin  (p 9,98494  37781  0267  angle  approc.     a  =    72°  56 ," 

sin(2<p'— (p)  9,97956  37o5i  6775  2^=145.12, 

sin  a 9,97956  26352  3206 

;•  =     10699  3569 
/sin  A=  /sin  o  +  r, 


I  rns*  n 


cos"  a 


A                I           •             /       I           ,       .      4  —  2  cos  3a\  , 
A=â!-f-/7Sm2â  f  I  •■\-p  +/?' .  -^ g K 


r 4,02955  76746    a  +(1)  ==  72°,56o44  93265  4442 

iM 0,06118  56950  4   (2) 61  6186 

sec*  « 1,04660  65o3o  5   (5)....  16 

•p 5,15714  98706  7   3(p'  —  (p  =  72,56044  95525  0644 

sin  2« 9,75728  95795  8       (p=  j5 

R° 1,75812  26524  I       <p'=  75,78022  46662  5322 

(i) 6,65256  i8824~6 

P •  •  •  5,15714  987 

(2) 1,78971  175 

P 5,13714  987 

J — Jcos2a  0,27421  200 

(5) 7,20107  56. 

La  valeur  de  (p'  réduite  pour  les  Tables  a  dix  de'cimales,  savoir; 
<p'  =  73''46'48"58o88,  servira  à  calculer  par  l'ëquation  sin(2<p" — ip') 
=  c'sin(p',  une  première  valeur  approchée  de  <p";  cette  valeur 
(p"=  75*  46' 42",oo876,  étant  substituée  dans  le  second  membre  de 
l'équation  tang  (cp'  —  <p")z=b"  lang  (p",  on  en  déduira  facilement  une 
valeur  beaucoup  plus  approchée  de  <p'  —  (p";  faisant  pour  cet  effet 

A"tangcp"=;;,  on  aura  (p'  —  (p"=R7?  fi  —  ^j;  en  voici  le  calcul  ; 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       199 

V 4,98188  49441  5    (i)  . . . .  =  o°,ooi88  88989  5528 

tang(p".  0,53620114985    (2) ~-    68 

p 5,5 1808  60939  8    (p'  —  (p"   =  0,00188  88989  546 

R» 1,75812  26324  I        (?>'    73,78022  46662  532 


(i) 7,27620  87263  9        (p"  =  73,77833  57672  986 

p^ 1,036172188      (p"--(p'"=  45293 

i 9>^^^^7  8745         (p'"=  73,77835  57627  693; 

(2) 7,83525  966 

la  différence  <p"  —  (p'"  a  été'  calculée  semblableraent  par  l'équation 
<p" — ^''"  =  R°Z''"tang<p'".  Il  n'est  pas  nécessaire  d'aller  plus  loin,  et 
ou  peut  prendre  a^'"  pour  la  limite  $,  ce  qui  donnera 

45»  +  i^  =  8i%889i6  78813  8465. 

Soit  fl!=:8i°,89,  j:  =  o%ooo83  21186  i535,  on  calculera  la  valeur 
de  H  =  /  tang  {a  —  x)  par  les  formules 


p  =  -. ,   /  tang  {a  —  x)-=:.l  tang  a 


sin  aa 


> 


Î2  +  2  cos*  2a\ 


r=  2W/7  Tl  -\-p  COS  2â5-j-yr?'  . ^ ., 

on  aura  ensuite  F<p=KMH;  voici  ce  calcul  : 

VCx 6,92018  52377 

R' i,758i2  26324  az=z  8i%89  (i).  0,00004  5i6ii  6o334 

X 5,16206  26053  2^=163,78  (2).            —        22  54633 

sin  2â5 9,44611   18205  (3).            +                  i56 

V 5,7159507848"  /•  =  0,00004  5x589  o586 

am.... ..   9,93881  43070  langâ!         0,84618  77314  7040 

(0 5,65476  509^8  H  =  ^4614  25725  6454  ' 

V 5,71595  07848 

C0S2«.  ...    9,98236    00014 

(3) r, 35307  588~  H. . .  9,92744  35465  6285 

5,65476  5i  M...  0,56221  ^Çi^'^Çi   9946 

P" 1,45190  16  R...  0,00268  58709  5716 

f-f-fcos»2â!  0,10765  70  logF?>  =  0,29234  5i"ô6i  9945. 

(5) 7,^9432  37 


20O  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

i6i.  Connaissant  ainsi  logFtp,  nous  allons  procéder  au  calcul  de 
E(p=L'F(p-}-Pc?sin(p.  La  première  partie  dépend  du  coefficient  L' 
qui  se  calcule  par  les  formules 

L'  =  i  b'Ki .  {c")i  (.-,■),    r = i  .  *^g  ; 

il  en  résulte 

logL' =:  8,08897  78160  8327 

lF<p 0,29254  5io6i  994^ 

8,38i32  29222  8272 
L'F^ =  0,02406  i5i24  3297 

Pour  avoir  la  valeur  de  F ,  il  faut  reprendre  les  valeurs  trouvées 
de  a',  a>"y  c»'",  savoir: 

û)'  =  cp  —  (p'  =  i°2i977  53337  468, 
a>"  =z  (p'  —  cp"  =  0,00188  88989  546, 
a>"'  =  ç"  —  <p'"  =  0,00000  00045  293, 

et  calculer  les  logarithmes  de  cos^',  cosa>",  cos  û>"',  par  la  formule 
du  n"  i47,  voici  le  calcul  du  premier: 

•'    8,328157214414       «'+3,3126288  (1) =  0,000038416687719 

«'»    6,6563i  44288  28  8,5586o  3i  (2) 74  ^4^6<^ 

9,55675  45i56  37        (,)  1:^3-1^  (3) , ?9? 

(0  5,99306  87444  65        t>'^  9,96894  i:cos«'       0,00009  84241  2278 

7,98457  lie' 0,00000  833io  4062 

(3)  7,95351  1:/ 0,00010  67551  6340. 

Le  calcul  de  cos^y"  se  fera  par  un  seul  terme,  comme  il  suit: 

û)" 5,5 1808  609  I  :cos  .v" 0,00000  00002  56o2 

o)"* 1,03617218  lie" ^99^ 

9,53675  4^2  j.^// 0,00000  00002  5599. 

(i) 0,57292  65o 

A  l'égard  de  «",  la  petitesse  de  cet  angle  permet  de  négliger  entiè- 
rement I  — coso)'",  ainsi  que  i— c*,  ce  qui  donne  r"'=i.  Amsi 
la  valeur  de  Pc  sincp  se  réduit,  dans  ce  cas,  aux  deux  seuls  termes 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      201 
~^^csm<p.  Voici  le  calcul  du  premier: 

2 o,3oio2  99g56  6398 

csincp...   9,97956  SyoSi   6776 

jlr' lO  67551   6340 

1  :/•"*.. .  .  5   1198 

Z 0,28070  o4565  071 1         Z  =  1,90853  64403  8184. 

Le  second  terme   csinip,   ou  sîn8i°sin75%  est   la   même    chose 

que  ^sin  84°+-^sin66%  dont  la  valeur  se  trouve  immédiatement 

par  la  Table  III,'  =  o,954o3  36765  o544  ; 

de  ces  deux  termes  résulte  Pcsîn^=  o,9545o  27638  7640 

d'ailleurs  on  a  déjà  trouvé  LT(p  =  0,02406  i5i24  3297 

donc  la  fonction  cherchée  Ecp  =  0,97806  42763  0937 

d'ailleurs  le  logaril.  connu  deF(p  donne  F(p  =  1,96040  1861 3  8371. 

Dans  cet  exemple  où  le  nombre  t  =  —  logrV"  est  assez  petit, 
on  aurait  pu  abréger  le  calcul  de  la  partie  Pcsin<p  par  la  formule 
de  l'art.  i58  comme  il  suit  : 

t =  0,00010  6j556  7538        t 6,02839  09724 

/' 2,05678  1944s 

3tt =0,00021  35ii3  5076        M 0,36221  56887 

M«' —      ^6^  4204        Mt\ . . .  2,41899  76335 

M'i' + 645        ]y[.^3 ,  . .  8,80960  43. 

P 0,00021  3485i   i5i7 

csincp 9,97956  37o5i   6775 

Pcsiucp....  0,97977  11092  8292 

On  lire  de  là  Pc  sin(p=  0,95450  27638  7645,  résultai  qui  ne  diffère 
du  précédent  que  dans  le  quatorzième  chiffre  dont  l'exactitude  est 
toujours  incertaine,  tant  par  l'erreur  des  tables  que  par  celle  des 
parties  proportionnelles. 

162.  Nous  remarquerons  que  lorsque  le  logarithme  i  est  aussi 
petit  que  dans  l'exemple  précédent,  on  peut  calculer  la  partie 
Pc  sin  <p  de  la  valeur  de   E^ ,  d'une  manière  encore  plus  simple 


'202  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

que  par  la   formule    de  l'article    i58.    Car    faisant   toujours....- 

f=. —  log  (r'r"),   ce    qui    donne    ;•'/•"*  =  e~^%  on  aura   v-^  —  i 

=  26^* — i;  soit  celte  quantité  =  i  +z,  afin  qu'on  ait  Pcsin(p  =  csin(p 
'-\-czsin(p;  de  la  valeur  z=  2  {e^^ —  i  )  =  aeî^^^  (e^^^ —  ^—\m>^ 
=  2Mt .  e^^^  (i  +  r?  M'Z''  +  etc.) ,  on  déduira 

log  s  =  log  (2MO  +  T  «  4- r?  Mi%- 

par  cette  formule,  on  calculera  facilement  le  petit  terme  czsincp  qui 
doit  être  ajouté  à  csincp;  en  voici  l'application 

logf...  =  6,0285g  09724         (i)....  =  0,00046  90873  7106 
/2M...  =  o,66324  56843  6     csin^p..         0,95406  '36765  o544 

î' ^  55778  4    TcsiiKp  =  0,95450  27638  765Ô. 

r^Mf».. 10  9 

logz...  =  6,69169  oo356  9 
Z(c7sia<p)         9,97956  3705 1   7 

(1)....         6,67125  37408  6 

Ce  résultat  s'accorde  encore  avec  les  précédens,  aussi  bien  que 
cela  peut  être,  en  n'employant,  pour  le  calcul  des  parties  acces- 
soires ,  que  des  logarithmes  à  dix  décimales. 

i63.  Exemple  II.  Soit  proposé  de  trouver  les  fonctions  F^,  E:p, 
pour  l'amplitude  (^  =  45%  et  le  module  sin48%  dont  les  élémens 
sont,  d'après  la  Table  VI, 

c 9)87107  34581  435i  h 9,8255i  08951  7436 

c'....  9,99523  52536  94i3           ^'....  9,i6835  48482  6552 
c" 9î99999  34601  5285  V' 7,73940  33718  i465 

c'"....  —    I23l'  y\,.,    4,87675    32981    2!^^']. 

R. . . .  0,06207  66278  /^S^^^ 
Voici  d'abord  le  calcul  de  <p'  et  sin  ç'. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      20Z 

c 9,87107  34581  4^5i     «=3i°70  ^r.   4,66i3o  62942 

siiKp 9,84948  5oo2ï   6801  2a=63.4o  M.  0,36221  66887 

sin(2(p' — (p)  9,72055  84063  II 52 

«ï-}-Ci)=  3i°42'2'',68962  8207 
(2)+(3)   5  9224 

2<p' (p=  31.42.2,  68966  7431 

(p'=  38.2I.I,  54483  37155 


séc'a,  o,i4o33  36969  i 

p 5,i6385  46788  I 

sm2a. . .  9,95i4i  24387  4 

R" 5,31442  5i35i  8 

(0 0,42969  22607  5 

p 5,i6385  468 

(2).... 
P 

•|C0S2â!. 


(3) 


5,69354  695 
5,i6386  47 
0,01486  78 

0,77226  94. 


Pour  avoir /sintp',  on  fera  «=38' 35=38' 21',  Jt7=:i'',34483  37166, 
q>' =:z  a -\- X ,   et    on    appliquera  la    formule    lsin(a^x)=  Isina 

/  ce  ÛO  \ 

«4-/WX col  a\\ : \- .  \ X cot « ) :  en  voici  le  calcul  ; 


R"x...  0,12866  86884  8 
R" 6,31442  6i33i  8 

X 4^142^34555 

m Qj^^??^  4^1  ï  3 

cota...   0,10173  00006  9 


sin  a. 

(2).. 

sin  cp' 
c'... 


9,79271  63579  4647 
4-  56789  6760 
•— 2398 

9>7927i  99168  9009 
9,99623  52656  9414 


sin  (2(p"— <p')  9,78796  51706  8423. 


(i) 4j56375  77670  9 

X 4,81424  34553 

i:sin2a  0,01180  7328 

(2)....  9,37980  866"" 

D'après  cette  valeur  de  Zsin(2^'' — <p')^  on  trouve,  en  suivant  tou- 
jours les  mêmes  procèdes , 

2(p'  — .  (p'  =  37'6i'26",984o9  5255 
(P'  =  58.21.    1,54483  5716 

76.12.27,52892  6960 
ç)"  =  58.  6.15,66446  5476; 

on  a  ensuite  pour  déterminer  (?'"  l'ëquation  siu(2(p'"— (p")=c'sin<p''  ; 


2o4  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

mais  à  cause  de  la  petitesse  de  l'angle  (p" — (p"'=.où"',  il  est  préférable 
de  déterminer  (p'"  par  l'équation  tang  ((?)" — (p'")==^'"  tang(p'",  ou  sim- 
plement (p"  —  (p'"  =  V\!'b"'  tang <p"'.  Pour  cela,  on  substituera  d'abord 
dans  le  second  membre  la  valeur  approchée  (p'"  =  38°6'  lo",  ce  qui 
donnera  où'"  =  i",2i78,  et  <p"'  =  58°  6'  i2",4466.  Au  moyen  de  celte 
seconde  valeur,  qui  a  toute  l'exactitude  nécessaire  pour  les  tables 
à  dix  décimales,  on  trouvera  plus  exactement  (p"  — <p'"=R"^"tang(p'" 
=  i",2i787  8424.  Enfin  la  différence  <p"'  —  {p"'  =  a)'''  se  déduira 
de  l'équation  «'^  =R"^"tang  (p'%  ou  simplement  a>'' zzz  a>"' .  ^  b'" ; 
car  on  peut  supposer  dans  le  second  membre  tang  (p"'  =  tang  (p"\  et 
h^-*  =  ^  (b"'y.  Voici  ces  derniers  calculs  d'où  l'on  déduit  la  valeur 
de  <p''  : 

b'" 4,87675  02921  2        <p"  =  38°6' i3",66446  3475 

tang  (p'^'  9,89442  55ii2  5        0)'"=  1,21787  8424 

R"  . . . .  5,31442  5i35i  8        ^m  _  38.6.12,44658  5o5i 

a>"' o,o856o  39365  5         a>'' =  22924 

i  Z^'" . . .  4,27469  33  ç>,v  _  38.6.12,44658  27586. 

&)'' ....  4j^6o29  72 

On  peut  considérer  (p"'  comme  étant  la  limite  des  angles  décroissans 
<p,  (p',  <p",  etc.;  ainsi  on  aura 

H  =  log  tang  (45°  +  W")  =  ^  tang  (64*  3'6",22329  1079). 

Pour    calculer    ce   log-lan^ente  ,    on    fera   a  =  64°  o5  =  64°  3', 
x  =  6",22339  i379j  et  appliquant  les  formules 

OC 

p  =  -. ,  /tang(a  +  a:)r=/tanga-}-2mp[i  — p  cos  2a  +  |p*  (i  -}-  cos^  20)^, 

on  trouvera  H=o,3i28i  4^842  60705.  Enfin  la  formule F<p=KMH 
donnera  les  résultats  suivans. 

H  . . . .  9,49528  62986  6865 

M 0,36221  56886  9946  3 

R 0,06207  66278  4558  5 

/F<p  =  9,91957  86i52  1670 
F(p  =  0,83095  71254  6716. 
164.  Venons  maintenant  au  calcul   de   la  formule  E(p=L'F(p. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      2o5 

+  Pcsin  (p;  la  première  partie  se  trouvera  après  avoir  calculé  logL', 
comme  il  suit  : 

L'. . . .  9,58094  67241  494° 
F<p. ...  9,91957  861 52  1370 

LT(p..  9,3oo52  53392  63io      LTip  =  0,19976  77321  6029, 

la  seconde  partie  Pcsin  (p=2{/csin  (p.V — c  sin  (p-  et  pour  avoir  P', 
il  faut  connaître  r"z=c"cosco"  et  r"'  =  c"' cosco'",  or  d  après  les  va- 
leurs déjà  connues 


û) 


"  =  (P'  —  (p"  =  887" 68037  024, 
«'"  =  (P"  —  (p'"  =     1,21784  824, 


on  trouve  les  résultats  suivans  : 

jlcos  cû" , . .  0,00000  40217  70478  coscù'"..,,  —     7570 

i'-c" 6539847146  c'".,..   —   I25lO 

I  :/•'' 0,00001  o56i6  17624  r'". ...  —  19880 


I  w 


///a 


39760 


t  =  0,00001  o56i6  57384; 

par  le  moyen  de  cette  valeur  de  t  =z  —  log(rV"*),  on  trouve  aisé- 
ment le  terme  Z=2^/c.sin(p'.P',  ensuite  on  aura  c  sin  tp  =:yCOS  5', 
+  Y  sin  3°;  d'où  l'on  conclura  la  valeur  de  E:p,  comme  il  suit: 

2 o,5oio2  99956  63981  Z  =  1,06981   27381   36o5 

V/c...   9,93553  67290  71755  csm(p         0,52348  27454  9876 

sin^'..  9,79271  99168  90090  p^^j        ^-54453  999263729 

+2^..         +  2   II233   14768  r/p!^              ^^  r       i       ^ 

-M^^        I               ^S^^So  LF^  =  0,19976  775^^  60^9 

+M^£^       +  6  ^^  ==  0^74409  77247  97^^ 

Z....  0,02930  77646  8575. 

Les  calculs  de  ces  deux  exemples  ont  été  fort  longs,  malgré  la  sim- 
plicité des  formules,  parce  qu'on  a  voulu  obtenir  des  résultats 
exacts  jusqu'à  la  quatorzième  décimale;  mais  ils  s'abrégeraient  beau- 
coup, si  l'on  se  bornait,  comme  il  convient  presque  toujours,  à  dix 
ou  à  un  moindre  nombre  de  décimales. 


r 


2o6  EXERCICES  DE  CALCUL  INTEGRAL. 

§  XII.  Méthode  pour  construire,  diaprés  un  module  donné, 
une  table  composée  d'un  petit  nombre  de  valeurs  des 
fonctions  F  et  K,  au  moyen  de  laquelle  on  puisse  déter- 
miner facilement  ces  fonctions  pour  toute  valeur  donnée 
de  V amplitude. 

i65.  La  mëlhode  que  nous  allons  exposer  n'est  autre  chose  que 
celle  du  §  IV,  modifiée  de  manière  qu'elle  n'exige  pas  un  travail 
préliminaire  trop  considérable,  au  moins  lorsqu'on  ne  veut  pas 
pousser  l'approximation  au-delà  d'un  certain  degré. 

Supposons  d'abord  que  l'on  calcule  par  la  mélhode  générale,  l'am- 
plitude a  ou  et,  qui  satisfait  à  l'équation  Yctz=z^Y'c  (nous  prenons 
pour  exemple  la  fraction  yz\  niais  une  autre  fraction  telle  que  \ 
ou  ^,  pourrait  être  plus  convenable  dans  certains  cas,  comme  nous 
le  verrons  ci-après  );  au  moyen  de  celle  amplitude,  on  déterminera 
successivement  celles  qui  satisfont  aux  fonctions  multiples  Faj,=2Fa, 
Fa3=5Fct,  etc.  On  calculera  en  même  tems  les  valeurs  corres- 
pondantes de  E,  et  du  tout  on  formera  un  petit  tableau  de  dix 
lignes  seulement,  contenant  les  valeurs  de  (p  et  de  Etp,  auquel  on 
pourra  joindre,  pour  la  facilité  des  applications  ,  les  valeurs  cor- 
respondantes de  Zsin(p,  Zlang(f>,  /A((p).  Vojez  un  Tableau  de  celle 
sorte ,  page  2  j  5. 

Cela  posé,  <p  ayant  une  valeur  donnée  quelconque,  il  s'agira  de 
trouver,  par  le  moyen  de  cette  table,  les  valeurs  des  fondions 
F(p,  E(p. 

166.  Supposons  que  la  valeur  de  <p  soit  plus  grande  que  ot,,  elle 
sera  comprise  entre  deux  termes  consécutifs  de  la  première  colonne; 
soit  a  le  terme  le  plus  proche ,  ou  au  moins  celui  pour  lequel  la 
différence  F (p — Ya  est  la  plus  petite,  et  soit  (p  =  rt-f-a',  x  étant 
une  différence  positive  ou  négative;  si  l'on  fait  en  même  tems 
F(â!-f-x)  =  F«-|-FjK,  l'amplitude^  se  déterminera  trigonométri- 
quement  par  les  équations  suivantes  : 

csinâ!==sin^,     tang'\},'=cosé' tang(a-|-^),  J'=4'"^4> 
çsin(a-{-x)=sinê',     tang-NJ/  s=cosê'tangâr. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      207 

on  voit  qu'il  faudra  d'abord  calculer  les  angles  auxiliaires^,  €', 
ensuite  les  angles  4'  et  -4^^  dont  la  différence  est  Tangle  cherché j^. 

Connaissant^  qui  sera  en  général  du  même  ordre  que  x,  et  peu 
supérieur  à  x  (excepté  dans  le  seul  cas  où  c  et  sin(p  seront  tous 
les  deux  peu  différens  de  l'unité),  on  pourra  déterminer  Fj  et  E^ 
par  les  formules  qui  conviennent  aux  petites  amplitudes,  et  on  en 
déduira  les  fonctions  cherchées 

F(?>  =  Ffl  4-  Fj, 

E<p  =  E<2  -f-  E^  —  c*  sin  a  sin  (p  sinj'. 

Cette  sorte  d'interpolation  n'exigera  en  général  qu'un  calcul  assez 
facile  et  fondé,  comme  on  voit,  sur  des  formules  trigonométriques 
très-simples. 

Si  X  est  négatif,  j  le  sera  aussi;  mais  d'ailleurs  le  calcul  sera 
toujours  le  même.  Au  reste  la  faculté  qu'on  a,  suivant  les  différens 
cas,  de  prendre  x  positif  ou  négatif,  permettra  toujours  de  sup- 
poser F/  <  ^Fa,  c'est  ce  qui  aura  lieu  encore,  lorsque  (p  sera  moindre 
que  a,  mais  tel  cependant  qu'on  ait  F^>jFa. 

Nous  remarquerons  que  si  l'on  fait  sina)=  r- — r^^^ — r — ^*  on 
aura    exactement   sin  y  =  — -  ^^^^ .  ^  .  Par  les  auxiliaires  ^  et  &. 

^  \  -f-  ^c"-  sm  a»  ' 

ona  Aa  =  cos^,  ù^{a-\^x)z=cosQ' ,  ainsi  l'angle  cû ^  troisième  auxi- 
liaire, se  trouverait  par  l'équation  sin&)r=  — r—r, — r^?-^- — 7-^ =-; 

mais  il  sera  presque  toujours  plus  simple  de  se  servir  des  formules 
précédentes,  quoiqu'elles  déterminent  l'angle  j*  par  la  différence  de 
deux  angles  beaucoup  plus  grands  -vj,'  et  4- 

167.  Nous  avons  donné  dans  le  §  V  des  formules  pour  calculer 
les  fonctions  F<p,  E:p,  lorsque  l'amplitude  (p  ne  passe  pas  une  cer- 
taine limite;  mais  si  j  était  très-petit,  le  calcul  de  ces  formules 
pourrait  être  sujet  à  quelques  difficultés,  surtout  si  le  module  c 
était  en  même  temps  très-petit.  11  sera  plus  simple  alors  de  se  servir 
des  formules  telles  que  les  donne  immédiatement  l'intégration  par 
séries;  ces  formules  sont,  en  supposant  que  les  ternies  de  l'ordre 


!2o8  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

y''  peuvent  être  négligés, 

168.  Connaissant  a, ,  a,,  «3,  ot^,  «5,  par  la  multiplication  de  la 
fonction  Fa,  il  faudra  que  ct^  s'accorde  avec  la  valeur  tirée  de 

l'équation  tanga5  =  — y.  Cette  vérification  étant  faite,  on  calculera 

les  termes  suivans  ctg,  a^,  etc.,  par  les  équations  complémentaires, 
savoir:  <:o\aL^'=h\.vci\^ci^^  cota^rrr^tangag ,  cotag^Z»  tanga^ , 
cotag=^tanga.  Il  faudra  ensuite  calculer  les  fonctions Ea,,Ea3, etc., 
ce  qu'on  fera  par  les  formules 

aEot,  —  Ea^  =  /?, 
Ea  +  Ec«3  —  Eût3  =r  p^ 
Ea  +  Eaj  —  Ea^  =  f^ 


Eût  -f-  Ea4  — '  Eû£5  =  j)^ 


p^  =  c»  sm  a, .  sm  ûti  sm  «a 

yo,  =:  c*  sin  at,  .  sin  ct^  sin  ag 

;f?3  =  c"^  sin  a,  .  sin  ct^  sin  a^ 

^4  =  c''  sin  a, .  sin  a^  sin  «5 

de  ces  formules  résulte 

Eot  =  I  (E^s  +  /?,  4-  ;f>.  +  ^3  4-  /?4); 

et  comme  on  connaît  Eoig  =  ^  E'  +  l(i  —  Z»),  on  aura  par  l'équa- 
tion précédente  la  valeur  de  Ea;  ensuite  Ea^,  Eûtj,  Eot^,  seront 
données  par  les  équations 

Eût»  =  2Ect  — •  ;^ij 

EûSa  =     Ea  4"  Ea^  —  /^a  j 

Ea^  =     Ea  +  Eag  —  yOg. 

Ce  calcul  se  continuera  pour  les  autres  amplitudes  «5,  «7,  etc. ,  au 

moyen  des  formules 

Eag  +  Ea^  =  E'  +  c*  sin  ot^  sin  «g , 
Ea^  +  Eas  =:  E'  +  c'  sin  ag  sin  a,  , 
Eag  +  Ea^  ==  E'  +  c"  sin  a^  sin  ag , 
Eotg  +  Ea    =  E*  +  <?="  sin  a    sin  a^. 

Cette  méthode  va  recevoir  les  développemens  nécessaires  dans 
l'exemple  suivant,  où  les  calculs  sont  faits  de  manière  à  obtenir 
au  moins  dix  décimales  exactes  dans  les  résultats. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       209 
16g.  Afin  de  mieux  juger  de  l'exaclitude   de   la   nouvelle  mé- 
thode, nous  prendrons  pour  exemple  le  module  sin45%  d'après  le- 
quel la  table  II  a  été  construite.  Voici,  dans  ce  cas,  l'échelle  des 
modules  réduite  à  douze  décimales  : 

c 9,84948  5oo2i  6d)  b 9,84948  5oo2i  6^ 

c°...\  9^25444  86295  24  h'....  9,99351    18092  42 

c°»...  7,87530  12255  42  b"" 9)99998  78857  3i 

c'°\..  5,14455  45759  59  b''°\..  9,99999  99999  5S 

0°°°"..  9,68704  91605  93 

il  faut  d'abord  déterminer  a  par  l'équation  Fa  =  Y^F';  et   comme 

on  a  en  général  F(p  =  — 7, .  F'c,  O  étant  la  limite  de  la  suite  <p,  ^«p"*, 

■^(p°°,  etc.,  il  faudra  faire  $=9°;  or,  pour  le  degré  d'exactitude 
que  nous  avons  en  vue,  on  peut  supposer  ^  =:: Yë (p°°°° ;  ainsi  on 
aura  (p°°°°==  i44°'  De  cette  valeur  on  déduira  successivement  celles  de 

<p°°%  (p°°,  (p%  (p,  au  moyen  des  équations  sin{2<p°°° — (p°°°°)=c=°°°sin£p°''°% 
sin(2{p°"' — (p°»°)==c°°°siu(p°°°,  etc.,  dont  voici  le  calcul: 

C"^ 9,68704  92         2(p'3__(p"f  =    0°  O'  0",00000  5898 

sin<p°^...  9,76921  87  <p='^=  144 

^" 5,5 1442  5i  (p°°°==  72.0.0,00000  2949 

2(P«»3 ^«4  4^^7069  3o 

C°3 5,14455457594       2(p°*— $°°*=  2,736440659 

s'inr'. . .  9.97820  65255  5      ^00  ^    36.0.1^822  i8o4 
R" 5,31442  5i55i  8 

2(po»  — (P°3  0,45718  60547 

c°°. ....  7,87550  1225542  (1) 9o5",62626  4255 

sin(p°°..  9,76922  265o5  72  (2) +   290  9682 

p 7,64252  58759  14  2(p° — (p"' =         i5'    5",62gi'j   5935 

R" 5,31442  5i35i  76      (?»"==  56»  o.  1,56822  1804 

(0 2,95694  90090  90      (p°  =  18.  7.35,49869  7870 

f/?'....  4,50689  65 

(2) 7,46384  55 


2IO  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

C 9,23444  86293  24     angle  cherché  A  =  2(p  —  ^", 

sin  (p* 9,49291  01476  38     angle  approch.  a=3°o6=3'5'36", 

sin  (2(p — (p°)  8,72755  87769  62     e'q.  à  résoudre  ZsinA  =  /sina — r, 
sm  a 8,72739  23169  47     Solution.  y[;  = /M tangâ!, 

/•==  3" 35399  ^^  A=a^p(i  -^^—y 

r 5,52556  28641  (i)  . . .  o",85i56  0817 

M 0,3622 1  m^d>j  (2)  . . .  3  2976 

tang«..   8,72801    19841  ^  o,85i52  784? 

'     p 4,6157905369               a S"»    3' 36" 

^' 5,31442  5i552  ^^_^,  ^  3.   3.35,14847  2159 

(i) 9,93021  56701  (p°  =  18.   7.35,49869  7870 

P 4,61579  o55  ^^    ^  21.  II.  8,64717  0029 

i:sm2^  0^97219^  ^^^   _  10.35.34,32358  5o. 

.     (2) 5,51820  55 

170.  Ayant  ainsi  déterminé  la  valeur  de  a.  ou  a,,  il  faut  calculer 
Jes  termes  a^,  «3,  ct^,  etc.,  par  les  formules  connues  pour  la  mul- 
tiplication des  fonctions  j  savoir  :    tang  ^  «^  =r:  A  tang  a , 

tang(^a3-|- ja,)  =  A  tanga^,  etc.;  voici  d'abord  le  calcul  de  Aa 
ou  A. 

c...  9,84948  5obi2i  68    a=7',47 

sin«.  0,26441  40026  72  _  __  --  ^       ^..  ^ 

1 —    r 5,8ûi97  06609     CCS  ff  9,99629  84428  77 

sinA  9,11389  90048  40     tang»c.    8,23533  69554    R...  ii^j^  507 

sina.  9,11396  6q2o6  i5  „       " — r-z „  ^_- — - — -— 

- f ^ rtang^a  4,06730  76163     A...   9,99629  96103  a8 

r=  67915775     r —679158 

/sîn  A  =  /sin  a  — r,         rtang'a        —       11676 
ZcosA  =  /cosa  +  R,  R  . . .  4,06723  85329 

/R=/(rtaiig»a)— /•— rtang^^tf. 


CO^^STRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       au 

Calcul  de  a,. 

«anga..  9,27187  89348  79  fl=io''5o  r»...  6,32556  58917 

A 9,99629  96105  28  2«=2i.oo  |M..  0,06 II 8  56950 

tang^a^  9,26817  85452  07  ;?....  6,58675  15847" 

tanga. .  9,26796  69207  55  sin2«.  9,55452  91618 

r. . .     21  16244  74  R". . .  5,51442  5i552 

1.        k       ji  I  Ci)' •  •  i,2555o  587Q7 

/tangA  =  nang^  +  r,  ^  J  '        /y/ 

COS2«   9,97015    174 

A^a=zps\n-2a{i-i-pcoS2a-\-\p*cos/^a).     (2)...  "7^1240  920 

«  +  (1)  =  io°5o' i8'',oo967  517         (i) i,2555o  59 

(2)...                         409646        Z^" 2,77550  32 

(3)...    ^        î 9,8259087 

l-ct, =  10. 5o.  18  ,01577  216  cos4«...  9,87107  55 

a, =21.  0.56,02754  45           (5) 3,72599  i3 

Calcul  de  a^. 

tangaa  9,5844o  4^122  28  «=20' 85  r.....  B,Si5^S   25192 

A 9,99629  96105  28  2^=4 1 . 70  ^M. . .  0,06118  56950 

tang  A  9,58070  57225  S6  4a=85.4o  p 5,87666  80122 

tangrt.  9,58076  91081  87  sin2«..  9,82297  2o58o 

r  =     6  55856  3i  R". . . .  5,5x442  5i552 

/tangA=/taiig.z~/-,;r.=:iM/',         ^^^  "  '    1.01406  52o34 

p 5,87666  801 

K-=.a — ps\n2a{i — pcos^a-^^p^cos/^a)     cos  2a.  9,87311  02 

(2)...  6,76384  34 

(1) =  io",529i6  4724 

(2) —        58  0557        (i)....   i,oi4o6  5 

(3) + 4   ;?»....  1,75355  6 

a  —  A. .  =      10  ,52858  417     f  cos4rt  8,88456  9 

a =  20° 5i^  o'^ (3)  ...  1,65177"^ 

A =20.50.49,67141  583 

«3-1-  et..  =41.41.39,54283  17 

et 10.35.34  ,52558  5o 

«s =  5i .  6.  5  ,0x924  67 


212              EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL, 

Calcul  de  a,^. 

tangua  9,78051  29931  86  r 5,84856  5o655 

A....  9,99629  96103  28   û=  3o°89  ;^M...  0,06118  56930 

tangA  9,77681  26Ô35  14  2^1=61.78  ^ 5,90975  07535" 

tanga.  9,77688  31645  69  4«=i23. 56  sin2tf. .  9,945o4  4i5i4 

/•  =     7  o56io  5?  ^" 5,5i442  5i532 

7a    A   7.  ri)-'--  1,16022  oo43i 

/-? 5,90975  076 

«— (i)...  =  3o°53'   9",23545  584o  co5  2«.  9,67473  108 

W--                     +         567155  (2)....  6,75370  188 

(3)..                     + 56  ^^  "     ' 

^(fit^+aj  =n  3o.53.   9,23602  3o3  (1)....  i,i692'2  00 

a^  =  40 •4^*42  j444^o  18  /?" 1,81950  i5 


|cos4«  9,56648  46 
(3).. . .   2,55520  61 


Calcul  de  ct^ 


tanga^.  9,93 55 1  4^9^  ^  ^^   ^=40°  52  ;• 4590002  10848 

A 9599629  96103  28  2rt=:8i.o4  ^M...  0,06118  56930 

tangA.  9,93181  58oi4  90  p 459^1^0  67778 

tangûf..  9,93180  58578  22  sinia..   9,99466  78399 


79436  68 


R"....  5,3i442  5i532 


°  ^  p 4590^^0  678 

a =  4o''3i' i2",ooooo  0000  cos  2«.   9,19241   38i 

(0  •  •  •  •  •  I  ^^6537    2796  ç^^y  ^  ^  ^    4,42392   034 


(2)... 

•  • 

«ta 

2654 

-40. 
81. 
Si. 

,3i. 

.  2. 

6. 

i3 

27 
5 

,86337  545 
,72675  09 
,01924  67 

cts =  49'56.22  ,70750  42. 

Par  l'équalion  col  et-.,  =  \/b  y  on   trouve  directement. / 

«{5^=  49°  56' ^2",  70750  5iÇ>f    la   différence  n'est   que   d'une  uuitc 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  21 3 
décimale  du  sixième  ordre;  or,  le  sixième  ordre  de  décimales  dans 
les  secondes,  est  le  douzième  chiffre  significatif  du  nombre  entier, 
puisqu'en  réduisant  tout  en  secondes,  on  a  «5=  i7g782",7075oi6. 
On  ne  peut  donc  pas  re'pondre  d'un  plus  grand  degré  de  précision, 
en  ne  donnant  que  douze  décimales  aux  logarithmes,  surtout  si  l'oa 
considère  combien  il  a  fallu  d'opérations  pour  obtenir  ce  résultat. 

171.  Pour  calculer  maintenant  les  quantités  ;?,,  p^^  p^^  ^p^,  il  faut 
connaître  les  log-sinus  des  angles  a,  a^,  atj,  a^,  ^5;  le  premier  est 

déjà  connu,  le  dernier  se  trouve  par  la  formule  sina5=  —j-. — --rr 

V  Cl  +  o) 
sin45° 
s=  cos2o"i>  voici  ces  logarithmes,  d'où  l'on  déduit  ceux  des  quan- 
tités yo,  et  ensuite  ces  quantités  elles-mêmes  : 


/ 


sin  Kl  9,26441  ^ooQ.^  72 

sin  «fa  9,55452  67236  63 

sin  «3  9,7i3ii  68677  26 

sin  u^  9,81485  70638  12 

sin  «5  9,88386  96562  ^j 


p,  =  o,oo6o5  79367  33 

pa   =    0,01702    2627S    04 

P3  ■=.  o,o3c99  96606  69 
p^  =  0,04693  i5io4  20 


p,  7,78232  47^33  43 
Pa  8,23io2  66980  97 
P3  8,491 36  69386  46 

P4  8,66211  07270  67 

0,10001  17353  26 

Connaissant  la  fonction  complète  E'=i,35o64  588io  48,  etla  quan- 
tité I — Z»  =  0,29289  32188  24,  on  trouvera  par  les  formules  de 
l'art.  168 

Eots  =  0,82176  85499  ^ï 

Eût,  =  0,18455  60570  5i2 

Eot^  =  0,36265  4^77^  704 

E*3  =  0,52998  76068  176 

Ea^  =  0,68334  400^2  998. 

172.  Il  faut  maintenant  prolonger  le  calcul  de  toutes  ces  quan- 
tités pour  toutes  les  amplitudes  au-delà  de  «5,  savoir:  «g,  a^,  «g,  a,^. 
Or,  si  les  amplitudes  (p  et  -4^  sont  cômplémens  l'une  de  l'autre, 
c'est-à-dire,  si  l'on  a  F(p  +  F4  =  F'^,  non-seulement  l'amplitude 
^  se  déduit  de  cp,   par  la  formule  cot-vj/=  Z>  tang-p,  comme  on  l'a 

vu  dans  l'article  168,  mais  on  a  en  môme  tems  AX  = ---  et 
sin  4  =  ^^  ^  ^^^^  ^  'y  de  sorte  que  connaissant  les  logarithmes  des 
quantités  sin(p,  tang<p,  A(p,  pour  les  amplitudes  qui  précèdent  «5, 


2i4  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

on  aura  immédiatement  les  logarithmes  de  ces  quantités  pour  les 

amplitudes  qui  suivent  «5. 

D'ailleurs  de  la  valeur  connue  de  cot  4>  ^^  déduit  celle  de  l'angle 
•v},,  ce  qui  s'applique  successivement  aux  amplitudes  a^,  a,,  «g?  ^jj 
on  aura  donc  de  cette  manière  les  résultats  suivans  ; 


«6 

«g 


58°  58' 10", 5 1402  70 
66.53.52  ,77456  17 
74- 4s «22  ,95725  47 
82.28.  o  ,82488  73 


lsin(p. 


l  tang  (p. 


9,93 1 39  67348  58iO,2i5oo  08066  70 
9,96569  70659  9810,57000  20046  46 
9,98454  78550  8410,56611  08856  04 
9,99623  54574  650,87863  60629  53 


Au  moyen  des  valeurs  de  sin  ^,  on  déterminera  les  fondions  Ea^, 
Esfcy,  etc.,  parles  formules  de  l'art.  168,  comme  il  suit  ; 

c'sina^sinci6=o, 27875  57297  82     c*sina3sina7=o,23756  5265o  146 
E' =i,55o64  58810  48     E' =i,55o64  388io  48 

1,62959  96108  3o  1,58820  9i44<>  626 

Eot^ =0,68554  4oo55  00     Eag 0,52998  7606S  176 

Eae =o,946o5  BGoyS  3o    Ea^ =i,o5822  15372  45 

c'sina^sinagrzro,  17299  93944  95     c*sin«sinotg=o,09ii2  12071   38 
E' i,55o64  58810  48    E' i,35o64  388io  48 


Eflt. 


1,52364  52755  43  1,44176  5o88i  86 

.=0,36265  41775  70    Eût 0,18435  60570  5i 


E«8 =1,1609890981  73     Eag =1,2574090511  35. 

173.  Nous  avons  maintenant  tous  les  éléraens  qui  doivent  com- 
poser la  Table  auxiliaire  que  nous  voulions  construire;  mais  pour 
en  rendre  l'usage  plus  commode ,  il  sera  bon  d'y  joindre  les  va- 
leurs correspondantes  de  logAip. 

On  connaît  déjà  A(a)  et  A{a5)  =  {/b;   on   calculera   les  autres 

termes  par    les  formules  Aa.=  ^^^ ,     Au,  =  ^IULiJ^    

tang  «a  '  '  tang  «^  ' 


Aot.= 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      21S 

,  et  les  termes  comple'mentaires  par  la  formule  ge'- 


tang«4 


nëraleA4  =  -. 

Voici  donc  la  table  complète  qui  re'sulte  de  tous  les  éle'mens  ainsi 
Calcules.  . 


<p. 

Eç>. 

/  sin  <p. 

/  tang  f . 

/A<p. 

«,  =io°35'24"32358  5o 

0,18435  60570  5i 

9,26441  4'^^'^^  7'" 

9,27187  89348  79 

.9'99629  96103  281 

«a  =21  .  0.36,02754  45 

0,36265  41773  70 

9,55452  67336  63 

9,68440  4*122  28 

9,98667  47663  62 

U3  r=3l  .  6.  5,01924  67 

0,52998  76068  18 

9,7i3i 1  58677  26 

T, 78061  29931  86 

9,96890  58o85  45 1 

««^  =:40  .  45  . 4'2,444^0    1  8 

0,68334  4oo33  00 

9,8i485  70638  12 

9,9355 1  41911  ^^' 

9M794  6i377  96: 

^5  ==4,9  •  5S .  22,70750  62 

0,82176  85499  3i 

9,88386  96062  47 

0,07625  74989  16 

9,92474  26010  84, 

«s  =58.38.  io,3i4o2  70 

o,g46o5  56075  3o 

9,93i39  67348  58 

o,2i5oo  08066  70 

9,90153  88643  73: 

(«7=66.53.52,77456'  17 

i,o5822  15372  45 

9,96369  70669  98 

0,37000  20046  46 

9,88067  91936  23 ! 

«8=74.48.22,93725  47 

1,16098  90981  73 

9,98454  78660  84 

o,566ii  c8856  04 

9,86391  02458  i6i 

«9=82.28.  0,82488  73 

1,26740  903 11  35 

9,99623  54574  66 

0,87863  60629  53 

9,853i8  53918  40, 

«,^^=90.  0.  0,00000  00 

i,35o64  388 10  48 

0,00000  ooûoo  00     Infini. 

9,84948  5oo2i  es 

174.  Pour  faire  voir  l'usage  de  cette  table,  cberchons  la  valeur 
des  fonctions  F  et  E,  lorsque  cp  =  70". 

L'amplitude  qui  dans  la  table  approche  le  plus  de  70',  est 
<z  =  66" 55' 52", 77456  17;  elle  re'pond  à  la  fonction  F^rrzf^F'c; 
il  faut  donc  résoudre  l'ëqualion  F(p  =  F«-J-E7" ,  ce  qui  se  fera  par 
les  formules 

tang  4'  =  ^^  lang  (p  ,  tang  -xj,  =  A(p  tang  «! ,  j  =  4'  —  4  î 

soit  csin<p  =  sinC,  on  aura  /sin  ê  =  9,82247  08186  11,  d'où  Ton 
lire  ZcosS  ou  ZA(p  =  9,87550  72687  65.  Par  la  table,  on  a  imme'- 
dialement  lang  ^  et  Aa,  ainsi  /  tang  4'  et  /tang^,  seront  donne's 
comme  il  suit  : 


A« 9,88057  91956  25 

tangïp 0,45893  4i5i7  97 


Acp 9,87350  72687  63 

tanga....    0,57000   200^^6  4^ 


lang4'«..  o,5ig5i  35254  20    tang4«..  o,2435o  92734  09 


2i6  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

il  en  re'sulte  '^'  :=  64°  25'  52",ii076  01 

4   :=  60.16.54  ,80887  69 

j    =    4.  6.57  ,3oi88  32 

Il  s'agit  maintenant  de  trouver  avec  le  même  degré  d'approximation 
la  valeur  des  fonctions  E^,  F/;  c'est  ce  qu'on  obtiendrait  par  l'in- 
terpolation de  la  table  II;  mais  pour  ne  rien  emprunter  de  cette 
table,  nous  calculerons  directement  les  valeurs  de  Ej-,  Fjr,  parles 
formules  que  donne  immédiatement  l'inte'gration,  lesquelles  en  né- 
gligeant les  termes  de  l'ordre /^  seulement,  sont: 

Si    l'on    y  substitue   la  valeur  de   c""  dans  notre  exemple,  savoir: 
c*=|,  elles  deviennent 

1  1  71 

■^y  — J  ^r  ^^J    T^  480-^  4o32o  «>^  ' 

faisant  donc  ^'  =  4° 6' 67", Soi 88  32,  ce  qui  donne,  après  avoir 
réduit  cet  arc  en  parties  du  rayon 

logj-  =  8,85634  39959  78,    jr  =  0,07183  63067  020, 

on  trouvera  E;-  =  0,07180  54^42  97, 

Fj"  =  0,07186  72o3o  06. 

Maintenant  les  valeurs  cherchées  de  Y<p  et  E(p  se  tireront  des  équa- 
tions F(p=F«  +  F/,  E^  =  E«  +  E7  —  c*  sinasin  (psin/,  comme 
il  suit  : 

c»sin(p 9,67195  58207  79  E«  =  i,o5822  15372  4^ 

sin  fl! 9,96369  70659  98  E7"  =  0,07180  54342  97 

sinj- 8,85597  o4o55   19  i,i3oo2  69715  42 

Z 8,49162  32922  96  Z    =  o,o3ioi   86785  59 


Fâ!  =  -j^  F'c  =  1,29785  52741    II 

F/ =  0,07186  72o3o  06 

F^P =  ij3697i  94771   r7 


Ecp  =  1,09900  82929  8S 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      217 

Par  la   table    II ,   on  a    F<?>  =  1,36971  94771   22  ,    et 

E<p  =  1,09900  82929  83,  ainsi  l'accord  est  parfait  sur  la  valeur  de 
E,  et  il  n'y  a  de  différence  sur  celle  de  F  que  cinq  unite's  déci- 
males dû  douzième  ordre  5  erreur  facile  à  expliquer  tant  par  la 
longueur  et  la  multiplicité  des  calculs  de  la  dernière  méthode,  que 
par  l'inexactitude  qui  peut  rester  dans  le  dernier  chifïre  des  nombres 
de  la  table  II,  malgré  tout  le  soin  qu'où  a  pu  mettre  à  la  cons- 
truction de  cette  table. 

175.  Dans  le  calcul  du  tableau  de  l'art.  173,  nous  avons  poussé 
le  nombre  des  décimales  jusqu'à  douze ,  afin  de  mieux  établir  la 
comparaison  des  résultats  avec  ceux  de  la  table  II  qui  comprend 
un  pareil  nombre  de  décimales  :  mais  le  calcul  s'abrégerait  beau- 
coup, si  l'on  voulait  se  borner  à  dix  ou  a  un  moindre  nombre  de 
décimales. 

En  général,  quel  que  soit  le  degré  d'exactitude  qu'on  veut  obtenir, 
il  faut  mettre  un  soin  particulier  à  l'exacte  détermination  de  l'am- 
plitude a,  d'après  laquelle  la  table  est  formée.  En  supposant,  comme 
nous  Tavons  fait.  Fa  =  ^  F<?,  il  est  nécessaire,  pour  connaître 
et,  d'avoir  l'échelle  des  modules  qui  résulte  du  module  donné  c. 
La  Table  VI  ci-après  donne  cette  échelle  pour  tous  les  angles 
du  module,  de  dixième  en  dixième  de  degré,  depuis  0°  jusqu'à  i5°, 
et  ensuite  de  demi-degré  en  demi-degré,  depuis  i5°  jusqu'à  45°. 
Mais  cette  Table  n'est  pas  de  nature  à  être  interpolée,  et  ne  serait 
d'aucun  usage  pour  les  angles  du  module  qui  n'y  sont  pas  expres- 
sément contenus. 

176.  Pour  obvier  a  cet  inconvénient,  nous  avons  pensé  qu'il 
serait  utile  de  construire  une  table  ou'J'on  trouverait,  pour  tout 
angle  donné  du  module,,  au  moins  de  0°  à  4^°,  la  valeur  de  a.  qui 
donne  Fa=~F'6'.  Dans  cette  vue,  nous  avons  calculé  directement 
la  valeur  de  et  pour  tout  angle  du  module  de  demi-degré  en  demi- 
degré,  depuis  0°  jusqu'à  45°;  nous  avons  ensuite  interpolé  les  ré- 
sultats en  insérant  quatre  moyens  entre  deux  ^termes  consécutifs. 
C'est  ainsi  qu'a  été  formée  la  Table  VII  où  Ton  trouve  la  valeur  de 
a  pour  tout  angle  du  module  de  dixième  en  dixième  de  degré, 
depuis  0°  jusqu'à  45°.  Celle  Table,  dans  laquelle  les  quantités  ec 


si«  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

sont  accompagaées  de  trois  ordres  de  différence,  le  quatrième  élant 
omis  comme  inutile  ou  pouvant  être  pris  à  vue,  servira  à  déter- 
miner par  interpolation  la  valeur  de  a  qui  satisfait  à  Téquatioa 
Fa  =  7J5  F'c,  pour  tout  angle  donné  du  module  de  o°  à  45°,  sans 
^u'û  soit  besoin  de  connaître  l'échelle  des  modules  correspondante. 
On  n'a  pas  prolongé  la  Table  VII  au-delà  de  45"*,  parce  que  l'in- 
terpolation deviendrait  de  plus  en  plus  pénible,  à  mesure  que  l'angle 
du  module  s'éloignerait  de  ce  terme,  et  aussi  parce  que  passé  45°> 
il  convient  de  prendre  Fa  plus  petit  que  ^F'c,  et  de  plus  en  plus 
petit,  à  mesure  que  l'angle  du  module  devient  plus  grand.  En  effet , 
pour  que,  suivant  l'esprit  de  la  méthode,  le  calcul  des  fonctions 
E^,  F<p,  soit  ramené  à  celui  de  deux  autres  fonctions  E/ ,  Fj-,  dans 
lesquelles  l'amplitude  j^  n'excède  pas  5  a  6  degrés,  il  faut  que  a 
n'excède  pas  12°.  D'après  cette  base,  on  peut  faire  Fa=~F'<7, 
depuis  0  =  45%  jusqu'à  8=70%  et  Fa  =  -^F'c,  depuis  0  =  70% 
jusqu'à  6  =  82°.  C'est  ce  qu'on  trouve  aisément  par  l'équation  ap- 
prochée —  Zlang(45''-}-Y<^a)  =«FV,  dans  laquelle  substituant  les 

valeurs  n  =  YT,  c  =  smjo°y  on  trouve  a=ii''53',  de  même  qu'eu 
faisant  n  =  -^,  c  =  sin  82%  on  trouve  a=ii''58'. 

177.  Nous  remarquerons  que  lorsqu'il  y  aura  lieu  de  supposer 
Fa=  Y^jF'c,  cette  équation  peut  être  résolue  par  de  simples  opé- 
rations trigonomélriques,  sans  être  obligé  de  former  l'échelle  des 
modules.  En  effet,  l'angle  a^  qui  satisfait  à  l'équation  Fa^  =  jF'c, 
pourra  se  déterminer  par  la  formule  du  n"  24,  I  p.;  connaissant  sfc^, 
il  faudra  employer  les  formules  de  la  bissection,  pour  trouver  suc- 
cessivement «a  et  oL^  ou  fit.  Eusuitc  On  trouvera  les  autres  termes 
par  les  formules  de  la  multiplication  qui  ne  supposent  pas  connue 
l'échelle  des  modules.  On  pourrait  même  déterminer  ces  termes 
par  la  simple  bissection,  savoir:  ctg  par  la  formule   ordinaire.... 

tanga6=— 7T,  et  a,  par  la  bissection  de  Fctg.  Il  resterait  à  trouver 

par  ces  mêmes  formules  la  valeur  de  «5,  ce  qui  peut  se  faire  au 
moyen  de  l'équation  des  complémens  qui  donne  d'abord  cot  a,, 
=:è  tang  a,,  et  ensuite  «s  par  la  bissection  de  Fa,,. 

11  sera  encore  plus   facile   de  résoudre  l'équation  F«t  =  r^F'(;^ 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  lâig 
puisqu'elle  n'exigera  que  les  formules  ordinaires  de  la  bisseclion. 
Nous  eu  donnerons  bientôt  un  exemple  pour  le  module  sin8i°. 

178.  Pour  montrer  l'usage  de  la  Table  VII,  supposons  qu'on 
demande  la  valeur  de  et  pour  le  module  sin9  =  ^.  De  celte  valeur 
du  sinus  on  de'duira  d'abord  l'angle  correspondant 

G  =  i9%47i22  06344  868; 

on  voit  ensuite  par  la  Table,  qu'à  l'angle  du  module  i9%4  re'pon^ 
la  valeur  (p=:9'  i5'  37",8366o  10,  et  les  diffe'rences  toutes  positives 

cr(p  =  9,956i4  40,  cr'<p  =  5677  85,  cr^(p  =  9i4,  cr^(p  =  8; 

faisant  donc  x  =  0,7 1220  6345,  et  appliquant  la  formule  ordinaire 
des  interpolations,  savoir  : 

on  aura 

a  =  9°i5'44''j92i6i  5o. 

179.  Non-seulement  la  Table  VII  fait  connaître  pour  chaque 
module  moindre  que  sin45°,  l'angle  et  qui  donne  Fa  =  -j^F'c;  mais 
on  peut  facilement  tirer  de  celte  même  Table,  la  valeur  correspon- 
dante de  la  fonction  Ea.  Voici  comment  on  parvient  à  la  formule 
ne'cessaire  pour  cette  détermination. 

Si  on  suppose  que  pour  l'angle  9  du  module,  l'amplitude  ^  satis- 
fait à  l'ëquation  F(p  =  «F'c,  n  étant  un  nombre  fractionnaire  cons- 
tant, (p  sera  en  général  une  fonction  de  6;  et  comme  Y(p  ou  F  est 

fonction    de    6  et  <p,  on  devra  faire   ^  =  (^  "+"  5^  •  ^)^ô.. .  » 
'^  \M  "^  \  '  ^J  ^^  >  ^®  ^^^  donnera  l'équation 

dF         i       d<p rfP 

mais  en  faisant  c=  sin  6,  les  formules  de  l'art.  43,  I  p.  donnent 

d¥  E  —  F  cos'  fl         sin  ô    sinipco.scp     dY'  E'  —  F'cos^â 

dH  sinôcosô  cgsÔ  *         A        *    1^  ainôcoaô""' 


220  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL, 

donc  on  a 

E  — Fcos'0  —  /z(E' — F'cos'9)  =  sm'9.  — ^ — ~-^  .  ^. 

ou  simplement 

T-i  T-',    •      •    ,n    sin  ffl  C03  <p         sinôcosô       d(a 

'  A  A  dd 

Or,  pour  chaque  valeur  de  9  comprise  dans  la  Table  VII,  on  trou- 
vera immédiatement  le  coefficient  différentiel  ^|,  par  la  formule 

où  360  est  mis  pour  la  différence  o°,i  des  valeurs  de  ô,  parce  que 
les  différences  S(p,  cT'cp,  etc.,  sont  exprimées  en  secondes;  quant 
aux  valeurs  de  G  qui  ne  sont  pas  comprises  dans  la  Table,  on  trou- 
vera également  par  interpolation  les  valeurs  correspondantes  de  S(p  y 
S*(p,  etc.,  comme  on  l'a  vu  dans  la  quatrième  partie,  tome  II, 
art.  gi  ;  donc  dans  tous  les  cas,  on  connaîtra  la  valeur  de  Ea  qui 
répond  à  l'équation  Fa  =  Y3^F'c. 

Dans  l'exemple  précédent,  l'angle  du  module  4^°  est  compris 
dans  la  Table;  mais  les  différences  qui  répondent  à  45°,  dans  le 
sens  de  l'accroissement  de  la  variable  ô,  n'existant  pas,  faute  de 
termes  ultérieurs ,  on  y  suppléera  par  les  différences  dans  l'ordre 
inverse,  comme  on  l'expliquera  ci-après  art.  igS. 

On  aura  alors 

cr<?>=29,8o5i6  98,  £r''(p=— 11285  3i,  J'^(p=44  10,  cr^(p=— 3o, 

ce  qui  donnera  ^  =  ^â^-^^Z L  ~  0,08294  92892. 

Substituant  ces  valeurs,  ainsi  que  celles  de  sin^,  tang  (p.  A,  dans 

1       r  1        T^  1    TTi     I      1       sin'fflcotfZ»  1        d(p 

la   formule    E  ==  7^  il'  -f-  ^  •  x — r  •  j^,   on  aura 

A  2A      CIO 

E  =  0,18435  60577,  ce  qui  s'accorde  suffisamment  avec  la  valeur 
de  Ea,  dans  le  tableau  de  l'art.   173. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      221 

§  XIV.   Application  de  la  méthode  précédente  au  calcul 
de  la  Table  particulière  pour  le  7/zoc?w/e  c  =  sin8i°. 

180.  Nous  supposerons  Fût  =  7^F'<?,  et  nous  ferons  les  calculs 
avec  toute  l'exactitude  que  comportent  les  Tables  à  quatorze  dé- 
cimales, par  la  seule  méthode  de  bisseclion,  sans  faire  usage  de 
l'échelle  des  modules,  quoique  cette  échelle  se  trouve  dans  la 
Table  VI. 

La  première  bissection  de  la  fonction  F'c  se  fait  par  les  formules 

connues,  tang«,=^,  sin«,=^_Pj^=^^.cosa.=^(^). 

Aag=  \/by  et  on  a  immédiatement  les  logarithmes  de  ces  quantités, 
savoir  : 

itangûfcg  =  0,40283  37793  2i5o,  /sinatg  =  9,96843  94867  980g, 
/Aag...  =  9,59716  62206  7850,  /cosag  =  9,5656o  57074  765g, 
les  quantités  semblables  pour  a^,  se  déduiront  de  la  formule 
s\na^z=::i~~—j~—-'^  et  d'abord  pour  avoir  sin^otg,  je  cherche 
/(i  4-  cosag)  parla  formule  qui  sert  à  déduire  log(i  +A)  de  logA 

logA  =  9,5656o  67074  7669              ___  i85     \-\-a..  o,i36o2  o453i  7968 
log  g...  9,5656o  57453  4709  "^  ~  bÔ6     R 52814616 


19641  2960  688     i-+-coa<«g  o,  i56o2  09815  2674 

5o3  o,3oio2  99956  6398 


T 4>293i7  oii85  cos»i  «g. "9,83499  09856  6176 

1  -f-  a. .  o,i56o2  o453a  cos  \  «g.  9,91749  64928  5o88 

r' 4,1671496653  ^sin«g..   9,66740  94911  5411 

a 9, 66660  37433  sin  i  «g. .  9,7499 1  39983  o3a3. 


7100 


R 3,72276  41266 

De  la  valeur  Aatg  z=\/b ,  on  déduira  par  un  calcul  semblable 

/(i+Aag)....   =  0,14473  54334  2026 

o,3ot02  99956  6398 

9,84370  54377  5628 

VG  +  ^Aag)  =  9,92185  27188  7814 

^sin^ag 9,74991   39983  o323 

^sina^ =9,82806   12794  2509 

t 


222  EXERCICES  DE  CALCUL  INTEGRAL, 

on  trouvera  cos  a,^  d'une  manière  abrégée  par  la  formule 

^„^  ■- rns^ _^ 

A    r*  1       ~1          A       cosr64-cos^b**         aA 

cos'  «^ 


1+aL   "*"  \/(i+6)J       1+^*  cosiâ  i+A'  cosiô  ^ 

OÙ  l'on  a  0=81°;  on  aura  ensuite  tang  a^,  et  A(a^)=:-^^^^ 

A 9,59716  62206  ySSo 

—— T 0,15629456224^72 

•  cos  1(90" +  8)...  9,86588  68409  8715 
cos ^i  (90°  —  &)...  9,99966  5o455  58 II 

i.-cos^ô 0,11895  44846  5oo8 

cos'  a^ 9,73796  71540  9756 

cos  a^ 9,86898  35770  4878 

sin  a^ 9,82806   12794  2509 

tang  «4 9,95907  77025  7631 

tang^ûtg 9,83241   85o54  7235 

Act^ 9,87354~o8o3o  9604; 

on  connaît  ainsi  toutes  les  quantités  sin  «4,  cosot^,  tangot^,  Aa^,  re-' 
lalives  au  terme  a^. 

181.  Une  troisième  bisseclion  donnera  les  quantités  relatives 
à  a.,  par  le  calcul  des  formules  successives  :  sin  a„  = —-A^—, , 
tang  a^  =z  /*^ r ,   Aa„  =  — 2-^-^;    et   pour  cela  ,   on   fera 

o     *  V^(A«4  -f-  cos  «^)  '  ""  tang  u^  *  ^  ' 

toujours  usage  des  formules  qui  donnent  log(i  H-A)  par  le  moyen 
de  log  A  j  en  voici  les  résultats  : 

sina^.  y'i.  .  .  .  9,67754  62815  gSiO  sin«4 9,82806  12794  2609 

V/(l+C0S«4)..     0,12022    18668    3187       l-}-C0S«4 0, 9^0 44   ^7^^^    ^^74 

sini«4 9,55732  44^47  6123     tang|«4 9,68761  76457  6i35 

\/2.., o,i5o5i  4997^  3199 

9,70783  94126  9322     9,70783  94 126  9322 

]/(i+A«{4).. .  0,1211 5  07714  8332  ^(A«4-4-cos«4)..  0,08609  88p,5o  7815 

sin  «a 9,58668  86411  0990    tang  «2 9,62174  06876  1609 

cos  «a 9>96494  8o535  9481     tang  ^«4 9,68761  76467  61 55 

A«»a 9^96687  69682  462& 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      223 

On  procédera  de  même  au  calcul  des  quantile's  relatives  à  a, ,  par  les 
formules  sm^a.=  .-77— r"  S  ,  tangla.=  — _^—     sm^,=     /  \  /—  , 

tangct.=  ■  ,,^  '  '-  - — r,  Aot^  =  -— ^ — ;  voici  les  résultats  de  ce 

calcul  : 

sïna,^.^l 9,43617  36432  7791     sin  «, g, 58668  864ii   0990 

V/(i+cos<«a)..  0,14192  87786  1774     i+cos*» o,28385  75572  3548 

ûn^ci^ 9,29424  4^Q^Q  6017    tang^rfj 9,3o283  io838  744a 

\/q Oji5o5i  4,9978  3 199 

sin|«2.  v/a.  ..   9,4447^  98624  9216  9,4447^  98624  9216 

V/(i+A«!a)..  0,1421 5  17623  45oo     v^(A«a -f  cos  «  J  0,1 3322  13749  6833 

sin«j 9,30260  81001  4716    tang  «1 9,3ii53  84876  2383 

tang  *  «a 9,3o283  io838  7443 

^-^i 9>99i29  26963  6059. 

Jusqu'ici  nous  n*avons  point  cherché  les  valeurs  en  degrés  des  angles 
ctgy  «4,  a,,  cti,  et  nous  avons  déterminé  toutes  les  quantités  qui  en 
dépendent ,  par  la  seule  table  des  logarithmes  des  nombres ,  et  par 
l'application  de  la  formule  qui  sert  à  trouver  log(i-f-A)  par  le 
moyen  de  logA;  nous  continuerons  de  suivre  cette  marche,  qui 
semble  la  meilleure  pour  obtenir  les  résultats  les  plus  exacts,  en 
n'employant  non  plus  que  les  formules  de  la  bisseclion,  et  celles 
qui  sont  relatives  aux  fonctions  complémentaires. 

182.  Les  quantités  déterminées  pour  ct^  feront  connaître  immédia- 
tement les  quantités  analogues  pour  son  complément  a„,  au  moyen 

des   formules   générales  coi'^  =  b[a.ng<p,    A-vJ^cr:  —  ,  sin'v[/=:^^^, 

dans  lesquelles  ou  fera  Ç)  =  a^,  ^[^==a,^;  ou  aura  ainsi  pour  a,,  les 
logarithmes  suivans  : 

tang  a„ o,84658  98562  6669 

sin  a,, 9,99554  27739  5274 

cos  a,^ 9,14905  29176  86o5 

A(a,J 9,52099   16582  6096. 

D'après  ces  élémens,  on  calculera  ceux  qui  conviennent  à  a^,  ce  qui 


224  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL, 

donnera  les  résultais  suivans  : 

ain  «,a  V/j'  •  •  9>845i2  77761  2076  sin  «,a.  .....  9,99564  27739  6274 

V/(i  4-cos«ia)  0,02863  2555o  9193  i+cos«,a. .  •  .  0,06726  5iioi  8386 

5ini«,j.  .  .  .  9,81649  52210  2882  tangi««,j. .  ,  ,  ,  9,93837  76637  6888 
o,i5o5i  49978  3199 

sin^  «12 .  v/s..  9,96701  02188  6081  9,96701  02188  6081 

|/(l+^«,a).  .  0,04128  62773  4783   \/(A«ia+COS«,a)  9,77226  3o854  334l 

sin  «6 9>9^^7^  ^94^5   1298     tangos °>^947^  7i334  2740 

cos  «6 9,73096  68080  8558    tangl^^ia 9,93837  76637  6888 

A«c 9,74362  o53o3  /^\J^S. 

De  ces  élémens,  on  de'duira  encore  par  une  nouvelle  bisseclion, 
ceux  de  «3,  comme  il  suit  ; 

sm«6-V/î.  .  •  9^77520  89436  8099     s  in  «6 9)9^^7^  394i5  1298 

\/(i +cos«f6).  0,09351   04473  6726     1-4- cos  «6'  •  •  •  0,18702  08947  3452 

sia^«6 9)68169  84963  1373    tangj«6 9)73870  30467  784S 

o,  i5o5i  49978  3199 

sin  ^  UQ.y/z.  .   9,83221  34941  4573* 9,83221  3494^  4^72 

\/(^i -j- Atce).  .   0,09674  62627  8769  \/(A<«6  +  cos  «s)  0,01918  48742  6726 

wn«3 9,7^^4^   82413  68i3  tangos 9,8i3o2  86198  7846 

cos  «3 9,92343  96214  7967  tang-j«6 9.73870  30467  7846 

A«t3 9,92667  44269  0000 

183.  Des  éle'mens  de  a^,  on  déduit  ceux  de  a„  par  les  formules 
des  complémeus ,  savoir  ; 

tang  a,o 0,61091  04252  i56o 

sina,„ 9,98734  62777  4410 

cos  at.o 9,37643  58525  285o 

A(a„) 9,45071   191 10  i552, 

et  de  ces  derniers,  on  déduit  par  bisseclion  les  élémens  de  a^ 
comme  il  suit: 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      5^5 

sinrt,o.v/î. .  .  9,83683  12799  1211  sin  «,„ 9*98734  62777  44io 

l/(i+co£«,o)-  0,04634  67607  6243  1  4.  cos  «,„..  .  .  0,09269  352i5  2485 

sini«,„.  .  .  .  9,79048  45191  4968  tangi«,o 9,89465  27662  1925 

o,i5o5i  49.978  5199 

sln{x,^.\/Q.  .   9,94099  9^169  8167  9.94099  951^9  8167 

\/(l-}-^'«io)--  0,05399  49^48  2754   \/(A«,o-j-COS«,o)  9,85809  49234  2723 

sin  «5 9,88700  45821  54«3    tang«5 0^08290  4^935  5444 

cos  «5 9,80409  99885  9969     tang^«,o 9,89465  27662  1926 

A«3 9,81174  81626  6481. 

184.  Enfin  pour  trouver  les  éle'mens  de  a^ ,  il  faudra  d'abord 
prendre  le  complément  des  éle'mens  de  a^,  pour  avoir  ceux  de  a,^, 
savoir  : 

tang  a,^ i,i85g2  6971 1   2791 

sin  a,4 9>99907   ^^9^^  4^^^ 

cos  a, 4 8,8i5i4  4^242  2064 

Aa,4 9,2284554831    1074^ 

on  déduira  ensuite  de  la  bissection  les  résultats  suivans  ; 

«in  «,4V/ï«  .  •  9,84855  60975   i656     sïnu^ 9,99907  10963  4855 

y'(i4-cos«,4)  0,01374  30433  6552     i  +  cos««,4.    .  .  0,02748  60867  3io5 

sin  ï  «,4.  .  .  .  9,83481  3o54i  5io4    tang  |  «,4 9^97158  5oo86  1760 

o,i5o5i  49978  3199 

sini«,4.\/2.  .  9,98532  80619  83o3     9,98632  80619  83o3 

\/(i -4- /i«,4)..  0,03394  83922  0621     \/(AcCf^~\-cos  ci,^)  9,68613  34689  4358 

sin«7 9;95i37  96697  7782     tanga^ o,3oo20  4583o  3945 

tang  à  «,4 9,97168  5oo86  1760 

^«7 9,67138  04266  7806. 

i85.  Si  l'on  joint  à  ces  résultats  ceux  que  donnent  les  formules  de 
Gomplémens  appliquées  aux  amplitudes  a,,  «3,  «5,  a^,  on  aura 
les  logarithmes  des  quantités  sina,  tang  et,  Aol,  pour  tous  les  termes 
de  la  suite  a,,  a^,  0.3.  .  .ct,Q.  Il  faut  maintenant  chercher  les  valeurs 
correspondantes  de  la  fonction  Ea,  ce  qui  se  fera  aisément  par  les 
log-sinus  déjà  trouvés.  Voici  le  calcul  de  ces  fonctions,  où  l'on 
trouvera  de  nombreuses  vérifications  qui  prouvent  l'exaclilude  de 
nos  résultais. 


/ 


226  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Par  la  TabJe  I,  on  a  log  E' =  o,oi445  21010  0944»  ce  qui 
donne  £'  =  1,03378  94625  9087,-  substituant  cette  valeur  ainsi 
qu«  celle  de  i  —  Z»  =  0,843 56  55549  ^97 7  ,  dans  l'ëquation  Ea» 
=  îE'4-i-(i — b),  on  aura  Eag  =  0,93867  749S6  7532.  Ce  terme 
va  servir  à  calculer  tous  les  autres. 

Calcul  de  Ea^  par  la  formule  2Ea^  —  Eag  =  c^sin*  a^  sin  otg. 

^' 9)9^925  98541   5oi6    Eag =  0,93867  74986  7532 

si""*4-  9^65612  25588  5oi8    p 0,41096  22209  ^^^^ 

sinag.   9,96845  94867  9809  1,34965  971^16^ 

P 9,6i38o  18997  7843     Ea^ =  0,67481  98598  i835 

Calcul  de  Ea,  par  la  formule  aEa^  —  Eu^  =  c"  sin*  a^  sin  a,. 

^' 9;9^925  9^54,1  5oi6    Eu^ =  0,67481  98598  i835 

sinX-  9>ï7537  72822   1980    p 0,09787  64965  9827 

sin  «,.  9,82806  12794  25o9  0,77269  63564  i6"67 

p 8,99067  84157  75o5    Ev, =0,38634  81782  o83i 

Calcul  de  Ea  par  l'équation  2Ea  —  Ea^  =  c*  sin*  a  sin  a^. 

c* 9*98925  98541   5oi6     Ea, =  o,58654  817S2  o85i 

siu'^a.   8,6o52i  62002  9432    p o,oi5i7  55589  3074  6 

sin  a..   9,58668  86411   0990  ^;^^T5;"i737~71^^5^ 

P 8,18114  4%55  3438     Ea =z=  0,20076  18685  6952  8 

Calcul  de  Eu, ^^  i°.  par  l'e'qualion  Ea^-j-Ea.^i^E'-f-c^'sina^sina,,. 

^*----   9Î98923  98541   3oi6     E'c ==  1,03578  94623  9087 

sina^.  9,82806   12794  2509     Ea^ 0,67481   98598   i855 

sina...  9,99564  27759  5274  ^:^58^6~96^257;^ 

P 9^81294  39075  0799    P •  •         o,65oo4  57264  8663 

E(3t,2.  . , .  =  1,00901  55290  59.15 

2'.  Par  l'équation  Ea4  -j-  E^g  =  Est,,  -f- c*  sin  a^  sin  a^  sin  a,,. 

^y«4>.a  9.81294  39075  0799     EagH-Ea4=  1,61549  755^4  9367 
sin  ag. .  .   9,96845  94867  9809     p ,  .=  0,60448  20294  3456 

P 9>78i58  33943  0608    Eût,,  ....=  1,00901  53290  5911 

Milieu  entre  les  deux  résull.:     Ea,, =  1,00901  5329a  5913 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       227 

CalculdeEds  par  l'equatioii   aEotg — Eot,,=  c''sin'a6sina,.. 

c» 9»98923  98541   3oi6     Ea, =  1,00901   53290  5913 

sin'ag.  9,85i44  ySSSo  2596    p 0,68601   01020  8i5i 

sina...  9,99564  27759  5274  1,69502  5431 1  4044 

p 9,85633  o5iii  0886     Eag =  0,84751   27155  7022 

Calcul  de  Eag  par  l'équation  2Ea3  —  Eag  =  c"  sin"  «3  sin  ««e- 

c» 9,98923  98541   5oi6     Eae  .  . . .   =  0^84751   27155  7022 

sin' «3.  9,47293  64827   1626     p 0,24428  69562  5341    I 

sin  «6-   9,92572  594i5   1298  1,09179  967i"8  2363   i 

p 9,38790  02783  5940    Eots  . . . .  =  0,54589  98559  1181  6 

Calcul  de  E&L,^,  i".  par  l'équat.  Ea6+Ea,o=E'+c'sinot6sina,„. 

c» 9,98923  98541   3oi6     E'— Eag.  =  0,18627  67468  2o65 

sin  «6-   9,92572  59415  1298    p 0,79856  46352  6023  4 

sin  *-•  9>9^754  62777  44^0     Ea,,. . . .  =  0,98484  i3820  8088  4 
p.*.,.  9,90251   00755  8724 

2°.  Par  l'équalion  Ea^  +  Eatg  =  Ea,„  4-  c''  sin  a^  sin  ag  sin  a,o. 
c'sina,  9,57592  84952  4006     Ea^-f-Ea»  =  i,525o2  56768  8565 

sin  «g.   9,96843  94867  9809     p 0,54018  4294^  0271   2 

sin  a,„.  9,98754  62777  4410     ^^^^  ^  ^  ^  =  0,98484  i587o  8091  8 
p 9,55171  4^597  8225 

Milieu  entre  les  deux  re'sultats:  Ea,o  =  0,98484  i5820  8090. 

Calcul  de  E^s,  1°.  par  l'équation  2Ea5  —  Ea,^^=:c''s\xv'ct^s\xlot.^^. 
c" .  . . .  9,98925  98541   5oi6     Ea,o....   =  0,98484  i5820  8090 

sin*  «5.  9,77400  91645  0826    p o,565ii  26662  8256  5 

sin  a.,.  9,98754  62777  4410  1,54795  40485  6526"~5 

p 9,75059  52961  8252     Eaj  . . . .  =  0,77597  70241  8i63  3 

2°.  Par  l'équation  Ea3-j-Ea5=Ea8+ t'usinas  sin  as  sin  «g. 
c'sinaj  9,72570  80954  8829     Eotg — Eas  =  0,59277  76627  635o  4 

sin  «5.   9,8870045821   54i5     p 0,5811995614   1811   7 

sin^g.  9,96843  94867  9809     ^^^ ^  0,77397  7o74i  8162   I 

p 9,58ii5  21644  4^5 ï 

Milieu  entre  les  deux  résultats  ;  Ects  =  0^77297  70241  8162  7 


228  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Calcul  de  l^a,^^  i°.  par  l'équat.  EaaH-Ea,4==E'-}-c''sinot2sinflt,4; 

c*slna,  9,57592  84952  /fOo6     E' — Ea^  =  o,64744  12841  8256 
sina,^.   9,99907   10953  4^55    p o,57585  70499  8497  ^ 

p 9,57499  95905  8861     Ea,^. . . .  =  1,02327  83341  6755  5 

2°.  Par  l'ëquation  Eag  -f-  Ea^  =  Ea,^  -\-  c"  sin  a^  sin  «g  sin  a,^. 

c'^sinag  9*9^49^  57956  45i4     Ea^+Eag  =  1,78619  02142  45^4 

sin  «g..   9,96843  94S67  9809    ;y =  0,76291    18800  7799   i 

sin  a.,.  9,99907   10955  4855     £«,,....  ==  1,02327  8557i  6754  9 

V 9jS8247  45777  8978 

Milieu   entre  les  deux  résultats:  Ea,^  =  1,02527  8554i  6754  2 
Calcul  de  Ect^,  1°.  par  l'e'qualion  :iEa^ — Eaj^rzi^c^^sin^a^sina,^. 

c* 9,98923  98541   5oi6  Ea^.  . . .  =  1,02327  83341  6754  2 

sin^tt;.  9,90275  93195  5564    P 0,77816  24478  7589  7 

sin ^.4-  9^99907   ^09^5  4855  i,8oi44~07820  4i43  9 

p 9,89107  02690  5455  E*7  . . . .  =  0,90072  05910  2072  o 

2°.  Par  l'e'quation  Ea+Ect^^EcCg-j-c^sinasina^sinag. 

c^sina.  9,29184  79^42   7732  Eatg — Ea  =  0,75791  565oi   0579  2 

sin^y..   9,93157  96597  7782     p 0,16280  47^<^9   ^492  4 

sinag..   9,96845  94867  9809  Ea,  ....  ="^90072  05910  2071  6 

p 9,21166  71008  5525 

Milieu:  Eot7  =  0,90072  05910  2071  8. 

Calcul  de  Ectg ,   i".  par  l'équat.  Ea^  -j-Ectg  =E'  +  c'*SîWa7sin  oîg. 

(;•....   9,98925  98541   5oi6     E' ==  1,03578  94625  9087 

sina^.   9,95i57  96597   7782     Ea^ 0,90072  05910  2071   8 

sinctg..  9>97979  465 II  6o52  ô,i55o6  90715  7015  2 

p 9,92041  4^650  685o    p o,83255  75612  2635  7 

Eag...,.   =  0,96562  64525  9648  9 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       229 
2'.  ParTéqualion  Eci-\-Eoi,i  =  Ea,^-{-c*sinc(,smci^smct^. 

c'sina.  9,29184  79542  7732     Ectg+Ea  =  i,i3945  93672  4485 

sin  et,.  9,96843  94867  9809    p 0,17381   29546  4837  3 

sin«9.  9>97979  465ii  6032     ^^^ __  0,96662  64325  9647  7 

p 9,24008  20922  3573 

Milieu  :  E^g  =  0,96662  64325  9648  4. 

Calcul  de  Ea„  ,  1°.  par  l'équat.  Ea5  4-Ea,,  =  E*4-c*sina5sina„. 

c- 9,98923  98541   3oi6     E' =  1,03378  94623  9087 

sinaj.   9,88700  45821   54i3     £«5 0,77397  70241   8162  7 

sina,,.   9,99255   18259  3488  0,26981   24382  0924  3 

p 9,86869  626:22   1917     p 0,73891   80274  6692  7 

Ea,,....  =  0,99873  04666  7617 

2'.  Par  réqualionEct3-f-Ea8=E:c,,H-c'sina3sina8sina„. 

c*sinas  9,72670  80964  8829     Eag+Eaj  ==  1,48467  73346  8713  6 

sin  «g.-   9,96845  94867  9809     p 0,48684  Ç>^6S^  1194  I 

sin  a.,.  9,99236  18269  5488     e^^^.  _  .  =0,99873  04666  7619  5 

p 9,68649  94082  2126 

Milieu:  Ea„  =  0,99873  04666  7618  2. 

Calcul  de  Ea,3,  i°.  par  l'équat.  Ea3+Ea,3=E'+c'sina3siaot,j. 

c*sina3  9,72670  80964  8829  E'  —  E^s  =  0,48788  96264  7906  4 
sin  a, 3.  9,99776  61945  7967  p 0,62902  14603  8867  2 

p 9,72347  32900  6796  Eût, 3.  ...  =  1,01691  10868  6772  6 

2°.  Par  l'équation  Ea5 4- Ea8=Ectj3  +  c* sin  «5  sin  ûtg  sin  a.j. 

c'sinoia  9,87624  44^^^  ^429     Ectg+Eaj  =   1,71266  4^228  6694  7 

sinocg. .   9,96843  94867  9809     p 0,69674  34369  8921   7 

sina.3.  9>9977^  ^^945  79<^7     Ea.3.  . . .  =  1,01691   108686773 

p 9,84244  9^1 7^  6206 

'Milieu:  Est, 3  =  1,01691   10868  67728. 


:iDO  EXERCICES  DE  CALCUL  INTEGRAL. 

Calcul  de  Ea,5,   i°.  par  l'ëquat.  Ea-|-Ea,5r=E'-|-c*sinûtsina,5. 

c*siaa  9,29184  79^42  7732     E'c — Ea  =  o,833o2  75938  2i34 
siaa.j.  9,99977  70162  7274    p 0,19571  53868  3621  8 

p 9,29162  497^5  5oo6    Eot,5. ...  =  1,02874  29806  5775  8 

2°.  Par  l'ëqualion  Ea7-|-E«it8  =  Ea,5  4-c*sina7sina8sinai5. 

c* 9,98925  98541   3oi6    Eotr-|-Ea,=  1,83939  78896  9603  8 

siaa^.,  9,95107  96597  7782    p o,8io65  49090  3848  4 

sm«g.   9,96843  94867  9809     Ea,5....   =   1,02874  29806  5755  4 
sma,5.   9,99977  70162  7274 

p 9,90883  60169  7881 

Milieu:  Ea,5  =  1,02874  29806  5755  6 

186.  Il  ne  reste  plus,  pour  compléter  notre  tableau,  qu'à  calculer 
les  valeurs  de  cp ,  qui  répondent  aux  logarithmes  connus  de  leurs 
sinus  ou  de  leurs  tangentes.  Il  est  préférable  pour  cet  objet,  d'em- 
ployer les  log-langentes,  principalement  depuis  45°  jusqu'à  90°;  on 
se  servira  donc  des  formules  suivantes ,  qui  paraissent  les  plus  com- 
modes dans  la  pratique: 

log  tang  (p  =:  log  tang  â!  +  r,     p=z^Mr, 
(p  —  â!  =  ^sin2«(i  +  ;?  cos  2âs  4- "l ;»*  cos  4^)- 

Pour  cet  effet,  on  prendra  dans  la  Trig.  brit.,  l'angle  a,  tel  que 
Ztang«  approche  le  plus  qu1l  est  possible,  en  plus  ou  en  moins, 
de  /tang<p;  on  calculera  avec  les  Tables  à  dix  décimales,  le  pre- 
mier terme  (i)=/?sin2«,  qu'on  aura  soin  de  multiplier  par  R°, 
pour  exprimer  la  correction  (i)  en  parties  décimales  de  degré, 
jusqu'au  douzième  ordre  au  moins;  de  là  on  déduira  les  deux  autres 
corrections  (2)  =  (1)  ./?cos  2«,  (3)  =  (1)  .  i/?'cos4â5,  et  du  tout 
on  formera  la  valeur  de  <p — a,  en  observant  les  signes  que  doivent 
avoir  les  termes,  suivant  ceux  des  facteurs  p,  cos2^,  cos  4«. 

C'est  ainsi  qu'ont  été  calculées  les  valeui^  de  (p  qu'on  voit  dans 
la  Table;  elles  sont  bornées  à  la  douzième  décimale  de  degré,  ce 
qui  est  un  degré  de  précision  correspondant  aux  quatorze  décimale» 
des  log-tangentes. 


I 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      25i 
Voici  un  des  calculs  de  ce  genre  que  nous  donnons  pour  exemple. 

?>=a4 /tangcp  =  9,95907   77023  7631 

angle  approc.  a  =42%  3o  ..    /  tang  a  =  9,95900  79781  2573 

/  lang  A=  l  tang  a  -\-  r. , .  .   r  =z  6  97242  5o58 


r. . . .   5M^^^  58549  9 
^M..  0,06118  56930  4 


20=.    84.60  â!+(l)=42°  30457  88928  o5l 

40=169.20         (2)     +  345  906 

p....  5,90456  95480  3  (^)    ZZ ^ 

sin2fl  9,99806  82960  5  (p  =42>3o457  89275  764 

R°...    1,75812  26324  I 

(i)..   7,66076  04764  9     7,66076  0 

p....   5,90456  9548  /7* 1,80913  g 

cos2a  8,97562  799  ^cos4«  9>Sï6i4  7 

(2)  . .  2,53895  801  (3) 9,28594  6. 

187.  La  formule  dont  nous  venons  de  donner  une  application 
suppose  qu'on  peut  négliger  les  termes  de  l'ordre  p'^ ,  ce  qui  aura 
toujours  lieu  lorsque  l'angle  <p  sera  au-dessus  de  5°.  Dans  tout  autre 
cas,  la  quantité  tang  (f)  étant  très-petite,  on  fera  làng(p  =  t ,  et  on 
calculera  (p  par  la  suite  ordinaire  <p=.t  —  jt^-\-\t^  —  ^i^-j-elc. , 
dont  tous  les  termes  devront  être  multipliés  par  R%  et  qui  sera  alors 
fort  convergente.  On  ferait  la  même  chose  pour  tang (90''  —  (p),  si 
^  était  très-près  de  90". 

Par  exemple,  pour  calculer  l'angle  a, 5  par  le  moyen  de  son 
log-tang.,  soit  A  le  complément  de  a, 5  et  tang  A=£;  on  aura 

log  t  =  8,5o587  09288  8o83, 

et  A  =  R"'^(i --i<»-f-|-^^  —  ii«-|,ii«).  Voici  les  logarithmes  de 
ces  cinq  termes,  et  les  nombres  correspondans  exprimés  en  degrés 
et  décimales  de  degré. 


a^2  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

(i)...  0,26399  356i2  9000        (i)  =     i»8365i   iii56  2465 
(2)...  6,79861  41643  3  (2)...     —      62  89471  6567 

iT83588  21684  58^ 
(S)...  5,5885o  7272  (3)...     +  3877  1024 

2556i  6922 
(4)...  0,45412  II  (4)...     —  2  8452 

25558  8470 
(5)...  7,35672  (5)...     +  25 

A  =     I, 83588  25558  8495 
donc  a, 5  =  88° 16411   7444 ^   i5o7. 

188.  Au  moyen  du  tableau  que  nous  venons  de  construire,  la 
détermination  des  fonctions  E  et  F  pour  toute  amplitude  proposée  <p, 
peut  être  ramenée  immédiatement  aux  cas  où  l'amplitude  proposée 
est  moindre  que  6°;  car  en  choisissant  pour  a  le  terme  de  la  taWe 
qui  approche  le  plus  de  (p  (celui  au  moins  pour  lequel  la  différence 
F(p — Frt  est  la  plus  petite  ),  on  aura  toujours  F(p — F<5r,  ou  ^J<C.jzF'c, 
et  par  conséquent  j-<<6". 

Nous  avons  donné  dans  l'art.  174  les  formules  nécessaires  pour 
calculer  les  valeurs  des  fonctions  ¥jJ-  et  F^,  lorsque  l'angle  j^  est 
d'un  petit  nombre  de  degrés.  Mais  lorsque  jr  approchera  de  la  limite 
6%  ces  formules,  dans  lesquelles  on  a  négligé  les  termes  de  l'ordre^^ 
ne  pourront  guère  donner  que  dix  décimales  exactes,  et  il  faudrait 
les  prolonger  jusqu'aux  termes  j""  ou  mémej''^,  pour  avoir  un  degré 
d'exactitude  égal  à  celui  de  notre  tableau.  Pour  éviter  cet  inconvé- 
nient, et  réduire  tous  les  calculs  aux  formules  ordinaires  d'inter- 
polation, il  faudra  construire  une  seconde  table  qui  contienne  les 
valeurs  des  fonctions  E  et  F  pour  des  amplitudes  croissant  par  de 
petits  intervalles,  depuis  0°  jusqu'à  6°. 

Cette  table,  que  nous  appellerons  la  table  n°  2,  pour  la  distinguer 
de  la  table  n°  i ,  que  nous  avons  déjà  construite ,  peut  se  calculer 
de  demi-degré  en  demi-degré,  par  les  formules  de  rarlicle  cité, 
sauf  à  leur  donner  plus  d'étendue ,  lorsque  l'angle  jr  devient  plus 
grand;  mais  nous  préférons  de  la  calculer  ici  par  la  méthode  du  §IV, 
qui  peut  également  servir  à  calculer  la  table  principale  n°  i. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      255 

Il  suffira  pour  notre  objet  de  calculer  les  valeurs  de  (p  et  de  E(p 

qui   répondent  aux  différentes  valeurs   n=^i ,   2,    3,.  ..12,  dans 

l'équation  F(p  =  — .p";  car  de  celte  manière  les  valeurs  de  (p 
croîtront  par  des  intervalles  moindres  qu'un  demi-degré,  et  l'inter- 
polation pourra  être  faite  avec  toute  l'exactitude  qu'on  peut  désirer, 
pour  toute  valeur  de  7i  moindre  ^ue  12. 

189.  Cherchons  d'abord  l'amplitude  €  qui   satisfait  à  l'e'quation 
F^  =  -ij.Ç^  =  z,  où  Ton  a  log«= 7,92826  01 865  49o3.  Le  moyen 

le  plus  simple  est  de  résoudre  l'équation  suivante  dans  laquelle  on 
a  négligé  les  quantités  de  l'ordre  Q^  qui  n'entrent  pas  dans  les 
quatorze  premières  décimales, 

on  en  tire 

€  =  «  — icv^  +  ^i^^  —  ê-, 

6  '    3o        •     120      ' 

ensuite  on  aura  Eê  par  l'équation 

E^4-FC  =  2g  +  ^^5; 

substituant  la  valeur  connue  de  t,  il  en  résulte 

^  =  0,00847  72523  60254 
F^  =  0,00847  73514  11832 
EÇ  =  0,00847  71533  10760, 
on  aura  en  même  tems  la  formule 


d'où  l'on  déduit  la  valeur  de  C  en  parties  décimales  de  degré,  comme 

il  suit  : 

€ 7,92825 '51119  09746 

R° 1,75812  26324  09172 

9,68637  77443  18918 

^...=o°4857i  07821  09868. 

Maintenant,  pour  construire  la  table  dont  il  s'agit,  il  faut  reprendre 
les  formules  de  l'art.  94  ci-dessus. 


234  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

190.  Soient  (p%  <p,  (p',  trois  termes  consécutifs  de  la  suite  ^t,  C», 
€3,  etc.  qui  re'pond  aux  valeurs  successives  /z=  i  ,  2,3,  etc.;  on 

déterminera  k  par  l'équation  -^-r  ==  ^csinC=^p,  qui  donne 

log.=  log^^+.(i.;,'4-i^.f+,^.^^  +  e.c.> 

si  ensuite  on  fait  J^*^°  = — 2ûe),  on  aura  pour  déterminer  a  l'équation 

sin  Cl)  =  k  sin  (2<p  —  a»), 
ou  la  série 

û)  =  Â:  sin  2:p  - —  ^  k"  sin  4<?'  +  y  ^'^  sin  6<p  —  etc. 

Enfin  pour  déterminer  E(p',  on  observera  qu'àréquationF(f:+F€'=F(p', 
correspond  l'équation  EC+E(p=E<p'-}-c*  sin  ^  sin (p  sin  (p',  d'où  résulte 

E(p'  =  E^  -f-  E:p  —  c"  sin  C  sin  (p  sin  (p'j 

quant  aux  coefficiens  qui  entrent  dans  ces  équations,  voici  leurs 
logarithmes  : 

k 5,24369  490^4  2596 

kK° 7,00181   75388  35i3 

Ik'K".,    1,94448  24496 
ikm\.   7,01208  6 
sin^...    7,92824  99102  2144 
c'sinC.   7,91748  97645  5i6o. 

191.  D'après  ces  formules,  nous  allons  procéder  aux  calculs  né- 
cessaires pour  former  la  table  n°  2. 

Calcul  de  ^^  et  E^^. 

Il  faut,  dans  les  formules^  faire  (p°  =  o,  <p  =  C,  et  on  aura 
<p'  =  ^,.  On  observera  d'ailleurs  que  les  tables  à  dix  décimales  suf- 
fisent pour  calculer  le  premier  terme  de  la  valeur  de  a;  mais  à 
cause  de  la  petitesse  de  l'angle  2(p ,  il  conviendra  de  calculer  son 
log-smus  par  la  formule  du  n°  147^  et  on  aura  la  valeur  de  C^  par 
le  calcul  suivant: 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      ^55^ 


sin2!p. 
(i)..... 

8,22926  45006  7 
7,00181  75388  3 

5,23 108  18395 

8,53o23  19 
1,94448  24 

(1)...  = 

(2)... 

(5)... 

û)  ,  .  .   .     

c^'r-  •  =- 

o°ooooi  70247  92974 

—          2    98342 

4-           5 

sin4<p. 

i^•R^ 

0,00001  70244  94637 

—OjOOooS  4*^4^9  ^9274 

0,48571  07821  09868 

(2)... 

0,47471  43 

(p = 

0,48567  67331  20594 
0,48571  07821  09868 

sin  6(p . 

8,70622 
7,01209 

^.=9'  = 

0,971 38  751 52  30462. 

(3).... 

5,71831. 

Pour  avoir  E^a,  il  faut  calculer  le  terme  c*  sin  C  sin  (p  sin  (p',  ou 
c' sin*^  sin  (p';  mais,  dans  la  vue  de  faciliter  le  calcul  de  ^3,  on 
cherchera  à  la  fois  les  logarithmes  de  sin(p'  et  cos^',  par  les  formules 
de  l'art.  147,  ce  qui  donnera  les  résultats  suivant  : 


Ry 9^98759  25174  o 

R° 1,75812  26324  I 

<P' 8,22926  98849  9 

(i)...  =  0,00006  24157  343 
(2)...  29  901 

(3)... ^ 

cosfp'..  —  0,00006  24187  246 


<p'^   6,45853  97700 
9,33675  43 I 56 

(1)  5,79529  4o856 

(p'^f  2,91707  95    (p'8  9,37562 
8,5586o  3i       7,9^457 

(2)  1,47568  26    (3)  7,36019 


^(1)=  0,00002  o8o52  448  c"  sin*  € 5,84575  96746 

Ts  (2) •         •  I  993  sin  (p' 8,22924  90795 


2  08054  44 I 
(p' 8,22926  98849  9 

sin(p'..  8,22924  90795  46 
cos(p'.  —  6  24187  25 
2 o,3oiG2  99956  64 

sin2cp'..  8,53o2i  66564  ^5 


z. 40749S  87541 

2E^ =  0,01695  43066  2l52 

Z 11884  7145 

E^a=  E^'  =  0,01695  5ii8i  5007 


256 


AR» 7,00181  75588  55 

(i) 5,552o3  41953  20 

4;p...=  5=55' 7"98 
siu4(p.. .  8,85099  70 

ii9444^j4 

(2) 0,77547  94 

6p...  =   5°  49' 42" 
sin6<p.. .  9,00667 

7,01208 
(5) 6;^8^ 


sin(p'...  8,40528  89681  5ï 

cos(p'. ..  —   î4  0434^  06 

2 o,5oio2  99956  64 

sin2(p'..  8,70617  85297  09 


+ 


5  96520 
10 


EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Calcul  de  €3  et  E^s- 

11  faut,  dans  les  formules,  faire  (p°=^,  (p  =  ^,,  et  on  aura  (p'=C; 
Dans  ce  cas,  sin  2(p  devient  ce  qu'était  sin2(p'  dans  le  cas  précédent. 

sin2p...  8,55o2i  66564  QS        (i)...  =    o°oooo5  40434  99370 

(2).. 
(5).. 

Cù..  . 

j'(p° . 

c^sinC  . . 
sin  (p.  . . . 
sin(p'. .  .  . 
z 

E(p. ..  = 

z  . . . . 

E^3=E!p'=    0,02542  67067  2122 

Calcul  de  €^  et  YÂ^. 

11  faudra  faire  (Po  =  ^.,  (p=:^3,  et  on  aura  (?>'— ^4.  Voici  le  calcul 
d'après  ces  données ,  en  suivant  la  même  marche  que  dans  le  cas 
précédent. 

(■)...= 
(2).. 

(3).. 

Où.   .  . 

cT^p.. 
(p.. 


=  o,oooo5  40429  o5o6o 
= — 0,00006  8o858  06120 
0,48567  67351  20594 
=  ^856o"86473  14474 
=  0,971 58  75i52  50462 

:rr   1,45699  61625  44 9^^ 

•..  7^9^ 74s  97645  5 
. . .  8,22924  9079^  5 

. . .  8,40528  8968^ 

4,55202  78120  5 
0,01695  5ii8i  5007 
847  71533  1076 
—     35647  3961 


sin  2?5..  8,70617  85297  09 

hVC 7,00181  75388  55 

(1} 5,70799  6o685  44 

4(p...=  5°  49' 40"  74 
sin4?>.-  •  9,00664  65 

1,94448  24 

(2) 0,95112  89 

6<p....^  8'44'3i"i2 
sin6<p.. .  9,18180 

7,01208 
(3) 6,19388 


o,oooo5  io5oo  37866  o 
—  8  93570  7 
-f-  i5  6 


o,oooo5  10491  443 ïï 
— 0,00010  20982  88622 
o,4856o  86473  14474 
o,4855o  65490  25852 
1 ,45699  61625  4495_6_ 
^4=^'=  i79425o  27115  70788 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       aS; 


sîtKp'...  8,53oi5  58oo4  64 

cos<p'...  —     24  96407  81 

8,52990  61596  85 

o,3oio2  99956  64 

sin2!p'..  8,83093  61 553  /^'j 


sin  <p, 
sin  (p'. 
j.... 


7591748  97643  52 

8,4o528  89681  5i 

8,5 3qi 5  58oo4  64 

4,85293  45329  67 


E?). . .  =  0,02542  67067  2122 


E^. . .      84.7  71553  1076 
0,03390  38600  3 198" 

jr 71274  558o3 

E64=E(p'  ==  0,03389  67325  y6i 77 

Calcul  de  Cs  et  E^s. 

Il  faut  faire  dans  les  formules  (^"  =  ^3,  (p:=^^,  (p'  =  ^5j  ce  qui 
donnera  les  résultats  suivans  ; 


sin2(p...  8,83093  61 553  47 
AR° ....   7,00181  75388  55 

(i) 5785275  36941  82 

4(p...=  7»46'i2"o59 
sin  4^.-  •   951^096  70 

1,94448  24 

(2) 1,07544  94 

6p... =  ii°59i8" 
sin6;p. . .  9,5o539 

7,01208 
(3) ^;3774^ 

sincp'...  8,62697  33896  5o 

cos^'...  —   39  00237  ^Qi 

8;6H658~55658~74"' 

o,3oi02  99956  64 

sin2<p'..  8,92761  3561 5  38 


(i)...  o«oooo6  8o383  37650 

(2)...  —       Il  89733 

(3)...  4-            21 
ft). . 

ê^(p. . .  0,48537  04747 

<p.  . . .  1,94250  271 15 

Cs=<p'=  ~2^i2j8j   3i863  00764 


0,00006 
-0,0001 3 
o,4855o 
0748537 
1, 94250 


80371 
60742 
65490 


479^8 
95876 
25852 
29976 
70788 


7,91748  97643  52 
8,53oi5  58oo4  64 
8,62697  35896  3o 
5,07461  89544  4^ 

o,o3389  67325  76177 
847  71533  10760 
0,04237  58858  86957 

J"  "         I  18745  99o5o 

E^5=E(p'=  0,04236  20 1 1 2  87887 

JC 


c^sin^ 
sin  (p.. 
sin  <p'. 

E(p.  .  .: 


a38  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Calcul  de  Cq  et  E^g» 
II  faut  faire  <p°  =  ^4,  (^  =  ^5,  (p' =  ^6- 
sin2(p...   8,92761  556i5  58    (i)..    o'ooooS  5oo25  4^709 
AR» . . . .  7,00181  75588  55    (2) . .    —       14  84446 

(i) 5,92945  09005  73    (3)..    + 26 

4<p...=  9*42'4i"374       &>....=:  0,00008  5ooo8  59289 

sin4?)..-  9,22708  19        /"«p'  = — 0,00017  00017  18578 

1,94448  24        J'(p\  .    0,48557  04747  29976 

(2) 1,17156  45         (^(p.,,         0,48520  04750  II 598 

6(p...=:  i4°54'2"  0 2,42787  5 1865  00764 

sin6ip...  9,4oo56  5         Cg=(p'z=:    2,91307  56595  12162 
7,01208  6 

(3) 6,4i265~T         c*sin^    7j9ï748  97^43  52 

sin  (p.    8,62697  33896  3o 
sîntp'...  8,70604  17 102  24    sin(p'.    8,70604  17 102  24 
cosç)'. ..  —  56   i5658  97   j"....    5,25o5o  48642  06 
8,70548  01463  27 

o,5oi02  99956  64    E(p. .  .=  0,04256  20112  878S7 
sin2(p'..  9,oo65i  01419  91    E^...      847  7i553  10760 

o,o5o85  91645  98647 

j.  ...        I  78054  78498 

E^6=E(p—  o,o5o82  i36ii  20149 
Calcul  de  C^  et  Eé";. 
Il  faut  faire  (p°  =  ^5,  (p=^6,  <p'  =  ^7. 
sin2î)...  9,oo65i  01419  91    (O**    CoGOio  19360  21849 

AR° 7,00181  75588  55    (2)...    —       17  77351 

(i) 6,oo832  76808"^   (3)...    H- 3i^ 

4(p  . .  .==  ii°59'8"26        (»....=  0,00010  19342  44529 

sin4(p-..  9,3o529  09        cr'(p°  .= — 0,00020  58684  89058 

1,94448  24        Sr.  .    o,4852o  04750  II 598 

(2) 1,24977  55        ^<p...         0,484996604522340 

6(p...=  i7°28'42"4        <p....    2,9i5o7  56593  12 162 
sin6^...  9,47765  6         ^,=-.9'=  3,39807  oT638  345o2 

7,01208  6 
(3) 6,48972  2 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES. 

sm(p\..   8,77285  5og5g   6g    c'sinÇ    7,91748  97643  52 


239 


COS(p'.  ..  76  4^378  12 

8,77209  o858i  Bj 
o,3oio2  99956  64 

sia2<p'..  9,07312  08538  21 


smip. 
sin^'. 

E(p...= 


J- 


8,70604  17 102  24 
8,77285  50959  69 

5,39638  65705  45 

o,o5o82  i36ii  20149 

847  71553  10760 

0,05929  85 144  ^0909 

2  49^07  36652 


E^7=E(p'=    o,o5g2  7  56o36  94^57 
Calcul  de  ^g  ^t  E^g. 
II  faut  faire  <p''  =  ^s>  ^  =  ^7j  <?>'  =  ^8. 
sin2(p...  9,07312  o8538  21         (i). 


AR° 7,00181   75388  35 

(r) 6,07493  83926  SG 

4(p...=  i3°35'32"2i2 
sm4(p...   9,57108  85 
1,94448  24 

(2) 1,3 1557  09 

6(p...=  20»23'  i8''3 
sin6(p.. .  9,54205  6 
7,01208  6 

(3) 6,55414  2 

sin (?'...  8,83069  3i864  4i 
cos(p'. ..  — .  99  80178  85 

8,82969  5i685  56 
o,3oio2  99956  64 

sln2(p'..  9,1 3072  51642  20 


(2). 

(3). 

Ct>.  .   . 

<p... 

c^s'inC 
sin  (p. 
siui^'. 

j.  .  . . 


=  o'oooii  88353  643o4 
—  20  68097 
-{-  36 

=  0,00011  883 12  96243 

= — 0,00023  76625  92486 

0,48499  66045  22340 

0,48475  89419  29854 
3,39807  02658  34502 

=  3,88282  92057  64356 

7>9ï748  97645  52 
8,77285  50959  69 
8,83069  3 1864  4i 


5,52 io3  80467  62 

E(p.  ..=  0,05927  36o56  94257 
E^...       847  71533  10760 

0,06775  07570  o5oi7 
jr....        5  31923  53474 

EC,=:E<p'z=    0,06771  75646  5154"? 


24o  EXERCICES  DE  CALCUL  INTEGRAL. 

Calcul  de  C^  et  E^g. 
On  fera  dans  les  formules  (p°  =  ^^ ,  <p  =  ^g ,  (p'  ==  C  , 


sin2(p. . . 

9,13072  51642 

20 

(1)..= 

o°oooi3  56883  942655 

ÀR- . . . . 

7,00181  75388 

35 

(2).. 

~       23  5633io 

(0 

6,1 3254  27030  65 

(3).. 

+            406 

4?>...=: 

:  l5°3l'52"74 

O) = 

0,0001 5  56860  37973 

sin4<p.. . 

9,42775  39 

S'r-—- 

-0,00027  13720  76946 

1,94448  24 

S(p\, 

8,48475  89419  29854 

w 

1,37223  63 

j'(p..= 

0,48448  76698  53908 

6?)...= 

23M7'49"ii 

3,88282  92067  64356 

sin6(p.. . 

9.59714  3 
7,01208  6 

ç'....- 

4,56731  67766  18264 

(3) 

6,60922  9 

c'sin^ 
sin  (p. 

7*91748  97643  52 
8,83069  3 1864  4ï 

sin(p'. . . 

8,88167  i43o4 

00 

sm(p\ 

8,88167  14504  oo 

cos<p'.. . 

—  126  28722 
8,88040  8558 I 

98 

02 

r---- 

5,62986  43811  93 

o,3oio2  99956  64 

E(p...= 

0,06771  76646  5i54S 

sm2(p'. . 

9,18143  85537 

m 

Eê... 
j.  ... 

847  71533  10760 

0,07619  47^79  623o3 

4  26436  61080 

0,07616  20743  11225 

Calcul  de  ^,„  et  Eé",,. 
Il  faudra  faire  (p'==  ^8,  (p  =  ^g,  (p'=^,o. 
sin2(p...   9,18143  85637  ^^         CO  •  •=    o°oooi5  249^1   71463 
kR°.  ...   7,00181  76388  55        (2)..         —  2641707 

(1) 6,i8326  60926  01         (3)..         + 45 

4(p. .  .=i7''28'9"362  &)....=    0,00016  24926  29801 

sin4^...  9j4774<^  ^3  (^"(p"  .=: — o,ooo3o  49860  69602 

1,9444824  -cr<p°. .         0,48448  76698  55908 

0,48418  26847  94506 
4,36731  67766  18264 
4,85 149  93604  1267a 

(5) 6,66708  2 


W 1,42188  47 

6<p...~  26^12'  14'' 

sin6(p...  9,64499  6 

7,01208  6 

cr(p... 

(P'...: 

sîn(p)'. 

COS  (p'. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES. 

8,92723  4^549  55    c"sin^    7,91748  97643  52 

sin  (p. 
sin(p'. 


241 


.  __  i55  87650  45 


8,92567  54899  10 
o,3oio2  99956  64 

sin 2^'..  9,22670  54855   74 


8,88167  14304  00 
8,92725  4^549  55 


j.... 

E(p...= 
E^... 

jr.... 


5,726^9  54497  07 

0,07615  20743  I  122.3 
847  71535  10760 

0,08462  92276  21985 

5  32592  99449 


0,08457  59683  22534 
Calcul  de   ^,,  et  E^,,. 

9,22670  54855  74   (1),.= 
7,00181  75388  35    (2). 


sm  2(p. 
(I)... 

4(p... 

sia4<p 


(2).  . . 

60... 
sin  6(p 


. .  6,22852  30244  09 
=  i9°24'2i"59i 
...  9,52147  79 

1,94448  24 

. .    1,46596  o3 
=  29°  6' 32"  4 
.. .  9,68705  8 
7,01208  6 


(3). 

(Û.  .   . 

cTfp. 


o°oooi6  92477  96990 
■—  29  23885 
+  5o 

=  0,00016  92448  731 55 

=— o,ooo33  84897  463 10 

0,48418  25847  94306 

o,48384  40950  47996 
4,85 149  93604  12570 

=  5,33534  54554  6o566 


(3) 6,69914  4 

sintp'...  8,96841  19250  40 
cos<p'..,   —  188  56559  56 

8,96652  62690  84 
o,3oio2  99956  64 

sia2(p'..  9,26755  62647  48 


7j9I748  97643  52 
8,92723  42549  55 
8,96841  19250  40 

5,8i3i5  59443  47 

0,08457  59685  22534 
847  71535  10760 

0,09505  5i2i6  53294 
6  5o333  22802 

E^,,=E9'=  0,09298  8o885  10492. 


c*sin^ 
sin  (p. 
sin:p'. 

j.  . . . 

E(p?..= 
E^... 


J- 


H^  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Calcul  de  C\^  et  E^^,. 


sia2cp...  9,26755  62647  4^    (0  •  •  = 

^R° 7,00181  75588  35    (2) 

(i) 6,26937  38o35  85    (^) 

4(P...=    2I°20'28"946  ù)... 

sin4^.-.  9,56ioi  06        ^^'P° 

i_^448^       Sr. 

(2) i^5o549  ^^        ^^  • 

6p... =   32°o'43"4         (p. .. 
sin6(p...  9,72455  9         ^^^_^^_ 
7,01208  6 


o°oooi8  59404  18279 
—  32  02529 
+      54 


0,00018  59372 

-0,00037  18744 

0,48384  40950 

0,48347  22206 
5,33534  34554 


i58o4 
31608 

4799^ 
i6588 
6o566 


(3) 6,75644  5 


sincp. 

E^.  .  .=  0,09298  80885  10492  sin^'. 

847  71555  10760 


E^ 


J 


0,10146  52416  2  1252 

7  79%!  06614 


r- 


5,81881  56760  76954 

7^9^748  97645  52 
8,96841  19250  40 
9,00596  51642  04 

5,89186  68555  96 


E^' o,ioi58  72825  14658  =  E^,». 

192.  Pour  vérifier  tous  ces  calculs,  nous  allons  chercher  direc- 
tement la  valeur  de  (p  qui  satisfait  à  l'équation  F(p  =  j^F'c,  ce  qui 
se  fera  en  déduisant  p  par  bissection  de  la  valeur  de  a  qui  satisfait 
à  l'équation  Fa  =  -rgF'c.  Il  faut  donc  déterminer  <p  d'après  l'équa- 
tion sin(»  =  — 7 — -, — r,  où  l'on  connaît  les  logarithmes  suivans: 

sin  a 9,30260  81 001   47^6 

cosa 9,99106  96126  2535 

Aût 9>99^^9  25965  5o59. 

On  en  déduira  la  valeur  de   Isïnp  et  ensuite  celle  de  <p,  par  les 
calculs  suivans  : 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       245 

sina|/Y....  9,i5209  3io23   i5ij         i+A..  0,29669  81 159  01 14 
l/(i+cosa)  0,14829  38779  9495         2 o,3oi02  99956  6398 

sin^ot 9,00379  92243  2024  9>99566  S1202  3716 

9,99783  40601   i858    /G+IA)  9,99783  40601   i858 

sin(p 9,00596  51642  0166       az=:  5°  82     ZsinA=/siQ«  —  r 

sina 9,oo6o5  32445  4882     2^=11.64  i^M 

— — — ■ —  r        cos^a* 

/•  =  8  80803  4716 

ç  =  a — ;osin2^f  I  — pn-p  • 3 / 

r 5,94487  90176  7  « — (0=  5°8i88i   55547  2720 

^M 0,06118569304  (2)       +  i2i3  58o4 

i:cos"^ 0,00448885129  (3)       —  846 

p 6,oio55  35420  o  (p    ==  5,81881  56760  7678 

sin  2« 9,3o483  88245  7 

R° 1,75812  26324  I  On  voit  que  celte  valeur  de  (? 

(i) 7,07351  49989 1"  s'accorde  Irès-bien  avec  la  va- 

p 6,0 1  o55  35420  ^^"^  trouvée  pour  ^„ ,  puisque 

^  ,                    - — ; la  différence  est  à  peine  de  deux 

(2) 5,08406854  -,'     A'  ■      1      ^      .     •- 

^  ''  '     ^         ^  unîtes  décimales   du  treizième 

^ .*  '  \     'ov  /-  ordre,  ou  du  quatorzième  chiffre 

4(2-f-4sm'a)  9j85274_96  significatif. 

(3) 8,92737   17 

La  valeur  de  E(p  se  déduira  en  même  tems  de  celle  de  Eût,  par 
l'équation  2E(p  —  Ea  =  c'*sin'^sina,  dont  voici  le  calcul: 

t'usina.   9,29184  79542  7735        Ea  =  0,20076  i8685  6953 
sin'^ç»..   8,01193  03284  o332        j  201   26964  5971 

J" 7>5o377  82826  8067  0,20277  4565o  2924 

E(p  =  o,ioi38  72825  1462, 

valeur  qui  s'accorde  encore  aussi  bien  avec  celle  que  nous  avons 
trouvée  pour  EÇ,^. 

Suivent  les  deux  tableaux  qui  résultent  des  calculs  précédens. 


^44 


EXERCICES  DE  CALCUL  L^TÉGRAL. 


■ 

TABLE  rs°  L 

«1 

«3 
a,-, 

«,, 

«,4 
«■6 

<p. 

E^ 

log.  sin  (p. 

log.  tangç). 

log.  A(p, 

11° 579 53  76689  08 

22.71  143  002Cj4   02 

33.o3o8i  64164  44 
42.30467  89270  76 
60.43582  07019  71 
57.43686  36982  91 
63. 3a 1 36  68461  87 
68. 4203 1  26776  96 
72.66772  79622  17 
76.23603  20762  60 

0,20076  18685  6953 

0, 38634  81782  c83i 
0.54689  98359  1182 
0.67481  98698  i835 
0.77397  70241  81 63 

9 
9 
9 
9 
9 

3û26o  81001  4716 
58668  86411  0990 
'j'5646   82413  58i3 

82806  i2,j()4  2609 

88700  45821  54-1 3 

9.311 53  84875  2383 
9.62174  06876  1609 
9,8i3o2  86198  7846 
9-95907  77023  763a 
0.08290  459-6  5444 

9,99129  26963  6069 
9,96687  69582  4626 
9.92667  44269  0000 
9,87354  c8o3o  9604 
9.81174  81626  6481 

0,84761  27166  7022 
0,90072  03910  2072 
0.93867  74986  7532 
0.96662  64326  9648 
0.98484  i382o  8090 

9 
9 
9 
9 
9 

92672  39416  1298 
96137  96697  7782 

96843  94867  9809 

97979  465 11  "6o32 
98734  62777  4410 

0. 19476  71 334  2740 
o,3oo2o  4583o  3g46 
0,400.83  37793  2i5o 
0,60646  29766  o355 
0,61091  04262  1 56o 

9.74362  o63o3  4148 
9.67138  04266  7806 
9.69716  62206  7860 
9.62296  20167  7^9^ 
9,46071  19110  1662 

79.27866  36949  060.99873  04666  7618 
81.89740  60723  431.C0901  53290  6913 
84.19245  20890  68,1.01691  10868  6773 
86.25392  71B09  91  il. 02327  83341  6764 
88.16411  74441  161.02874  29806  6766 
90.00000  ooooo  00  1,03378  94623  9087 

9 
9 
9 
9 
9 
0 

99235  18269  3488 
99664  27709  6274 
99776  61945  7967 
99907  10953  4866 
99977  70162  7274 
ooooo  coooo  0000 

0.72276  29660  8856 
0,84668  98662  6669 
0,99263  89387  6454 
1 , 18392  69711  2791 
1,49412  90711  1917 
Infini. 

9,38268  4P786  9219 
9.32099  16382  6096 
9.26865  80144  6700 
9.22845  6483 1  1074 
9.2o3o3  98460  0641 
9. 19453  24413  6700 

TABLE  rs°  U. 

o 
1 

2 

3 

<p. 

Diff.  I. 

II. 

III. 

IV. 

V. 

VI. 

o"oooco  ooooo  0000 
0.48671  0782 1  0987 
0.97138  761 62  3046 
1.45699  61626  4494 

48671  07821  0987 
48667  67331  2069 
48660  86473  1448 
48660  65490  2686 

3  40489  8928 

6  80868  0611 

10  20982  8863 

i3  60^49.   9688 

3  4o368  i683 
3  40124  8262 
3  39760  0726 
3  39274  2269 

243  343 1 

364  7627 
485  8456 
606  6220 

121  4096 
121  0929 
120  6764 
120  1487 

3167 
4i65 

6277 
6200 

4 
5 
6 

7 
9 

lO 

1 1 

12 

n. 

1.94260  27115  7079 
2.42787  3i863  0076 
2.9i3c7  36693  1216 

48537  04747  2997 
48620  04730  1 i4o 
48499  66045  2234 

17  C0017  1867 
20  38684  8906 
23  76626  9248 

3  38667  7049 
3  57941  0342 
3  37*094  8348 

726  6707 
846  1994 
964  9980 

119  6287 

ii8  7991 

1 17  9706 

7296 
8286 
9266 

3.39807  02638  3450 
3.88282  92067  6436 
4.36731  67766  1826 

48476  89419  29^6 
4S44S  75698  5390 
48418  26847  943 1 

27  i3790  7696 
3o  49850  5969 
33  84897  4'63'i 

3  36129  8365 
3  35o46  8672 
3  33846  853 1 

1082  9691 
1200  0141 

1 17  c45o 

4.86149  93604  1267 
5.33534  34554  6067 
5.81881  56760  7696 

48384  40960  4800 
48347  22206  i638 

37  18744  0162 

E(p. 

DifF.  I. 

IL 

m. 

IV. 

V. 

VI. 

■ 

2 

3 

0.00000  ooooo  0000 
0.C0847  71533  1076 
0.01696  3u8i  6007 
0.02642  67067  2122 

847  71633  1076 
847  6q648  3931 
847  35886  7116 
847  00268  6496 

11884  7145 
23762  6816 
35627  1619 
47471  4326 

1 1877  9671 
11864  4803 
I 1844  9706 
11817  3620 

i3  4868 
20  2097 
26  9086 
33  5760 

6  7229 
6  6-989 
6  6664 
6  6262 

240 
325 
412 
4G3 

4 
5 
6 

7 
8 

9 

0.05389  67326  7618 
o,o4236  20112  8789 
0.06082  i36ii  2oi5 

846  62787  1171 
845  90498  3226 
845  22426  741 i 

59288  7945 
71072  58i5 
82816  i683 

11783  7870 

11743  5868 
1 1 696  8077 

40  2002 

46  7791 
53  3ooo 

6  5789 
6  6209 
6  4579 

58o 
63o 
706 

0.06927  36o36  9426 
0.06771  76646  6164 
0.07815  20743  1122 

844  39609  6728 
843  4'5o9'6  5968 
842  38940  1 1 3 1 

94612  9760 
1  "06156  4837 
1  17740  2335 

1 1643  6077 
11 583  7498 
11617  6046 

59  7^79 
66  1452 

1 

6  3873 

10 

II 

12 

0,08467  69683  2253 

0.09298  8o883  1049 
0. 101S8  72826  1464 

841  21 199  8796 
839  91942  041 5 

1  29267  838i 

CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      245 
La  table  n**  2,   construite    au   moyen  des   résultats  préce'dens , 
contient  les  valeurs  des  quantite's  (p  et  E(p,  avec  leurs  différences  suc- 
cessives jusqu'à  la  sixième,  correspondantes  aux  diverses  valeurs 

/i=:o,  I,  2..  ..12,  pour  lesquelles  on  a  F<p  =  — .  ^-.  C'est  par 

l'interpolation  de  celte  table  qu'on  pourra  trouver  la  valeur  de  (p 
et  celle  de  E^,  correspondantes  à  toute  valeur  de  n  moindre  que  12, 
.c'est-à-dire  à  toute  valeur  de  F^  moindre  que  3tF'<?. 

Il  semble  d'abord  que  la  série  des  quantités  <p  et  E<p  devrait  être 
continuée  pour  les  valeurs  /ï=i3,  14....  17,  afin  qu'on  pût  ea 
déduire  la  suite  complète  des  différences,  jusqu'à  «=11 ,  et  qu'ainsi 
l'inlerpolalioa  entre  deux  termes  consécutifs  quelconques  de  la  table 

ne  dépendîtque  de  la  formule  ordinaire j=A+.r(crA-f-^fcr*A-f-etc. 
Mais  en  y  réfléchissant  un  peu,  on  voit  que  ce  nouveau  travail  est 
inutile,  et  qu'on  peut  y  suppléer  aisément  par  une  considération 
générale  qui  s'applique  à  tous  les  cas  semWables. 

ig3.  L'usage  que  nous  avons  constamment  suivi  dans  la  table 
>i°  2,  ainsi  que  dans  toutes  les  autres  que  cet  ouvrage  contient 
est  de  placer  sur  une  même  ligne  horizontale  la  fonction  A  et  ses 
différences  successives  cTA,  (^''A,  cT^A,  etc.,  qui  naissent  de  l'ac- 
croissement constant  de  la  variable  a,  contenue  dans  la  première 
colonne  (ici  la  variable  a  devient  n  et  sa  différence  constante  est  i  ). 
Pans  cette  hypothèse,  Ja  fonclion  qui  répond  à  la  variable  a-U-jc 
comprise  entre  a  et  «-|-i,  est  donnée  par  la  formule  ordinaire 
j  =  A  H-  j:  (cTA  -^  etc. 

Mais  si,  au  lieu  de  considérer  les  vajûables  dans  l'ordre  crois- 
sant a ,  a -}- 1 ,  «4-p,  etc.,  on  les  considère  dans  Tordre  décrois- 
sant «H-  1^  rt,  <z—  I,  ^  —  2,  etc.,  et  qu'on  désigne  toujours  par 
A",  A,  A'',  A°%  etc.,  les  fonctions  correspondantes,  l'expression  de 
la  fonclion  j  correspondante  à  la  variable  a-^x,  sera  donnée  sem- 
blablemenl  par  la  formule 

j  =  A'  +  (.  -  ^)  (A -  A')  +  il^-li—) .  (A» __  ,A  +  AO 

.-+ ■"   a. 5 (A°"  -  3A'+  3A ~  A') 4-  etc. , 


5iG  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

qui  se  réduit  à 

j=X'+{x- i)j^A+  ^=^^  «T'A»  +  £nli£^^-±i  <r3A"- 

nouvelle  formule  dans  laquelle  les  diffe'rences  cTA,  «T^A",  cT^A"",  elc; 
sont  les  mêmes  et  de  même  signe  que  celles  qui  sont  ainsi  de'signées 
dans  la  table;  mais  on  voit  qu'elles  ne  sont  plus  disposées  sur  la 
même  ligne  horizontale,  et  qu'il  faut  monter  d'une  ligne  pour  passer 
[  d'une  différence  à  la  différence  suivante. 

C'est  donc  avec  le  secours  de  cette  nouvelle  formule  qu'on  sup- 
pléera très-aisément  aux  différences  qui  manquent  dans  les  lignes 
horizontales  de  la  table  n°  2,  passé  «=6.  Depuis  «  =  o  jusqu'à 
71=6,  on  se  servira  pour  Tinterpolalion  de  la  formule  ordinaire 

j-=  A  +  xJ'A •+-  ^  '^~~    cT^A  +  etc.  ;  mais   depuis   w  =  6   jusqu'à 

71=12,  il  faudra   se  servir   de  la  formule  j  =  A'  -\-  (x —  ï)J'A 

œ—i  .X  ^.^^„       x—i  -.r  ■£+_]_  J^3^oo  j^ ^^^     ^^  ^outes  les  dif- 

2  2.0  ' 

férences  sont  données  par  la  table,  en  montant  graduellement  d'une 
ligne  pour  passer  d'une  différence  à  la  suivante. 

Dans  les  tables  où  toutes  les  lignes  horizontales  des  différences 
sont  complètes,  il  sera  indifférent  de  se  servir  de  l'une  ou  de  l'autre 
formule  pour  chaque  interpolation.  La  première  cependant  semble 
devoir  être  préférée,  lorsque  oc  sera  <Ct)  et  la  seconde  lorsque  x 
sera  >j. 

11  reste  à  faire  voir  par  quelques  exemples  l'usage  des  tables  que 
nous  venons  de  construire. 

194.  Cherchons  d'abord  l'amplitude  (p  et  la  fonction  E^^  qui  ré- 
pondent à  l'équation  F(p=^F'6'.  Puisqu'on  a  ^.  16=5^,  on  voit 
qu'en  faisant  Fà  =  -j^ F 'c,  VfJL=:{^Y'c,  on  aura  F(p=FÀ+Fyt*. 

Les  valeurs  de  A  et  EA  sont  données  immédiatement  par  la  table 
n"  I  ;  et  comme  on  a  Fyu  =  j|^F'c,  les  valeurs  de  fM  et  de  E/*  seront 
aussi  données  par  la  Table  n*  2  ;  ces  valeurs  sont 

A  =  5o''43582  07019  71  ft  :=  3°88282  92057  6436 

EA  =    0,77597  70241  8163     E^.  =  0,06771  75646  5i54. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  247 
îl  ne  s'agit  plus  que  de  calculer  <p  par  les  équations  algébriques  qui 
repre'sentent  l'ëquation  transcendante  F<p  =  FÂ-{-F/*;  pour  cela, 
ayant  pris  les  auxiliaires  K',  /u,',  telles  que 

tang  A' =  tang  A.A/*,     tang /a' =  tang  ^.AA, 

on  aura  (p=A'+(w'.  Ensuite  l'équalionEA-l-EyU, — ^Eç=c'sinAsinyUsin<p 
donnera  la  valeur  de  Eç). 

Les  quantile's  tangA  et  AA  sont  données  parla  table  n*  i;  il  ne 
reste  donc  à  calculer  que  tang/^  et  Aft,  ce  que  nous  allons  faire 
avec  toute  l'exactitude  que  les  tables  comportent.  Voici  d'abord 
le  calcul  de  Isiufi  et  Icosjuc,  d'après  les  formules  du  n"  147. 


K'fjL  o,58gi4  82876  29^79 
R° .   1,75812  26324  09172 

ffc. .  8,83 102  56552  20207 
ft' .  7,66205  i3io4  4^ 
9,53675  43r56  37 

(1).  6,99880  56260  77 
yj^ .   5,52410  26209 
8,5586o  3o653 

(2).  "5,88270  56862 
/A^.  2,98615  393 
7,98457  180 

(3).  0,97072  573 


iu« 


0,64820  5 
7,46683  3 


(i)  .  .=  0,00099  72536  3o6oo6 

(2) 7633  i832o8 

(3)....           9  348i5i 

(4) i3o55 

cos/jL. —  0,00099  80178  850398 
1(1)...  o,ooo33  24178  768669 
7^5(2)..  5o8  878881 
r3(3)..  148383 
,Th(4). 5i_ 

o,ooo35  24687  795984 
ft 8,83io2  56552  20207 

sinytfc. ..  8,83069  3 1864  40609 
cosyW...  —  99  80178  85o4o 

tang/A..  8,83 169  12043  2565, 


(4).  8,ii5o3  8 
Connaissant  Zsin^w,  on  calculera  lAfi  comme  il  suit: 


c'sin'/^  7,65o62  62270  11 58 
a 7,65o62  55257  9595 


20 


^012  i543 


447i' 


/(l-.A)=:/Cl— û)-R, 


^48  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

r..... ..   3,95482  8G188         I — a 9,99805  29244  i449' 

I— « 9>998o5  29244        R 40  49^Q 

r 3,95677  56944         I — A 9,99805  29203  6499" 

a 7,65o62  53258        A^ 9,99902  64601  8250. 


1/^ 


4526 


R 1,60740  14728 

D'après  ces  valeurs,  Yoici  le  calcul  des  angles  X',  e\  f/: 

tangX..  0,08290  45955  5444        tangyu. .   8,83169  i2o45  2^65 
AfJL . . . ,   9,99902  64601   8250         AA 9,81 174  81626  6481 

tangA'..  0,08193   10537  5694         tangju,'.   8,64343936699046.' 

Au  moyen  de  l'angle  approché  0=50'  Sj, ,  on  trouvera  par  les  for- 
mules ordinaires  A'  =  5o%37274  12266  485 1  ;  quant  à  l'angle/*', 
comme  ri  n'est  que  d'un  petit  nombre  de  degrés,  on  pourra,  en 

faisant  tang/*'  =  <,  calculer  cet  angle  par  la  formule. • 

fji'  z=t(ï  —  i <'  -j-  ï ^*  —  7 ^  ~f-  ^ ^')  >  et  on  trouvera  par  les  cinq  pr€l- 
miers  termes  de  la  série  /*'=2%5i93i  21820  4336.  De  là  résulte 

A'  -J-jm'=  cp  =:52%892o5  34086  9t87. 

^,:  ^''    '    Puisque  (p  satisfait  à  l'équation  F(p=-jF'c,la  valeur  de  (p  peut  être 

'  vérifiée   par  la   formule  du  n°  24,  i  p. ,  qui  donne ^,,  ^^. 

/sin<p  =  9,90 175  o833i  6245,  et  delà 

cp  =  52%892o5  34086  886; 

la  différence  n^esl  que  de  trois  unités  du  quatorzième  cBiffre,  et  att^ 
ne  peut  guère  décider  de  quel  côté  est  l'erreur. 

Enfin  ht  valeur  de  E(p  se  trouvera  par  le  calcul  suivant  : 

c......  9,98923  98541  3oi6        EA..  =0,77397  70241  8163 

sinA...  9,88700  45821  54i3         Ejw..  =  0,06771  75646  5i54 
sin  {4.. , .  8,83069  3 1 864  406 1  0,84169  45888  53 17 

sin  <p. . .  9,90175  o833i  6243        ^  0,04061  33 1 65  2661 

^ 8,60866  84558  8753        E(p. .  =  0,80108  12725  o656. 

195.  Pour  donner  une  seconde  application  des  mêmes  tables. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  2%- 
dicrchons  les  valeurs  des  fondions  E  et  F  qui  répondent  à  l'am- 
pli lude  <p  =  75'. 

La  plus  proche  valeur  de  <p  contenue  dans  la  table  n"  i ,  est 
A  =  76%256o5  20752  60;  elle  répond  à  la  fonction  FA  =  7fF'c; 
il  faut  donc  déterminer  l'amplitude  jx  par  l'équation  F//  =  FA — F(?), 
Ou  par  les  formules 

tffngX'=:langA.A<p,  tang(p'=tang ^. AA,  ^  =  A' — <p'. 

Connaissant  jn,  il  sera  facile  d'avoir,  par  Tinlerpolation  de  la  table 
n°  2,  la  valeur  correspondante  de  n  qui  donnera  celle  de  Fju.  et 
eîïsuite  celle  de  E^.  Voici  le  détail  de  tous  ces  calculs. 

On  a,  par  la  table  n"  i ,  les  logarithmes  de  tangA  et  AÂ;  on  a 
immédiatement  Ztang®,  ainsi  il  ne  reste  à  trouver  que  /A<p,  ce  qui 
se  fera  par  la  formule  A±=  cois  (pv^(i-f- A),  dans  laquelle  A=^*tang*<p, 
et  d'où  résulte  /A^  =  9,47668  69066  8751.  D'après  ces  valeurs,  oa 
formera  celles  de  /  tang  A'  et  /  tang  <p\  savoir  : 

tangA..   0,61091  04262   i56o         tang  (p..  0,67194  7^475  333o 
A<p 9,47668  69066  8761         AA  . . . .  9,46071    191 10   1662 

^~—       ""  i     .    -    ■       ■  ■    Hf  il  ■    ■■- ■■!!  ■-        1'  '  1^ 

tangX'..   0,08769  65319  o3ii         tang 9'..   0,02266  94686  4^82 

d'où  l'on  déduit 

A'  =  5o'73943  77671  6697 
<p'  ==  46,494o3  64376  5376 

ytt    ==     4*24540  23196   3321. 

196.  Il  faut  maintenant  chercher  dans  la  table  n*  2,  la  valeur  de 
n  qui  répond  à  cette  valeur  de  (p;  on  voit  que  cette  valeur  est  com- 
prise entre  8  et  9,  et  qu'en  faisant  n=z8-^Xy  on  aura  à  déterminer 
a:  par  la  seconde  formule  générale  d'interpolation,  savoir  ; 

A'— ^=(1  -^x)  (M + -  («r  »A° + ^—  (<^u»°+ — ^  (c^u»°•-f-  etc. , 

dans  laquelle  les  noimbres  donnés  par  la  table  sont  ; 

A'— ^  =  0,12191  44669  8606  cTU'»*    =  -f  846  1994 

cTA       =  0,48448  76698  6390  cT^A"-  =  +  ,19  6287 

cT'A»    =—     27137207696  J^'A"'     =—         6200 

«T^A-  =  —        3  37094  8348  «r^A*"     ;=  -,  923. 


s5o  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Après  quelques  essais  dans  lesquels  on  peut  ne'gliger  les  décimales 
qui  passent  le  dixième  rang,  on  trouve  a:  =  0,74850  756125.  Pour 
plus  d'exactitude,  il  conviendra  de  substituer  cette  valeur  dans  le 
second  membre  de  l'équation  a  résoudre,  afin  d'avoir  la  différence 
.entre  le  résultat  de  la  substitution  et  la  valeur  donnée  de  A' — ft. 

Résultat  de  la  substitution 0,12191   445^9  7^4^ 

A'  —  fi 0,12191  44559  85o5 

Différence r  =  962 

De  là  on  voit  que  i  —a?  doit  être  augmenté  de  jv  =  1988  ,   ce  qui* 

donnera  pour  la  vraie  valeur  de  x  . 

ûc  =  o,7485o  75612  5oi2. 

O      I      _. 

Connaissant    x,   on   aura    F^  = -—7- F"c ,    et    par    conséquent 

_,  aSa  —  X    -r,,  23 1, 26160  gX^S?  6988    -^1,  •    j  1, 

F(p  =     gg     ■■  .F'c  =  — '■ %8r~^ — ^^  .  F'<?,   ce  qui  donne  le 

logarithme  de  cette  fonction  : 

F'<? o,5i259  14107  1669 

coeff...  9,77975  36954  85o2 

F(p  . . . .  0,29234  5io6i  9961. 

196.  Pour  calculer  E<p,  il  faut  d'abord  chercher  E/-tpar  l'interpo- 
lation de  la  table  n"  2;  en  appelant  de  nouveau  A  le  terme  Ep 
qui  répond  à  /2  =  8 ,  la  valeur  cherchée  sera  donnée  par  la  formule 

E^  =  A'  —  (1  -:^ x)  (M  + 1  (<^»A«  -h^—  C^'A«°  +  ^-^ (^U~<'  +  etc.  ; 
où  l'on  a 

A'       =  0,07615  20743  Î122  cT^A""'  ==  -|-  46  7791 

cTA     =         843  45096  5968  cT^A»*   =  H-    6  5789 

cT'A»    =  —  94512  9760  cT^A'S   _-  _         ^63 

cT^A"»  =  —  1 1696  8077  cT^A"^   =  — .  5i. 

Substituant  ces  valeurs  et  celle  de  jc,  on  trouvera 

E;u.  =;  0,07403  01260  4?^'* 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       aSV 

enfin  on  aura  à  calculer  E(p  par  la  form.  E<p+E;t=EA-}-c''sin(psin/^sinA 

c* 9,98925  98541  3oi6        EX  =  0,98484  i382o  8090 

sin(p...  9,98494  57781  0:^67         Eyw  =  0,07405  01260  475i 

sin X. . .   9,98734  6.777  44.0  0,9,08.    ,.^^^3% 

sm  f.. . .  8,86959  87498  65  .o        ^ _   „^^g^^5  g^^^^  ^jg9 

^ ^'«5°9^  ^^^9^  4003        E?  ="^:^^85^^^^^. 

Cette  valeur  et  celle  de  /F(p  s'accordent  suffisamment  avec  celles 
qu'on  a  trouve'es  par  la  me'lhode  directe,  n"^  160  et  161. 

197.  Nous  avons  cru  devoir  exposer  avec  beaucoup  de  détail  tout 
ce  qui  concerne  la  construction  et  l'usage  des  tables  n"  i  et  n°  2 
relatives  au  module  c=sin8i°-  les  calculs  ont  été  faits  avec  une 
exactitude  scrupuleuse,  et  soumis  à  un  grand  nombre  de  vérifica- 
tions, de  manière  qu'on  peut  élre  assuré  que  les  résultats  consignés 
dans  ces  tables,  sont  exacts  autant  qu'ils  peuvent  l'être,  d'après  les 
Tables  trigonomélriques  à  quatorze  décimales,  dont  nous  avons 
fait  usage,  lesquelles  sont  quelquefois  en  erreur  de  une,  deux  et 
même  trois  unités  dans  le  dernier  chiffre.  On  en  voit  un  exemple 
dans  le  logarithme  de  b  ou  cos  81%  qui,  dans  la  Trigonom.  hrit.,  est 
9,19455  244i5  5701 ,  et  dont  les  derniers  chiffres  doivent  être  569g. 
En  suivant  les  mêmes  procédés  qui  ont  été  indiqués  dans  la  cons- 
truction  de  ces  tables,  et  dans  les  deux  applications  que  nous  en 
avons  données,  on  parviendra  donc  dans  tous  les  cas  à  la  détermi-  ■ 
nation  des  fonctions  E  et  F  et  à  la  solution  des  questions  qui  en 
dépendent,  avec  un   degré  de  précision  supérieur,  non-seulement 
aux  besoins  de  la  pratique,  mais  à  ceux  des  recherches  théoriques 
les  plus  délicates. 

Je  ne  dissimulerai  pas  combien  est  pénible  le  calcul  d  une  table 
telle  que  la  table  n°  i  qui  n'a  que  seize  lignes,  ou  que  la  table  n°  2 
qui  n'en  a  que  douze;  mais,  si  on  aspire  à  un  aussi  grand  de^^ré 
d'exactitude,  il  semble  qu'on  n'y  peut  parvenir  que  par  le  secours 
de  ces  tables,  ou  par  la  méthode  générale  fondée  sur  la  formation 
préliminaire  de  l'échelle  des  modules.  C'est  au  calculateur  à  choisir 
entre  ces  deux  méthodes,  celle  qui  lui  paraîtra  la  moins  pénible. 
Comme  la  formation  de  l'échelle  des  modules  se  réduit,  d'après 


a52  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL, 

jios  formules,  à  un  travail  assez  court,  il  est  vraisemblable  qu'on 
jugera  que  la  méthode  générale  mérite  la  préférence,  si  l'on  n'a  à 
calculer  qu'un  petit  nombre  de  fonctions  E  et  F;  mais  s'il  y  avait 
lieu  de  calculer  un  grand  nombre  de  ces  fonctions,  l'autre  procédé 
parait  être  le  plus  avantageux. 

Au  reste  nous  avons  déjà  dit  que  si  on  se  borne  a  dix  décimales 
dans  la  formation  de  la  table  auxiliaire  n"  i ,  auquel  cas  on  peut  se 
passer  de  la  table  n"  2 ,  le  calcul  de  celle  tabje  et  son  usage  danç 
les  cas  particuliers,  deviendront  très-faciles,  el  rcAtreront  dans  la 
classe  des  calculs  trigonométriques  ordinaires,  surtout  si  le  module 
est  plus  petit  que  sin  4^%  ce  qui  permettra  de  prendre  la  valeur 
de  CL  dans  la  table  VII;  et  puisqu^alors  les  résultats  sont  exacts  jos-f 
qu'à  la  dixième  décimale,  ou  au  moins  jusqu'à  la  neuvième,  il  ne 
parait  pas  qu'on  puisse  proposer  rien  de  plus  simple  pour  le  calcul 
des  fonctions  E  et  F ,  au  moins  tant  qu'il  n'existera  pas  des  tableç 
suffisamment  étendues,  au  moyen  desquelles  Ja  détermination  de 
ces  fonctions  serait  réduite  aux  règles  ordinaires  de  l'interpolation, 

198.  Remarquons  en  fîmssaut  que  Je  tableau  n"  1  pourrait  être 
réduit  aux  cinq  termes  a,,  a,,  a^,  u^,  ct,^,  et  que  dans  cet  état,  il 
suffirait  ericore  pour  ramener  les  fonctions  proposées  E<p,  F^,  au 
cas  où  l'amplitude  est  moindre  que  6".  Pareille  observation  s'ap- 
plique à  plus  forte  raison  aux  tables  auxiliaires  construites  pour 
des  modules  moindres  que  sin  81°. 

En  effet,  i*.  si  ramplitude  donnée  (p  est  comprise  entre  «g  et  et, g," 
Qu  90',  l'une  des  deux  différences  F(p  —  Fag ,  F'c— -F(p,  sera 
moindre  que  fF'cj  ainsi,  en  faisant  la  plus  petite  des  deux  diffé- 
rences =F<p',  on  aura  <p' <ia^.  11  faudra  donc  d'abord  déterminer 
(p'j  soit  par  l'équation  algébrique  qui  correspond  à  l'équation... 
^(p  —  Fota  =  F^',  soit  par  l'équation  ^ot  <p' =  è  tang  ^ ,  si  l'on  a 
f\c  —  V<p  =  f(p'. 

Puisque  <p'  ainsi  déterminé  est  plus  pelil  que  cl^,  le  cas  le  moins 
favorable  pour  la  réduction  est  celui  où  <p'  sera  compris  entre  a, 
et  ot^;   soit  alors   ¥(p"  égal  à  la  plus  petite   des    deux  différence» 

Fa^ — F<?',  F(p'  —  Fcta,  la  fonction  F(p"  sera  plus  petite  que ^ 

^(Fit^ — ^^t)i  et  par  conséquent  <  ^Fa»  <Fa,.  Si  en  môme  tems 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  ^53 
F(p"  est  <lFa,,  <p"  sera  plus  petit  que  5%8i88,  et  l'objet  de  la 
re'duction  sera  rempli  par  deux  transformations  seulement.  Si  au 
contraire  F<p"  est  >>-rFa, ,  il  faudra  une  troisième  transformalioa 
pour  réduire  les  fonctions  E(p,  F(p,  au  cas  où  l'amplitude  est  moindre 
que  5%8i88. 

2°.  Si  l'amplitude  donnée  (p  est  moindre  que  ag ,  le  nombre  des 
transformations  qui  ne  pouvait  être  plus  grand  que  trois  dans  le 
premier  cas,  ne  pourra  surpasser  deux  dans  celui-ci,  et  se  réduira 
le  plus  souvent  à  un. 

De  là  on  voit  que  la  Table  auxiliaire,  réduite  à  cinq  termes, 
conduira  aux  mêmes  réductions  que  la  table  entière,  calculée  la- 
borieusement avec  onze  termes  de  plus.  Mais,  tandis  qu'une  seule 
transformation,  faite  à  l'aide  du  tableau  entier,  suffit  pour  réduire 
les  fonctions  F(p  et  E(p  au  cas  où  l'amplitude  est  moindre  que  B^^SiSS, 
il  faudra  quelquefois  deux  et  même  trois  transformations  semblables 
pour  parvenir  à  la  même  réduction  par  le  tableau  partiel.  Ces  trans- 
formations, il  est  vrai,  se  font  par  de  simples  formules  trigonomé- 
triques;  mais  c'est  au  calculateur  à  balancer  les  avantages  et  les 
inconvéniens  des  deux  procédés. 

J'observerai  au  reste  qu'il  faudrait  ajouter  un  sixième  terme  à 
la  Table  auxiliaire,  si  l'angle  du  module  était  plus  grand  que  8i*; 
cette  addition  suffira  jusqu'à  89°,  et  il  est  inutile  d'aller  plus  loin,' 
Alors  le  nombre  des  transformations  pourrait  aller  jusqu'à  cinq, 
pour  obtenir  la  réduction  cherchée. 

§  XV.  Sur  la  construction  d*un  système  complet  de  Tables 

elliptiques, 

199.  La  méthode  du  §  IV  présente  beaucoup  d'avantages  par 
la  simplicité  et  l'élégance  des  formules  qui  servent  à  construire 
chaque  table  particulière  pour  un  module  déterminé;  on  a  vu  que 
les  calculs  s'exécutent  dans  toute  l'étendue  de  la  table,  en  n'em- 
pruntant de  la  théorie  des  fonctions  elliptiques  qu'un  seul  élément 
qui  se  multiplie  ensuite  par  des  formules  purement  trigonométriques 
et  rigoureusement  exactes;  cependant  l'usage  de  ces  tables  serait 
peu  commode  dans  l'interpolation,  lorsqu'il  s'agirait  de  trouver  Us 

z 


r 


254  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

fonctions  E  et  F  qui  répondent  à  des  valeurs  données  de  l'ampli- 
tude et  du  module. 

Il  parait  beaucoup  plus  convenable,  pour  cet  objet,  de  construire 
des  tables  dans  lesquelles  l'amplitude  et  l'angle  du  module  croissent 
par  des  intervalles  égaux  et  suffisamment  petits,  de  o'  à  go°.  C'est 
donc  entre  les  deux  méthodes  proposées  dans  le  §  llï ,  qu'il  faut 
choisir  celle  qu'on  regardera  comme  la  plus  facile  dans  l'exécution  , 
pour  parvenir  à  un  degré  d'exactitude  déterminé. 

La  seconde  de  ces  deux  méthodes  fait  trouver  directement  la 
différence  seconde  de  la  fonction  E,  ainsi  que  celle  de  la  fonction 
F;  et  par  ces  différences,  vérifiées  à  de  certains  intervalles,  on. 
parvient  à  former  la  série  entière  des  valeurs  de  E  et  de  F,  ainsi  que 
nous  l'avons  fait  voir  avec  beaucoup  de  détail,  en  calculant  la  table 
qui  convient  au  module  c  =  sin45°. 

200.  L'avantage  principal  de  cette  seconde  méthode  consiste  ea 
ce  que  les  auxiliaires  qui  servent  à  déterminer  les  différences  se- 
condes des  fonctions,  sont  beaucoup  plus  petites  que  celles  qui, 
dans  la  première  méthode  ,  seraient  nécessaires  pour  donner  im- 
médiatement les  différences  premières  de  ces  mêmes  fonctions  ; 
le  calcul  doit  donc  en  être  beaucoup  moins  long;  il  exige  ou  des 
tables  moins  étendues ,  ou  des  soins  moins  minutieux  pour  obtenir 
les  parties  proportionnelles ,  ce  qui  est  une  épargne  de  lems  con- 
sidérable dans  une  longue  suite  d'opérations.  Mais  d'un  autre  côté, 
les  erreurs  sur  les  différences  secondes  se  multiplient  suivant  la 
progression  des  nombres  triangulaires,  dans  la  détermination  des 
fonctions  principales;  il  devient  donc  nécessaire  de  calculer  ces 
différences  avec  deux  décimales  de  plus,  ce  qui  fait  perdre  tout 
l'avantage  qu'on  pouvait  en  attendre;  et  si  on  n'augmente  pas  le 
nombre  des  décimales,  il  faut  vérifier  les  résultats  de  distance  en 
distance,  puis  corriger  les  nombres  intermédiaires,  suivant  un  mode 
de  répartition  qui  est  plus  ou  moins  arbitraire. 

Cet  inconvénient  qu'on  a  pu  remarquer  dans  l'art.  85,  n'a  pas 
lieu  dans  la  première  méthode ,  ainsi  que  nous  nous  en  sommes 
assuré  par  un  grand  nombre  d'essais,  et  cette  raison  suffit  pour  lui 
donner  la  préférence.  Mais,  comme  on  n'a  pas  de  tables  usuelles 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  255 
qui  passent  dix  décimales,  il  serait  trop  difficile  de  calculer  les 
fonctions  avec  douze  décimales,  comme  nous  l'avons  fait  dans  la 
table  lï,  et  il  faut  se  borner  à  les  calculer  avec  neuf  de'cimaleSj 
ce  qui  au  reste  est  plus  que  suffisant  pour  l'usage  ordinaire. 

201.  Voici  donc  le  procédé  auquel  nous  croyons  devoir  nous 
arrêter  définitivement,  non  pour  calculer  dès  à  présent  une  série 
complète  de  tables  elliptiques,  ce  qui  serait  une  tâche  au-dessus 
de  nos  forces,  mais  pour  préparer  les  bases  de  ce  grand  travail, 
de  manière  qu'il  puisse  être  exécuté  par  la  suite  avec  toute  l'éten- 
due nécessaire. 

Pour  chacune  des  valeurs  du  modale,  depuis  c=sini"',  sin  2% 
sinS',  jusqu'à  c=: sin  75%  on  formera  la  table  particulière  qui  donne 
les  valeurs  des  fonctions  E  et  F  correspondantes  aux  différens  de- 
grés de  l'amplitude,  depuis  (p=o%  1°,  2°....  jusqu'à  (p=go°.  Ces 
calculs  seront  faits  par  la  méthode  du  n°  66 y  en  ne  donnant  que  dix 
décimales  aux  auxiliaires  p  ou  V ,  d'où  l'on  déduit  les  différences 
premières  cTE  ou  JT,  et  celles-ci  devront  être  réduites  à  neuf  dé- 
cimales. Si  l'on  porte  dans  ces  calculs  l'attention  nécessaire,  les 
erreurs  sur  le  neuvième  chiffre  décimal  de  la  fonction,  se  compen- 
seront pour  la  très-grande  partie,  de  sorte  qu'on  pourrait  parvenir 
à  l'amplitude  90°,  c'est-à-dire  à  la  fonction  complète,  dont  la  valeur 
est  connue  d'avance  par  la  table  I,  sans  commettre  une  erreur  de 
plus  de  deux  ou  trois  unités  sur  le  dernier  chiffre  décimal.  Cepen- 
dant, pour  plus  de  sûreté,  il  sera  bon  de  calculer,  par  la  méthode 
directe  et  rigoureuse,  les  fonctions  E  et  F  qui  répondent  à  l'am- 
plitude de  45';  en  cas  de  différence  dans  les  résultats,  on  corrigera 
les  nombres  de  la  table  par  un  moyen  préparé  dans  le  cours  de 
l'opération,  et  que  nous  indiquerons  ci-après. 

Il  conviendra,  comme  nous  l'avons  dit,  de  pousser  le  calcul  de 
ces  tables  particulières  jusqu'au  module  c=sin75'';  on  pourrait 
peut-être  aller  plus  loin,  sur-tout  pour  la  fonction  E  qui  n'est  pas 
sujette  à  d'aussi  grandes  inégalités  que  la  fonction  F;  mais,  comme 
l'interpolation  deviendrait  peu  exacte  pour  les  amplitudes  de  70  à 
90°,  nous  avons  pensé  qu'il  était  convenable  de  ue  pas  étendre  les 
tables  au-delà  du  module  sin  '/5'*, 


-K 


U-v/--* 


a56  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Par  une  raison  contraire,  on  pourrait  ne  les  commencer  qu'au 

module  sini5°;  car  au-dessous  de  ce  module,  les  fonctions  E  et 

I     F  sont  repre'sentées  avec  assez  d'exactitude  par  les  séries  du  §  VII, 

qui  d'ailleurs  ont  Tavantage  de  se  prêter  facilement  à  tous  les  calculs 

analytiques. 

La  re'union  de  toutes  les  tables  particulières  dont  nous  venons  de 

parler,  soit  qu'elles  commencent  au  module  sini°,  soit  qu'elles  ne 

commencent  qu'au  module  sini5',  formera  la  table  IX,  que  nous 

h<-         \^-     ■=  -^      nous  empresserons  de  publier,  aussitôt  que  le  travail  assez  consi- 

7p^^    V|-^^     ^        de'rable  qu'elle  exige  aura  pu  être  achevé.  Au  défaut  d'une  table 

plus  étendue,  dans  laquelle  l'angle  du  module  et  l'amplitude  cror- 
(?y'^  j^-l^^^^cS:  traient  par  des  intervalles  beaucoup  plus  petits  qu'un  degré,  la 
table  IX  sera  fort  utile  pour  appliquer  la  théorie  des  fonctions  ellip- 
tiques, en  donnant  les  moyens  d'évaluer  ces  fonctions,  pour  les 
modules  qui  n'excèdent  pas  les  limites  de  la  table,  par  un  calcul 
assez  facile,  lorsqu'on  ne  voudra  pas  obtenir  plus  de  six  qu  sept 
décimales  exactes. 

202.  Voici,  d'après  la  méthode  que  nous  proposons,  le  détail  des 
procédés  à  suivre  pour  construire  l'une  des  tables  particulières  qui 

doivent  composer  la  table  IX.  Soit  a  l'arc  d'un  degré,  ou  a=-^, 

soit  a)=.(p-f"T*  et  \/{i  — c*sin'&))  =  A(û));  si  on  prend  l'auxiliaire 
p=(xAa>,  on  aura  en  général,  pour  construire  la  table  des  fonc- 
tions E,  la  formule 

cTE  =  ;?  4*  iî:  cTr  —  yif^  J^;t?- +  etc.  ; 

on  calculera  donc  pour  les  valeurs  successives  ip=o%  i^s",  5'',4*  etc., 
les  valeurs  correspondantes  de  l'auxiliaire  p  \  on  observera  de  plus 
que  la  valeur  de;?,  pour  9  =  —  1%  serait  la  même  que  pour  <p=o'; 
on  placera  donc  deux  fois  celte  première  valeur  de  /?,  l'une  sur  la 
ligne  de  ^  =  0,  l'autre  sur  la  ligne  supérieure,  ce  qui  sera  nécessaire 
pour  former  cette  ligne  où  Ton  doit  trouver  la  différence  ci^p°  qui 
entre  dans  la  première  valeur  de  J'E ,  celle  qui  répond  à  <p  =  o. 

A  mesure  qu'on  aura  calculé  une  valeur  dcyp,  cette  valeur  servira 
à  ajouter  un  terme  de  plus  aux  colonnes  des  différences  dans  les 
lignes  supérieures.  Au  commencement  de  la  table  et  même  jusqu'à 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  :i^f 
des  termes  assez  éloigne's  tels  que  <p=45°ou  5o%  il  suffira  de  prendre 
les  deux  premiers  termes  de  la  valeur  de  cTE ,  savoir:  £rE=yt?-|-^cr^^°; 
car  nous  supposons  constamment  que  les  valeurs  de  p  sont  calculées 
avec  dix  décimales,  et  qu'on  en  conserve  neuf  seulement  dans  les 
valeurs  de  «TE. 

Lorsque  par  le  progrès  de  l'opération,  on  reconnaîtra  que  le 
troisième  terme  —  sy^^  S'^p'"*  peut  influer  sur  la  dernière  décimale 
de  «TE,  il  faudra  tenir  compte  de  ce  terme.  Mais  alors  on  devra 
ajouter  un  terme  de  plus  à  la  colonne  des  p,  ce  terme  qui  répond 
à<p  +  <x  étant  nécessaire  pour  avoir  la  différence  ^'^p""  qui  entre 
dans  la  valeur  de  cTE.  Jamais  on  n'aura  besoin  de  calculer  un  terme 
de  plus  de  la  formule. 

Les  mêmes  procédés  s'appliquent  au  calcul  des  fonctions  F,  avec 

cette  seule  différence,  que  1  auxiliaire  P  a  pour  valeur  —  ;  ainsi  le  lo- 
garithme connu  de  Aw  servira  à  calculer  à  la  fois  les  deux  auxiliaires 
p  =  aA(a) ,  P  =  ^.  Il  faut  observer  seulement  que  les  différences 

croissant  plus  rapidement  dans  la  table  des  fonctions  F,  il  faudra 
beaucoup  plus  tôt  faire  entrer  le  troisième  terme  de  la  formule  dans 
la  valeur  de  «TF. 

En  formant  la  colonne  des  différences  cTE  et  cTF,  réduite  à  neuf 
décimales,  il  sera  bon  de  faire  une  marque  particulière  aux  termes 
dont  la  dernière  décimale  n'est  exacte  qu'à  \  ou  au  moins  -^  d'unité 
près.  Celie  marque  sera  utile  pour  faire  sur  la  table  les  légères  cor- 
rections qui  seraient  indiquées  par  la  différence  qu'on  pourra  trou- 
ver entre  les  fonctions  données  par  la  table  pour  les  amplitudes  de 
45*  et  go°,  et  celles  qui  auront  été  calculées  d'avance  par  la  mé- 
thode directe. 

2o3.  11  ne  reste  plus  qu'à  faire  voir  comment  on  doit  calculer 
le  logarithme  de  A&j.  Au  commencement  de  la  table  et  jusqu'à  une 
limite  assez  éloignée,  faites  sinA  =  csinû);  appelez  a  l'angle  qui, 
dans  la  table  à  dix  décimales ,  approche  le  plus  de  A ,  et  soit  la 
différence  Zsin  A —  ^sina  =  rj  vous  aurez  avec  une  exactitude  suf- 
fisante /cosA,   ou 

log  A  =  log  cos  a  —  r  lang*  a  y 


a58  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

et  l'on  voit  que  la  correction  rtang'a  n'a  pas  besoin  d'être  calculée 
avec  beaucoup  de  précision,  tant  que  l'angle  a  sera  d'un  petit  nombre 
de  degrés. 

Lorsque  l'angle  a  approchera  de  4^%  on  pourra  faire  plus  exac- 
tement log  A=/cos«  —  R,  IogR=log(rtang"a)4-/'-f-rtaûg*«. 

Si  l'on  avait  ZsinA=/sina — /•,  il  faudrait  faire  logA=/cosa+R  , 
log  R  =  log  (/•  tang*  a)  —  r  —  r  tang*  a. 

Lorsque  l'angle  a  sera  plus  grand  que  4^%  la  correction  R  deve- 
nant plus  grande  que  r,  les  erreurs  se  multiplieraient  par  la  formule 
précédente,  et  il  faut  lui  en  substituer  une  autre.  On  mettra  alors 

la  valeur  de  A  sous  cette  forme,  A  =  ^v^f  i  +~^-^J,   et  faisant 

tangA  =  — ~^   on  aura  A  =  — -,  Soit  a  l'angle  de  la  table  qui 

approche  le  plus  de  l'angle  A  dont  on  connaît  la  tangente,  et  soit 
Zlang  A  =  Z  tanga  4" 'j  oi^  2mx2^ 

l  cos  A  =  Z  cos  a  —  r  sin*  ^1(1+  M/*  cos'  à)  , 

ou  si  l'on  fait  ZcosA=Zcosûr — R,  on  aura 

ZR  =  Z(r sin* a) -|-r — /•sin'â,     ensuite    logA=:log 1- R* 

Celte  formule,  dont  le  calcul  est  aussi  facile  qu'il  est  possible,  ne 
laisse  rien  à  désirer,  et  pourrait  même  servir  dans  toute  l'étendue 
de  la  table  sans  exception;  mais  le  calcul  de  la  première  est  plus 
simple,  tant  que  csinco  est  «<sin45'*. 

Si  l'on  avait  /tangA=Ztangâ! — r,  la  formule  deviendrait 

log  R  =  log  (r  sin*  ci)  —  ;'-|-/sin*â!,      log  A  =  log  ( — —  j  —  R. 

Connaissant  A  pour  une  valeur  déterminée  de  «,  on  connaîtra  à 

la  fois  les  deux  auxiliaires  ^  =  aA  ,  P  =  ^ ,  l'une  pour  la  table  des 

fonctions  E,  l'autre  pour  celle  des  fonctions  F.  Ces  auxiliaires  de- 
vront être  placées  chacune  sur  la  même  ligne  que  la  valeur  de  <p , 
d'où  elles  sont  déduites,  en  faisant  dy  =  (p-f-7a;  on  y  joindra  leurs 
différences  successives,  continuées  jusqu'à  l'ordre  où  les  différences 
de  l'ordre  suivant  seraient  négligeables  ou  fort  inégales.  On  en  dé- 


CONSTRUCTION'  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  2^9. 
duira  ensuite  les  valeurs  de  cTE  et  de  cTF,  suivant  les  formules  que 
nous  avons  rapportées. 

Calcul  détaillé  de  la  Table  particulière  pour  le  module  c=sin63*. 

204.  Nous  prenons  pour  exemple  un  module  un  peu  grand,  parce 
que  les  calculs  deviennent  plus  difficiles  vers  la  fin  de  la  table,  à 
raison  de  la  grande  inégalité  des  différences  ;  on  verra  cependant 
que  les  résultats  n'en  sont  pas  moins  sûrs,  en  prenant  les  précau- 
tions convenables.  Du  reste,  nous  entrons  dans  tous  les  détails 
nécessaires  pour  qu'on  puisse  facilement  saisir  la  méthode,  et  l'ap- 
pliquer à  tout  autre  module. 


^  =  0%     û)  =r  o 


pi 
*• 


c 9,94988  08840  7    ces  a 9,99998  65338 

sin  4» 7,94084  18696  8    R —   G23 

sinA 7,89072  27437  5    A 9,99998  68715 

«in  a 7)88969  04944     « 8,24187  j'5^'j^ 

r  :=    io3  02493  6   p 8,24186  42391 

P 8,24189  04961 

r 7,01378  ^<o 

tangua 5,77940  71  p =  0,01745  2764^ 

2,79319  T^  P =  ^>'^'^7^^  38201 

r 4-  io3  23 

R 2,79422  Sg 

Dans  ce  cas  et  dans  le  cas  suivant,  on  aurait  pu  faire  plus  sim- 
plement le  calcul  de  A  par  la  formule  log  A  =  j  log  (i  —  c*  sin'  cù) 
=  ■ —  ^  me"  sin'  fit)  j  ensuite  co  devenant  un  peu  plus  grand,  on  aurait 

les  formules  plus  approchées  r  =  c'  sin*  co,  log  A  =  —  R, • 

log  R  =  log  {imr)  -jr^mr-j  mais  nous  avons  préféré  de  suivre  tou- 
jours la  même  marche. 

c 9,94988  08840  7    r 6,07670  73  cosa 9,99988  19043 

sin*.....  8,41791  90153  9     tang»a....  6,73669  73  R —       Ç^g 

8,36779  98994  6    R 2,8ia3o  46  A 9,99988  18394' 

sin  a...  8,36768  06811  « 8,24187  73676 

r  =  11  93i83  6  p  =  0,01744  86446    p 8,24176  920^ 

P  =  0,01745  80418    P 8,24199  55282. 


26o  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

C 9,94988  08840  7    r 5,89966  33  cos  a 9*999^7  16309 

sin*....  8,63967  96616  i     tangua....  7,17993  63  R -|-     1201 


8,68966  04466  8    R 3,07949  96  à 9>999^7  i75io 

sine...  8,68963  98006  u 8,24187  73676 

r  =  —        7  93548  a  p  =z  0,01744  01069    p 8,24164  91186 

P  =  0,01746  64891     P 8,24220  66166. 

Celte  valeur  de  P ,  auxiliaire  de  la  fonction  F ,  jointe  à  la  valeur 
correspondante  J^^P"  =  42  538,  donne  pour  (p  =  2%  la  différence 
cTF  =  P  +  ^  éT^P"  =  1746  66655,  où  il  faut  remarquer  que  le  re- 
tranchement du  dernier  chiffre  laisse  une  incertitude  d'une  demi- 
unité  sur  la  neuvième  décimale  de  «TF.  C'est  ce  qu'on  a  exprimé 
dans  la  table  par  le  signe  +  mis  à  la  suite  de  la  valeur  choisie 

cTF  =  174^  6665  +•    C)n  aurait   pu   également   prendre » 

cTF  =  1746  6666  — .  Nous  verrons  ci-après  l'usage  de  cette  no- 
tation, pour  corriger  les  petites  erreurs  qui  peuvent  résulter  du 
progrès  de  l'opération. 

,  (P  =  5%     û)  =  3"  i. 


c 

aina.... 

,  9,94988  08840  7 
.  8,78667  62787  7 

8,73555  61628  4 
,  8,73574  00461 

;  —   18  38823 

cos  a... 
R 

A 

—  9>99935  601 i3 
+   5461 

••  9.99935  66674 
...  8,24187  j56jG 

..  8,24123  39260 
..  8,24262  08102 

tang 
r 

R.... 

P 
P  : 

,..  7,4727^  807 
...  6,26453  993 

..  3,73730  800 

sin  a... 

a, 

r  = 

P 

P 

=  1742  74532 

=  ^74?  9^7°^ 

(P  =  4%     a>  =  4»  i. 

c 9,94988  08840  7  cos  a 9199893  63682  tangua....  7,69110  io3 

siu«....  8,89464  32984  1  R —  i83i  r. 6,67167  390 

8,84462  41824  8  A 9,99893  61861  R 3,26277  493 

«in  a...  8,84448  68865    x 8,24187  73676 

r  r=     3  72970  p 8,24081  35627  p  =  1741  06926 

P 8,24294  11825  P  =  1749  So97!i 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      261 

(p  =  5%    0)  =  5"  ^. 

c...;;:.  9,94988  08840  7  cosa 9,99840  98748  tang*  a....   7,86626  8io 

ain«....  8,98167  28715  4  R ••  +     6627  r 5,955o5  o5i 

8,93145  37556  1  A 9,99841  05375  R 3,82i3i  86i 

«ma...  8,93i54  39232   « 8,24187  73676 

r  =   —g  01676  p 8,34028  79o5i     p  =  1738  95324 

P 8,24346  683oi     P  =  1751  72864. 

<P  =  6',   de)  =  6»  i. 

c^' 9^949^8  08840  7  cos  a 9>99777  95564  tang*a....  8,01190  777 

sin#....  9,o5585  87663  7  R.. —   647  r 4.79925  167 

9,00373  96404  4  A 9^99777  949i7  R 2,81116  934 

ain  a...  9,00373  34424   « 8,24187  73676 

r  =      61980  p «,23965  68693     p  =  1736  4283a 

P A244C9  78769      P  =  1754  27681. 


cp  =  7%  w  =  7 


O   I 


,c 9'949S8  08840  7  coscf 9,99704  363o9  tang'^a....  8,13696  406 

ski «....  9.11669  76687  3  R —  7260  r 5,72337849 


9,06667  86628   A 9,99704  29069  R 3,86034  255 

sina....  9,06662  56622    tt 8,24187  j56jS 

r  =c            5  28906  p 8,23892  02735  p  =  1733  48574 

P 8,24483  44617  P  =  1767  25368. 

<p  =  8%  oj  =  8°  i 

-c. 9'94988  08840  7  cos  a 9,99620  17398  tang^'c...  8,24662  41g 

sin  «...  9,16970  20867  8  R —  ii3i8  r 6,80709916 

9,11968  29708  5  A 9,99620  06080  rtang*a..  4,06372  335 

sina....  9.11961  88352   * 8,24187  j^GjS    r 6  414 

V=      Ml 366   p M38^^^^  rtang»a.. 1^ 

P 8,24567  67696  R. 4,05378  8?a 

p  =  1730  12697 

P=  1760  665i2. 


aa 


J262  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

c 9,94.988  08840  7  cos  a 9>99525  34714  tangue...  8,34437  695- 

sin  «...  9,91760  92289  4  R —  10645  r 5,68272  79S 


9,16749  oii3o    A 9,99626  24069  jS^jO^.'jxo  49* 

sine...  g,j6'j44  ^94^4        «* 8,24187  73676  r 4  81S 

T8'i'ë4~  P 8,23712  97745  rtan^^a.. _io£ 

P 8,24662  49607  R 4,02716  4i3' 


p  =z   1726  35368 
P=  1764  5 1340. 


(p  =  10°,  ù)  =   10"  ^. 


c 9,94988  08840  7  cos  a 9,99419  836o2  tang'ût....  8,43261  100^ 

sin  »...   9,26063  30434  5  R —  2726  r 6,00292  1^4 

9,2io5i  39275    A 9>994i9  80876  rtang^^a..  3,43563  264 

sine...  9,2io5o  386oo   a.  ..^i 8,2418773676  r 1  007* 

r  =     1  00675   p 8,23607  54652  ^tang"«--        ^7 


p  =   1722  16776 
P  =  1768  80224. 


P.. ,  S,i24jS';  92800  R 3,43554  22^ 


(^=11°,   6)=  II 


o  I' 


C 9,94988  08840  7  cos  a 9,993o3  58856  tang'flf....  8,5i3oq  43r 

sin  «...  9,29965  53093  1  R +  16265  r 5,67066  139 

9,24953  61934  A 9>993o3  74121  4»i8375  670 

aina...  9,24968  3o382  «. 8,24187  73676  r —4  6B4 

r  =  ^       4  68448  p 8,23491  47797"  ^t^"S'"-   —   ^^^ 

P.. 8,24883  99555  R 4,18370  733 

p  =   1717  67132 
P=  1773  53678. 

(p  =  12%  ù)   =  12°  |. 

c 9,94988  08840  7  cos  a 9;99i76  96100  tang'û....  8,68692  248 

sin «....  9,33633  67606  1  R +    5io5    r 6,12107045 

9,28621  jG547  ^ 9>99^77  01206  ^)7°799  293 

sine...  9,28623  08498  u 8,24187  73676    r. ". —  *i  322 

rz=^       r3li"57  p 8,23364  74881  rtang'^a..       —        5i 


p  =  1712  66667 
P  =  1778  71860. 


P. 8,26010  72471    R.... .......  3,70797  920 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      263 

■c 9,94.q88  08840  7    cosa 9,99039  54410  tang*a....  8,65536  Zoy 

^iû  4F...  9,368 18  52534  1     R 4-    4902  r 5,03499723 

9,3i8o6  61375        A 9,99039  59312  3,69036  o3o 

sin  a...  9,31807  6(^j6y        « 8,24187  73676  r —  i  084 

r  =  "^       i~8392        p 8,23227  32988"  ^tang'a..       —        4.9 

P 8,25i48  14364  R 3,69034  897 


p  =  1707  i5635 
P  =  1784  35572. 


=  14%     a>  ==  i4°  i. 


c. ,.'.:.'.:  9,94988  08840  7  cosa 9,98891  76119  tang'ûf....  8,71901  258 

«in»....  9,39859  96421  3  R —  29706  r 5,75376  838 

9,34848  05262   A 9)98891  4^4^^  4Àl^l'^  09S 

eina....  9,34842  38020   « 8,24187  73676  r 5  673 

r  =      5~67242  "  p 8,23o79  19089  ^tang^^...       ^97 

P... 8,35296  28263  R 4,47284  o65 

p  =  1701  34313 
P  =  1790  45259. 

r. 9,94988  08840  7  cosa 9,98732  57854  tang*a....  8,77890  260 

ain«....  9,42689  88240  2  R . —  1678  r 4,4^9°7  9^7 

9,37677  97081    A 9,98732  56276         3,19798  227 

sina....  9,37677  70834   « 8,24187  73876  r. a5a 

/=       â6^7~  P 8,22920  1^  rtang^a.. i£ 

P 8,25455  17400  R 3,19798  5o5 

f  —   1^95  12994 
jP  =  1797  oi5i6, 

(P  =  16%  (jù   =  16"  7. 

r.. ......  9,94988  08840  7  cosa 9,98562  944^5  tang'^a....  8,835i6  911 

fiin*»....  9,45334  i8c46  3  R —  6947  r 4,9^910  473 

9,4o322  2688^   A 9,98662  88478         3,77427  384 

ôina....  9,4o32i  39970    a, 8,24187  73676  r 869 

r  =       86^7~  V 8,22750  62154"  ''ta"g'«-  ^9_ 

P 8,26624  86198  R 3,77428  3i3 

p  =  1688  52003 

V  =  1804  04979. 


264  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL; 

c 9,94.988  08840  7  cos  a 9;98382  28068  tang'a....  8,88842  65o 

sin«....  9,47814  18041  2  R 4-  io34o  r 6,12609  893- 

9,42802  26882    A 9,9838238^         4,01452  542 

sin  a...  9,42803  60672    «... 8,24187  7^676  r —  1  337^ 

T  =  ^        Tm^     p 8,22570  12074"  ^tang'fl..    -  lo5 

P 8,258o5  35278  R 4,oi45i  102 


p  •=   1681  51679 
P=  1811  56336. 


(p   =  18°,  a>  z=  18"  \: 


c. 9,94988  08840  7  cos  a 9,98191  ii6o3  tang*  a....   8,93887  079' 

sin»....  9,5oi47  64453  6  R —  9358  r 5,o3a3o  037 

9j4^i35  73294  3  A 9,98191  02245  3,97117  1x6 

sine...  9,45i34  66673   « ,.  8,24187  73676  r.... 1  077' 

r=      1  07721    p 8,22378  76921  rtan^'a.. 93 

P 8,26996  71431  R 3,97u8  286 

p  =   1674  12388 
P=  1819  563i9. 


Ç   =  19",  Cà   =  19' 


o  1"  ' 


C 9,94988  08840  7  cos  a 9^97988  80210  tang'c...  8,98696  769^ 

&'ma..,.   9,62349  52565  4  R 4^49  ^ 4>63o93  61a 

9,47337  61406   A 9,97988  76061  3,61790  38i 

sîna,...  9,47337  i8656    «..; 8,24187  73676  r 4'^"^ 

r=      42760  p...:;..-;...  8,22176  49737  ^tang^«..^ 41^ 


p  =  1666  34620 
P  =  1828  06712. 


P 8,.26i98  97615  R.... 3,61790  849 


(p   =  20%  û)   =  20°  ' 


z* 


c 9,94988  08840  7  COS  a 2>9777^   92688  tang*a....  9,03^282  549 

sin»....  9,6443a  62953  9  R —  36860  r..... 5,53369  277 

9,494*20  61794  6  A 9)97775  66728  4>5665i  826 

sina....  9,494'7  20067    <* 8,24187  73676  r 3  4^y 

r=     3  41737  6  p 8,21963  29404  ^*ang=«'-       ^^^_ 

P a,264i2  17948  R 4,56665  611 

p  =  1668  18484 
P  =  1837  05346. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       205 

<P    =  21%  (û   =   21*  i, 

c; 9,94.0^8  08840  7  cos  a 9;9755i  75669  tang*  a...   9,07681  271 

iin  «...  9,56407  54326  2  R —  38666  r 5,5io48  455 

9,5i395  63i66  9  A 9^97^51  36993  4,58739  726" 

siha....   9,51392  39213    et 8,24187  73676  r 3  240 

r=  5~^4^  p 8,2 1739"  0669  rtaBg'^a.. 385 

P. 8,26636  36683  R 4,68733  352 

p  =  1649  ^7^7 
P  =  1846  56104. 

<P  =  22°y       Cû   =  22°  ~. 

C" 9>949^8  08840  7  cos  a 9,973i6  17704  tangua,. ..  9,11911  4i6 

éa.tt....   9,58q83  96606  8  R. —  2226  r 4,22843  885 

9,539,72  06446  5  A 9,97316  15478         3,34755  3o2 

sin  a...  9,55271  88626    « 8,24187  73676  16^ 

r=       ïê^iT  p 8,2i5o3  89154  ^tang^û"' ^^ 

P... 8,26871  58198  R.. .........  3,34755  493 

p  =  1640  73679 
P  =  i856  68920. 

<p  =  23%.  Cà   =  2-3°  {. 

.........  9,94988  08840  7    cosa 9;97o69  863o6    tang'a....  9,16976  44** 

sin«. ..  9,60069  96819  9    R +      389    r 3,43oi3  968 

9^6068  06660  6    A 9,97069  86696  2,68990  399 

sina. ..  9,65o68  o8353        «. 8,24187  73676    r... —  26^ 

T=^^              2"69r7    V 8,21267  60371  ''tangua..             —       4 

P.... 8,27117  86981     R. 2,68990  126 

p  =  i63i  45862 
P  =  1867  14780. 

(p  =  24%   (à    =  24°  ]r. 

C* 9,94988  08840  7  cosa 9,96812  7936g  tang'*  a....  9,19891  76^ 

«in  «...  9,61772  69686  8  R —  33296  r 5,32344  909 

9,66760  78497  6  A 9,96812  46073  4,62236  6^ 

sîna...  9,56768  67832    u 8,24187  'jZÇ>'j^    r a  loS 

r=     a  10696  5  p 8,21000  1974^  rtang'g..       533 

P 8,27376  27603  R ...0.  4j52239  117 

p  ==  1621  81747 
P  =  1878  24724. 


26G  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

c 9>94988  08840  7     ces  a......  g,g6544  0^799    tangua....  9,23683  845 

sin«..o  9,63398  43502  6    B —  17823    r. 5,oi4i4  7^3 


9,58386  52343  3    A 9,96543  88976  4*25097  627 

sina. ..  9,58385  49^32        tt 8,24187  73676    r... 1  o33 

r  ==             1  o33ii  3    p 8,20731  62602  ^- tangua..                 '7^ 

P 8^27643  84700    R 4,26098  838 

p  =  1611  81898 
ï>  =  1889  89846, 

(p  =  26%  &)  =  26''  ^. 

c 9,94988  08840  7    cosa 9,96264  453o4  tanguer....  9,27349  <y74 

lin*....  9,64962  74374  o    R. —  34582     r 5,26533  843 

9,69940  832i4  7    ^ 9>96264  10722  4>53882  917 

$\na....  9,69938  98994        « 8,24187  73676    r 1  843 

f=s  1  84220  7    p 8,2045 r84398     ''tang^^û- ^ 

P »..  8,27923  62954    R..., 4,53885  iq5 

p  =  1601  468^4 

P  =    1902    il292, 

Ç>    =    27%       ù)    =    2f    i. 

C 9,94988  08840  7  CCS  a 9^95972  96967  tang'ût....  9,30912  424 

sin«....  9,66440  66998  o  R -f-  io663  r 4^7^^?^   i5a 

9,61428  64868  7  A 9»95973  o663o  4^02788  676 

êxn  a...   9,61429  17170    a 8,24187  73676  r —  623 

r  =    —  5233i  3  p 8,20160  803^  ^*^"S'  ^- ""  ^°7 

P 8,28214  67046    R 4.02787  94$ 

P  =  1590  77234 
P  =  1914  90267. 

'    <p  =  28%     Cà  =  28"   J. 

c. 9,94988  08840  7     CCS  a 9.95670  41639  tang'fl....  9,34370  679 

sin  «...  9,67866  29015  4    R -f-  30390    r 6,16903  769 

9,62864  37866  1     A 9,96670  72029  4À^V4  44^ 

sine...  9,62866  76689         « 8,24187  76676     r —  1  377 

r  =  1^-1-77737^   p '^:^^7'^  rtang-g..        -      Soj 

p... 8,28617  01647    R 4148273  767. 

p  =  1679  7^620 
P=  1928  28o3o. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      267 

<p  =  29%     60  =:  29Ô  i. 

c 9,94988  08840  7    cosûT. 9,95356  77120    tang'c....  9,3;^732  5ià 

sin«....  9,69233  88236  6    R. -f  s5i88    r 5,o2385  182 

9,64221  Qyoyj  3    A 9,95357  o33c8                     4A^i^7  ^b4 

sin«....  9,64223  02723        ce 8,24187  73676    r —  1  056 

r  =  —        1  05645  7    p 8,19544759^   r  tangua..        —      ^52 

P. 8,2883o  7i368    R 4,40119  oor 

p  =  ibGS  36665 
P  =  1942  26897. 

(fi  s=  3o%     0)  =±=  3o*  ^. 

é 9,94988  08840  7    cos  a 9;95o3i  96685    tangua....  9,41006  737' 

iin  «...  9,7cb4S  88746  5    R —    364o    r 4,i5iio  oo5 

9,65534  97686  2    A 9^95g3i  92945  3,56ii5  742 

sine...  9,66534  83425        et 8,2418773676     r. 143 

r=  Ï4161  2    p 8,19219  66621     ^ta"g'«- 3£ 

P. 8,29155  80731     R. 3,56ii5  920 

p  =  i556  67038' 
P  =  1956  8524a. 

(p  =  3i%     eo  r^  3i»  i. 

c- 9^94988  08840  7  cos  a 9^94695  93567  tangue...  9,4419^  42!? 

ainft>....  9,71808  61017  9  R ,     —  54oo6  r 6,29044655 

9,^^79^   59808  6  A 9,94696  39561         4,73241  977 

sïa  o...  9,6G7s4  646J4        « 8,24187  7'^>676  r.... 1  963 

r=  1  96184  6  p 8, 18883  i3237  ^^^"S'''- ^^. 

P •  8,29492  34116  R.... 4,73244  46^^ 

p  =  i544  65439 
P  =  1972  07493. 

0   =  52%  o   ===  32°  |. 

^ 9>949^8  08840  7  cos  a 9,94^47  4^^4^    tang*c....  9,47324  00^' 

«in>....  9,73c2i  66240  o  R. —  8182  r 4,43962791 

9,68009  74080  7  A 9,94347  37963         3,91286  799 

aing....  9,68009  46662   « 8,2418773676  r iz^^ 

r  =       27618  7.  p 8,i8636  ii6"3^  rtang»a.. 82^ 

P.. 8,2^40  35713  R 3,91287  i56 

p  =   i532  32698^ 

P=  1987  94137, 


268  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

(p  =  53%     0)  =  33"  i. 

c 9,94988  08840  7    cos  a 9)93987  53iii     tang*ct....  9,5û38o  gGS 

sin*....  9,74188  94y7i  3    R +  3io86    r 4,98876  40a 

9,69177  o38i2        A S,9'^9^7  84197  4,49257  365 

çin  a...  9,69178  01258        « 8,24187  73676    r —  974 

r  =  ^           97446"     p 8,18175  57873  ^tang^«..            —  '^^^ 

P-...-. 8,30199  89.479     R 4,49256  089 


p  =  iBig  69274 
P  =  2004  4^7 ij' 


(p  =  34%     o>  =  34»  i. 


c". 9,94988  c884o  7    cos  a 9>936i7  28891  tangua....  9,53364  027 

^in*....  9,75312  80269  o    R —  54280     r 5,20097  645 

9,7o3oo  89109  7    A 9,90616  746.11  4>7546i  573 

sin  a...  9,70299  30264        * 8,24187  'j5GjG    r 1  588 

r  =  r58845  7    p 8,17804  48287    rtan^'a..  __543 

P ,...  8,30670  990J65    R 4;73463  704 

p  =  1606  76269 
J*  =  ao2i  66832, 

.(p  =  35%     cà  =  35° 


ro    1 


f. ......  9,94988  08S40  7  ces  a 9,93234  22162  tang'a....  9,66297  653 

?in  a...   9,76396  4o366  5  R —  16227  r 4,64724  796 

9,7i383  49206  a  A 9;93234  06926  4,21022  449 

sine,  9,7i383  04820    u 8,24187  73676  r 444 

r=  44386^  p 8,17421  7"^  rtang'a.. 16a 

P.. 8,30953  67751  R 4,21023  oo5 

p   r=  1493  54379 

P  =  2039  661 36. 

<p  =  36%  ù>  =  36°  -i. 

c.  ...7...  9,94988  08840  7  ,cos  a 9,92839  41671  tangua.;..  9,69176  585 

sin*.....  9,77438  76973  3  R 4-  33632  r 4,93499  3oS 

9,72426  84814   à 9,92839  753o3  4>^^^7^   891 

«in  a...  9,72427  70912    te 8,24187  73676  r —  86j. 

r  =  ^  86098  p 8,17027  48^77  ^^^<^"  Z.5?i 

P 8;3i347  98373  R 4,^2674  6s4 

p  =  1480  0449a 
P  =  2o58  16334. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      269 

c. .......  9,94988  08840  7    cos  a 9,92434  12467  tang*a....  9,61995  8i6 

siû*»....  9,78444  71278  3    R —  32o33    r 4,88662  69a 

9,7343380119        A 9,9243380434  4,5o558  5^ 

sin  a...  9,73432  03272        te  8,24187  73676    r 768 

r=  76847~   p 8.16621  54Û7   ^^a°g'«-  £20 

P 8,31753  93242    R 4,5o559  696 

p  =  14S6  H7494 
P=  2077  49183. 

<p  =  38%    6)  =  38»  i. 

<^ 9.94988  08840  7  ces  a 9,92015  55343  tang»  a...   9,64777  877 

sin«....  9>794i4  9^670  7  R +  64^90  r 5,i6o38  328 

9.74403  04511  4  A 9>92oi6  19633  4,80816  2o5 

siaa....  s,744o4  49183    « 8,24187  73676  r —  i  44^ 

r  =  —   1  44671  ë"  p 8,16203  93309  ^ta<ûr..   —   643 

P 8,32171  54043  R 4,80814  ii5 

P  =  1452  243i3 

P  =  2097  56489.  . 
(P  =  59%  cù   =  59'  i. 

«^ 9.94988  08840  7  cos  a 9,9i586  34168  tang»a....  9,67608  o4o 

sin.«...  9,8o35i  q5255  i  R +  67771  r 6,08664  523 

3,76339140938  A 9,9168691939  4,761 72  ~563 

sine...  9,75340  36174   « 8,24187  '7'5^'j^    r —  1  aai 

r  =  —   1  22080  a  p 8,16774  656 1 5  '■tang*a..   —   678 

P 8,32600  81737  R 4,76170  764 

p  =  1437  96919 
P  =  2118  40100. 

(p  =:  40%     Cù  =  40" 


yO  I 


^ 9>94988  08840  7     cos  a 9.91146  49166     tang'a....  9,70191  oi3 

sina.....  9,81254  44160  3    R —51936     r 6,01354933 

9,76242  53ooi         A 9.91145  97229  4,71544  935 

sine...  9,76241  4985a        » 8,24187  73676    r ;..  ,  Ô33 

r  =  1  o3i69        P 8, 16333  709^  rtang>a.. Si^ 

P 8,33o4i  -7^47    R 4,71^^^  486 

p  =  1423  43320 

P  =  2140  01908. 

bb 


vjo  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

<p   =  4i»,  a)   =  4l'  h 

c 9,94988  08840  7  cos  a 9,9069a  92066  tang*a....  9,72844  .9o5 

ain*....  9,82126  45717  5  R +  44^88  r 4,9^784  ^67 

9,77114  54558  2  A 9^90693  36354        4M^^9  4?» 

«ina....  9,77115  37323   « 8,24187  73676  r —  82» 

r^^  S^ë48    p 8,14881  ioo3o  rtan^a.,  -~  44^ 

P. 8,33494  37322  R..... 4,64628  201 

p  ==  1408  67564 
P=  2162  43834. 

(p   =  42%  û)  =  42*  i, 

c 9,94988  08840  7  cos  a 9,90228  5i388  tang'c...  9,75467  926 

ain»....  9,82968  334S0  4  R +  59879  r 5,02271  245r 

9,77956  42301  i  A 9*90229  11267         4.77729  171 

sin  a...  9,77957  47670   * '  8,24187  73676  r —  1  o54 

r=«=II   1  05368  9  p 8,i44i6  84943  ''**"&'«••   -   ^99 

P 8,33968  62409  R 4.77727  5i8 

p  =  1393  69741 
P  =  2i85  67830. 

(P  =  43%    û)  =  45»  i. 

c 9,94988  08840  7  cos  a 9,89753  25476  tang*a....  9,78032  099 

sin»....  9,85781  22o36  4  R. —   281  r „..  2,66847  910 

9,78769  30877  1  A 9,89753  26195  R...r 2,44880  009 

■ina.r..  9,78769  3o4ii    « r....  8,24187  73676 

r  =s        4^6  1  P 8,13940  98871 

P 8,34434  48481 

p   r=  1578  60989 
P  =  2209  76868. 

<p  =  44%    o)  =  44*  T' 

c 9,94988  08840  7  cos  c 9,89265  43791  tang»a....  9,80678  88r 

«in*....  9,84566  i8oo3  3  R +  39012  r 4,78641  626 

9,79554  26844   ^ 9,89266  82803        4,69120  407 

»in  a...  9,79554  87866    a 8,24187  73676  r.. — 610 

r  =  ^=    ëlZT'  p 8,13453  56479  '"*^<"- -^9^ 

P 8,34921  90873  R 4,69119  407 

p  =  i363  12489 
P  =  aa34  69927. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      271 

c. ......  9,94988  08840  7    C08  G 9,88766  62110    tang'a....  9,83092  180 

ain  •...  9,85324  2o538  2    R -f  28277    r 4,62o5i   18S 

9,8o3i2  29378"^  A 9,88766  90387  4,45143  366 

«in  a...  9,8o3i2  71115        « 8,2418773676    r — 417 

r  =  ^           4r7'36T  p 8,12954  64o"63  '"tangua..           -  ^8^ 

P 8,35420  83289    R 4,45i4a  666 

p  =  i347  55471 
P  =  2260  51987. 

Arrivé  aux  valeurs  de  E(p  et  F(p  pour  l'amplitude  ç  =  45*,  an 
voit  qu'en  comparant  ces  valeurs  avec  celles  que  donne  la  table  VIII , 
l'accord  est  parfait  sur  la  fonction  F,  et  la  diffe'rence  est  seulement 
d'une  unité  décimale  du  dernier  ordre  sur  la  fonction  E.  Cette 
différence  peut  facilement  être  corrigée ,  en  diminuant  d'une  unité 
du  dernier  chiffre,  l'une  des  différences  premières,  peu  éloignée 
de  45°?  marquée  du  signe  — .  Nous  choisirions  de  préférence  la 
différence  qui  répond  à  3o°,  et  pour  laquelle  nous  prendrions 
i556  6570.  On  pourrait  aussi ,  pour  faire  remonter  moins  haut  la 
correction,  l'appliquer  à  la  différence  qui  répond  à  4^%  où  se 
trouve  un  semblable  signe  — ,  et  réduire  ainsi  la  différence  1408  6665 
à  1408  6664,  ce  qui.  diminuera  les  nombres  E  d'une  unité  dans 
le  dernier  chiffre,  depuis  (p  =  42*  jusqu'à  (p  =  45'*.  Mais  avant 
d'effectuer  cette  correction ,  on  peut  continuer  le  calcul  de  la  table 
jusqu'à  la  fin,  pour  faire  toutes  les  rectifications  à  la  fois. 

Nous  remarquerons  au  reste  que  c'est  par  une  sorte  de  hasard 
que  le  calcul  de  la  table  s'est  rencontré  aussi  exactement  avec  le 
résultat  tiré  des  formules  générales.  Cela  prouve  seulement  que  les 
légères  erreurs,  qui,  à  chaque  opération,  affectent  ou  peuvent  affec- 
ter le  dernier  chiffre,  se  sont  compensées;  dans  d'autres  cas,  la 
compensation  n'aura  pas  lieu  aussi  exactement;  mais  en  opérant 
avec  l'attention  nécessaire,  il  y  aura  rarement  des  erreurs  de  plus 
de  deux  ou  trois  unités  sur  le  dernier  chiffre,  et  dans  tous  les  cas, 
celte  erreur  sera  facile  à  corriger  par  les  moyens  que  nous  avons 
déjà  indiqués. 


372  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL, 

(f>  =  46%     a>  =  46"  i. 

c 9,9^988  08840  7  cos  a 9,88256  7G934  tang*a....  9,85674  49^ 

sin  •...  9,86o56  22069  9  ^ —  20842  r 4^463x8  5oo 

9,81044  30910  6  A 9,88256  66092         4,31892  998 

aina....  9,81044  oi858   « 8,24187  y^GyQ    r 291 

29062  6  p 8,12444  29768  ^tang'a..       208 


P 8,35931  17684  R 431893  497 

p  =  i33i  81216 
P  =  2287  24011. 

<p  =  47%    o)  =  4f  |. 

€ 9,94988  08840  7  COS  a 9,87735  84196  tang'^a....  9,88028  192 

sin«....  9,86763  08843  2  R —  94o55  r 6,09307  797 

9,81761176839  A 9,8773490141  4,97335989 

abc...  9,81749  93782    a 8,24187  73676  r 1  239^ 

r=  7^^  P 8,1.922  63'877    ''^"S'^.. 940 

P 8,36452  83535    R 4,97338  16a 

p  =  i3i5  91069 
P=  23i4  87931. 

(P  =  48%    a  =  48»  |. 

c 9,94988  08840  7     cos  a 9,87201  90699  tang»a....  9,90463  964 

8in  •...  9,87445  61424  2    R +  1449^     r 4,26667  2o5 

9,82433  70264  9    A 9,87202  06090  4,i6in  169 

sina....  9,82433  88323        « 8,24187  73676    r —  181 

r  =  i:  18^587  p 8,1138978766    '•tang-a.. --_i45 

P .8,3698668686    R 4,16110  833 

p  =  1299  86388 
P  =  2343  4563o. 

(P  =  49%    a>  =  49°  i. 

e :..  9,94988  08840  7  ces  a 9,86668  62916  tangua....  9,92866  919 

«in»....  9,88104  55i53  7  R —  4^77^     r 4,74129  660 

9,83o92  63994  4  ^ 9,86668  16144  4,^^99^   679 

jina....  9,83092  08876   « 8,24187  7^^76  r 65i 

^7iT4  p 8,1084689820  '•*^"g'«- ^ 

P 8,37629  67532    R 4>^^997  59S 


r 


p  ==  1283  68662 
P  =  3372  98916. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      ^yS 

(p  =  5o%    Où  =  5o°  \. 

c 9,94988  08840  7  C03  a 9,86104  ii838  tangua....  9,95247  58o 

sin*....  9,88740  60554  9  R —70457  r 4,89530981 

9,83728695.956  A 9,8610341401  4,84778  sëT 

sin  a...  9,85727  90816    « 8,94187  73676  r 786 

r=       785^9^  P 8,10291  i5c77  rtan^'a.. ^^ 

P 8,38o84  32275  R 4,84780  o5i 


p  =  1267  39359 
P  =  2403  49502 


=  5i%    cû  =  51"»  |. 


c 9,94988  08840  7    CCS  a 9,85538  02266    tang'û....  9,97607  828 

sin«....  9,89354  43700  9    R —28628    r 4,48070528 

9,84342  52541  6    A 9,85538  02266  4,45678~356 

flin  a...  9,84342  22293        u 8,24187  73676    r 3o2 

r  =  30248 "ë    p *  8,09725  7594^  ^ta<a.. 28& 

P 8,38649  71410    R 4,45678  9^4 

p  =  i25i  00082 

P  =  2434  98977. 

^   =:   52%       Cà    =    52°   \. 

c. 9>94988  08840  7     CCS  a 9,84963  23386    tangua....  9,99941  o45 

sin«...,  9,^19946  ^%/fi  1     R —  99600     r 4,99882  930 


9,84934  75386  8    à 9,84962  23786  4,99823  975 

un  a...  9,84933  75656        » 8,24187  73676     r 997 

r—                99730  8    p 8,09149  274^^  rtang^a..                 99^ 

P 8,39225  49890    R 4,99825  968 

p  =  1234  524^^ 
P  =  2467  48766. 

Passé  ce  terme,  l'angle  auxiliaire  a  deviendrait  plus  grand  que 
45°,  et  alors  la  correction  R  serait  plus  grande  que  /■;  c'est  pourquoi 
il  convient  de  calculer  A  par  la  seconde  formule.  On  observera  en 
même  tems  que  les  différences  quatrièmes  «T'^P  commencent  à  de- 
venir assez  grandes  pour  qu'il  soit  convenable  d'y  avoir  égard  dans 
le  calcul  de  JE,  et  surtout  dans  celui  de  «TF.  Mais  pour  cela, 
il  faut  que  la  série  des  auxiliaires  P  soit  avancée  d'un  terme  de 
plus  que  la  quantité  E  ou  F  qu'on  peut  déterminer  par  la  diffé- 
rence cTE  ou  cTF. 


i»74  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Au  reste,  pour  rendre  aussi  simple  qu'il  est  possible  le  calcul  de  la 
différence  cTF ,  on  voit  par  la  formule  crF=P-j-^  /"P"— 5-^  J^cT^P"*, 
qu'il  faut  prendre,  au  lieu  de  cT^P",  la  différence  seconde  corrigée 
<i^'P° — TT^cT^P"*;  et  alors  en  appelant  cette  différence  éT^P^c,  on 
aura  crF  =  P+^cr*P»c;  il  en  est  de  même  de  cTE.  On  fera  d'ail- 
leurs attention  au  signe  que  «T'^P"  doit  prendre  par  rapport  à  cT'P". 
Les  différences  qui  vont  en  augmentant,  sont  toujours  supposées 
positives,  les  autres  sont  négatives.  Ainsi,  dans  la  table  construite 
pour  la  fonction  F ,  les  «T^P  allant  en  augmentant  les  cT^P  sont  po- 
sitifs par  rapport  aux  «T^P;  mais  les  J^'P  allant  en  diminuant  (au 
moins  jusqu'à  un  certain  terme),  les  J'^F  sont  négatives,  ce  qui 
rendra  cT^P»  —  ^  cT^P»"  plus  grand  que  cT^'P'. 

<p  =  55',     eu  =  55"  i. 

tango..  0,29283  41192  2  6 9,65764  67648  5  sin*a...  9,76101  047 

cos«...  9,77438  76973  2  cos  a 9,81328  29020    r 3,79081  978 

0,06722  17165  4         9,84376  38628  5  / 3,55182  025 

tanga..  0,06722  23333   R —  3563   r —  6a 

r  =  ^  6177  6  A 9,84376  35o65~"  ^ "^  ^^ 

ce 8,24187  73676   R 3,55i8i  999 

p  =  1217  98201     p 8,o8564  08741 

P=  a5oi  00098     P 8,39811  386ii 

<p  =  54%  co   =  54°  i. 

tangfi..  0,29283  41192  2     b 9)65704  SjB4^  5     sin'a...  9,76206  5q4 

costf...  9,76395  4o365  5    cos  a 9,81923  32689         r 5,o6û38  002 

0,05678  81557  7  9,83781  34957  5    / 4,81444596 

tanga..  0,06679  97004        R —  66229        r. —  1  i54 

r  =  —        ri"5446T    A 9,83780  697^8        '*' "^      ^^'^ 

« 8.24187  73676        R 4,81444  094 

p  =  1201  39091  p 8,07968  43404 

P  =  2535  53958  P 8,4040703948 

La  série  des  auxiliaires  étant  ainsi  avancée  d'un  terme  de  plus, 
on  peut  maintenant  calculer  la  différence  cTF  ou  «TE  qui  sert  à 
ajouter  un  nouveau  terme  à  la  colonne  des  fonctions. 

Ainsi,  1°.  pour  avoir  le  cTF  qui  répond  à  <p=:52*,  j'observe  que 


COÏÏSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  27^ 
relalîvement  à  la  différence  er*P°=  ioi543,  on  a  S^V°'':=-^244, 
ce  qui  donne  la  différence  corrigée  cr"P°c  =  ioi543  +  ^^ .  244 
=  ioi56o,  et  ensuite  /F  =  P  +  r4 J^"P°c  ==  2467  62998,  valeur 
qui,  en  supprimant  la  dernière  décimale,  se  réduit  à  2467  53oo  , 
ce  qui  donne  pour  53%  F  =  1,04896  1980. 

2°.  Dans  la  table  des  fonctions  E,  on  a  pour(p==.52%  J'yzzz — 6635 
et  crV°  = -1-73,  ce  qui  donne  S^^c^ — 6640,  ^E=:p'j'~J'Y'^ 
=  1234  52182,  qui  se  réduit  à  1234  52 18. 

(p  =  55%    û)  =  55*  ^. 

tangfl..  0,29283  4'ï92  a    b 9,66704  67648  5    sin"a 9,74248  801 

cos  •...  9,75312  80269         sec  a...  0,17469  96647        r..... 6,26680  818 

0,04596  21461  2    ^ "^  ^  ^'^'^^        / 5^929679 

tango..  0,0459436616        A 9,83i75  6636î        r -f  1  848 

r=  r"848"45T  * 8,24187  73676       / _ZLl_f!!i 

p 8,07363  40037        R 5,oog3o  44S 

p  =  1184  76988  P 8,41012  07316 

P  =  2671  no44' 

(P  =  56%     œ  =  56^  i. 

tango..  0,29283  4^*92  2    ^ 9.66704  67648  5    sin^a 9,7323i  828 

cos  «...  9,74188  94971  a    séca...  0,16867  67900        r 6,09041  i85 

0,03472  36i63  4    *^ '"  ^^^^^  '     / 4,82273  oli 

tanga..  o,o3473  69307        A 9,82661  69063        r —  1  aSi 

r  =  ^       ri3;43T  * 8,24187  75676        / +      665 

p 8,06749  42739       R 4}^22'/2  44? 

p  =  1168  i3833  P 8,41626  o46i3 

P  =  2607  71702. 

ç  =  57%     a>  =  57'  i. 

tangB..  0,29283  4ÏÏ92  2     b.. 9,66704  67648  5    sin'a. 9,72140  4o5 

ces  «...  9,73021  66240        séca...  0,16234  31620        r 4>73698  738 

o,o23o6  06432  9    ^ +  ^^734        / 4,46839  143 

tanga..  o,o23o4  5i858        A 9,81939  28003        r 4-  646 

r=  545^4T  • 8,24187  73676        r' —  287 

P 8,06127  01678        R 4,45839  4oa 

p  =  1161  5i65i  P 8,42248  45674 

P  =  2645  35869. 


276  EXERCICES  DE  CALCUL  INTEGRAL. 

(p  =  58%     ù>  =  58°  \. 

tangâ..  0,29283  l^w^i  2     h 9,66704  ^'j'o^  5    sin' a 9)7^974  ©77 

cos  «...  9,71808  51017  9    séc  a...  o,i56o3  73479        t 5,o6oi6  54i 

0,01091  72210  1     ^ ^^iZLl    r' 47%9Ô~678 

tanga..  0,01090  77361        A 9,81309  00000        r +  i   i49 

r=  TT4"857T    " 8,24187  73676        V —      589 

p 8,06496  73676        R..., 4^7^991   178 

p  =  ii34  92554  P 8,42878  'j'^^'j^ 


P  =  2684  o3ooN 


(P  =  59%     cà  =  59°  \. 


4, 

79718 

143 

—  1 

269 

+ 

627 

tangâ..  0,29283  41192  2     b 9,66704  S'/S4^  5  s'm"  a 9,69728  23a 

cos  »...  9,70646  88745  5     séc  a...  0,14967  44212  r 6,09989  911 

orr  rr^  R —    62686     6  y 

9,9983û  29907  7 / 

tanga..  9,99831  568oi         A 9,80671  49i74  '' 

r  =  Z        1  25863  3    ** 8,24187  73676  r' 

p 8,04869  22860  R 4>7$7^7  5ii 

p  =  1118  38745  P 8,43616  24602 

P  =  2723  71994. 

(p   =:   60%      Û)   =   60°   |. 

tango..  0,29283  41192  2     b 9,66704  67648  5  sin' a 9,68389  126 

ces  «...  9,69233  88236        séca...  0,14322  86363  r 4,12199  294 

9,98617  29428  8    ^ "•    ^^9^  ^  / 3,80688  420 

tanga..  9,98617  42672         A 9,80027  47606  r —       i3a 

r  =  Z  ^243T  " 8,24187  7^6?^  r' + 6£ 

p... 8,0421621282  R 3,8o588  352 

p  ■=  1101  92623  P 8,44160  26070 


P  =  2764  4^°9^' 


(p  =  61%      Cû  =  61*   i. 


tango..  0,29283  41192  2  b 9,66704  6^64^   5  sin*  a 9,66960  44^^ 

cos  «...  9,67866  29016  4  séca...  0,13671  86770    r 5,4i2o5  585 

9,97149  70207  6  ^ __±_i^^_Z  / 5,o885F^ 

tanga..  9,97147  07762  A 9}79'^77   76042    r -|-  2  626 

r=     2  62455  6  « 8,24187  73676   / -  1  ^26 

p 8,o3665  49718   R 5,08867  424 

p  =  io85  66286  P 8,44809  97634 

P  =  2806  07816. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      277 

^   =   62%       Où   =    62"    \. 

tango..  0,29283  41192  2  h 9,65704  67G48  5  sin*  a 9,65409  SSg 

cos«...  9,66440  55998  2  séca...  o,i3oi8  18162    r 4,9^490  83i 

9,95723  97190  2  ^ ^^^'^  ^  / 4,58300  690 

tanga..  9,95723  11109   ^ 9^7^723  24616  6  r -f-  86i 

,= i^oSTT  - «-°4.87  75676        / -588 

p 8,02910  98292  6    R 4>589oi  i63 

p  =  1069  32527            P 8,45464  49059  4 

P  =  2848  6881 3. 

(p  =  65%     cû  =  63°  1. 

tango..  0,29283  41192  2  6 9,65704  67648  5  sin'a 9,6375o  671 

cos  «...  9,64952  74374  o  séca...  0,12359  79i3i  r 5,03287  73a 

^;^4^36"T55667  ^ ___J68_i5_  5_  ^. 4,67038  3"^ 

tanga..  9,94235  07702  A 9,78064  93595  r +  \  079 

r=  To^^eTI   - 8-°^ ''^7  7%^        ^ -      '^^^ 

P 8,02262  67271        R 4^67038  914 

p  =  io53  2385o  P 8,46122  80081 

P=  2892    10701. 

(p  =  64%    ^==64'i. 

tango..  0,29283  41192  2     b 9,65704  67648  5    sin^'a 9,61963  588 

cos<y...  9,63398  43502  6     séca...  0,11698  70216         r 5,i3o52  610 

9,9268114694  8    ^ ^1±   r' 4.75016  198 

tanga..  9,92680  49636        à 9,77403  94119  6    r +  i  35i 

r=  TlE^i    ' 8,.4.87  75676        / -      565 

P 8,01691  67796  6    R 4,76016  986 

p  =  1037  32962  P 8,46783  79556  4 

P  =  2936  55376. 

<p  =  65%    ù)  =  65"  i. 

tango..  0,29283  41192  2     b 9,66704  SjG4^  5    sin*  a 9,6oo38  902 

cos  «...  9,61772  69686  8     séca...  o,iio36  9x646         r 4y4^4^^  14^ 

9,91066  10779         ^ Z_L°I^i-i    r' 4,01471  044 

tanga..  9,91066  36740        A 9,76741  48960        r —  260 

u 8,24187  73676        r' +  io3 


r  =  —    26961 

p  =  1021  62677 
P  =  2981  68989. 


p 8,00929  22626   R 4*01470  887 

p  =  1021  62677     P ^)4744^  247^^ 


ce 


ajS  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

<p  ^  66%    û>  =  66''  i. 

tangfl..  0,29283  4^ig'3.  2     b 9,66704  67648  5     sin"  a 9,67964  565 

cos  »...  9,60069  96819  9     séc  a...  0,10373  12683        r. 5,47287  602 

9,89353  38oi2  1     ^ ^^833^    y ô^aTT"^ 

tanga..  9,89360  4^3'5ï        A 9,76078  93166  3    r +  ^  971 

r  =  797081   1     " 8,24187  y^GjG / _"li_!^ 

p 8,00266  66841  3    R 5,06243  910 

p  =  1006  16916  P.., 8,48108  8o5io  7 

P=  3027  62718. 

<p  =  67%     a>  =  67*  i. 

tangS..  0,29583  4^^^^  2     b 9,66704  6y64B  5    sin*  a 9,66707  886 

cos  «...  9,68i83  96(306  8    séc  a...  0,09712  86688        r 4.7545o  i23 

9,87667  ^7798""    ^ 20493^  ^     431168  00^ 

tanga..  9,87666  80978        A 9,76417  74828  5    r +  568. 

r=  5^820        * 8,-24187  75676        / —  20-^ 

p 7,99^06  48604  5    R 4,3ii68  372 

P  =    990  9^709  P ^À^7^9  98847  5 

P  =  3073  97184. 

(P  =  68%     û)  =  68»  |, 

tangS..  0,29283  4i'92  2    & 9,66704  67648  5    sin*  a 9,53272  879 

CQS«...  9,66407  54326  1     séc  a...  0,09065  06734        r 4)74i8i  082 

^85690  96618  3     ^ Zi^J.    r" 4,27463  g'ëT 

tanga..  9,86691  60702        A 9,74769  55566        r —  662 

^  ^  Z 55i83  7    « 8,24187  73676        / +  188 

P 7-98947  29242        R 4*27453  597 

p  =    976  06193  P 8,49428  18110 


P  =  3i20  91407. 


<p  =  69%  a  =  69*  i. 


tangfl..  0,29283  41192  2     b 9,66704  67648  5    sm^ a 9,^0626  6o5 

co8^...  9,54432  62953  9    séc  a...  0,08400  62848        r ^,39972  58o 

^^:8377574"^46T  ^ __±J^^L  r' 4,90598  ili" 

tanga..  9,83713  43ii6   A 9,74106  iio34   r +  2  5io 

T-- « 8,2418773676   r' —   8o5 

r  =     a  5io3o  i       z'    '   '     '     

p 7.98293  84710   R 4^%'^'^99   890 

p  =  961  47605     P 8,5oo8i  6264a 

P  =  3i68  22681. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      279 

<p  =  70%     cù  =  70"  7. 

tang9..  0,29283  41192  2  b 9)66704  67648  5  sin»  a ^All^^l   600 

cos«...  9,52349  52565  4  séca...  0,07764  84976    r 4>85249  463 

9,8i632  93767  6  ^ __Zil??ll  r' 4,33oo7  o"63 

tanga..  9,8i633  64960   A 5,73469  31243    r —  713 

r  =  II     ^"^  « 8,24187  73676    r' +  ^'4 

p 7^97647  04918   R 4,33oo6  566 

p  =  947  26282     P.  ......  8,60728  ^1^^ 

P  =  32i5  76455. 

<p   =  71%  (à   =  71-  \, 

tâiigfl..  0,29283  41193  2  h 9,66704  ^']^^^   5  sin'  a 9,44626  918 

cos  «...  9,60147  64453  6  sec  a...  0,07116  92270    r 5,33736  600 

9,7943  r75645  8  ^ +  ^°765  1  / 4^7836*2  118 

tânga..  9,79428  88193    A 9,72821  20681  6  r +  2  176 

r  =      r77'45^  * 8,24187  73676    / -   608 

p 7,97008  94357  6  R 4,78363  986 

p  =  933  4465i     p 8,6i366  62994  4 

P  =  3263  36236. 

(P  =  72%  Où   =  72'  i. 

taogS..  0,29283  41192  2  h 9,66704  67648  5  sin*a 9,41216  iga 

C08  «...  9,47814  18041  1  séca...  0,06489  06620    r 4*96896  607 

9~77S^7%â33^  ^ __jLfi°_^l.  r' 4,38iii  699 

tûnga..  9,77096  66i3o    A 9,72193  98219    r -4-  931 

r  =      93io3  3  * 8,24187  70676   / —  24' 

p 7,96381  71896   B. 4)38ii2  089 

p  =  920  06220     P 8,61993  76467 

P  =  33io  835o6. 


^  =  73%   Ce)  =  7 


tangâ..  0,29283  41192  2  h 9,66704  67648  5  sin*  a 9,37486  466 

cos  «...  9,46334  18046  3  séca...  0,06875  4^277    r 4>74652  989 

9,74617  69238 "4  ^ ""  ^^^^4  5  ^ 4,i2i38~444 

Unga..  9,74618  16017    ^ 9*71579  96701    r —  558 

rz=z^  55778"6  * 8,24187  73676   r +  1^2 

p 7195767  70377   R 4>i2i38  018 

p  =  907  14668     P 8,5a6o7  ']^'^']^ 

P  =  3367  97685. 


28o  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

<P  =  74%    «  =  74"  i. 

tango..  0,129283  41Ï92  2    Z> 9,66704  67648  5    sin'a 9,33388  855- 

cos«...  9,42689  88240  2     séc  a...  0,06276  4^7^^        ^ 6,38908  624 

9";^73'79432  4  ï^ _Ji_^i?f_i  / '47^'^^ 

tango..  9,71970  84478        ^ 9,70981  62228        r +  2  4^0 

r  =  ~4^^4~4    " 8,24187  73676        / ,....        -      5a8 

P-» 7,96169  35904       R..... 4^72299  3oi 

p=    89473328  P 8,6320611448 

P  =  3404  66120. 

<p  =  75%     oj  =  75°  f. 

tango..  0,29083  4iip9  2     ^ 9>657o4  67648  5    sin*a 9,28893  092 

cos«...  9,3q^B9  Q^42i  3    séc  a...  0,04696  86938         r 3,46664  623 

^;6^3  37^1.3  5    ^ ~      ^^9  6    / 2,76667  6i5 

tanga..  9,6q'43  40642        A 9,70401  53oi7        r —    Q.^ 

r  =  -            2928  5    - 8,24  ig7  75^76        r' _±_1 

p 7,94689  26693        R 2,75557  69a 

p  =    882  86168  P 8,53786  20669 


P  =  3450  34137. 


<p  =  76%     (jù  =  76° 


tangfl..  0,29283  41192  2     b 9>657o4  67648  5     sin'a 9,23923  24^ 

cos«...  9,368i8  62634  1     séca....  o,o4i37  i6?98        r 6,49966  92^ 

9.66101  937"^6T   ^ ±1^^    / 4,73880  17I 

tanga..  9,66098  77812        A 9,69842  37862  6     r +  3  169 

« 8,2418773676        / —      648 


3  16914  3 

56775 
P=  3495  06162 


p 7,94c3o  11628  5    R 4,7388a  787 

p  =    871  56775  P 8,54345  35823  5 

(p  =  77%     ù>  =  77»  i. 


tangfl..  0,29283  41192  2  b 9,66704  67648  5  sin^  a.....   9,18425  189 

cos«...  9,33633  67606  1  séca...  o,o36oi  86194   r 6,42008  602 

^2817  08698  3  ^ ____ii''Jf^  / 4,60433  691 

tanga..  9,62814  46620  A 9,69^06  q4o55    r +  2  63i 

r  =     2"63^8~3  *• 8,24187  73676   r' -•   ^02 

p 7,93494  67731    R 4*60435  gao 

p  =  860  88824  P 8,54880  79621 

P  =  3538  40844. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      28* 

<p  =  78%     a>  =  78°  i. 

tangO..  0,39283  41192  2  b 9,65704  67648  5  sin»c 9,i23io  965 

co9«...  9,29965  53093  1  séca...  o,o3o93  3588i    r 4,02719  870 

9,59248  94285  3  ^ __±_ilîlf  r' 3,i5o3o  825 

tang a..  9,59248  83639    A 9,6879804943    r +  io6 

r  =  '~~ :^4T3  " 8,24187  73676   / -  ^4 

p 7,92985  78619   R 3,i5o3o  917 

p  =  85o  86952     P 8,55389  68733 


P=  358o  11414. 


<P   =  79%  «  =  79° 


tango..  0,29283  4^192  2  b 9,63704  67648  5  sin'a......  9,05468  i58 

CCS  «...  9,26063  30434  4  séca...  0,02614  06192    r 5,i5o62  874 

9,55346  71626  6  ^ T-J^f^A  r' 4,2o53i  o3a 

tanga..  9,06348  i3o85   A 9,68018  66797   r —  i  41S 

r  =  -       1  4,458  4    * '8,24187  73676        / +      ^gp 

p 7,92606  3o473        R.... c.  4,20629  yjj 

p  =    841  61730  P 8,55869  16879 

P  =  3619  86928. 

<p  =  80%     a>  =  80»  i. 

tango..  0,29283  4' 192  2    b 9,66704  67648  5    sin=a ^^977^9  84a 

cos«....  9,21760  92289  4    séca...  0,02166  38944        r 6,48066  737 

9,61044^3481  6    ^ ."Lî^Zf^J.    J' 4.45816  679 

tanga..  9,61041  3io22        A 9,67871  353i3        r +  3  026 

,  ==  3"  02459  6    * 8,24187  73676        / ~      287 

p 7,92069  08989        R 4j458i9  317 

p  =    832  89623  P 8,563iè  38363 


P  ==  3657  32737. 


=  81%     a>  =  8i«  i. 


tango..  0,29283  41^92  2  b 9,66704  SjS4S  5    sina. 8,89002  oJa 

C03*»...  9,16970  2o''67  7  séca...  0,01764  70264        r 6,32177  267 

9.46.63  6^069  9  ^ ~  '^^^"^  ^     / 4JiT^l% 

tanga..  9,46266  71844 A 9,67469  21618        r —  a  098 

r  =  II       ^^8"4T  * 8,24187  73676        / +       i65^ 

P 7'9»646  96294        R 4,21177  354 

p  =    826  02960  P 8,56728  62068 

P  =  3692  19990. 


262  ÉXÉllCICËS  Î)Ë  eALCÛL  INTÉGRAL.    ^ 

<P  =  82%      ù>  s:  82"  |. 

tangfl..  0,29283  41193  2     ô 9,66704  67648  5    sin'fl 8,78961  oi5 

cos  «...  9,ii56g  76687  2    séca....  g,oi38o  36847        ^ 5}43o9i  090 

9,4o853  17879  4    ^ ___JlUi^_L^__    r' 4,22042"!^ 

tanga..  9,4o855  87098        A 9,67084  87884  5    r -*-  2  697 

r  =  II       76^7^   * 8,24187  75676        ^ +      16S 

p 7,91272  6i56o  5    R 4j22o39  674 

p  ■==    817  94887  P 8,5710a  86791  5 

P  =  3724  i6ai3. 

<p  =  83%     û)  =  85"  j.  ■ 

tângfl..  0,29283  41192  2     b Cj,Gbjo4  67648  5    sin'c 8,67238  127 

cos  a...  9,o5385  87663  7    séc  a...  0,01046  06407        r 6,62014  949 

9,34669  28766  9    ^ __i_i^^±   r' 429253  076 

tanga..  9,34666  ii743        à 9,66760  92669  7    r. +4  17° 

r  =  4^7^^    " 8,24187  75676        / _r__i^ 

p 7,90938  66345  7    R 4*29257  o5o 

p  =    811  68534  P 8,67436  81006  3 

P  =.  3762  90968. 

(P  ==  84%    «  ==  84»  {. 

tango..  0,29283  41192  2     b 9,66704  67648  5    sin'^a 8,53367  0^9 

cos  (»...  8,98167  28716  4    séc  a...  0,00766  01040         r 5,3363o  680 

'^4~4ô  69907  6    ^ __±_!.i!£^    r' 5i8ë^97~7^ 

tanga..  9,27438  62984        ^ 9,66469  76101   6     r '     «f-  2  169 

-    r=  r"i6923  6    « 8,24187  73676        / g-       —        74 

P 7>9^^47  49777  5    R 3,86999  814 

p  =    806  26976  P 8,57727  97674  5 

P  =  3778  15488. 

(p  =  85%    A)  i=  85»  |. 

tango..  0,29283  41192  2     & 9,66704  S7S4S  6     siri*  a 8,36466  56a 

cos  a...  8,89464  52984  o     séca....  o,oo5o8  74168         r 6,76770  888 

9,18747  74176  2    ^ L?Î^A    ^' 4,  i225f 44S" 

tangà..  9,18742  01764        A 9,66213  55073        r 4~  6  734 

r=:  ?~7^2"7   « 8,24187  73676        / -      i55 

p 7,90401   28749         R 4j12243  l3l 

p  z=    801  70183  p 8,67974  i86o3 

P  =  3799  65483. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       ^bS 

(p  =  66%     a>  =  86°  {. 

tângfl.,  0,29283  4U92  2    b 9>657o4  67648  5  sin*a......  BjiBogB  984 

co5#...  8,78567  52787  7    sec  a...  o,oo3o9  60397  /• 5^82525  762 

9,07860  937777  ^ ^   ^^''  ^  '^ 3:97419  yi" 

tang a..  9,07857  59617        A 9,66014186237  r..., ~  iS  656 

r=:Z::       6  65637  1     ''""•'"  ^^^^^^^7  7^676  / +        94 

P 7,90201  92299  7  R 5,974V3  ?74 

p  =  798  o3oo2     P 8,58173  55o52  3 

P  =  Z^ij   11729. 

(p  =  87»,  «  =  870  {. 

tangfl..  0,29283  4^i^a   2  3 9>657o4  67648  5  sin*  a 7,86161  3oo 

cos  «...  8,63967  95616  1  sec  a...  o,ooi58  47^4^  t ••  6,08802  238 

8,9325 1  36808  3  ^ +  ^9°7  5  ^ 3,94963  538 

tangc.  8,93239  12129   à 9,65863  23702  r +  12  247 

r  =     r2"l4b>^  « 8,24187  73676  / _-- 89 

p 7;9oo5o  97378  R 3,94975  696 

p  =    795  26110     P 8,58324  49974 

P  =1  383o  40766. 

(p  =  88%  a>   =  88"  i. 

tangfl..  0,29283  41192  2  b 9,66704  67648  5  sin*a 7,4ao56  ooâ 

cos  «...  8,41791  90153  9  séca...  0,00057  26469  r ^^99792  778 

8,71075  3i346  1  ^ -  ''^^°  ^  / 3,41848  78^   ' 

tanga..  8,71086  26586   A 9,66761  91497  r —  9  q5a 

r  =  —       9  95239  9  '^ 8,24187  73676  / +   aS 

P 7^^949   66173  R 3,4i838  854 

p  =    793  40789     P 8,68426  82179 

P  =  3839  35454. 

(P  =  89%  0)  =  890  i. 

tangfl..  0,29283  41192  2  b 9.66704  6';64S   5  shi"  a 6,46665  6j4 

cos  «...  7,94084  18696  8  séca...  0,00006  36026  r. 6,46332  4gi 

8,23367  59789   ^ __t_J!l^  r' ^7^^ 

tanga..  8,23339  19746   A 9,66711  04606  8  r 4-  28  400 

r=     28  40043   • 8,24187  73576  / ~     8 

P 7,89898781828  R 2.92026  "557 

p  =    792  47910     P 8,68476  69169  a 

P  =  3843  85429. 


384  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

2o5.  Ici  se  termiae  le  calcul  des  auxiliaires  p  et  P;  car  pour, 
<p  =  go%  on  aurait  û)=90°7,  et  les  auxiliaires  seraient  les  mêmes 
que  pour  &)  =  89°^,  ou  pour  (p=89°.  De  même  pour  (p  =  9i%  les 
auxiliaires  seront  les  mêmes  que  pour  <p  =88°;  de  sorte  qu'à  90°,  la 
différence  S^p  ou  cTP  est  la  même  au  signe  près  que  pour  88°;  on 
a  donc  toutes  les  données  nécessaires  pour  terminer  les  deux  séries 
des  fonctions  E  et  F,  et  compléter  le  tableau  ci-joint,  qui  contient 
le  résultat  de  tous  les  calculs  précédens.   Y%^^i,^*^l  ,^^,^  o  a^  n. 


C  .-c^ 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES. \Ct^ 

^t \285 

(p.       E. 

«^E. 

P- 

«^p. 

^=p. 

^y 

«^^/J 

Deg. 

o 

1 

2 

3 

4 

0.00000  0000 

0.01745  258q 
o.o34qo  0958 

0.06234  0888 

0.06976  8166 

1745  2689 
1744  8369 
1743  9930 
1742  7278  — 
1741  0418 

ij^S  27649 
1745  27649 
1744  85446 
1744  01069 
1742  74532 
1741  06926 

00000 

42203 

84387 

i   26627 

1  6860D 

2  10602 

42203 
42184 

42140 
42079 

4199S 
41890 

19 

61 
83 

106 
124 

25 

17 

22 
23 
18 
23 

5 
6 

7 
8 

9 

0.08717  8584 
0. 10456  j^i^^ 
0.12193  205l 
0, 13926  6735 
0. i5656  7832 

1738  9358 
1736  4109 
1733  4684 
1730  1097 
1726  3365 

1738  95324 
1736  4^^832 
1733  48674 
1730  12697 
1726  36368 

2  62492 

2  94268 

3  35877 

3  77'5q,^ 

4  18692 

41766 
41619 
41462 
41263 
41062 

167 
189 
21 1 

23 1 

20 
22 
22 
20 
23 

lO 

1 1 

12 

i3 
i4 

0 . 1 7383  1 1 97 
0. 19106  2703 
0.20822  8246 
0.22535  3744 
0.24242  5 140 

1722  1606  -\- 
1717  5543 
1712  6498 
1707  1396 
1701  3265  — 

172a  16776 
1717  57132 
1712  b^Q^j 
1707  i5635 
1701  34312 

4  59644 

5  00466 
5  410^2 

5  8i323 

6  2i3i8 

40821 
40667 
40291 

39995 
39674 

264 
276 
296 

321 

343 

22 
20 
25 
22 

20 

i5, 

i6 

18 
19 

0.26943  84o5 
0.27638  9539 
0.29327  4576 
0.3 1008  96^0 
0. 32683  o658 

1696  1134 
1688  6q36 
1681  5oo5  + 
1674  1078 
1666  3293 

1696  12994 
1688  62002 
1681  61679 
1674  12388 
1666  34620 

6  60992 

7  oo323 
7  39291 

7  77868 

8  i6o36 

39331 
38968 
38577 
38 168 
37731 

363 
391 
409 
437 
460 

28 
18 
28 
23 
22 

20 
21 
22 
ii3 
24 

0.34349  3961 
0.36007  5^42 
0.37667  1968 

0-39297  9173 
0.40929  3607 

i658  1691 
1649  63i6  -}- 
1640  7216  — 
i63i  4434 
i6ai  8026 

i658  18484 
1649  ^47^7 
i64o  75679 
i63i  45852 
1621  81747 

8  53767 

8  9io38 

9  27827 
9  64105 
9  99^49 

37271 
36789 
36278 

35744 
35 186 

482 
5ii 
534 
669 
689 

29 
23 
25 

3o 

23 

25 

26 
27 
28 
29 

0.42661  1633 
0.4416a  9676 
0.45764  4218 
0.47355  1800 
0.48934  9023 

1611  8043 
1601  /ji^b/\Q. 
1690  7682 
1679  7223 
i568  353o 

i6ii  81898 
1601  4^4 
1690  77234 
1679  73620 
i568  36666 

10  35o34 

10  69630 

11  o36i4 
11  36966 
1 I  69627 

34596 
33984 
33341 
32672 
31972 

612 
643 

700 
73o 

3i 

26 
3i 
3o 
29 

3o 
3i 

32 

33 
34 

35 
36 

37 
38 

39 

o.5o5o3  2553 
0.52069  9124 
o.536o4  5638 
o.65i36  8671 
0. 56656  5476 

i556  6671  — 
1644  6414 
i632  3i33 
1619  6804 
1606  7606 

i556  67038 
1644  65439 
i532  32698 
1619  69274 
i5o6  76269 

12  01699 
12  32841 
12  63324 
12  9301 5 
i3  21880 

31242 

3o483 
29691 
28866 
28007 

759 

793 
826 

868 

896 

33 

34 

32 

38 

33 

o.58i63  2981 
0.69666  83o2 
0.611 36  8638 
0.62603  1278 
o.64o65  36o4 

1493  5321 
1480  o336 
1466  2640 
1452  2326 
1437  9491 

1493  54379 
1480  04492 
1466  27494 
1462  2431 3 
1437  96919 

i3  49887 
i3  76998 
i4  o3i8i 
li   28394 
14  62699 

271 1 1 
26183 
26213 
24206 
23167 

928 

970 
1008 

1048 
1090 

42 
38 
40 
43 
48 

40 

4» 
42 
43 

44 
45 

0.66493  3095 
0.66916  733o 
0.68326  3996 
0.69719  0882 
0.71097  6899 
0.72460  7071 

1423  4235  -f- 
1408  6665  — 
1393  6887 
1378  6017 
i363  1 172 
1347  5475 

1423  43320 
1408  67664 
1393  69741 
1578  60989 
i563  12489 
1347  5547^1 

14  76766 
14  97823 
16  18762 
16  38 600 
i5  67018 
i5  74266 

22067 
20929 

19748 
18618 
17237 
16902 

ii38 
1181 
i23o 
1281 
i335 
i388 

43 

49 
5i 

64 
53 
61 

dd 


286  ' 

!^  ""   EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

9- 

F. 

<^F. 

P. 

J^P. 

«^=^p. 

«J3p. 

<r^p. 

Deg. 
O 

1 

2 

3 
4 
5 
6 

9 

10 

II 

12 

i3 
i4 

0.00000  0000 
0.01745  3996 
0.03491  2214 
0.05937  8879 
0.0G985  8226 

1745  3996 

1745  8218 

1746  6665  + 

^747  9347 
1749  6275 

1745  38201 
1745  38201 

1745  80418 

1746  64891 

1747  91702 
1749  60972 

00000 
42217 

84473 
1  26811 

1  69270 

2  11892 

42217 
42256 

42338 
49459 
49622 
42825 

?9 
82 

121 

i63 

203 

245 

43 
39 
42 
40 
42 
42 

0.08735  45oi 
0.10487  1966 
0 . 1 224 1  4904 
0. 13998  7621 
0  15759  44^4 

1751  7465 
1754  2938  — 
1757  2717  + 
1760  6833 
1764  53.8  — 

1751  72864 
1754  27581 
1757  25368 
1760  665 12 
1764  5 1340 

2  54717 

2  97787 

3  41144 

3  84828 

4  28884 

43070 
43357 
43684 
44o56 
44470 

287 
327 
372 

414 

458 

40 
45 
42 
44 
44 

0. 17523  9772 
0. 19292  7980 
0,21066  3525 
0.22845  0900 
0.24629  4G49 

1768  8208 
1773  5545 
1778  7375 
1784  3749 
1790  4720 

1768  80224 
1773  53578 
1778  71860 
1784  35572 
1790  45959 

4  73354 

5  18282 

5  63712 

6  09687 
6  56257 

44998 
45430 
45975 
46570 
47906 

5o2 

545 
595 

636 
688 

43 
5o 
4i 

52 

44 

i5 
i6 

i8 

19 

0.26419  9369 
0.28216  9717 
c.3oo2i  0414 
o.3i832  6260 
0. 33652  2088 

1797  0348 
1804  0697  -j- 
i8ii  5836 
1819  5838 
1828  0781  — 

1797  oi5i6 
1804  04979 
i8ii  56o3'6 
1819  563i9 
1828  05712 

7  o3463 
7  5i357 

7  99983 

8  49393 
8  99634 

47894 
48626 
49410 
50241 
5i  124 

732 

784 
83 1 
883 
934 

52 

47 

52 

5i. 

52 

20 
21 
22 

23 

24 

25 

26 

28 
29 

0.35480  28S9 
0.37317  3617 
0.39163  9444 
0.41020  5557 
0.42887  7260 

1837  0748 
1846  5827 
i856  611 3 
1867  1703 
1878  9702 

1837  05346 
1846  56 104 
i856  58920 
1867  14780 
1878  24724 

9  50758 
10  02816 

10  5586o 

11  09944 

11  65l22 

52o58 
53o44 
54084 
55178 
56324 

986 
1040 
1094 
1146 

12o5 

54 
54 

52 

59 
54 

0.44765  9962 
0. 46655  9181 
0. 48558  o55o 
0.50472  9822 
0.52401  "2875 

1889  9219 
1902  1369 
1914  9272 
1928  3o53  4- 
1942  2846 

1889  89846 
1902  11292 
1914  90267 
1928  28o3o 
1949  25897 

12  21446 
12  78975 

i3  37763 
i3  97867 
14  59345 

57529 
58788 
60104 
61478 
62906 

1259 
i3i6 

1374 
1428 
1487 

57 

58 

59 
55 

3o 
3i 

32 

33 
34 

35 
36 

37 
38 

39 

0.54343  5721 
o.563oo  4507 
0.58272  5525 
0.60260  521 3 
0.62265  0166 

1956  8786 
1972  1018 

1987  9688  4- 
2004  4953 
2021  6972  — 

1956  85242 
1972  07493 
1987  94137 

2004  46717 
2021  66832 

15  2225l 

i5  86644 

16  5258o 

17  20 11 5 
17  89304 

64393 
65936 
67535 
69 1 89 
70894 

1543 

1654 

1705 
1757 

56 
55 
5i 

52 

49 

0.64286  71 38 
0. 66326  3o47 
0.68384  4983 
0.70462  0212 
0.79559  6179 

2039  5909 

2o58  1936 
2077  5229  — 
2097  5967 
2i\8  4336 

2039  56i36 
2o58  j6334 
2077  49183 
2097  56489 
2118  40100 

18  60198 

19  32849 

20  07306 
20  836 11 
91  61808 

72651 

744^7 
763o5 
78197 
80118 

1806 
1848 
1892 
1921 
1952 

42 
44 

3i 

20 

40 
41 
42 
43 

44 
45 

0.74678  o5i5 
0.76818  1040 
0.78980  5765 
o.8n66  2898 
0.83376  0843 
o.856io  8ao2 

2140  o525 
2162  47'^^ 
2i85  7133 
2209  7945 
2234  7359 
2260  5574  — 

2140  01908 
2169  43834 
21 85  67830 
2209  70868 
2234  69927 
2260  51987 

22  41926 

23  23996 

24  o8o38 

24  94059 

25  ^2060 

26  72024 

82070 
84042 
86021 
88001 

89964 
91896 

1972 

1979 
'980 
1960 
1932 
1883 

+  1 

""^^ 
01 

49 

76 

CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES. 

^87 

«p. 

E. 

^E. 

P- 

^p. 

«^> 

^p. 

.^^p. 

Deg. 

45 

0.72460  7071 

i347  5475 

i347  55471 

i5  74265 

16902 

i388 

61 

46 

0.73808  Î2546 

i33i  8o55 

i33i  81216 

16  90167 

i45i4 

1449 

69 

47 

0.75140  0601 

i3i5  9045  4- 

i3i5  91069 

16  04671 

i3o65 

i5o8 

65 

48 

0.76455  ()Q4^ 

1299  8584 

1299  86388 

16  17736 

1 1657 

167^ 

65 

4.9 

5o 

0.77755  8230 

1283  6817 

1283  68652 

16  29293 

9984 

i638 

72 

0.79039  5o47 

1267  3894 

1267  39359 

16  39277 

8346 

1710 

73 

5i 

o.8o3o6  8941 

i25o  9973  + 

i25i  00082 

j6  47693 

6636 

1783 

76 

52 

0.81557  8914 

1234  5218 

1234  62459 

16  54268 

4862 

1869 

82 

53 

0.82792  4 '32 

1217  9800 

1217  98201 

16  59 1 1 0 

2993 

1941 

84 

54 

0.84010  3932 

1201  3897 

1201  39091 

16  B2103 
16  63i55 

-f-!052  ' 

2026 

87 

55 

0. 85211  7829 

1 184  7694  + 

1184  76988 

—  973 

21  12 

92 

56 

0.86396  5523 

u68  1387 

ii68  i3833 

16  62182 

3o85 

2204 

.94 

5? 

0.87564  6910 

ii5i  5178 

ii5i  5i65i 

16  59097 

6289 

2298 

99 

58 

0.88716  2088 

11 34  9277  + 

1 i34  92554 

16  60809 

7687 

2397 

99 

5,q 

0.89861  i365 

1118  3906 

1118  38745 

16  46292 

9984 

2496 

IGO 

6o 

0.90969  5271 

liûi  9294 

1101  92623 

16  36238 

12480 

2601 

107 

6i 

0.92071  4565 

io85  568 I  — 

io85  66285 

iQ   23753 

16081 

2708 

loS 

63 

0.93157  0246 

1069  33i5  + 

1069  32627 

16  08677 

17789 

2814 

107 

63 

0.94226  356 1 

io53  2459 

io53  2386o 

i5  90888 

2o6o3 

2921 

109 

^A 

0.95279  6020 

1037  3382 

1037  32962 

i5  70286 

23624 

3o3o 

T07 

65 

0.96316  9403 

1021  6366 

1021  62677 

16  4QjQx 

26664 

3i37 

lOO 

66 

0.97338  5768 

1006  1702 

1006  16916 

i5  20207 

29691 

3237 

100 

67 

0.98344  7470 

990  9695  — 

990  96709 

14  90616 

32928 

3337 

90 

68 

0.99335  7165 

976  o655  -f- 

976  06193 

14  57688 

36266 

3427 

81 

b'q 

i.oo3ii  7821 

961  4912  — 

961  47606 

14  2l393 

39692 

35o8 

71 

70 

1 .01273  2733 

947  2793  + 

947  26282 

i3  8i63i 

43200 

3579 

54 

71 

1.02220  5526 

933  4645 

933  4465 1 

i3  3843 1 

46779 

3633 

35 

73 

1 .o3i54  017' 

920  0817 

920  06220 

12  91662 

60412 

3668 

+  19 

7^ 

1 . 04074  0988 

907  1667 

q07  14568 

12  41240 

54080 

3687 

—  12 

74 

1.04981  2655 

894  7558 

894  73328 

11  871-60 

57767 

3676 

38 

73 

1.05876  02 i3 

88a  8858  — 

882  86168 

1 1  29393 

61442 

3637 

66  1 

76 

1 .06758  9071 

871  5933  + 

871  66776 

10  67961 

66079 

3571 

106 

77 

1 . 07630  5oo4 

860  9154  — 

860  88824 

10  02872 

68660 

3466 

i36 

78 

1.08491  41 58 

85o  8881 

85o  86962 

q  34222 

72116 

3329 

i83 

79 
80 

1 . 09342  3c39 

841  5473  -f 

841  61730 

8  62107 

75444 
78690 

3145 

216  i 

1. 10183  85i2 

832  9277 

832  89623 

7  86563 

2930 

256 

8i  . 

1 . 1 1016  7789 

825  0624  — 

826  02q6o 

7  08073 

81620 

9674 

3oi 

82 

1.11841  84i3 

817  9828  4- 

817  94887 

6  26563 

84194 

2073 

329 

83 

1 .  i9'i59  8341 

811  "7184 

811  68334 

6  42369 

86667 

2g44 

366 

84 
85 

1 . 1 347 I  5425 

806  2958 

806  26976 

4  66792 

88611 

1678 

396  ' 

i.i4îî77  8383 

801  7388 

801  70183 

3  67181 

90289 

1282 

41  l   ! 

86 

1 .  i5o79  5771. 

798  0677  — 

798  o3co2 

2  76892 

91571 

871 

434 

87 

1.15877  6448 

795  2993 

796  261 10 

1  853s 1 

92442 

437 

437 

88 

1  .  16679  q44l 

793  H^A 

793  40789 

—  92879 

92879 

0 

«9 

1.17466  '3905 

792  5178 

792  47910 

0 

92879 

90 

1.18268  9083 

792  47910 

4-  92879 

288 

EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

<p. 

F.,,  : 

-c^F. 

p. 

«^p. 

<^^p. 

«^3p. 

«r+p. 

Deg 

45 

o.856io  8202 

2260  5574  — 

2260  51987 

26  72024 

9189^ 

'  1882 

76 

46 

0.87871  3776 

2287  2784 

2287  ^4°' 1 

27  93920 

9377s 

1807 

91 

47 

0.90158  656o 

23i4  9184 

23i4  87931 

28  57699 

95586 

1716 

i3o 

48 

0.92473  5744 

2343  4961 

2343  4563o 

29  53285 

97302 

a  58b 

160 

4,9 

0 .  <.)48 1 7  0706 

2373  0297 

2372  98915 

3o  50087 

9888^ 

1426 

197 

bo 

0.97190  1002 

2403  5362 

2403  495o2 

3i  49475 

1  oo3i4 

122q 

244 

bi 

0.99593  6364 

2435  o3i6 

2434  98977 

32  49789 

1  01543 

985 

287 

52 

1.02028  6680 

2467  53oo 

2467  48766 

33  5i332 

1  02528 

698 

352 

bô 

1.04496  1980 

25oi  0437 

25oi  00098 

34  5386o 

1  o3226 

+  346 

409 

b4 

1 .06997  2417 

2535  5826 

2535  53958 

35  57086 

l  03572 
I  o35o9 

-  63 

481 

55 

1 .09532  8243 

2571  ]536 

2671  11044 

36  6o658 

544 

56û 

bb' 

1 . i2io3  9779 

2607  7602 

2607  71702 

37  64^ ^7 

i  02965 

1104 

648 

^7 

I . i47' 1  7381 

2645  4016 

2645  35869 

38  67132 

1  01861 

1752 

739 

58 

1.17357  i397 

2684  0725 

2684  o3ooi 

39  68993 

1  00109 

2491 

85o 

i>.9 

1 .20041  2122 

2723  7617 

2723  71994 

40  69102 

97618 

3341 

955 

6o 

1 .29764  97^9 

2764  4517  — 

2764  4^09^' 

4i  66720 

94277 

4296 

1078 

b'i 

1 .25529  4''5'6 

2806  1 175 

2806  07816 

42  60997 

89981 

5374 

1205 

ba 

1.28335  5431 

2848  7256  + 

2848  6881 3 

43  50978 

84607 

6579 

i333 

b3 

i.3ii84  2687 

2892  2332 

2892  19791 

44  35585 

78028 

7912 

1467 

b-4 
65 

1 .3407S  5019 

2936  5863 

2936  55376 

45  i36i3 

70  M  6 

9379 

1601 

1.37013  0882 

2981  7191  -f 

2981  68989 

45  83729 

60737 

1098c 

1726 

b'b" 

1.39994  8073 

3027  5525 

3027  52718 

40  44466 

49757 

12706 

1845 

bv 

1  43o'^2  3598 

3073  9926 

3073  97184 

46  94223 

37051 

i455i 

1942 

b'8 

1 .46096  3524 

3i2o  9296 

3i2o  91407 

47  31274 

22500 

16493 

2025 

«9 

1 .49217  2820 

3 168  2362  + 

3i68  22681 

47  53774 

4-  6007 

i85i8 

2062 

70 

1.52385  5182 

32  1 5  7671 

32  1 5  76455 

47  59781 

— 125ll 

2©58o 

2073 

71 

1.55601  2853 

0263  3572 

3263  36236 

47  47^^70 

33091 

22653 

2021 

72 

1.58864  6425 

33io  8213 

33 10  885o6 

47  14179 

55744 

24674 

1910 

73 

1.62175  4638 

3357  9537 

3357  97^85 

46  58435 

80418 

26584 

1737 

74 

75 

1.65533  4175 

3404  5277  — 

3404  56 120 

45  78017 

1  07002 

28321 

1478 

1 . 68907  9452 

3450  2968 

3450  34137 

44  71015 

1  35323 

^9799 

ii35 

76 

1 .72388  2420 

3494  9q52 

3495  o5i52 

43  35692 

1  65l22 

30934 

7i5 

77 

1.75883  2372 

3558  3397 

3538  40844 

41  70070 

1  96056 

31649 

-j-  202 

7» 

1.79421  5769 

358o  o325 

358o  11414 

39  745 14 

2  27705 

3i85i 

—  377 

79 

80" 

1 . 83oo 1  6og4 
1.86621  3738 

3619  'j644 

3619  85928 

37  46809 

2  59556 

3.474 

1026 

3667  2192 

3657  32737 

34  87253 

2  9io3o 

3o448 

171 1 

81 

1 .90278  5930 

3692  0786 

3692  19996 

3i  96223 

3  21478 

28737 

2417 

82 

1 . 93970  Gy 1 6 

3724  0281 

3724  1621 3 

28  74745 

3  5o2i5 

26320 

3 106. 

83 

j. 97694  6997 

3752  7636 

3762  90958 

25  24530 

3  76535 

23214 

3754 

H 
85 

2. 0)447  4633 

^777  9979 

3778  15488 

21  47995 

3  99749 

19460 

4320 

2.o5295  4612 

0799  4682  — 

3799  63483 

17  48246 

4  19209 

i5i4o 

47^6 

8b 

2.09024  9294 

38 16  9425 

3817  11729 

i3  29037  < 

4  34349 

io364 

5 102 

^7 

2. 12841  8719 

383o  2265 

383o  40766 

8  94688  . 

i  44713 

5262 

5262 

88 

2.  16*^72  0984 

3839  1691 

3839  35454 

+  4  4997^   ' 

4  49975 

0 

«9 

2.2c5ll  2675 

3843  eees  + 

3843  85429 

0   i 

i  49.975 

. 

90 

2.24354  9341 

—  4  49975 

CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      269 

On  voit  par  le  dernier  re'sultat  que  la  fonction  complète  F'  n'est 
en  erreur  que  d'une  unité  du  dernier  chiffre,  et  celte  erreur  se 
corrigera  immédiatement  en  prenant  3845  6667  pour  le  cTF  qui 
re'pond  à  89%  changement  indiqué  par  la  valeur  3843  6666 -{-. 

A  l'égard  de  la  fonction  complète  E',  on  voit  que  le  dernier 
chiffre  est  trop  petit  de  deux  unités;  on  a  déjà  vu  qu'à  45%  le  der- 
nier chiffre  de  la  fonction  est  trop  grand  d'une  unité.  Ces  deux 
légères  erreurs  se  corrigeront  fort  simplement  en  retranchant  du 
dernier  chiffre  des  fonctions  E  une  unité  de  Si"  à  5i',  les  laissant 
comme  elles  sont  de  62°  à  5S'*,  ajoutant  une  unité  de  5g  à  62^  et 
deux  de  63  à  90°. 

Les  fonctions  E  et  F  étant  ainsi  corrigées,  on  y  joindra  leurs 
différences  successives  jusqu'au  quatrième  ordre,  et  on  aura  la  table 
particulière  pour  le  module  sin63%  telle  qu'on  la  trouve  parmi 
celles  qui  composent  la  table  IX. 

206.  Il  est  bon  de  prévenir  ceux  qui  voudraient  exécuter  de  sem- 
blables calculs  pour  d'autres  modules,  que  lorsque  quelqu'erreur 
se  glisse  dans  le  calcul  des  auxiliaires  P ,  on  la  reconnaît  facilement 
par  les  irrégularités  que  présente  alors  la  colonne  des  différences 
quatrièmes  ^^V ,  ou  même  l'une  des  colonnes  précédentes,  si  Ter- 
reur est  considérable. 

En  effet,  si  au  lieu  de  la  véritable  valeur  P  =  7W,  on  a  trouvé 
P  =  /72+e,  l'erreur  -f-<^  affecte  la  différence  cT'^P,  et  les  différences 
précédentes  du  même  ordre  ou  de  la  même  colonne,  de  manière 
qu'en  remontant  de  cT^P  à  J^^po^o^  i^g  nombres  de  la  colonne  qui 
devraient  être  J^^^m,  S^^m%  S^m"",  ^^nf"',  cT'^m"""',  sont  respective- 
ment J4/?î  +  e,  S^m^  —  Z^e,  J''fm''°+6e,/^m"°— -4e,cr^/7î^^"-f-e(*), 
Lorsqu'on  rencontrera  donc  des  inégalités  semblables  qui  sup- 
posent e=i,  ou  e>»i,  il  sera  facile  de  voir  quelle  doit  être 
la  valeur  de  e  pour  rétablir  la  marche  ordinaire  des  différences, 
et  à  compter  de  quel  terme  il  faut  appliquer,  en  remontant  dans 
la  colonne,  les  corrections  — e,  -|-4^j  — ^^,'•^4^,  — c,  ce  terme 

(*)  Dans  la  colonne  des  différences  cinquièmes ,  les  erreurs  successives  dues 
à  la  même  cause,  seraient  en  remontant  — e,  -f-5c,  — ioe,  +  io(;,  — 5e,. 
4-  e ,  et  ainsi  dans  les  autres  colonnes ,  suivant  les  coefGciens  des  puissance» 
du  binôme. 


29^  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

sera  celui  où  la  valeur  de  P  est  fautive,  et  auquel  il  faut  appliquer 
la  correction  — e.  Cette  pratique,  avec  laquelle  on  se  familiarisera 
aise'ment,  est  utile  ou  même  indispensable,  pour  construire  avec 
succès  une  table  quelconque  de  quantités  dont  les  différences  suc- 
cessives décroissent  d'un  ordre  à  un  autre ,  jusqu'à  ce  qu'elles 
puissent  être  négligées. 

207.  Après  avoir  construit  la  table  IX,  qui  sera  composée  de 
75  tables  particulières  pour  tous  les  angles  du  module  de  1°  à  yS* 
(ou  de  61  seulement,  si  on  ne  la  commence  qu'à  l'angle  de  i5°), 
on  aura  déjà  les  moyens  de  réduire  aux  règles  ordinaires  d'inter- 
polation, la  détermination  de  toute  fonction  E  ou  F  dont  le  mo-' 
dule  ne  surpasse  pas  sin  75°.  Mais  l'interpolation  d'une  pareille 
suite  de  tables  dans  lesquelles  l'amplitude  et  l'angle  du  module 
croissent  progressivement  d'un  degré,  exigera  d'assez  longs  calculs , 
si  l'on  veut  avoir  égard  à  toutes  les  différences  influentes,  ou  ne 
donnera  qu'un  petit  nombre  de  décimales  exactes,  si  l'on  ne  tient 
compte  que  des  différences  premières  et  secondes.  Pour  avoir  des 
tables  usuelles  plus  commodes ,  il  faudra  faire  croître  Tamplitude 
et  l'angle  du  module  par  des  intervalles  notablement  plus  petits 
qu'un  degré;  cependant  si  ces  intervalles  devenaient  trop  petits, 
le  volume  de  la  table  générale  augmenterait  d'une  manière  incom- 
mode, et  l'exécution    en  deviendrait  extrêmement  laborieuse. 

Nous  pensons  que  pour  tenir  un  juste  milieu,  il  conviendra  de 
fixer  à  un  quart  de  degré  l'intervalle  constant  par  lequel  on  fera 
croître  l'amplitude  et  l'angle  du  module.  Chaque  table  particulière 
étant  calculée  pour  les  degrés  successifs  de  l'amplitude,  il  faudra 
insérer  trois  moyens  entre  deux  termes  consécutifs,  afin  de  réduire 
les  intervalles  à  un  quart  de  degré,  et  nous  donnerons  ci-après  les 
formules  nécessaires  pour  cette  interpolation.  On  aura  donc  ainsi 
jS  tables  calculées  pour  les  quarts  de  degré  de  l'amplitude,  et 
pour  tous  les  degrés  de  l'angle  du  module,  depuis  1°  jusqu'à  yS*. 

208.  Il  resterait  à  interpoler  semblablement  les  résultats  donnés 
par  ces  tables  pour  un  même  degré  d'amplitude ,  de  manière  à 
insérer  trois  moyens  entre  deux  termes  consécutifs.  Cette  opération 
se  ferait  par  les  mêmes  formules  que  dans  le  premier  casj  mais 
les    résultats  n'en   pourraient   pas   être  aussi  exacts,    parce    que 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  291 
Terreur  d'une  ou  de  deux  uniles  sur  le  neuvième  chiffre,  qu'on 
ne  peut  guère  éviter  dans  le  calcul  de  chaque  fonction  E  ou  F, 
se  rencontrera  souvent  en  sens  opposé,  dans  deux  fonctions  con- 
sécutives correspondantes  à  différens  modules,  ce  qui  nuira  à  l'exac- 
titude des  calculs  d'interpolation.  Il  nous  semble  donc  préférable, 
quoique  plus  long,  de  calculer  directement  chaque  table  particu- 
lière pour  tous  les  angles  du  module,  de  quart  en  quart  de  degré. 
Ou  aura  ainsi  3oo  tables  indépendantes  entr'elles,  et  pourvues  cha- 
cune d'un  semblable  degré  d'exactitude;  ces  tables  calculées  pour 
tous  les  degrés  d'amplitude ,  devront  être  ensuite  interpolées  pour 
tous  les  quarts  de  degré. 

Le  système  des  3oo  tables  particulières  dont  nous  parlons,  pourra 
être  réuni  dans  un  volume  in-4°  de  grosseur  médiocre ,  si  toutefois 
on  se  contente  des  simples  fonctions,  sans  y  ajouter  leurs  diffé- 
rences. En  supposant  que  chaque  page  soit  composée  de  huit 
colonnes,  de  soixante  termes  chacune,  un  degré  occupera  6  pages, 
et  les  75  degrés  en  occuperont  4^0;  mais  alors  il  y  aurait  83  chiffres 
sur  chaque  ligne  horizontale,  ce  qui  est  peut-être  trop  considérable. 
La  disposition  sera  moins  commode  avec  six  colonnes  par  page  , 
et  le  nombre  des  pages  serait  porté  à  600,  mais  l'exécution  typo- 
graphique en  serait  plus  facile. 

Pour  qu'on  ait  une  idée  plus  précise  de  la  grande  table  dont 
nous  venons  d'indiquer  la  construction,  nous  joigaons  ici  une  page 
entière  de  cette  même  table ,  calculée  avec  toute  l'exactitude  qu'on 
peut  désirer,  dans  l'hypothèse  que  le  nombre  des  pages  est  de 
45o;  pour  les  angles  du  module  54%  54°^,  54°^,  54°|.  On  a  fait 
directement  les  calculs  pour  tous  les  degrés  d'amplitude  de  45  à  60°; 
ensuite  les  résultats  ont  été  interpolés  pour  chaque  quart  de  degré 
par  les  formules  que  nous  allons  rapporter. 

2og.  Soit  A  une  fonction  de  la  variable  «,  et  cTA,  cT'A,  cT^A,  etc., 
les  différences  successives  de  cette  fonction ,  lorsque  la  variable  a 
augmente  continuellement  d'une  unité.  Soit  A-f-j  ce  que  devient 
la  fonction  A,  lorsque  a  se  change  en  a-f-a:,  on  aura 

j  =  ^cTA  +  ^  (cT'A  +  ^  (/^A  +  etc. , 

chaque  parenthèse  enveloppant  tout  ce  qui  suit. 


292  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

Soient  maintenant^',  j"^  j'",  les  valeurs  que  prend  j*  lorsqu'on 
fait  successivement  x=i,  j:  =  7,  «a^=f  >  et  soit  pour  abréger 

M__  <r»A «FA J^^A 

on  aura  en  se  bornant  aux  «^ , 

f  3  ,      3.7  3.7.11 

.//    ^^  Q-2  ,       2.2.6  2.2.Ô.10 

r'"  —  5a    —  —  a    -4-  ^-^  «f    —  ^•^•5-9  „  . 
j     _-  5a.  —    ^     ct,-\~  —g--  et, ^-g-^  a^; 

mais  en  appelant  ^A,  ^*A,  d^A,  ^^A,  les  nouvelles  diffe'rences 
de  la  fonction  A,  dans  la  suite  A,  A+y,  A+y,  A+y,  A+cTA, 
qui  répond  aux  variables  a,  a+^,   «!+l,  «+J,  «  +  i,  on  aura 

^A=y,  j'A=7"— 2r',  ^^A==y'— 3y+3y,  t/*A=crA— 4j'^' 

4-6|"  —  4y.  (Jonc  les  différences  dk,  d^A,  etc.,  peuvent  être  dé- 
terminées directement  par  les  formules 

^A  =  a.  —  I  a,  -I-  ^  «3  —  ç  a^, 

d^A  ==  a,  —    5*3  +  ^^  «4, 

d'A  =  ^3  —    T  «^4> 

c?^A  =      '  ct^, 

et  pour  la  facilité  du  calcul,  on  pourra  prendre  l'ordre  suivant 

d^A  =  a^, 

d^A  :=  cto  —-  %  et, 


"4» 

J*A  =  a^  —  «3  +  i  a^  —  2<i^A, 
dAz=a,  —  «a  +     2a3  —  5*4  —  5-  d^A. 

Connaissant  ainsi  les  quantités  A,  dA,  d*Ay  d^A,  d^A,  on  formera 
de  la  manière  accoutumée  les  quatre  termes  de  la  colonne  des 
fonctions,  depuis  A  jusqu'à  A+cTA,  et  ce  dernier  terme  déjà 
connu,  donnera  une  première  vérification  de  l'opération;  ensuite 
la.  liaison  des  nouvelles  différences  avec  celles  des  précédons  ré- 
sultats, sera  une  seconde  preuve  de  l'exactitude  des  calculs. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES. 


295 


^   1  E(?,5n  |E(p,5îoi5').1E(p.54»3o').IE(p,54»45') 


450 
45  i5' 
45  3o 

45  45 
46 

46  i5 


0.73597  a855 

0.73954  7899 
0.74311  5i3i 
0.74G67  5i36 
0.76023  7298 
0.75377  i8o3 


0.73563  990' 
0.73920  94''" 
0.74277  ia33 
o.74(i32  5371 
0.74987  1807 
0.75^4'  "525 


0.75730  8638 
0,76083  77 
0.76435  9242 
0.76787  2986 
0.77137  9009 


h  i5 

48  3o 
48  45 


0.77487  7298 
().77i^3t)  7844 
o.78i!i5  0635 
0.78532  5662 
0.78879  2916 


0.79225  2388 

0.79570  4069 

799 '4  7952 

5o258  4o3^ 

0.80601  2290 


0.73530  7638 
0.73887  1599 
0.74242  782 
0.74597  o3o 
0.74951  7024 
0.75304  9962 


0.75694  i5n 
0.76046  47^' 

0.76398  0232 

0.76748  7942 

77098  7867 


0.77447  9997 
0.77796  4321 
0.781^4  "827 
0.78490  9306 
0.78837  o34 


0.791^2  3343 
0.79526  8484 
0.79870  5762 
o.8o2i3  5171 


0.73497  6075 
0.73853  4506 
0.74308  5 145 
0.74562  7975 
0.74916  3980 
0.7526g  0145 


0.75657  5 106 
0.76009  3443 
0.76360  1959 
0.76710  3641 
0.77059  7477 


77408  3455 

0.77756  i564 

0.78103  1792 

78449  4129' 

78794  8566 


0.75620  9456 
0.75972  0898 
0.76322  4457 

0.76672  OI20 
0.77020  7874 


0.77368  7708 
0.777 '5  9^09 

0.78062  3566 
0.78407  giCg 
•8752  7608 


0.79139  5092 
0.79483  36()Ç) 
0.79826  4380 
0.00168  7125 
o.8o555  6702I0.80510  1929 


0.80943  2742 
81284  5365 
81625  0160 
81964  7121 

o,823o3  0245 


0.80897  o35ob.8o85o  8784 


0.81237  6109 
0.81577  3973 
0.81916  3939 
0.82254  6002 


0.82641  7529 
0.82979  0971 
o.833i5  6567 
0.83651  4317 
52  3o_| 0.83986  4219 
0.84320  6273 
0.84654  o47' 
0.84986  68a. 
0.853 18  5352 
o. 85649  ^023 


5a  45 
53 

53  i5 
53  .30 
53  45 


54  i5 
54  3o 


55  i5 
55  3o 

55  45 
56 

56  i5 


56  3o 

56  45 

57  , 

57  i5 

57J2 
■5745' 
58 
.58  i5 

58  3o 
58  45 


o. 85979  8853 
o.863o9  3846 
86638  ioo5 
0.86966  o335 
0.87293  1842 


82692  01 58 

82928  64 o5 

0.83264  4740 

0.83599  ^^^2 

0.83933  7669 


0.64267  2260 
0.84599  8937 
0.84931  7699 
0.86262  8548 
0.86693  i486 


0.79096  7672 

<^.794'^9  9753 
0.79782  384 
0.80123  9932 
0.80464  801 5 


81 190  7685 
0.81629  8626 
0.81868  1602 
0.82206  6609 


82542  3643 
0.82878  2701 
o.832t3  3781 
0.83547  6880 

8388 I  199 


o.8o8oi  8084 
0.81144  oi33 
0.S1482  4167 
0.81820  oi5o 
0.82166  8107 
0.82492  8026 
0.82827  9902 
0.83 162  3732 
0.83495  951 5 
0.83828  7248 


0.84213  9132 
0.84545  8284 
0.84876  9454 
0.86207  2642 

0.86536  7861 


0.86922  65 14 
0.86261  363; 
0.86679  286» 
0.86906  4181 
0.87282  7612 


0.85865  5o83 
). 86193  434^' 
0.86620  5627 

86846  -    ■ 

87172 


87619  553o 
0.87945  1407 
0.88269  9480 
0.88693  9766 
0.88917  2244 


0.89239  6962 
0.89661  3891 
0.81882  3071 
o.(;o202  45 -'3 
0.90521  8198 


0.87668  3i55 
0.8-883  0818 
0.88207  060 _ 
8853o  26 io 
0.88862  6696 


59  i5 
69  3o 
69  45 
6b 


0.89174  2811 
0 . 89496  1 I 88 
0.89815  1735 

0.90134  44^4 
0.90452  9386 


0.9084^»  4*^9 
0.91168  243 
0.91476  2r,93 
0.91 791  6874 
0.92107  1007 


0.92431  8648 
0.92735  8674 
0.93049  0882 
0.93361  55<)o 
0.93673  2717 


0.87497  1707 
0.87821  1169 
0.88144  2667 
0.88466  6240 
0.88788  i885 


0.84160  t)<;)32 
o.84:Î9i  8565 
0.84822  2î48 
o.85i6i  7681 
0.85480  5 166 


o. 86808  4606 
0.86135  6002 
0.86461  9359 
0.86787  4680 
0.871 12  1970 

0.87436  12.34 
0.87769  2479 
0.88081  6710 
0.88403  0936 
0.8S723  8164 


go';7o  ()5i4 
0.9108^  586o 
0.91403  7438 
0.917:9  1263 
0.92033  7350 


0.89108  9610 
o.89}28  9^26 
0.89748  i34'' 
o.gon66  5371 
0.90384  1621 
0.90700  9807 
0.91017  0240 
o.gi332  2834 
0.91646  7604 
0.91960  45^5 


0.923/Î7  6714 
0.92660  6572 
0.9^972  9340 
o.g328j  46.58 
i).yj59")  2283 


0.89043  -4., 2 
0,89362  8661 
0.89681  ig49 
0.89998  72';8 
0.90316  46: 


o.go?)3i  4io3 
0.9094.6  5626 
0.91200  9237 

0.91574  4953 
0.91887  2788 


0.92273  3732 
0.92,685  5 121 
0.92896  8760 
0.98207  4637 


0.92199  2768 
0.92610  4879 
0.92820  9168 
o.glJiSo  5643 


F(p,54o). 


0.93617  28000.9.3439  4322 


F  (p,54»  i5').  F(p,54«3o').|f(p,54o45'). 


Î4110  3441 
0.84642  8867 
0.86176  5636 
0.8671 '  386o 
0.86247  3670 
0.86784   "■ 


0.841 52  90890.84195  4671 
0.84686  27790.84729  «548 
0.86220  795610.85265 


0.86766  46960.8680 


0.86293  JO^I 


0.87323  7817 
0.87862  2485 
0.88402  8944 
0.88944  7266 
0.89487  7621 


0.90081  9780 
0.90677  4112 
0.91124  0689 
0.91 671  927c 

0.92221  0251 


I9J  J071 
i3i  3i54 


0.86339  2667 
0.86878  1453 


0.87870  6019 
0.87910  8787 
0.88452  4381 
o.88ç)96  2026 
0.89539  1740 


0.92771  3576 
0.98822  9328 
98876  7669 
0.94429  8352 
0.94985  1772 
0.9554Î  r886 
0.96099  6761 
0.96658  8462 
D.g72ig  3o68 
0.97781  o6i5 


0.90084  8697 
0.90680  7669 
0.91178  4028 
0.91727  2y45 
0.92277  3892 


0.87J18  2262 
0.87969  6089 
0.88501  9888 
o. 89045  6874 
0.89690  6069 


0.92S28  7588 
0.93381  3766 
0.98935  2614 
0.94490  41 83 
0.96046  8633 


0240 
6621 


0.90186  7648 
.90684  1.884 

.()I232  7661 
0.91782  6423 
0.92888  7768 


0.92886  1764 
0.98439  8482 
0.93994  7992 

o.g455i  o368 
o. 96108  568o 


.84238 

•84773 
.853oQ 
.85846 
. 86385 
.86924 


oi4' 


0425 
2445 
6284 
2017 
9722 


.87466 
,88008 
.88661 
.89096 
.89^^42 


.90189 
.90737 
.91287 
.91888 
.92890 


9474 
134b 

5421 

1769 

o46(> 

l58<) 
5212 

i4ii 

0360 
i833 


o. 96604  6783 

0.96163  6062 
0.96733  8968 

0.97285   5l2() 
o. 97848  4406 


0.96667  4001 
0.96227  5399 
J6788  99Î6 
0-97351  ^712 
0.97915  0767 


0.98844  1196 

0.98908  4869 

99-^74  1696 

00041  1746 

00609  6076 


0.98412  0883 
o.g8978  2617 
0.99545  1675 
i.ooii3  4124 
1 .00633  0028 


1 . o I 1 79  1 -60 
1.01760  i833 
1.02822  5388 
1 . 02896  2473 
I. 03471  3i5o 


i .04047 
1 . 04626 
I .06204 
1 . 06785 
I .  o()367 


7478 
55 18 
7827 
3962 
2482 


1 .  o6<)5o 
1 .07535 
1 .08121 
1 . 08709 
I . 0929b 


6943 

3^99 
49o5 

o5i4 

0281 


I .09888 
1 . 10480 
I .  u  078 
1. 11668 
1 . 12264 


425( 

2490 
5o32 
1933 

8241 


.01253 
.01826 
.0389g 

.08661 


2469 
9116 
9483 
8624 


,04129 
.04708 
.06288 
.06870 
.06454 
.07089 
.07626 
.08213 
. 08802 
. 09892 


1600 
3473 
9808 

9'49 
8070 


0.98481  8179 
0.99048  1017 
o.9g6i6  23^9 
1.00186  7245 
1.00766  57(19 


.01828 
.01902 
. 02477 
. o3o53 
.08681 


79«9 
8971 
3782 
7485 
6145 


1136 
8873 

9864 
0660 
58i4 


1  .  128()1 

1 .  13460 
1 . 14  61 
i.i4(i68 
r .  16266 


89*  )9 
92,66 

•4-57 

^r 

7  P7 


1.16871 
I. 16477 
I . 17085 
I. 17696 
i.i88o5 


6 1,3g 
g53o 
7668 
o588 
8327 


.09984 
.10677 
.11172 
.11769 
.  i28(>6 


5379 
9408 
7962 
1064 
8792 


,  1 2C)(i6 
,i3:>66 


.  042  i  o 

•04791 
.06378 
,06956 
,06541 


.92948 
.93498 
•94054 
.94611 

.96170 


6206 
3462 

864s 
6858 
3 16.' 


.96780 
.96291 
.96864 
.974,8 
•97f)83 


2689 
53:' 
1876 
0782 
3644 


. g855o 
.99118 
.f^687 
.00268 
. oo83o 


0082 
ooi5 
3664 
1060 
3241 


.014  )3 
•01978 
.02664 
.08182 
.08711 


7806 
63ii 
g32S 

6420 
7664 


6826  I 

2692 

2608 

6622 

5oio 


.07127 
.07716 
.o83o4 
.08896 
.og',87 


7728 
4883 
6884 
3 ',3g 
3o66 


11861 
8200  I 
oi56|i 
6825  1 
8,842  T 


10080 
10676 
11372 
11870 
1 2469 
18070 
,  18672 

.14882 
■  15489 


. 04292 
.04874 
.00467 
. 06042 
.06628 


.07216 

.07806 

.  o83.i6 
.08988 
.09682 


8289  1 

8193 

3822 

2280 

6467 


5.584 
9681 
8658 
3709 
i83'i 


,i5g84 
.  16693 
.17303 
.17818 
, 18436 


475o|i, 
6092  I. 
2406!  I. 
8781  1 . 
0106  1 , 


i6cH)7 
i6-b7 
1731g 
1 798 1 
18546 


6070 

5470 
0072 
0916 
5Ô41 


.10177 
.10773 
.11871 
.11971 

. 125t2 


3096 
2818 

6866 
6820 
8289 
6685 
7718 
48g8 
678(1 
'94' 
2920 

87:9 
9676 

5364 
6197 


1.18176  2128 
1 .1377g  8209 
I . 14884  9491 
i.i.|9g2  1028 
I.  i,6()oo  785q 


I,  l(>211  0026 

I. 16822  75go 
I. 17436  o58g 
1 . 18060  go68 
1. 186<)7  3o56 


>  O  -  -   ^f  CISC  p553  r5^>5 


C^ 


2  cyzj£ 


ee 


L  U--.'*'  ,%-■-  ^  294  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

/     '         /       '         '         210.  Pour  montrer  maintenant  l'usage  de  la  table  à  douLle  entrée 
»    l^^i~  é'  dont  nous  donnons  ici  une  portion,  supposons  qu'on  veuille  dé- 

I  terminer  la  fonction  E  qui  répond  aux  deux  élémens  (p=/^S°  /\o\ 

6  =  54°  12';  il  faudra  prendre  pour  terme  de  comparaison  dans 
la  table  préc,  le  nombre  A=o,78532  5662  qui  répond  aux  valeurs 
(p  =  48°3o',  9  =  54°.  Pour  une  différence  cTcp  =  i5'  que  nous  pren- 
drons pour  unité,  la  différence  cTA  ou.,     j—  =  ^46  7254, 

ainsi  pour  10',  elle  est  à  proportion +  aSi    i5o5. 

De  même  pour  la  différence  /G=i5', 
dans  l'angle  du  module,  la  différence  «TA 

'  ouv^  =  —  ^i^\S6',  àonc  ^owv  iDi! eWe  est  —    33  2925 

ces  deux  corrections  réunies,  en  font  une 

de +  197  8578 

laquelle  ajoutée  au  nombre A  =  o,  78532  5662 

donne  pour  la  fonction  cherchée E  =  o,  78730  4240* 

Dans  ce  calcul  nous  n'avons  eu  égard  qu'aux  différences  du  pre- 
mier ordre,  ainsi  le  résultat  ne  peut  être  exact  que  dans  les  cinq 
premières  figures. 

211.  Pour  obtenir  un  plus  grand  degré  d'approximation,  sup- 
posons que  A  est  la  valeur  de  la  fonction  •4'(<p,  9),  lorsque  (p=a, 
et  9=rê,  on  aura,  en  se  bornant  aux  termes  du  second  ordre,  la 
formule  .^<>  i^  _— — -^ 


où  il  faut  supposer  que  les  différences  ^<Py  S^,  sont  égales  a  l'in- 
tervalle  de  i5'  pris  pour  unité  j  alors  on  voit  que  j-  »  t^  y  représentent 
les  différences  première  et  seconde  de  A,  en  faisant  varier  l'am- 
plitude (p  de  i5',  qu'il  en  est  de  même  de  jj-,  t-^-,    par    rapport 


y.'.'-   A .  ( ^ *  ^^ ■{i*y''>))  -M^-^y*  ^x,)6--f-y„         ''.^n'jo-,-ieyr^ 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      agS  ,         \  ,  w 

à  lo  variable  fl,  et  qu'enfin  la  différence  seconde  Tf-^,   est  prise  ea  ^        9    ^,/îy'yfi"8' 
faisa^t  varier  successivement  ô  et  <p.                                                       .;^  9  T» 

De  là  on  voit  que  pour  trouver  la  fonction  ^{/(ût  +  ar,  ^4-/),  4.  /i"^-^)-^'  ^/'C/^ 

qui  re'pond  aux  variables  (p  =  a,-^ûc,  ^zrzC-i-j",  il  faut  supposer  ^  "^    .      ^         , 

que  Ô  étant  constant,  on  prend  la  variation  de  «^  par  rapport  à  Ç> ,  ^"^'Ç" 

savoir  :  """"     ""     ' " — " 

ensuite  que  (p  étant  constant,  on  prend  la  variation  de  4  par  rap- 
port à  ô,  savoir  :  ' 


X 


^y. 


qu'enfin  à  ces   deux  variations  réunies  p-^-q,  on  ajoute  le  terme  ^  ^       ^ 


^f7--T^ 


xjr  .  j-jT  =  r,  et  Ton  aura  la  fonction  cherchée  \^y  ^&^)(-''-^'-}/)  ^A1xi 

quant  à  la  différence  t^-m  r  elle  se  trouve  par  le  moyen  des  quatre 

termes  consécutifs  de  la  table  qui ,  à  partir  de  A  et  dans  le  sens  "" 

de  l'accroissement  des  variables ,  forment  un  quarré,  savoir  .•«'»,/»  ':, 

où  l'on  a                                                                                         V  — 

àr-:!}-,^                       A'=A4-^,    B  =  A  +  ^,                 l     .  tJ 

car  on  aura  de  même  i 

B'  ==  A'  -ï-  ^-  -  A'  4-  ^  -1^  ^*  •  i 

donc  ' 

'''^   =  (B'  -^  A')  —  (B  —  A).  .-  i^^  ^ 


(T 


212.  Dans  l'exemple  proposé  on  a      "    i'^  ""«!'' 

\iû)«'^<'4/r')  "^  A  =  78532  5662  A'  =  78490  95o6        Ac^^  ^  -^       '  -      '^ 

'  ^^' .  n  '     /'  ^  =  78879  2916  B'  =  78857  o547         ;:à  i^  -  ^  ^  :(.  XS^3j 


)-B  —  A  =      546  7254     B^  —  A'  =      346  0841         A    .\^  ^ £k\'i' 

,<^,^^      B'— A'=      3460841     ..    .,    rf  -     -^     .      .  '   """  ^ 


296  EXERCICES  DE  CAXCUL  INTÉGRAL. 

donc  3^-  =  —  64i3.  Dans  ce  même  cas,  il  s'agit  de  trouver  la 


10' 


valeur  de  la  fonction  4(*"l-«^>  ^+^)>  lorsque  x=  -r7  =  5,et 
^  =  -^  =  g.  Or,  dans  la  colonne  verticale  où  <p  varie  seule,  on  a 

^  =  3467254,     ^  =  —  77S2, 
ce  qui  donne 

Dans  la  ligne  horizontale  où  6  varie  seule,  on  a 

w  =  ~^'  ^'^^'  ^  =  779; 

donc 

^=-^  (^+'^^)  =  —  ^^  ^987-2; 

enfin  le  terme  r=  a^  ,  j-t^  =  -p  ( —  641 5)  =  —  34^0 . 3  j  de  là  ré- 

;6ulte  la  correction  totale p  -}-  q  ^  r  =z  197  5960 

A  =  0,78532  5662 

>  ■ 

donc  la  fonction  cherchée E  =  0,78730  1622 

la  première  valeur  trouvée  était  0,78730  4^^^,  ainsi  les  cinq  pre- 
mières décimales  seules  étaient  exactes. 

21 3.  Le  dernier  calcul  laisse  encore  les  deux  dernières  déci- 
males douteuses  ;  car,  pour  les  déterminer  avec  certitude,  il  faudrait 
avoir  égard  aux  différences  du  troisième  ordre  contenues  dans  la 
formule  générale 

,/      ,          /»   ,     s        1    ,       M  ,   x.x — 1     «r*A   ,   x.x — i.x — 2    «T^A 
4(flt+a:,  ^-j-^)=A+^^H ^---^H rr -V" 


r  --' 


^9=^  ^  2       •  ^^^ 

i 


0        cp    f     /         0" 


—      \ 


f .  I 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      297 

Soit  p  l'accroissement  de  A  dû  à  la  variable  (p,  q  l'accroissement 
dû  à  la  variable  ôj  enfin  soit  r  la  quantité  xj  (^^  +  f=2  .  ^^    :  rr  >c^.  {,^'^f  "  '  ^  ^ 

+  -^^ — •  J7^)>  ^"  aura  ;?4-^  +  ^  pour  1  accroissement  total  de 

la  fonction  A,  ce  qui  donnera  ^^^«i^'/Aj^  'h>/<^ 


y 


LiGS  quantités  p  ei  q  se  trouvent  par  les  règles  ordinaires  relatives  a  I 

une  seule  variable;  ainsi  tout  se  réduit  à  trouver  la  valeur  de  r.      ^^  ^'  (   '  "**  *^  *  0 

Or  la  partie  principale  xy  .  j-jr  est  déjà  connue;   pour   avoir  les  ^     t 


Les  quantités  p  et  q  se  trouvent  par  les  règles  ordinaires  relatives  à 

)Ut   S( 

îlà. 

deux  autres  termes  contenant  les  différences  Tcrrsi  j^>p>  je  forme, 
à  compter  de  A ,  le  quarré  de  trois  termes 

■A.   y  JX   y  A.    y 

B,  B',     B",    ^''' 

C ,  C ,    C  '^ 


^ 


&3-  Jy> 


ou 


«^^A       ^B 

/»A 

^^^      <rô» 

^»    ' 

on  aura  pareillement 

^»A 

A  ^  ij^  ~ 


Appliquant  les  nombres  donnés  par  la  table,  on  trouve 

^A  ^'A  o 

^    =779        /^   =—  7783, 

5^    =  708      -^-  =  —  7845, 
et  de  là  résulte 

<^,^A    .  a:— 1      /^A  v i      ^A 

'■='^-^- 3W«"^'-^  •  "i~  •  3?«+*-^-V  •  ^Hï=~  34.5. 1  ; 


298  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

d'ailleurs  par  les  différences  relatives  à  (p ,  savoir  : 

^-  =  346  7254,    -^-  =  —  7782,    -^-3-  =  —  9, 
on  trouve 

de  même  par  les  diffe'reuces  relatives  à  6,  savoir: 

Jâ  =  —  4i6i56,    n^-  =  779,    -j:j  =  38, 
on  trouve 

de  là  résulte 

p  -^  q  -\-  r   =  197  5966 

A  =  0,78532  5662 

et  enfin  la  fonction  cherchée E  =  0,78730  1628 

par  la  précédente  détermination E  =  0,78730  162a 

la  différence  n'est  que  de  six  unités  décimales  du  neuvième  ordre. 
Ainsi  on  voit  qu'il  suffira  presque  toujours  de  s'en  tenir  aux  termes 
du  second  ordre ,  dont  le  calcul  est  d'ailleurs  très-facile. 

214.  Supposons  pour  second  exemple  qu'on  a  c=sin54''4' ^2", 

et  tang(p  =  -^,  ou   (p  =  52' 32' 48"  95776.  Il  s'agit  de  trouver  la 

valeur  correspondante  de  la  fonction  F. 

Pour  cela,  il  faut  prendre  dans  la  table  le  terme  qui  répond  aux 
valeurs  <p=52*'|,  0  =  54°,  savoir: 

A  =s  1,00609  5076; 

ensuite  pour  l'interpoUlion  on  aura 

^^i£^  =  o,v8775o84, 

12  o  - 

J  -  -Târ-  =  0,28. 
D'après  la  valeur  j=o,  28  et  les  différences  tirées  de  la  table, 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES,      agg 
savoir  ; 

^  =  73  4952,   j^  =  789,     75-,  ==  —  58, 

on  trouve 

^=^(^  +  V-VTâ^  +     3    •■^3-  =  ^o  5705.75^ 
de  même  prenant  les  différences  de  A  par  rapport  à  <p,  savoir  : 

^  =  569  6674,    ^  =  13409,     ^  =  63, 
on  trouve 

-^=^(j^+  -^  (1^^  +  "T- •  x;;3  ==  106  8421.9; 


_^A 


enfin  on  trouve  par  la  table  -yj.  =  12749,  ce  qui  donne, 


Ajoutant  toutes  ces  parties,  on  a    />  +  ^-f-r=  1274796 

A  =  1,00609  5076 
donc  la  fonction  cherche'e F  =  1,00736  9872. 

La  valeur  supposée  de  (p  est  celle  qui  donne  F(p  =  ^F'cj  or,  si 
par  la  table  I,  on  cherche  la  fonction  complète  F'  qui  répond  à 
l'angle  du  module  54° 4'  12",  on  trouvera  log  F' =0,30421  89608  405 
de  là 

F'  =  2,01473  9701  , 
F^  =  1,00736  9865  5; 

on  voit  donc  que  le  re'sultat  trouvé  par  interpolation ,  n'est  en  erreur 
que  de  6;^  unités  décimales  du  neuvième  ordre,  et  cette  différence 
serait  peut-être  encore  atténuée  par  les  termes  du  troisième  ordre 
que  nous  n'avons  pas  compris  dans  la  valeur  de  r. 

21 5.  Pour  avoir  dans  le  même  cas  la  valeur  de  E,  nous  prendrons 
dans  la  table,  celle  qui  répond  aux  données  <pz=:52''  3o',  6  =  54»; 
cette  valeur  est 

A  =  0,83986  4219; 
on  a  en  même  temps  les  différences  par  rapport  à  (p 
^A.  „„ ,        ^,        ^"A 

j^  =  334  2054,  ^  =  -  784s, 


5oo  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL, 

d'où  l'on  lire 

Les  différences  par  rapport  à  0  sont 

^  =  —  52  6550,     ^  =  878, 
et  on  en  déduit 

^  =-^(^  +  "^  7^^)  =  —  '^  7^22  5; 
enfin  on  trouve  encore  par  la  table  jnjr  =  —  74^5,   ce   qui  donne 


De  là  résulte ^-f-^-f-r=  4^  0090  2 

quantité  qui  étant  ajoutée  au  terme.. . .     A  =  0,83986  4219 


donne  la  fonction  cherchée. E<p=  0,84054  4^09  2 

Parla  table  I,  on  trouve  logE'  =  0,10294  28410  83,  de  là 

E'  =  1,26748  50370 
I  —  Z»  =  o,4i320  55868 

1,68068  8'62  38 
E(p  =  0,84054  45119; 

ainsi  on  voit  que  la  valeur  de  E<p,  trouvée  par  le  calcul  précédent, 
et  en  ne  tenant  compte  que  des  différences  du  second  ordre ,  n'est 
en  erreur  que  de  deux  ou  trois  unités  décimales  du  neuvième  ordre. 

216.  Pour  faciliter  la  construction  de  la  grande  table  dont  nous 
venons  d'indiquer  Tusage,  ou  seulement  celle  de  la  table  IX  qui 
n'est  calculée  que  pour  les  degrés  entiers,  il  est  nécessaire  de 
connaître  d'avance,  pour  chaque  module  déterminé,  les  valeurs 
des  fonctions  complètes  F'<?,  E'c,  et  celles  des  fonctions  F(p,  E<p , 
dont  Tamplitude  est  de  45".  C'est  principalement  pour  cet  objet 
que  nous  avons  construit  la  table  VIII,  où  l'on  trouvera  les  va- 
leurs de  ces  fonctions,  calculées  jusqu'à  douze  décimales  pour  tous 
les  angles  du  module  de  degré  en  degré,  depuis  0°  jusqu'à  90°. 

Cette  table  donnera  immédiatement  les  résultats  dont  on  a  be^ 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      3oi 

soin  et  avec  plus  de  précision  qu'il  n'est  nécessaire,  pour  le  calcul 
de  la  table  IX;  elle  servira  de  complément  à  la  table  I,  qui  ne 
donne  que  les  logarithmes  des  fonctions  complètes  ;  elle  donnera 
également,  par  une  interpolation  facile,  les  fonctions  qui  répondent 
à  une  amplitude  de  45°  pour  chaque  quart  de  degré  de  l'angle  du 
module.  Quant  aux  fonctions  complètes,  leur  interpolation  ne 
pourra  être  faite  avec  le  même  succès  par  la  table  VIII,  que  pour 
des  angles  du  module  plus  petits  que  4^°;  car  au-delà  de  cette 
limite,  les  différences  successives  décroissent  si  lentement,  surtout 
dans  la  fonction  F,  qu'il  faudrait  les  pousser  beaucoup  au-delà  du 
sixième  ordre ,  pour  avoir  un  résultat  suffisamment  exact.  Dans 
ce  cas ,  il  sera  plus  simple  de  faire  usage  de  la  table  I ,  qui  procède 
par  des  intervalles  d'un  dixième  de  degré  seulement,  et  dont  l'in- 
terpolation est  beaucoup  plus  facile  j  connaissant  par  cette  table 
les  logarithmes  des  fonctions  Y'c,  E'c,  il  ne  restera  plus  qu'à  cher- 
cher le  nombre  correspondant ,  ce  qu'on  pourra  faire  le  plus  souvent 
par  les  tables  ordinaires  à  dix  décimales. 

21  j.  Nous  croyons  devoir  placer  ici  quelques  remarques  sur  la 
formule  qui  sert  à  exprimer  la  fonction  Etp  dans  la  méthode  des 
modules  croissans,  et  sur  les  moyens  de  simplifier  le  calcul  de  cette 
fonction  dans  le  cas  particulier  de  (^  =  45°. 

La  formule  qu'il  s'agit  de  réduii'e  à  une  forme  plus  simple  est 
celle-ci; 

E?>=LF<p+^-sin(?'+^^^%^sin(p-+î^°^°-^sin(?>''»+etc. 

Soit  (p°  —  (p=^,  ^°°  —  (f)°  =  û)«,  (p»"»  —  (p'°  =  ci>"*y  etc.;  on  aura 
la  suite  d'équations  tang  co  =  b  tang  (p  ,  tang  co"  =  b"  tang  Ç)' , 
tang  w°°  ==  ^°»  tang  (p=%  etc.;    or,    la   valeur  (p°  =  <p  +  <y  ,   donne 

sin<p'=sin(pcosa>+sinwcos(p=(i-f-3)sin<f>cosce)=— —  .  sincpcoso»; 
on     aura     semblablement     sin  (p""  =  -7-^  sin  (p'  cos  ù)"  ,     sin  (p""* 

yc 

=  TTj^o  Sin  (P""  cos  0)°';  donc  on  peut  mettre  la  formule  précédente 
sous  cette  forme 


5oâ  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

On  voit  que  la  série  contenue  dans  celle  expression  est  devenue  en- 
tièrement rationnelle,  et  que  chaque  terme  se  déduit  du  précédent 
au  moyen  des  multiplicateurs  successifs  jc^cosco*,  ^c'"'cosa>'"'f 
{  c"*" cos 0)°"%  etc.,  qui  sont  tous  de  la  même  forme  et  qui  décroissent 
avec  une  grande  rapidité. 

Si  l'on  faisait  r=c  cos  a,  r"  =  c'  cos  a>°,  r"  =  c*°  cos  a>'%  etc. , 

ensuite 

P  =  I  r  +  i  rr"  + 1  r/^r" -4- etc. , 

on  aurait  E(p=LF(p+P<^sincp,  formule  dont  l'analogie  avec  celle 
de  l'art.  i5g,  mérite  d'être  remarquée. 

Au  reste  les  angles  ca,  et>°,  dy'",  etc.,  ne  sont  autre  chose  que  les 
différences  premières  des  angles  <p,  <p%  (p°%  etc.,  et  ils  finissent  par 
croître  comme  ceux-ci  en  raison  double. 

218.  Voyons  maintenant  ce  qui  résulte  de  la  supposition  (p= 45*. 
Alors   les   équations    sin(2(p  —  (p°)=:c°sin(p%    tariga)»  =  ^' tang(p', 

donnent  tang(p°  =  — ,  lang  &••  =  —,  et  de  celle-ci  on  déduit  encore 

sih<»*=è%  cosû)"=c°.  Ainsi  on  aura  à  la  fois  cot(p°=c°,  et  cosei)°=c'*. 
La  première  donne  la  valeur  de  (p'  et  la  seconde  celle  de  û)°  ;  on 
connaîtra  ainsi  (p'°  =  (p° -\- ù)° .  Dans  les  cas  où  c"  est  suffisamment 
petit,  il  conviendra  de  calculer  cp°  par  la  suite 

i  77-  —  <?"  =  c*  (i  —  ^  c"  -f-  i  c«"f  —  i  c*6  4-  etc.), 
Oti  pour  abréger 

i  ^  ^  (p°  =  (i)  -  (2)  +  (3)  —  (4)  +  etc., 
et  on  aura  en  même  tems 

Soit  z la  somme  des  seconds  membres  de  ces  équations;  on  aura  , 
en  les  ajoutant, '7r  —  <p°°  =  z,  ou  (p°*z=7r-^z. 

Connaissant  ainsi  cp"  et  (p°%  il  sera  facile  d'avoir  r""  par  Féqua- 
tion  tang  fit)""  =  ^'"  tang  (p°%  ou  par  la  série  équivalente 

<p""^  ;=  ^tp"'  —  C"  sin  2(p°'  4- 1  c'**"  sin  4<p'°  —  etc. , 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      3o5 

dont  il  suffit  de  calculer  les  trois  premiers  termes  ;  on  aura  de  même 
(p"»»  =  2(p°°°  —  6?"°"  sin  2(p°".  Il  re'sulte  de  ces  deux  équations,  où 
l'on  peut  supposer  c""'"  =  (j  c***)*  : 

^(poooo  =  TT  —  z  H-  Y  C""  sia  22(1  —  I  c»'*  cos  2z)  ; 

et  comme  O  de'signe  la  limite  des  quantite's  <p,  — ,  ^  ,  etc.,  laquelle 
peut  être  censée  égale  au  cinquième  terme,  on  aura 

$  =  i['7r — s  +  i  C'"  sin  2z{i  —  |  c*»"  cos  22)]; 

ainsi  z  étant  déjà  connu,  il  suffira  d'ajouter  à  "ir — z  la  petite  cor- 
rection ■^c"'*'sin2z(i — |c'*°*cos2z),  et  de  diviser  le  tout  par  4, 
pour  avoir  la  "valeur  de  $,  au  moyen  de  laquelle  on  trouve. 

»«■ 
Connaissant  F^,  on  connaîtra  la  partie  LF<p  qui  entre  dans  la 
valeur  de  E(p;  quant  à  la  seconde  partie  Pc  sin  (p,  elle  se  trouvera 
d'une  manière  très-simple  par  la  formule 

OÙ  il  faut  observer  que  le  premier  terme  jcv/<?'  =  i(i — b),  se 
trouvera  immédiatement  par  la  table  de  sinus  naturels  à  1 5  déci- 
males, comprise  dans  la  Trig.  brit.,  si  toutefois  l'angle  du  module  9 
s'exprime  exactement  en  degrés  et  centièmes  de  degré. 

219.  Pourvérifîer  cette  valeur  de  Pc  sin  (p,  il  faut,  dans  la  formule 
générale  Pcsin^=^c  v/c'sin(p°(i+ic°cos(p'-|-^tf'c°'cos(p»cos(p'"'-{-etc.)  , 
substituer  les  valeurs  cosa»''  =  c%  sinç>°=  '      -,  ce  qui  donne 

d'abord 

-  cl/c" 
Pciin^=  -'■'    *;    —  (i+ic"4-ic°»c°°co8*°''+^c»Vc°~cos«'"cos«'"''+<!tc.); 
Y  \^i  -j-  c    ) 

ensuite  pour  avoir  l'expression  des  quantités  cos^)**,  cosûT**,  je  re- 
prends les  équations  tangû)'=:^'»tang<p%  ^'"*=^»+a>%  tang^y' 


5o4  EXERCICES  DE  CALCtJL  INTÉGRAL. 

taiig&)**=Z»'"'tang<?>°%  j'en  déduis  successivement 

tanff    ffl»"  _.    tang^°+tang^°   _  (i+^°)c° 
°    ^  1 — tang(p°tang«°  c»''  —  b"    ' 


COS  û)*'  = 


en  continuant  celte  analyse,  on  trouvera 

tang  f  c.'-  =  tang  «".^/^.,     cos  o,'"  =  ^;=î^:, 

tane  i  ^''"•ïzr  tanga'^'.t/T-s*    cos  cù^^°'z=  r lf.^_~  - 

ainsi  à  l'infini.  On  voit  donc  que  dans  le  cas  dont  il  s'agit,  les  quan- 
tités 0),  &)°,  &)*%  û)°°°,  etc.,  se  calculent  facilement;  savoir,  la  pre- 
mière au  moyen  de  l'équation  tangdy  =  ^,  la  seconde  au  moyen 

b° 
de   l'une    des   équations    tang  &)°  =r  — ,    sm  co"  =  b",  cos  eo"  =  c% 

tangl  &)•=  tangû) .  * /r=  y^^,  les  suivantes  au  moyen  des  équa- 
tions tang  id«"=  tang  û.».y/^„  =  ^^,  tang>-  =  tanga)-.  y/^^^ 
tang|a)°»°°=tang«°".i/ ^1^,  etc.,  ce  qui  offre  des  formules  assez 

remarquables  pour  le  cas  où  l'on  a  ^  =  45*. 

Maintenant  qu'on  connaît  les  valeurs  de  cos  cû'°  et  cos  û)"'",  si  on 
les  substitue  dans  l'expression  de  Pcsincp,  et  qu'on  y  substitue  éga- 
lement les  expressions  connues  de  c"  en  6%  et  de  c""  en  c"",  on  aura,- 
en  développant  ces  quantités  jusqu'à  la  dixième  puissance  de  c°  in- 
clusivement, l'expression  que  nous  avons  rapportée  du  terme  Pcsin(p, 
laquelle  est  très-facile  à  calculer,  et  donne  au  moins  12  décimale» 
exactes,  tant  que  l'angle  du  module  ne  surpasse  pas  sin45". 

C'est  par  ces  formules  qu'on  a  calculé  les  fonctions  F(45°),  E(45*) 
de  la  table  VIII,  pour  toutes  les  valeurs  de  l'angle  du  module  de 
0°  à  45°;  au-delà  de  cette  limite,  on  a  fait  usage  de  la  méthode 
des  modules  croissans,  art.  i58,  laquelle  ne  présente,  pour  le  cas 
de  (p  =  45°,  aucune  formule  remarquable,  si  ce  n'est  pour  déter- 
miner 9',  l'équation  sin4^'  =  ^''. 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  3o5 
220.  Il  nous  resle  mainlenant  à  parler  de  l'interpolation  de  la 
table  IX  qui,  au  défaut  d'une  table  plus  étendue,  pourra  servir  à 
évaluer,  jusqu'à  la  précision  de  sept  ou  huit  décimales,  toute  fonction 
E  ou  F  dont  le  module  n'excède  pas  sin75°.  Nous  avons  déjà  donné 
les  formules  nécessaires  pour  cet  objet,  dans  les  articles  21 1-21 3, 
et  nous  les  avons  appliquées  à  divers  exemples  ;  mais  la  forme 
particulière  de  la  table  IX,  où  se  trouvent  les  différences  succes- 
sives des  fonctions  par  rapport  à  l'amplitude  ç ,  contribuera  à  sim- 
plifier le  calcul  des  coefficiens  de  ces  formules,  ainsi  qu'on  va  le 
voir  dans  l'exemple  qui  suit. 

Soit  proposé  de  trouver  la  fonction  F((p,  ô),  qui  répond  à  l'am- 
plitude <p  =  54°4^  ?  €t  ^  l'angle  du  module  ô=6o°i5'';  on  aura  k 
substituer  dans  les  formules  les  valeurs  a=54°,  ^=60°,  jc=^, 
j-  =  ^,  lesquelles  supposent  cr<?>=6rô=i°.  Mais  d'abord  il  faut 
tirer  de  la  table  IX  les  résultats  suivans ,  relatifs  aux  angles  du 
module  60%  61°,  62",  63°,  et  dans  lesquels  A  représente  la  fonction 
F(54%  Ô). 


ô. 

A. 

«^A 

<^"A 

^^A    [ 

60" 

61 

62 

63 

1,06018  2905 
1,06346  5254 
1,06672  8358 
1,06997  2417 

2461  1435 
2485  7725 
25 10  6001 
2535  5826 

3o  6595 
32  2436 
55  8814 
35  5710 

7432 

8329 

9301 

I0356 

Dans  la  première  ligne  de  ce  petit  tableau,  on  trouve  immédia- 
tement pour  0  =  60%  les  coefficiens  dus  à  la  seule  variation  de  <p, 
**^^*^'^7  =  ^461    1455,  jyr=5o  6593,^^=  7432;  pour  avoir 

ceux  qui  sont  dus  à  la  variation  de  ô,  et  aux  variations  simultanées 
de  6  et  de  (p,  il  faut  prendre  les  différences  des  termes  dans  chaque 
colonne. 

Par  les  différences  prises  dans  la  colonne  des  A,  on  trouve 
pour  0  =  60°,  les  coefficiens 


M 

^ô 


«r»A 


rA 


=  328  0329,    y^T  =  —  i5  2o5,    Tir  =  —  586q. 


5o6 


EXERCICES  DE  CALCUL  INTEGRAL. 


Par  les  différences  prises  dans  la  colonne  intitulée  j->  on  aura  égale- 
ment pour  6=60% 


TçTè  =  ^4  6290, 


<^^A 


"enfin  paf  la  colonne  suivante  on  aura  j-^^  =  i5  843. 

Les  coefficiens  ainsi  trouvés  pour  le  cas  de  6  =  60',  suffisent 
pour  calculer  les  différens  termes  de  la  formule  générale  d'inter- 
polation jusqu'au  troisième  ordre  inclusivement. 

Si  l'on  se  borne  aux  termes  du  premier  ordre,  on  aura 

F  =  A -f-^  .  r-  +  ^  .  i;q=  1,07946  i5635.  Ajoutant  les  termes  du 

second  ordre,  savoir  —^  .  j^  -hrs  -  J^Y^—Ji  ■  W"^  1O8617  , 
on  aura  plus  exactement  F=  1,07948  04262.  Enfin  les  termes  du 
troisième  ordre  -^ .  ^_  — ^  .  ^^  —-^  .  ^_+^.  ^g-,  les- 
quels se  réduisent  à  —  54ii  ,  donnent  pour  dernier  résultat 

F  =  1,07947  98841,  valeur  qui  ne  peut  guère  être  fautive  que  dans 
la  huitième  décimale;  elle  acquerrait  une  plus  grande  exactitude 
encore,  si  on  tenait  compte  des  termes  du  quatrième  ordre. 

221.  Pour  calculer  semblablcment  la  fonction  E,  on  tirera  de 
la  table  IX  les  résultats  suivans  : 


6. 

A. 

«^A 

c^^A 

ê<^A 

«r^  * 

V' 

K'' 

60' 

0,84640  8389 

1237  7225 

—  i5  2287 

+  145 

61 

0,84427  0773 

1225  4604 

—  i5  6917 

+  67 

62 

0,84216  8267 

i2i3  3430 

—  16  i559 

i5 

63 

0,84010  5932 

I20I  5897 

—  16  6203 

—  104 

et  en  opérant  comme  dans  le  cas  précédent,  on  aura  pour  6  =  60% 
les  coeflicieus  suivans  : 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.       307 

^    =     1237  7325,  ^   = -^  i5  2287,    ^=     ,45, 

„     =—2137616,^    =  3  5100,     ^  =  3091, 

^  =  --.12  2621,^^,=;  .     1447, 

?^=-       '^^^"^ 

subslituanl  ensuite  ces  valeurs  dans  la  formule  générale,  on  aura 
1°. en  se  bornant  aux  termes  du  premier  ordre,  E=o,855i5  69038; 
2"*.  en  tenant  compte  des  termes  du  second  ordre,  E=o,855i4  48986; 
3°.  enfin  enjtenant  compte  des  termes  du  3*  ordre,  E=o,855i4  5o8oi. 

222.  Pour  vérifier  ces  résultats  par  la  méthode  des  modules  crois- 
sans  ,  on  commencera  par  former  l'échelle  des  modules  qui  convient 
à  l'angle  9  =  6o°i5';  elle  est  la  même,  aux  dénominations  près, 
que  celle  qui  convient  au  complément  0  =  29° 4^',  et  on  la  trouvera 
comme  il  suit; 

c 9,93861   91884  8  h 9,69567   12043  9 

c' 9,99891  64980  4        V 8,84849  62248  o 

c" 9>99999  96621  o        V 7,09601  62844  4 

K o,o3oi4  84858  3        W 3,58997  09164  6. 

Faisant  ensuite  <p  =  54°45^  o^^  trouvera  par  les  formules  connues 

(p'  =  49°57'7",556664, 
<p"  =  49.52.2  ,356394, 
(p"'=  49-52'2  >26i2i6; 

lien  résulte  45°+^<p'"^69»56'i",i3o6o8,  H=Ioglang(45*+i(p''') 
c=  0,43757  14021,  et  calculant  F(p  d'après  l'équation  F(p  =  KMH, 
on  aura 

logF(p=o,o332i  45573  3,     F<p==i,07947  98929. 

Enfin  pour  calculer  E(p ,  on  a  l'équation  E(p  =  L'Fip  +  Pc  sin  (p ,  dans 

laquelle  L'  =  i  ^'(i  +  î  ^'  +  i  ^'^") ,   P  =  P'.  2c»  sin  <p'  —  c  sin  (p  , 

P'  =  4  —  I ,  logP'=— 2logr''=— 2log(c"cosiy")=;o,ooooo  16266  3; 


So8  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL, 

il  eu  résulte  les  valeurs  suivantes  : 

P'.2c»sin(?'  =  1,42656  07198  4         h'¥<p..-=  0,13759  15932  6 
csin(p 0,70900  72300  5         PcsiïKp..   0,71755  34897  9 

Pcsin(p =  0,71755  34897  9        E?)....=  o,855i4  5o83o  5. 

On  voit  donc  que  la  valeur  de  Fip,  trouve'e  par  l'interpolation  de  la 
table  IX,  n'est  en  erreur  que  d'environ  une  unité  décimale  du.  hui- 
tième ordre,  et  que  celle  de  E(p  n'est  en  erreur  que  de  trois  unités 
décimales  du  neuvième  ordre.  Le  résultat  de  l'interpolation  serait 
un  peu  plus  exact  encore,  si  on  avait  égard  aux  termes  du  qua- 
trième ordre;  mais  un  si  petit  avantage  ne  vaut  guère  la  peine 
qu'on  prendrait  pour  l'obtenir,  et  il  paraît  convenable  de  s'en  tenir, 
comme  nous  l'avons  fait,  aux  termes  du  troisième  ordre,  même  à 
ceux  du  second,  si  on  veut  se  contenter  de  six  décimales. 

Nous  ne  dissimulerons  pas  qu'il  y  a  des  cas  où  l'interpolation 
de  la  table  IX  pourrait  ne  pas  donner  des  résultats  aussi  exacts  que 
dans  l'exemple  précédent;  ce  sont  ceux  où  l'amplitude  excéderait 
70°;  car  alors,  les  différences  des  fonctions,  sur-tout  celles  de 
la  fonction  F,  décroissent  si  lentement  qu'il  faudrait  ,  dans  la 
formule,  tenir  compte  des  termes  du  quatrième  ordre,  ou  même 
de  deux  du  cinquième,  pour  que  l'erreur  n'eût  lieu  que  dans  la 
Huitième  décimale.  Mais  cet  inconvénient  est  inhérent  à  la  nature 
des  choses,  et  on  pourra  toujours  l'éviter,  soit  par  les  formules  de 
bissectiou,  soit  par  les  formules  des  fonctions  complémentaires, 
en  ramenant  la  détermination  des  fonctions  proposées  E  et  F  à  celle 
de  deux  autres  fonctions  dont  l'amplitude  sera  beaucoup  plus  petite. 

§  XVI.  Des  cas  où  l'on  voudrait  pousser  V approximation 
au-delà  de  quatorze  déciinales  dans  le  calcul  des  fonctions 
Ee/F. 

325.  Le  nombre  de  quatorze  décimales  dans  les  logarithmes,  ou 
celui  de  quatorze  chiffres  significatifs  dans  les  nombres,  est  la  li- 
mite que  nous  n'avons  pas  pu  passer  jusqu'à  présent  dans  le  calcul 
,des  fonctions  E  et  F  ,  parce  que  les  tables  trigonométriques  les  plus 
étendues ,  ne  comportent  pas  un  plus  grand  degré  de  précision.  S'il 


\ 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  309 
devenait  donc  nécessaire  dans  quelques  cas  de  pousser  plus  loin 
lapproximalion ,  on  pourrait  toujours  faire  usage  des  formules  gé- 
nérales, qui  sont  susceptibles  d'un  degré  d'exactitude  indéfini;  mais 
il  faudrait  recourir  à  des  moyens  particuliers,  pour  déterminer  avec 
la  précision  nécessaire  les  élémens  qui  entrent  dans  ces  formules. 

Soit  proposé,  par  exemple,  de  calculer  avec  vingt  décimales  les 
logarithmes  des  fonctions  complètes  F'c,  E'c,  qui  répondent  au 
module  c  =  sin45°.  Il  faudra,  pour  cet  effet,  évaluer  jusqu'à  vingt 
décimales  les  logarithmes  des  modules  <?,  c°,  c°%  c°°°,  0'"°°,  co«»oo^  qi 
ceux  de  leurs  complémens  b,  b",  b°°,  b°^%  Z»""";  ce  nombre  de  termes 
suffit,  quand  même  on  voudrait  pousser  la  précision  jusqu'à  vingt- 
huit  décimales. 

D'abord  puisque  c=zb=:\/^j  on  a  immédiatement 

le  z=:  Ib  z=z  9,84948  5oo2i  68009  40239  3i5; 

en  second  lieu ,  on  a  c'  =  ^^  =  —^  ainsi  il  faut  calculer  le 

logarithme  de  v/2  +  1  avec  vingt  décimales  au  moins.  Pour  cela, 
j'observe  qu'en  faisant  (i-i-^/ 2)"=:p-\-(/ \/ 2,  on  aura;?* — 2^'=( — 1)% 
et  P'{-(f\/2=p-\'  {/(p^zfij);  d'un  autre  côté 

log[p+V(p-=P^)]=log,p^i .  ^5,-i-^ .  -;,=pi^  .  rK  _ etc.; 

or  en  faisant  7z=i 5,  on  a  p=:  2j58o'jz=y.5i  .41 ,   q=ig5o25, 

^._27'==-i;    donc    i51og(i  +  v/2)=log2;.+i.^^~i:|.^^. 

Par  la  table  connue  qui  donne  jusqu'à  25  décimales  ou  plus  les 
logarithmes  des  nombres  de  i  à  iioo,  on  trouve  log2/>;,  auquel  il 

suffit  d'ajouter  la  correction—  facile  à  calculer,  ce  qui  donnera  les 
résultats  suivans  : 

log  2/7 =  5,74i63  52800  66018  87976  87 

JT^ +       14272950220 

i51og  (1+  y/ 2) =  5,74i63  52800  67946  17479  07 

/(i-f-V/2) =  o,38i77  56855  57863  07831  938 

2/(1 +  V^ 2) =  0,76555  15706  75726  i5663  876 

Ic^ =  9,23444  86293  24273  84356  124; 


5io  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

4 

ensuite  par  la  valeur  h"  =  —-.-r  =   ^.  . .  ■ ,  on  trouvera 

Z^*  =  g,g955i   18092  4211 3  4ï^^9  7^* 
Il  faut  maintenant  calculer  c"'  et  ^''%  ce  qui  se  fera  par  les  for- 
mules,  ^•' = -^t-To  ,  c"'  =  7 — T-irrr;  ainsi  tout  se  réduit  à  trouver 
y  1+0°'  (1+0°)" 

log(i-f-è'');  or,  une  valeur  approchée  de  ^' étant ^  = ,  on  coti- 

/y 


nait  par  les  tables  le  logarithme  de  a  et  celui  de  i  -|-  «  =  — —  ,  ce 


qui  permettra  de  calculer  log(i  +  ^'')  comme  il  suit: 

fc* 9,99351   18092  42u3  4'569  78       i+a. ...     0,29779  80218  12926  i56oo  78g 

c 9,99351   18198  4'^'5^^  08392  38       (1) —        62  59553  61641  094 

r  =  io5  98272  66822  60  801 65  53372  53959  695 

(2) +    3232  708 

/A=/c— r,  1'=-^,  R=cr'(i— sMr'),  ^(1+^°) =0^29779  8oi65  53372  57192  4o3 

*"♦■"     ^         c'. ......  9,23444862932427384336124 

/(i-f-A)  =  /(i+a)  —  R,  ^- 

8,93665  06127  70901  27143  721 

y/b"..  9,99675  59046  2io56  70784  890    /c°«» =7,87330  12255  41802  54287  442 

a o,3oio2  99956  63981   19521  374    2 o,3oio2  99956  63981  19521  374 

0,29778  59002  85o37  9o3o6  264    ic"»" 7,57227  12298  77821  34766  068 

i-f-t"  0,29779  801 65  53372  57192  4o3  5,14454  24597  55642  69533  i36 

/6««'=  9,9999878837  3i665  33ii3  861     ^"^ 9,99998  78837  5i655  33ii3  86i 

p 5,14455  45760  23977  364i8  275. 

224.  Ces  premiers  termes  étant  connus ,  on  pourra  calculer  les 

modules  suivans  c'",  Z»'°%  par  les  formules  ordinaires  p  =  ^7^  » 

V=mp^ — l'"/?S  lc'°°=lp — P,  1^'*"=. — |Pj  voici  ce  calcul  : 

mp^ 84507  i5i54  866       p 5,i4455  45760  23977  364i8  ^75 

f/np*...  2  4^G        P —  84507  i5i52  400 

P  =  84507  i5i52  400        /c'^»"....  =  5,14455  45759  39470  21265  875 

/i"»»....  =  —  42253  57576  200 

on  obtient  ensuite  très-facilement  les  modules  c*'*°,  è*"'»,  comme 
il  suit  : 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      5ii 

^0°"" 4,84352  45802  75489  01744  5n 

9,68704  91606  60978  03489  02a 
ill)<»'* 42353  67676  200 

p 9,68704  91606  93231  61066  a22  P*"-  9.57409  83a 

P —  io3  "*••••  9,63778  43i 

/c»°°°....  =  9,68704  91606  93231  61066  119  (*)     P....  9,01188  263 
Ib'^""....  =  .  —  o5i. 

On  voit  qu'en  s'en  tenant  à  vingt  décimales,  il  n'est  pas  nécessaire 
de  prolonger  la  série  des  modules  au-delà  de  0°*""  et  b°'"';  car  log  b^""* 
n'est  que  d'une  demi-unité  décimale  du  vingt-unième  ordre.  Ce- 
pendant le  calcul  étant  amené  à  ce  point,  on  peut  sans  peine  avoir 
deux  décimales  de  plus,  en  prenant  la  valeur  suivante  de  /c'""'. 

c°^ 9,68704  91606  gSaSi  61065  1 19 

o,3oio2  99966  63981    19621  374 

9,386oi  91649  29260  41643  745 

i,772o3  83298  68600  83087  490 

i:6"»* o5i 

/c°°°»°...=  1,77203  83298  68600  83087  541. 

225.  D'après  ces  élémens,  le  calcul  deK=\/(T  •  ^•3"'^'"'°^''*»'"Y et 

celui  de  F'c  =  -  .K,  donnent  les  résultats  suivans; 
a 

log  K =  0,07200  73453  81767  88434  o38 

jTT 0,19611  98770  3oi&a  66913  763 

/F'c =  0,26812  72224  11910  64347  791. 

Maintenant  pour  avoir  la  valeur  de  E'c=:LF'c,  il  faut  calculer  le 
coefficient  L  par  la  formule  L  =  t^  (i  —  {c'^c''°  —  ^  c^*  c""  c""*. 
•— ic"c=»c°°»c'»'"»"').  Pour  cela,  soit  r=ic"c«''  [i  +^c«»»(i  -j-ic'""»)]; 
on  aura  d'abord  L=  r^i  (i  — r);  soit  ensuite  /•'  =  ^c''**(i  +  \  c"*"*') 

(*)  Nous  rappellerons  ici  un  usage  qui  est  commode  à  suivra  dans  le  cal- 
cul des  fractions  très-petites.  La  caractéristique  9  place  le  premier  chiffre  d'un 
nombre  au  premier  rang  des  décimales ,  la  caractéristique  9  le  place  au  onzième 
rang,  la  caractéristique  g  au  vingt-unième,   et  ainsi  de  suite. 


5i2  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

=i>"V(i  +  ^'°'°)=î^°'"'y^^,  on  aura  r  =  i  c^"  (c^y  (i -^  r^  ; 

d'où   log /•  =  log  I  c'*"  4- 2log  c*  + //?/•'  —  iwr'*  + j  wz-'^j    voiei  le 
calcul  ; 


iC»....   7,57227   12298  77821  34766  ic«°«....   4,84352  45802  75489 

c" 8,46889  72586  48547  6867a  4/  i 

(1). . .+  30290  67083  5444  V  Z»"»"*  •  

C^)-  •  •—  105^3  3939  / 4,84352  45802  86o5 

(^)-  •  •+ 49^  m 9,63778  43i  i3  oo54 

^ 6,04117  15175  82889  2340  (,) 4,48 i3o  88915  865^ 


i  r 


. .  4,54^4^  45846 

(2) 9,o238o  3476 

I  r' "4,66743  32 

(3). .... .  3,69123  7 

Diaprés  cette  valeur  de  log  r,  il  faut  calculer  log(i  —  r)  par  la 
suite  — mr^i  +ir+  etc.),  dont  cinq  termes  suffisent;  on  obtiendra 
9insi  : 

log(i  — r) =  —  0,00004  77506  95768  98769  62 

log^, 9,86246  i3836  83782  57099  75 

logL =        9,86241  36329  88oi3  5833o  i3 

^F'c =        0,26812  72224  119105434779 

Œ'c ==        o,i3o54  o8553  99924  12677  9^' 

226.  Cette  valeur  de  Ev  peut  être  vérifiée  comme  dans  l'art.  28 
par  l'équation  E'=^F'(i -H A),  dans  laquelle  A =|^;  en  voici  le 
calcul  : 

RF'..  0,34013  45677  93668  42781  829  _  865  _  2758 

A....  9,65986  54322  o633i  57218  171  '^  ""  1893'  ^"^''^  ~7853' 

o 9>65986  54935  01017  4S903  483  ^ 

— /A  =  la  —  r,   /  = . 

T  =  612  94685  89685  3i3  i-fa 

/(i+A)  =  /(i-f-«)-R, 
R  =  cK  — iMa/». 

Le  terme  ar'  se  calculera  plus  facilement  sans  le  secours  des  lo- 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      5i5 

.  ,                   ,         ,           ar           865           . 
ganthmes  par  la  valeur  ^3^  =  — gg  r,  et  on  aura , . 

ar'  =192  24040  3556 1  202, 
l'autre  partie  jM«/%  calculée  parles  log.  =  g3ii2  85t 

donc  R  =  192  24059  4244s  ^71 

/(i+û)    =  0,16544  36478  76034  20298  574 

Z(i-|-A)  =  0,16344  36286  51994  77850  2o5 
l\Y'c     =  9^9^709  72267  47929  54826  417 

ZE'c        =  o,i5o54  o8553  99924  12676  62 

Ces  deux  résultats  ne  diffèrent  entr'eux  que  d'une  unité  décimale 
du  vingtième  ordre;  le  dernier  est  celui  qui  doit  être  le  plus  exact. 
Quant  à  la  valeur  de  F'c,  on  peut  la  vérifier  aussi  par  les  formules 

F'c  =  KMH,  H=  3i^log^,=  0,68218  81769  20920  67573  6. 

Or,  en  faisant  fl!=  — 'g  ,^  =:  0,68218  81762  5,  Hz=ia-\'Xj  on 
aura  a:  =  0,00000  00006  70920  67573  6,  et  en  appliquant  les  for- 
mules l{a  -\~  x)  z=.  la  -\-'K,  ZR  =  Z  (—)  —  7 .  —,  on  aura  les  ré- 
sultats suivans: 

a 9j833go  41879  o3568  08145  556        x 0,82667  1 1744  îîSSgi 

R -f-  42712136680055        m 9,63778  43 n 3  00537 

H 9,83390  41 883  30689  44825  611        1 0,16609  58i2o  96432 

M 0,36221  56886  99463  21087  71  ^ 

K 0,07200  73453  81767  88434  o38        mx 

IF^c  =  0,26812  72224  11910  54347  36 


. .  o,63o55  1 2978  2o36o 

-.^^..  -2  13561 

a 


R o,63o55  12976  0680. 

On  voit  que  cette  valeur  ne  diffère  de  celle  qu'on  a  trouvée  ci- 
dessus  que  de  quatre  unités  décimales  du  vingt-unième  ordre ,  ce 
qui  confirme  pleinement  tous  ces  calculs. 

227.  Connaissant  ainsi  les  fonctions  complètes,  si  on  propose 
de  déterminer  avec  un  pareil  degré  d'exactitude  les  fonctions  E(p, 
r^,  pour  une  amplitude  donnée  <p,  le  calcul  présentera  de  plus 


3i4  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

grandes  difficultés,  parce  que  les  tables  connues  des  log-sinus  ne 
passent  pas  quatorze  de'cimales,  au  lieu  que  les  logarithmes  des 
nombres  jusqu'à  iioo,  sont  donnés  avec  un  beaucoup  plus  grand 
nombre  de  décimales  par  la  table  de  Sharp  y  et  se  trouvent  dans 
plusieurs  autres  recueils,  ce  qui  permet  de  suppléer  aux  limites 
des  tables  ,  en  employant  des  réductions  et  des  artifices  de  calcul  , 
tels  que  ceux  dont  nous  avons  donné  des  exemples.  Voici  au  reste 
quelle  serait  la  marche  qu'on  pourrait  suivre,  si  on  entreprenait  de 
semblables  calculs. 

Supposons  qu'étant  donné  la  valeur  de  (p,  on  veut  déterminer 
avec  vingt  décimales  exactes,  la  fonction  F^  ou  son  logarithme;  il 
faudra  commencer  par  chercher,  avec  une  semblable  précision,  la 
valeur  de  lang  (p  ou  celle  de  son  logarithme;  c'est  ce  qu'on  trouvera 
par  les  méthodes  connues  dans  la  théorie  des  fonctions  angulaires. 
Ensuite  il  faudra  procéder  au  calcul  des  angles  croissaus  (p%  (p"*, 
(p"",  etc.,  ou  à  celui  des  angles  décroissans  (p',  (p",  (p'",  etc.,  selon 
que  le  module  sera  plus  ou  moins  près  de  l'unité. 

Dans  le  premier  cas,  pour  déterminer  (p°  par  le  moyen  de  (p,  on 
ne  doit  plus  employer  l'équation  succincte  tang((p°  —  (p)  =  ètang!p, 
qui  suppose  l'usage  des  tables  de  sinus;  mais  il  faudra  déterminer 
simplement  la  valeur  numérique  de  lang  (p"  par  la  formule 

(1+6)  tança 

tan£f(p°=  ^        / p— . 

°  ^  1  — otang''(p 

On  aura  soin  cependant  de  noter  la  valeur  approchée  de  <p%  en  degrés 
et  minutes  seulement,  afin  de  ne  pas  confondre  le  véritable  arc  (p" 
dont  on  a  besoin,  avec  les  autres  arcs  qui  peuvent  avoir  la  même 
tangente;  on  se  rappellera,  pour  cet  effet,  qu'en  vertu  de  l'équation 
sin  (2!p — (p°)  =  c*  sin  cp',  la  valeur  de  2(p — (p",  doit  toujours  être 
contenue  entre  les  limites  ô°  et  — 9%  ô"*  étant  le  plus  petit  angle  qui 
a  pour  sinus  c°. 

On  connaît  déjà/ tangcp,  on  connaît /(i-|-^)  =  ^(-TT-;J  ainsi  pour 

avoir  /tang(p%  il  faut  faire  ^tang*:p  =  A,  et  du  logarithme  connu 
de  A,  déduire  celui  de  i — A,  ce  qui  se  fait  par  les  formules  dont 
nous  avons  donné  beaucoup  d'exemples. 

Il  est  visible  maintenant  qu'un  semblable  calcul  servira  à  déduire 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      5i5 

^^  de  (p'  et  ainsi  de  suite.  On  continuera  donc  le  calcul  des  ampli- 
tudes croissantes  (p%  <?"%  «p""",  etc.,  jusqu'à  la  limite  où  un  terme 
ne  diffère  plus  sensiblement  du  double  du  précédent;  cette  limite 
aura  lieu  lorsque  le  b  correspondant  au  dernier  (p,  pourra  être  pris 
pour  l'unité;  dans  l'exemple  précédent,  c'était  ^°"""'.  Ainsi  lorsqu'oa 
■voudra  avoir  vingt  décimales  exactes,  et  que  c  ne  surpassera  pas 
sin  45%  il  ne  faudra  pas  prolonger  le  calcul  de  la  suite  ç"*,  (p°%  etc., 
au-delà  du  quatrième  terme  <p''""'  ;  et  pour  des  modules  au-dessous 
de  sin  26*,  il  suffirait  d'aller  jusqu'à  (p°°''. 

Connaissant  langÇ)"""'',  et  sachant  toujours  d^avance  à  très-peu  près 
combien  l'arc  (p'^  contient  de  degrés  et  de  minutes,  il  restera  à  trou- 
ver l'arc  lui-même  ^°'^  qui  répond  à  cette  tangente;  c^est  ce  qu'on 
trouvera  par  les  méthodes  qui  ont  servi  à  trouver  tang(p  par  le  moven 
de  <p. 

L'angle  (p""""  étant  cotmu  et  réduit  en  parties  du  rayon,  on  fera 
^=7g  (p'°°%  et  on  aura  la  fonction  cherchée  F(p  =  R$. 

L'application  de  la  même  formule  répétée  quatre  fois  consécutives, 
suffira  donc  pour  obtenir  vingt  décimales  exactes;  on  en  obtiendrait 
le  double  avec  un  terme  de  plus,  mais  alors  il  faudrait  calculer  aussi 
avec  quarante  décimales,  les  logarithmes  des  modules  et  ceui  des 
différentes  tangentes,  ce  qui  serait  un  travail  presqu'insurmontable. 

228.  La  même  méthode  peut  être  suivie,  quand  même  l'angle  du 
module  s'élèverait  jusqu'à  70  ou  yS*;  mais,  passé  cette  limite,  il 
est  préférable  de  suivre  la  méthode  des  modules  croissans. 

Ayant  donc  calculé  les  termes  de  l'échelle  des  modules  d'où  se 
déduisent  les  fonctions  complètes  FV,  E'c,  on  procédera  au  calcul 
des  amplitudes  décroissantes  (p',  (p",  etc.,  de  la  manière  suivante. 

Il  faut   d'abord   tirer  la  valeur    de   tang(p'  de  l'équation 

tang<p  =  ^^)^^9^^  laquelle  donne 

col  (p'  =  L±^  cot  (p  +  v/  [(^)'  cof  <p  +  ^Q; 

et  comme  on  a  i  -|-^'=  2x_  =  p-,  la  valeur  de  taDg(p'  pourra 
être  mise  sous  cette  forme 


tang(p'==K^ ^i^ 


+  \/Ci-h6'nang»9)' 


5i6  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

mais  lorsque  b  sera  Irès-pelit,  on  pourra  substituer  à  cette  formule 
la  suite  fort  convergente 

/tang?'  =  /(y-^,«g?)-^(Mtang'?-^.^-V^  •   -V '"=■)• 

On  déduira  semblablement  tang(p"  de  tang(p',  tang(p'"  de  tangcp",  etc.; 
d'ailleurs  on  voit  que  la  suite  (p',  (p",  <p"\  etc.,  va  toujours  en  dimi- 
nuant jusqu'à  une  limite  qu'elle  ne  tarde  pas  à  atteindre  sensiblement. 
Appelant  donc  O  le  dernier  terme  de  la  suite  <p ,  (p',  cp"...,  on  aura 
en  logarithmes  hyperboliques  F(p=Rlogtang(45°  +  ;^0) ,  ou  en 
logarithmes  vulgaires, 

F^=KMZtang(45°  +  10)  =  KMlog[tang$H-V/(iH-tang*$)]. 

22g.  Pour  avoir  dans  le  même  cas  la  valeur  de  la  fonction  E(p,  il 
faut  recourir  aux  formules  de  l'art.  iSg  qui  peuvent  donner  tel 
degré  d'approximation  qu'on  voudra.  Si  on  se  borne  a  vingt  déci* 
maies ,  le  quarré  de  b""  sera  toujours  négligeable ,  même  en  sup- 
posant l'angle  du  module  peu  au-dessus  de  ^5°;  on  pourra  donc 

supposer  c""=  i ,  et  faisant  P=  -r4,-mi,  —  ~'  —  i ,  on  aura  E(p=L'F(?) 

+Pcsin(p.  Dans  beaucoup  de  cas,  on  pourra  faire  c"'=zi  ^  alors 

on  aurait  simplement  P==  -y-yr^ —  i.  Quant  aux  valeurs  de  coso)', 

cos  cû",  cos  &)'",  par  lesquelles  on  a  /•'  =  c'  cos  co',  r"  =  c"  cos  co" , 
1^"  z=:  c'"  cas  cù'" ,  elles  se  calculeront  sans  connaître  les  valeurs  en  de- 
grés des  angles  a>,  par  les  formules  tang^'=^'tang(p',  tang«"=è"lang!p", 
tang£y'"  =  ^'''tang(p'",  ainsi  on  aura  directement 


r'-z=. - /•"  — r r'" i__ 

23o.  Si  on  renonce  au  calcul  par  logarithmes  qui  devient  très- 
pénible,  lorsqu'on  leur  donne  plus  de  quatorze  décimales,  on  pourra 
néanmoins  par  le  calcul  arithmétique  ordinaire,  parvenir  à  tel  degré 
d'exactitude  qu'on  voudra  dans  la  détermination  des  fonctions  E  et 
F.  Mais  il  y  a  un  choix  de  formules  à  faire  pour  rendre  le  calcul 
le  moins  long  qu'il  est  possible,  dans  l'hypothèse  d'un  degré  d'ap- 
proxjmation  déterminé,. 


\ 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.  317 
S'il  est  question  d'abord  de  calculer  les  fonctions  complètes  F'c, 
E'<?,  on  pourra  recourir  aux  séries  de  l'art.  ^5,  i  p.,  lesquelles 
peuvent  donner  un  degré  d'exactitude  indéfini.  Mais  les  premières 
(  pag.  66  )  ne  sont  bonnes  à  employer  que  lorsque  le  module  ne 
surpasse  pas  sin  iS",  et  les  secondes  (pag.  68)  que  lorsque  le  mo- 
dule est  plus  grand  que  sin  jS°',  dans  tous  les  autres  cas,  ces  séries 
sont  trop  peu  convergentes,  et  on  parviendra  plus  facilement  aux  ré- 
sultats cherchés  par  le  calcul  des  différens  termes  de  l'échelle  des 
modules.  Ce  calcul  pourra  toujours  se  faire  par  les  opérations  ordi- 
naires de  l'Arithmétique. 

123 1.  En  effet  étant  donné  la  valeur  numérique  du  module  <?,  on 
en  déduira  d'abord  son  complément  ô=  [/(i  — c*);  on  aura  ensuite 

les  deux  termes  c",  b°,  par  les  formules  0"^=.  -^ ,   ^"^  =  ~j^ ,  les  deux 

1—6°  Q,\/h° 

termes  c°°,  ^°%  par  les  formules  c°°=  — -r^ ,  1°"  =  -—-7- ,  et  ainsi  de 

suite.  Lorsqu'on  sera  parvenu  à  un  c  très-petit,  le  suivant  désigné 
par  c",  et  son  complément  b°,  se  calculeront  plus  facilement  par  les 
suites  convergentes 

''"-^        64  V  ^16^   ^16.20^^16.20.24^  ^^^^V» 
^64  V^i6*^  ^16.20^  ^16.20.24^  4-eic.^, 
la  dernière  résulte  du  développement   de  la  formule 

Il  faudra  prolonger  le  calcul  des  modules  c%  c**",  c*",  etc.,  jusqu'à 
un  terme  dont  le  quarré  soit  négligeable;  soit  ce  terme  c^"^,  la  série 
des  complémens  sera  de  même  terminée  à  b^"^,  ou  plutôt  à  ^^"r'^,  car 
dans  ce  cas,  on  pourrait  supposer  b^"^=  i. 

Cela  posé,  la  fonction  complète  F'c  se  calculera  assez  facilement 
par  la  formule 

F'C=^(I  +C»)(l   +  C-)  (l  +  C-) (l  +cW); 

hh 


3i8  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

quant  a  la  fonction  complète  E'<?,  elle  ne  parait  pas  pouvoir  être 
calculée  plus  simplement  que  par  la  formule 

E'c=F'c(.----^ g ^g etc.); 

on  obtiendra  de  cette  manière  tel  degré  d'exactitude  qu'on  voudra, 
par  le  calcul  de  deux  séries  composées  du  moindre  nombre  de  termes 
possible. 

232.  Supposons  maintenant  qu'on  veuille  déterminer  les  fonctions 
F(p,  Etp  qui  répondent  a  une  amplitude  donnée  j  il  faudra  d'abord 
f.a  déduire  <p°  de  tp  au  moyen  de  la  formule 

H-    '' '  cot(p'  =  i(cot^  — tang(p)  +  ic°(cot(p  +  tang<p), 

dont  le  calcul  est  assez  iacile,  pourvu  qu'on  connaisse  à  la  fois  cot  p 
et  tangtp;  il  faudra  par  la  même  raison  déduire  tang(p°  de  cot(p% 
et  on  calculera  semblablement  l'angle  (p"  par  la  formule 

cot  (p'"  =  ï  (cot  cp»  —  tang  ^°)  +  ^  c»°  (col  <p°  +  tang  (?•). 

On  continuera  ainsi  jusqu'à  ce  qu'on  parvienne  au  terme  (p^"^  de  même 
rang  que  c^"\  et  dans  chacun  de  ces  calculs,  on  aura  soin  de  noter, 
comme  il  a  été  dit  art.  225,  la  valeur  approchée  de  l'arc  dont  on 
a  calculé  la  colangente.  Connaissant  donc  le  nombre  total  de  degrés 
contenus  dans  le  dernier  terme  <p^"^,  la  valeur  exacte  de  cet  arc 
pourra  être  déduite  de  sa  tangente  connue  avec  toute  la  précision 
nécessaire.  Réduisant  ensuite  cet  arc  en  parties  du  rayon,  et  faisant 

9s=-^y  on  aura  r^  =  R<». 

Il  reste  à  calculer  E(p,  ce  qu'on  fera  par  l'équation  Eip  =  LF^ 
-f-  Pc  sin  9 ,  dans  laquelle  on  a 

L=  i^---- ^ etc., 

P   ==  -  cos cùA-^  cos cù cos  cù"  +  — -^  cos cd  cos a>° cos  w"*  -f-  etc.; 

2*4  8 

d'ailleurs  les  angles  &>,  &)",  &)"•,  etc. ,  se  déduisent  des  angles  <p,  (p*, 
^°%  etc.,  par  les  formules  tang «rirr^Z» tang (P,  tang 0)"=^° tang (p°, 
tanga)°°=Z»"lang9**,  letc.  j  et  comme  on  connaît  tangcp,  tang(p%  etc., 

y     If    **"        — '     ^f^^J    F 


/ 


'-  k-U'''^('-^ 


_i^   J  ) 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      Sig 
on  aura  immédiatement 

c COS »  =  -(.+;. tang-^)  '     "^  '"'  ""  =  t/(,+è°'ta.6-0  >  «"=• 

Cette  méthode,  que  nous  employons  ordinairement  depuis  cr=o  jus- 
qu'à sin45%  peut  être  étendue  beaucoup  plus  loin,  jusqu'à  c=sin  8i*, 
parce  que  dans  celte  dernière  limite  les  séries  n'ont  qu'un  terme  de 
plus  que  pour  la  limite  c=sin  45°.  Mais  depuis  <?  =  sin  81%  jusqu'à 
c=  I ,  la  seconde  méthode  mente  la  préférence ,  à  raison  du  moindre 
nombre  de  termes  dont  les  séries  sont  composées,  et  le  calcul  devra 
être  fait  comme  il  suit. 

235.  On  formera  d'abord  la  série  des  modules  croissans  c,  c',  c",... 
et  celle  de  leurs  complémens  b,  b',  b".,..  par  les  mêmes  formules 
que  dans  l'art.  22g,  ayant  soin  seulement  d'échanger  entr'elles  les 
lettres  ^  et  c,  ainsi  que  les  signes  "  et  '.  La  suite  b,  b',  b"...  étant 
donc  prolongée  jusqu'à  un  terme  b^"^  dont  le  quarré  soit  négligeable, 
relativement  au  degré  d'approximation  qu'on  a  en  vue,  on  aura  en 

logarithmes  hyperboliques  F'c=  —  log  ~,  ou  en  logarithmes  vul- 
gaires, F'c=— -  log  ^3 ,  d'ailleurs  le  coefficient  R  a  pour  valeur 

K  =  (i  4-  b')  (i  4-  b")  (i  +  b'") (i  4-  ^W)  . 

on  calculera  en  même  tems  la  fonction  E'c  par  les  formules 

E'c  =  LTv  +  ^, 

T  /  *  V  I       ^'      I     ^'^''     I     b'b''b'      ,         .      \ 

Dans  celte  méthode,  il  reste  à  calculer  le  logarithme  de  r^,  avec 
le  degré  de  précision  requis. 

Si  ensuite  il  s'agit  de  calculer  les  fonctions F<p,E(p,  qui  répondent 
à  une  amplitude  donnée,  on  suivra  les  formules  de  l'art.  225,  les- 
quelles ne  sont  guère  susceptibles  d'être  simplifiées,  si  ce  n'est  la 
formule  principale  qu'il  convient   de  mettre  sous  la  forme 

col  <p'  =  ^^-  cot  ?>  4-  V"  [(^'Jcot*  <P  +  ^']  î 


520  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

elle  servira  à  déduire  cot(p'  de  coKp;  oa  déduira  de  même  cottp" 
de  cot(p',  et  ainsi  de  suite. 

234.  En  terminant  ces  recherclies,  nous  croyons  devoir  faire 
observer  que  par  la  simple  méthode  de  bissection  qui  n'exige  que 
des  extractions  de  racine  quarrée ,  on  peut  calculer  jusqu'à  tel 
nombre  de  décimales  qu'on  voudra,  les  fonctions  F  et  E  correspon- 
dantes à  des  valeurs  données  du  module  et  de  l'amplitude. 

Remarquons  d'abord  que  pour  la  bissection  des  simples  arcs  de 
cercle,  on  a  les  formules 

sinitp  =  i  V(i  -i-  sin  ?>)  — •  ^   {/(i  ■—  sin  (p), 
cos  ^(?  =  -j   v/(i   4-  siû  ®)  +  ^   1/(1   —  sin  .(?)); 

ainsi  le  sinus  et  le  cosinus  de  l'arc  j  (p  se  déduisent  à  la  fois  de  la 
valeur  donnée  de  sin  <p.  Partant  donc  d'un  sinus  connu  tel  que  sin45% 
sin5o°,  ou  en  général  sin  a,  on  peut,  par  des  bissections  conti- 
nuelles, parvenir  au  sinus  d'un  arc  très-petit  arc  <w,  qui  sera  sen- 
siblement égal  à  l'arc •,  et  de  cet  arc  ou  de  ce  sinus,  on  déduira 
la  valeur  de  l'arc  proposé  ol=2''m  ,  «  étant  le  nombre  des  bissections. 

On  procédera  d'une  manière  semblable  pour  déterminer  par  des 
bissections  continuelles,  la  fonction  Fx  dont  l'amplitude  est  donnée. 
Soit  en  général  Fp  un  terme  quelconque  de  la  bissection  et  F(p' 
le  terme  suivant,  ensorle  qu'on  ait  'F(p'  =  ^'F<p ,  on  déduira  <p'  de 
^  par  la  formule 

sm  (p  =  — 7- — ^-^ ; 

or  on  peut  mettre  ^/(H- 1  A?>)  sous  la  forme  ~  /(i  +csin(p) 
"1"  a  1/(1  — c  sin  (p);  ainsi  on  aura  en  général,  pour  déduire  (p'  de 
<p,  la  formule  très-simple 

.^pW.—    V/(^  4-sinf)—  1/(1  — sin^)  ^.         ;^  " '-    |   ^ 

Cette  formule  servira  à  continuer  aussi  loin  qu'on  voudra  la  suite 
des  bissections;  lorsqu'on  sera  parvenu  à  une  valeur  très-petite  de 
sin(p,  celle  du  terme  suivant  sin(p'  se  trouvera  plus  facilement  par 
la  formule 


sin 


\      4-0  4.6.0.10  4-o-"'4  / 


CONSTRUCTION  DES  TABLES  ELLIPTIQUES.      32 1 
on  aurait  en  même  temps 

/       1  3  1.3.5.7    .  ,      ,  1.3.. .11   .  e     .        N 

enfin  si  l'on  fait  les  calculs  par  logarithmes,  on  préférera  les  formules 
suivantes  dont  la  loi  n'est  pas  moins  simple, 

77i?inW      ,    3     sin'(p    ,3.5     sin^ip       3.5.7     8in«<P  ,       ^    N. 

Supposons  qu'après  un  nombre  n  de  bisseclions ,  on  parvienne  à  un 
are  très-petit  m  qui  sera  la  dernière  des  valeurs  de  <p;  alors  en  sup- 
posant seulement  &)'  négligeable,  on  aura  avec  une  exactitude  su^ 
fîsante 

Fo,  =  «  +  I  0)3  -  -^  (4  -  gcO'^S 

Eco  =  0)  —  c"  ^'  H (4  —  3c'')a)5  ; 

6  '     120  ^^  ' 


:^     C\X^-^< 


connaissant  F«,  on  en  déduira  immédiatement  Fa=3"F«ît),  n  étant 

le  nombre  des  bisseclions.  Quant  à  la  valeur  de  Eo, ,  elle  se  déduira  ^ 

de   toutes  les  équations  de  la   forme  E(p  =  2E(p' — c*sin'«psin(p',  et 

on  aura  en  général   Ea  =  2"E:«)  — c*Z ,   Z   étant  la  somme  des  n  ^ 

termes  sin"  (p  s'in  tp'  +  2  sin*  ^'  sin  (p"  +  4  sin*  (p"sin  <p"'  -f-  etc.,  formés 

avec  toutes  les  valeurs  de  (p,  en  partant  de  la  première  et  jusqu'à  la 

dernière  co. 

Nous  n'insisterons  pas  davantage  sur  cette  méthode,  parce  que 
malgré  sa  simplicité  apparente  et  l'élégance  des  formules,  la  lon- 
gueur des  calculs  qu'elle  exige,  la  rendrait  presqu'impraticable,  dans 
les  cas  où  l'on  voudrait  obtenir  une  très-grande  approximation. 


Les  tables  suivantes  sont  une  continuation  des  tables  données  ci- 
dessus,  pages  125 — 17 1. 

La  table  VI  donne  avec  quatorze  décimales,  l'échelle  logarithmique 
des  modules  décroissans  c,  c°,  c".....,  de  leurs  complémens  ^, 
i%  à'' ,  et  du  nombre  K,  pour  tous  les  angles  du  module 


-r      > 


522  EXERCICES  DE  CALCUL  INTÉGRAL. 

de  dixième  ea  dixième  de  degré,  depuis  6  =  0*  jusqu'à  6=:i5%  et 
de  demi-degré  en  demi-degré,  depuis  0=15°  jusqu'à  0  =  45"; 
celte  même  table  donne  aussi,  par  un  simple  changemenl  de  déno- 
minations, l'échelle  logarithmique  des  modules  croissans  c,  c',  c"...  , 
de  leurs  complémens  b',  h",  b'"...  et  du  nombre  K,  pour  tous  les 
angles  du  module  de  demi-degré  en  demi-degré,  depuis  9  =  45° 
jusqu'à  0  =  75%  et  de  dixième  en  dixième  de  degré,  depuis  0  =  75" 
jusqu'à  0=90%  ainsi  qu'on  l'a  expliqué  dans  la  note  de  la  page  197. 

La  table  VII  donne  la  valeur  de  <p  qui  satisfait  à  l'équation 
F(p  =  T?F'^î  cette  valeur  est  calculée  jusqu'à  la  septième  décimale 
des  secondes,  pour  tous  les  angles  du  module  de  dixième  en  dixième 
de  degré,  depuis  G  =  0%  jusqu'à  6=45°. 

La  table  VIII  donne,  avec  douze  décimales,  les  valeurs  des  fonc- 
tions E  et  F  dont  l'amplitude  est  de  45°,  et  celles  des  fonctions 
complètes  E'  et  F',  pour  tous  les  angles  du  module  de  degré  en 
degré,  depuis  ô=o°  jusqu'à  6  =  90°. 


TABLE  VI. 

-nC:.)^^  323 

1 

9. 

Log  c,  c°,  c°". 

Log  6,  b°,   K. 

e. 

Lng  c,  c°,  c°°. 

Logè,Z.°,  K. 

0°1 

0.2 

7.24187  71471  oi4' 
3.88169  49643  4326 
7.16132  99373  5869 

9-99999  9^385  3i34 
9-9.9999  99999  9987 
o.oocoo  o33o7  3427 

i^^ 

8.41791  90153  8883 
6.23392  68740  'j'>'j4 
1.86679  37631  9439 

8.44594  09034  8261 
6.28999  11670  3o3c 

1.97792  233o9  8799 

9.99986  1 1626  2321 

9.99999  99936  23 i3 
0.0CC07  44^'^4  9996 

7.54290  64812  9673 
4.48375  56171  4014 
8.36545  12429  5435 

9,99999  73541  21 33 
9-99999  99999  9799 
o.oocoo  i3229  3833 

1.6 

1.7 
1.8 

1-9 
2.0 
2. 1 

9.99983  06420  9626 
9-99999  9.99 '7  4465 
0.00008  46748  242c 
9.99980  88076  9979 
9-99,999  998.94  7878 
0.C0009  66909  3949 

0.3 

0.4 
0.5 
0.6 

7.71899  66379  0379 
4.83593  92377  01 34 
9.06981  84840  8491 

9-99999  40467  5789 
9-99999  .99999  8981 
0.00000  2(^766  1696 

8.47226  26666  6069 
6.34265  63n3  3118 
2.o8325  26418  656y 

7.84393  383 10  820/; 
5.o858i  82543  5o8Ô 
9.56967  65 174  o583 

9-9.9.998  94164  2087 
9-99999  9.9999  677^" 
o.coooo  62917  7345 

8.49707  84317  649" 
6  0923 1  1 1967  5238 

2. 18266  24164  OI21 

9.99978  66490  0069 
9-99999  99867  7559 
o.cooio  71688  8745 
9.99976  11661  6773 
9-99999  99835  8213 
cocon  ^4'^'^?   1220 

7.94084  18596  7687 
5.27964  02647  8638 
9.95722  o5383  2348 

9.99998  34630  8204 
9 -.99999  .99999  21 32 
0.00000  82684  1964 

8.52o55  13689  3761 
6.43928  15475  5578 
2.27660  3 1201  9747 

8.O9.002  o68o3  2566 
5.43800  51822  9180 
0.2,7396  03734  i885 

9.99997  61867  obi  A 
9-99999  99998  367c 
0.00001  19065  6583 

8.64281  91 638  9609 
6.48384  29372  2734 
2.36562  69032  84^7 
8.66399  94221  268? 
6.52693  06767  853c 
2.46040  1 1867  4539 

9-99973  53589  2l5^< 
9-99999  9.9798  4236 
o.ocoi3  23 104  6039 

0.7 
0.8 

8.08696  46035  6J.78 
5.67190  16279  59C0 
0.54174  32648  9242 

9-9.9.996  75872  4^H 

9-99,999  99996  S7^'- 
0.00001  62062  2689 

9.99970  82271  349c 
9-99999  .99754  .q7"^5 
c. 00014  68741  81 iF 

8. 14495  32401  6689 
5.68788  88293  20X4 
0.77371  76678  3259 

9  99995  ^884^  5174 
9-99999  99.9.94  841? 
0.0C002  11674  162c 

2.2 

2.3 

2.4 

2.5 

8.08419  33262  7860 
^M^^  683 1 5  6632 
2.65i23  37013  2oo3 

9.99967  2JJ0Q    3202 

9-99999  99704  8466 
0.C0016  C0999  2602 

0.9 

1 .0 

1 .1 

1  .2 

8.19610  20172  3867 
5.79019  76226  3414 
0.97833  52547  6665 

9.99994  64188  Sad^ 

9-999.99  ,99991  7^67 
0.C0002  67901  6566 

8.60348  86684  2858 
6.60626  70667  6832 
2.60847  41754  6919 

9-99964  99892  3947 
9-99999  SB^47   3949 
0.00017  49877  6001 

8. 24 i 85  55 184  2289 
5.88171  67931  8966 
1 .  16107  .35963  io83 

9-99.9.93  38498  092P 
9-99999  .99987  4o5o 
o.oooo3  30744  6566 

8.62196  16999  5584 
6.64224  4^421  9640 
2.68242  85348  6926 

9.99961  88827  7660 
9-99999  .99581  9369 
o.©ooi9  db'5yj   0906 

8.28334  33731  9884 
5.96460  67939  6620 
1.32695  35984  4836 

9-99991  99574  i5.8 
9-9.9.999  99981  56o8 
0.COC04  oo2o3  7020 

8.63967  96616  1693 
6.67771  26824  o5o2 
2.75336  52227  o638 

9.99968  64610  6027 
9-99999  .99507  7669 
0.00020  67498  6271 

8.32102  68626  9478 
6.04008  89873  4104 
I  47811  79867  6586 

9-9.999°  4741 5  9708 
9-99999  99.973  8826 
0.00C04  76278  9669 

2.6 

8.65670  16544  673F 
6.71179  o5c85  64o4 
2.82162  ic833  8867 

9.99966  26938  6687 

9-9,9999  .99424  11 55 
0.C0022  36242  7284 

1.3 

H. 35578  34565  4271 
5. 10961  87123  0194 
1.61  "7 17  74368  7333 
8.38796  21864  7860 
6. 17399  40326  45^4 
i .74693  80788  0266 

9.99988  82022  6069 
9-99999  99964  0269 
o.occo5  58970  7096 

2.7 

8.67308  o383o  4776 
6.74468  30207  9904 
2.88710  61 362  463i 

9.99961  761 10  161 5 
9.99999  993^0  238 1 

0.0002*4  11610  OÔ83 

9.99948  12022  8696 
9.99999  90226  3aiG 
0.00026  93601  2267 

9,99987  03393  0669 
9-99.999  999^1  6117 
0.C0006  48279  2774 

2.8 

8.68886  26214  4H27 
6.77618  36943  4582 
2.95o3o  74748  3i58 

524 


TABLE  VI. 


Log  c, 


2°9 


70408 
80S67 
o  1 1 129 


99180 
61989 
24957 


3281 
8766 


3.0 

"372 

"3l 

M 
"375 
■3T6 


,71880 

,83Gi3 


01 636 
67255 
i56i8 


7602 
3 12.; 
3457 


,73302 
. 86483 
,  12720 


7i5o3 
oo58o 
02/ 1 2 


9200 
6552 

1967 


.74680 
,89222 
,18208 


1 54 1 2 

06227 
11864 


4286 
7270 
o65o 


76016 
91896 
25586 


11079 
27800 
67243 


11 34 
8536 
56ii 


Log  h,  b%  R. 


9  •9.9.944 

9-9.9999 
0.00027 


34674 
99108 
82216 


5598 

5299 
9861 


9-99940 

9-999.99 
0.00029 


44062 

98978 
77458 


9372 

9994 
o36 


9-9993(> 
9  •9.9999 
o  oocoi 


40186 
98855 
79326 


5864 
835o 
1243 


9 -.9.99^^ 
B' 99999 

0.000^5 


20040 
98678 
87819 


0690 
1093 
0201 


9-99927 
9-9.9999 

o.oooj6 


77310 

9449° 
28775 

6.97345 


10689 
76 1 6 1 
62093 
04273 


1446 
0180 
638 1 

9967 


92623 
98604 
02940 


8260 
8663 

6200 


9 -.9992^ 
9-99999 
9-999.99 
o . ooo58 


,78667 
97010 
,358 14 
,07422 


62787 
09909 
21797 

45681 


7168 
2856 
4454 
6i!3 


79789 
99468 
,38711 


40764 
55656 
i36i5 


17216  27117 


3.7 


80977 
,01840 

■4^74 
,26742 


71996 

oi  164 
04769 

09606 


2960 
2H48 
2882 

f9^ 
4290 
8268 
8670 

45^5 


3.8 


82134 
04168 
,48110 

,56oi4 


26307 
04060 
10827 

21742 


6902 
6976 
6708 
0621 


48934 
983i5 

99999 
24690 


2278 
1181 

9999 
445 1 


9-99918 
99999 
99999 

0.00040 


919C8 
98107 

.99999 
53069 


56o3 
8460 

9999 
6428 


99914 
999.99 
■99999 
. 00043 


21724 
97882 

99999 
88078 


o3o6 
0016 

9999 
9854 


999°9 
99.999 
99999 

00045 


08197 
97606 

99999 
297 '9 


7626 
5o47 
9998 
3710 


3.9 


80260 
,06416 
.62626 
.45045 


4.0 


84358 
,08616 

,67027 

,53849 


65583 
94i3o 
91264 
82616 

"45184 
76099 
555i4 
11116 


6853 
i63o 
9462 
6 1 29 


8i65 
4902 
8623 

44^^ 


9,9904 

•9.9.999 
■99999 
. 00047 


41086 
97-70 
99999 
77991 


7981 
M4^. 
9998 
7231 


4°i 


4.2 


.99899 
•99999 
•999.99 

.00060 


31288 
97082 

99999 
32896 


0970 
0798 

9997 
99 'O 


4.3 


4.4 


4.5 


Loge,  c°,  c°°,  c° 


85429 
10763 
3.6i32o 

6.62435 


06182 
32107 
67867 
35821 


9616 
307/, 
3356 


8.86473 
7.12868 
3. 66610 
6.70816 


7^449 
23899 
61812 
03710 


8.87493 
7. i49o3 
3.69601 
6.78997 


80616 

947'^9 
93880 

87846 


2671 
8402 

12l5 

9638 

2674 
8908 
0396 
8002 


8.88490 
7. 16902 
3.73599 
6.86992 


30926 
71112 
47042 
94170 


7450 
9296 
oio3 

7416 


4.6 


4-7 


8.89464 
7.18856 
3.77607 
6.94808 


32984 
64232 
33726 
67539 


0646 
6260 
4982 
7176  o 


Log  b ,  b°,  b°°,  K. 


,99888  712)4 

•99999  96435 
■99999  99999 
,ooo55  62610 


9589 
3i54 
9996 
1981 


,99883  21233 

■9.9999  96074 

■99999  99999 
,  ooo58  37420 


9610 
2786 

9996 
i635 


99877  67962 
•99999  9^686 
99.999  99999 
.00061  18867 


2670 
46i3 
9994 
0969 


99871 
■99999 
■99999 
,00064 


8i366 
96270 

99999 
06962 


4168 
6680 
9994 

0763 


8.90416 
7.20767 
3.81329 

7.02452 


4.8 


4-9 


.99894 
99,999 
9.9999 

,00062 


07898 
96770 

99999 
94436 


5391 
8379 

9997 
1493 


5.0 


86433 
71383 
485o5 
97096 


3i83 
7782 
0644 
85oo 


8.91348 
7.22637 
3.86069 
7 . 09933 


80660 
77121 
60489 
21066 


671 
7400 
2002 
1219 


8.92261 
7. 24.^68 
3.88731 
7. 17266 


04783 
54343 
16474 
3io36 


9532 
6068 

71 
1692 


8.93164 
7.26261 
3.92317 
7 . 24428 


99866 

99999 
■.999.99 
, 00067 


91472 
94826 

99999 
01676 


8658 
2707 
9992 
2021 


99859 
99999 
•99999 

,00070 


88268 
94349 
99999 

o3o4o 


0000 
2106 

9991 
6048 


99853 

99999 
•99999 

00073 


71748 
96840 

99999 
11046 


1200 
9980 
9989 

4386 


99847 
9.9999 
99999 

,00076 


41909 
9^299 
99999 
26694 


4453 
2126 

9987 
883o 


39233    47869.99840   98748    1123 

66260  36869.99999  92722  4018 
37866  06289.99999  99999  9985 
76816  82760.C0079  46987  1440 


6.1 


8.94029 
7.28018 
3.9583i 
7.31466 


60083 
6221 1 
32400 
64887 


3oi8 
3i32 
2611 
2444 


6.94887  38991  i653 
7.29740  88543  9064 
3.99276  86714  7883 
7.38345  71616  2989 


,99834 
'99999 
•99999 
, 00082 


42260 
92109 

99999 
74924 


1760 
0821 
9982 
4527 


.99827 
■99999 
•99999 
.00086 


72441 
91457 
99999 
09608 


6o32 
7388 

9979 
0668 


TABLE  Vt. 


325 


Log  c,  c",  c**,  c" 


5°  2 


5.3 


.95728 

.02653 
.45101 


43439" 
79212 
67743 
35574 


9730 
o3o2 
95 1 3 
6255 


5.4 


96553 
,33o86 

05967 
51728 


37056 
61472 
52996 
66079 


oi»4 
2612 

474^ 
6717 


Log  b,  b°,  6«°,  K. 


.99820 

•9.9.9.99 
99999 

, 00089 


9736a 
34712 
09219 
58232 


79897 
55440 

21707 
43502 


2789 

6322 

8325 
3887 


5.5 


5.6 


5.8 


.98157 
.363o8 
,  1241 1 
.64^1'/ 
,98937 
,37876 
.15546 
.70887 

99703 
.39416 
.18626 
. 77046 


28715 
74621 
60888 
21864 


3959 
5o34 

9901 

7044 


37193 
26383 
65977 
30642 


992 
2262 

7' 
1618 


9 


. 00456 
.40929 
.21652 

, 83o99 
,01196 
,  40.41 6 
,24627 

89049 


56i65 

12392 

38209 

765o5 

33877 

290 1 1 

72409 

44906 
15840 
6765g 
50720 
01527 


904.2 
5990 
5077 

7409 


5277 
5366 
9631 
6525 


1942 
8844 

5oi4 
7300 


,01923 
.43879 
.27552 

.94898 


45656 
i5i47 
46762 
93612 


6.1 


3272 
6660 
9821 
6923 


.09,638 
,45317 
, 30429 
.00652 


64511 

53979 
25549 

5ii85 


8408 
9104 
2968 

3227 


. 03342 
,46732 
,33259 
, o63i2 


11646 
62636 
44041 
88169 


.99813 
•99999 
99999 
,00092 


89288' 
goy66 

99999 

92796 

90034 
99999 
98619 


2839 
8246 
997^ 

0217 
7629 

997'i 
3692 


.99806 

■.99.999 
99999 

.  00096 


82960 
89259 

99999 
53 149 


5373 
9456 

99^7 
7025 


99799 
■99.999 
999.99 

00100 


59777 
88440 

99999 
i433i 


4684 

7^94 
9962 

6286 


99792 
•9.9999 
99999 

,  ooio3 


23942 
87575 

9.9999 
82166 


3692 

4454 
99^6 
5359 


•99784 
-.999.99 
•999.99 
,00107 


73350 
86662 

99.999 
56655 


7097 
3864 

9949 
8358 


99777 
99999 
99999 
coni 


10097 
85699 

99999 
37800 


8766 
8187 
9.94' 
9681 


■997^9 
'99999 
•999.99 

.ooii5 


33/79 
84685 

99999 
256o3 


1730 

974^ 
9933 

3973 


■997^^ 
99999 
■99999 
.001 19 


43489 
836 1 9 
999.99 

20064 


8i85 
0549 
9993 

6143 


,99753 

■99.999 
99999 

00123 


40124 
82497 

99999 
21186 


9459 
2268 
9912 
i364 


i5i8 
6784 
426719 
5838!o 


99745 
•9.9.999 
■.9.9999 
,00127 


23379 
8i3i8 

99999 
28969 


6064 
63o4 

9900 
5070 


6.4 


G. 5 


Log  c,  c°,  c"",  c° 


1 . 04034 
.48195 

:.36o44 

:.ii883 


244^^ 
i583o 
5i656 
03420 


0061 
7049 
7363 

2044 


04715 

49495 
,38785 

17365 


38409 

S4744 
90792 

81671 


1373 
7190 
6i5o 
9633 


6.6 


6.7 


6.8 


6.9 


7.0 


7.2 


7.3 


,05385 
,50845 
,41484 
,  22763 


87563 
37250 
97164 

944i5 


7^94 
396c 
368 1 

4713 


Log  b,  b°,  6°°,  K. 


.99736 

•99.999 
■999.99 
,ooi3i 


93248  7677 
80081  3697 
99999  9886 
43416  2953 


.99728 
-.99.9,99 
•99999 
.001 35 


49727  3i 10 
78783  5175 
99999  9870 
64528  0968 


, 06046 
,52174 
,44143 
,28080 


04259 
38iio 
oo3o9 

00706 


5795 
5742 
6647 
0664 


,  06696 
,53483 

,333i6 


, 07336 
,54773 
49340 
38475 


19416 

49 1  ^^ 
23912 

479iL 

69580 

29509 
8gi59 
JQ.406 


6009 
2654 
55i6 

8423 


0122 
8336 
8124 
3663 


,07967 
,  56o44 
5i883 
43560 


62001 
35645 
00061 
00210 


5396 
4988 
9742 
6926 


,08589 
.57297 
,54388 
,48571 


44712 
21 638 
73751 
47589 


9169 
3i3o 
2625 
272c 


09202 
,58532 
,56809 
,535i2 


36595 
39952 
10753 
2i6o3 


588c 
5720 

42l3 

5928 


,09806 

, 59750 

.59S95 

,58384 


, 10402 
, 6095 1 
6 1 697 
,63i89 


6-2444 
38o8o 

10270 

Ù.C>62.J 

46'ô3o" 
65662 
67368 
34824 


9664 
53o8 
1455 
0448 
3642 
2608 
7966 

35o7 


997^9 
99999 
99999 
00 1 39 


92810  o333 
77423  1 1 5o 
99999  9853 
92306  5335 


■9971 ï 
•999.99 
■99999 
.00144 


22491  6471 
75998  1710 
99999  9834 
26753  2536 


.99702 

■99999 
'99999 
,00148 


38766  7812 
74506  6622 
9.9.999  9813 
67869  93 12 


,99693 
•99999 
•99999 
,001 53 


41699  9773 
72946  533 1 
9.9999  9789 
i5658  2674 


,99684 
99.999 
■9.99.99 
00157 


31075  6936 
7i3i5  6^64 
99999  9763 
70119  9896 


,99675 

99999 
■99999 
,00162 


07098  3027 
6^610.   o3o7 

99999  97^4 
3i256  85o7 


,99665 
■99999 
■99999 
,00166 


69692  0915 
67833  3JB35 

99999  970^^ 
99070  63 1 1 


■99656 

■99,999 
•99999 
,00171 


i885i  2621 
65977  5698 
99999  9667 
73563  1372 


•  99^4^ 
•99999 
9.9999 

. 00 1 76 


54569 
64042 

99999  9628 
54736  2019 


3do 
710 


u 


% 

26 

TABLE  VI. 

ô. 

TA 
7.5 

7-6 

Log  c ,  c%  c°°,  c°°^ 

Log  b,  b°,  b°°,  R. 

6. 

Log  c,  c",  c°°,  c^°°. 

Log  b,  b\  b'°,  K. 

9. 10990  ioi5o  83i7 
7.62136  67597  3334 
4.64067  73255  7666 
8.67929  46598  2952 

9.99636  76842  1255 
9.99999  62025  5376 
9-99999  99999  9585 
0.00181  42591  6853 

8°  5 

9. 16970  20867  7564 
7.74212  76798  584o 
4.88220  19907  77)5 
9 . 1 6234  39902  3896 

9.99520  32575  3781 
9-99.999  33775  Se44 
9-99999  .999.99  87^8 
0.00239  5o6oo  1801 

9. 11569  76687  261 1 
7.633o5  87649  0210 
/^.Q^o^   15459  8844 
8.72606  3ioo6  5352 

9.99626  8566 1  7998 
9.99999  59924  7856 
9-99999  99.999  9538 
0.00186  37131  47^3 

8.6 

9.17474  38525  1642 
7.75932  45327  9808 
4.90259  6oi5o  53 1 1 
9.2o3i3  20387  92 '3 

9.99508  92992  8i5i 
9-99999  30591  8736 
9-99999  999.99  861 3 
0.00245  18799  4699 

9.12141  6665i  o3ii 
7.64459  67841  5902 
4.68713  78o3i  9992 

8.77221  56i5o  7702 

9.99616  81022  7900 
9-9.9.999  57737  7988 
9-99999  99999  94^^ 
0.00191  38357  4787 

8-7 
8.8 

9. 17972  64511  3oo9 
7.76240  43818  9940 
4- 92-275  60430  421 1 
9-24345  20947  7148 

9-9.9497  39878  2928 
9.99999  27293  983o 

9-99999  99999  8478 
o.oo25o  93707  7690 

7-7 

9.12706  00229  4778 
7.65598  4855'i  2436 
4.70991  41726  865o 
8.81776  83540  5075 

9.99606  62918  8892 
9-99.9.99  55462  2284 
9  > 99.999  99.999  9429 
0.00196  46271  641 1 

9.18455  12248  8016 
7.77236  991 18  6564 
4.94268  y 4444  2216 
9-28331  48975  33o3 

9.99485  739.24  6234 
9-99.999  23879  4781 
9-99999  99.999  8332 
O.C0256  75327  344c 

7.8 

9.13262  96828  4226 
7.66722  68591  1756 

4.73239  84173  2522 
8.86273  68433  2881 

9.99596  3 1343  7755 
9-99999  53095  6927 
9-99999  99999  .9^67 
0.00201  60875  9270 

8.9 

g. 18951  94705  2635 
7.78222  37163  9366 
4.96239  54068  6184 
9.32273  08224  1398 

9.99473  9302,4  5307 
9-99999  20345  6099 
9-99999  999.99  8174 
0.00262  6366o  4483 

1-9 
8.0 
8.1 
8.2 

9. i38i2  75i 12  oc56 
7.67832  65291  2072 
4.75459  8oo33  2778 
8.90713  6oi53  3461 

9-99585  86291  0479 
9-99.999  5o635  7767 
9-999.99  .99999  9299 
0.00206  82172  3294 

9.0 

9.19433  2441 3  5701 
7.79196  83o22  3974 
4.98188  49441  5219 
9.36170  98969  9640 

9.99461  99270  65o8 
9-99999  1^689  5938 
9-99999  99999  8002 
0.00268  58709  3716 

9. 14355  53o39  9954 
7.68928  74572  5548 
4.77652  oii5i  6436 
8.95098  02390  o852 

9.99075  27754  2188 
9  99999  48080  o3l2 

9-99999  99.999  9224 
0. 009 12  10162  8S74 

9-1 

9.19909  13491  1137 
7.80160  60930  6418 
5.00116  09038  9556 
9.40026  18164  85oo 

9-99449  9 '955  5295 
9-99999  12908  6117 
9-9.9999  99999  7817 
0.00274  6c4iS  4320 

9. 14891  47902  8000 
7.70011  31017  5596 
4.79817  16695  6921 
8.99428  33478  1902 

9.99564  55726  7i3o 
9-999.99  45425  976. 
9-99999  .99.999  9 '43 
0.00217  44849  5887 

9-2 

9.20379  73657  9581 
7.81 ii3  94330  6366 
5.02022  79141   7042 
9-43839  59582  3672 

9.99437  71071  6254 
9-99.999  C8999  8127 
9-9.99.99  9,99.99  7617 
0.00280  68963  9745 

9.15420  76354  3i83 
7.71080  67935  6814 
4.81955  93986  7974 
9.03705  86660  4098 

9.99553  70201  8688 
9-999.99  42671  0966 
9-99999  9,9.9.99  9^54 
0.0022a  86234  5666 

9.3 

9.20845  16254  C201 
7.82057  05904  0762 

5.03909  06934  04 • 3 
9.47612  13955  0629 

9 . 99425  366 1 1  307S 
9.99999  04960  3ii6 
9-99.999  .9.99.99  74oo 
0.00286  84174  3720 

8.3 
8.4 

9.15943  5444^  7955 
7.72137  17425  o638 
4.84068  95 123  7949 
9.07931  90334  4145 

9.99542  71172  9367 
9.99999  39812  8446 
9-99.999  .9.9.9.99  8907 
0.00228  34319  9018 

9-4 

9.2i3o5  52255  33i6 
7.82990  17604  9o36 
5.06775  34508  7732 

9. 5 1 344  69104  55oi 

9.99412  88566  8556 
9-999,99  00787  1878 
9-99.999  .99999  l^^l 
0.00293  06110  0244 

9.16459  97639  8479 
7.73181  io43o  6122 
4. 861 56  84099  07G5 

g. 12107  68284  9881 

9.99531  58633  o8i5 
9.99999  36848  6388 
9-9.999.9  .9.9.999  8852 
0.00233  89107  7212 

9.5 

9.21760  99289  4481 
7.83913  i5o69o  i3io 
5.07622  04988  8784 
9.55o38  10064  7857 

9.99400  26930  4597 
9-99998  9^411  4870 
9-99999  99999  6915 
0.00299  34773  3594 

TABLE  VI. 


327 


V69, 

7- 


Loge, 

2221 1 
84827 

09449 
586q:^ 


46660 
26749 
59555 

iqiqS 


o383 
oi58 
86i3 
7786 


9-7 


9.22667  253iû  7278 
7.86731  62730  7620 
5.11258  38iii  i3i3 
9.62310  76309  3477 


9-9 


.23098 
.86626 
,i3o48 
_6_589j_ 
23534 
87612 
14821 
.69436 


37938 
80970 
79328 
58744 


23o6 
7324 
5345 
1854 


93904 
99216 
20704 
41496 


10.0 


«3967 
88390 
,16675 
,72946 


o23oo 
35646 
98603 

97294 


10. 1 


•  24394 
,89269 
,i"83i3 
,76420 


7  '  942 
07901 
48'3o7 
96702 


8089 
4626 
1724 

4949 
1 167 
2636 
7962 
7787 
4392 
7040 
7643 
7536 


10. 


10.4 


24818 

901 '9 
,  20034 

79862 


11389 
3309  q 

o4o53 

08194 


3983 
1042 
8559 


.26237 

•90971 
2 1 737 

,83269 


28948 
27854 

99077 
98243 


ii38 
7692 
9086 
19,85 


10. D 


10.6 


q5652 
91816 
23426 
_86^46_ 
26065 
.  q265o 
.26097 
^99  «8_ 

. 26470 
,93478 
.26763 
. 93300 


32684 
o83o3 
65652 
3i392 
3^434 
901 16 
35124 
7o336 
09808 
88619 
37948 
76983 


896c 
3768 
6116 
682^ 


4538 
4828 
3i8o 
0462 

6799 
993 
•974 
8696 


Log  h,  b\  è°°,  K. 


99^87 
9.9998 
999.99 

oo3o5 


6 1 694 
92028 

99999 
70166 


2204 
2196 
6645 
83i8 


99374 
99998 
99999 
oo3i2 


62860 

87436 

99999 
12292 


1494 
3627 
6353 
9243 


99361 
99,998 
99999 
coo  1 8 


60390 
82698 

99999 
61154 


i665 
8687 
6040 
i48. 


99348 
99998 
99999 
oo325 


44306 
77812 

99999 
16763 


io3) 
6i38 

6703 
0406 


99335 
99998 
99999 
oo33i 


14589 

99999 
79092 


6992 
4996 
5341 
1672 


9932 1 
99998 
99999 
oo338 


7;  232 
67681 

99999 
48174 


604: 
3548 
4953 
1229 


99308 
99998 
99.999 

00346 


.99294 
99998 
99999 
oo352 


14226 
62229 

99999 
24001 

4356^ 
56717 
99999 
06677 


3771 
9822 
4537 
6294 
4856 
1484 
4091 

o36o 


99280 
99998 
999.99 
oo358 


69232 
5 1039 

9,9999 
96903 


3067 
585 1 
36i3 
3204 


99266 
.99998 
9.9999 
oo366 


61227 
46193 

99999 
91983 


1221 
9884 
3 102 

o883 


99262 
99998 
99,999 

00372 


49538 
39177 
99999 
94819 


1287 
0209 
2666 
0759 


10.8 


10.9 


1  !  ,0 


l  1  .  1 


Log  c,  c°,  c°°,  c° 


,26873 

.94299 
.28394 

96682 


38205 
i83io 
03721 

07630 


0210 
9608 
7093 

.94 '9 


,27272 
.96111 
,  3oo 1 9 

.99833 


62814 
93873 
61216 
22620 


4560 
4832 

5 1.97 
6260 


,27668 
■95917 
, 3i63o 

,  o3o64 
.  28069 
.96716 
.33226 

.  06247 


10629 

291.94 
38408 

76906 
8844q" 
37876 
62609 
26106 


1067 
02&4 
9435 
5395 

6041 
855o 
01 63 
7660 


28448 
97606 
34808 

0941 1 


02891 
33 162 
59988 


6219 
9490 

2110 


20064  221 1 


1  1  .0 


11.4 


11.6 


Log  b,  b°,  b"",  K. 


q. 28832  60395  0011 
7.98290  27903  24689 
5.36576  66606  9567J9 

0.12647  i3299  79330 


29213 
,99067 
,  37930 
,  i5655 


67220 
34661 
77454 
64967 


08399 
3o5o  9 
9583' 
8827 


, 2969 1 
,99837 
,39471 
,18706 


29473 
6563o 
46885 
93868 


2637 
3890 
3785 
8146 


.29965 
.00601 
,40998 
.21791 


53093 
32694 
88728 

77-^44 


1416 

0774 

0267 

2088 


.3o336 
,o!358 
,425i3 

.  24820 


43866 

47427 
261 16 

62321 


0441 

3022 
4698 
1983 


.30704 
. 02 1 09 
.44014 
.27823 


07429 
2  11  06 
81608 

633o4 


2267 
9618 
2204 
8096 


99938 
.9.9998 
999.99 
oo38o 


24166  4256 
32985  3070 
9,9999  1972 

044 '4  o3q5 


99223 


99999 
00387 


86073  029,4 
26616  4365 

99.999  1^47 
20770  7745 


99209 
99998 
99999 
00394 


.99194 
99998 
99999 
00401 


99179 
9999^ 
99999 
00409 


32278  8363 
2oc63  964c 
999.99  0681 
43892  0979 

66764  6900 
13327  4082 
99998  9970 
73780  8676 
86621  3i5o 
06402  2499 
99998  9312 
10439  9281 


.991  ^"4 
9.9.997 
99999 
004 16 


91539  3495 
99284  9362 
99998  8406 
53872  2137 


99149 
9.9997 
99999 
00424 


83809  3370 
91971  8769 
99998  7^44 
04080  6472 


99134 
99997 
99999 
00431 


62321  7299 
84459  4456 
99998  6628 
61068  1892 


99 1 1 9 
99997 
99999 
00439 


27066  8845 
76743  9792 
99998  5654 
24837  83oi 


99103 
99997 
99999 
00446 


78035  0634 
68821  7786 
99998  4618 
95392  5884 


99088 
9,9997 
99999 

00454 


16216  4357 
6o68q  1069 
99998  35 16 

72735  5i 14 


52S 


TABLE  VI. 


Log  c,  c",  c""»,  c° 


n°89.3io68  4.927b*  0070 
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5.455o3  7718.5  0827 
o.3o8oi  54458  65ii o 


Log  b,  b°,  b"^,  K. 


11. 9 


la.o 


12.1 


12.2 


12.4 


12.5 


12.6 


12,7 


12.8 


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8.o35q"i  88983  4048 
5.46900  34272  5292 
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9.31787  89102  7855 
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5.48444  73768  36o8 
o. 36683  47G05  4^/{ 


,32142 

,o5o5o 

•49^97 
,39588 


97392 
20962 
16010 
32 1 09 


36oo 

5484 
.9784 


,32495 
.05770 
,5i337 
,42469 


04593 
48773 
80894 
61877 


4268 
7912 
3446 
71.9 


.32844 
,06484 
,62766 
,45327 


16648 
97483 
87788 
76666 


4876 
10" 
6906 
5682 


,33190 
,07193 
,54184 
,48163 


34q82 
76533 
566o2 
1 1293 


3980 
0908 
ob83 
3700 


,33633 
,07896 
,55691 
,  60976 


67606 
95.48 
02787 
o5664 


i3io 
2124 
2816 
0927 


,33874 
,08694 
,  569*86 
,53766 


17620 
62332 
47366 
94802 


4i36 

587c 
890c 


342 1 1 
,09286 
58371 
,56536 


89719 
86876 
06896 
i388o 


2141 
3890 
0446 
0026 


,34546  88093  0881 

,09973  77363  6626 

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0.69282  97238  5368 


99072 

99997 
99999 
00462 


386oi 
62342 

99998 
66869 


,99066 
■99997 

99999 

,  00470 


48178 
43777 
99998 
4773^ 


0753 

^S^7 
2346 
6766 

9610 
221 
1 104 
i856 


, 99040 

•99.999 
,  00478 


43939 
34990 

45524 


§77^ 
35i6 
9786 
1766 


,99024 
.99997 
3B933 
,00486 


26873 
26977 

33S37 
60060 


9128 
6984 
8388 
8122 


.99007 
.99997 

99999 
,00494 


93970 
16735 

99997 
6i38i 


4693 
3393 
6906 
2853 


.99997 

99999 

oo5o2 


482 1 9 
07269 

99997 
79618 


21 54 
3i43 
5334 
8162 


98974 

99996 

99.999 
.0061 I 


88609 
9754'5 
9.99 '17 


6812 
6278 
3670 
6668 


,98968 

•.9999S 

■9,9999 
,  006 1 9 


i5i3i 
87690 

9,9.9.97 
36228 


2607 
2453 

1909 

0877 


•98941 
•9.9996 
99999 
,00627 


27773 
77389 

.99997 
74806 


2624 
0968 

0044 
4189 


■  98924 
■9.9996 
•99999 
,oo536 


26624 
66938 

99996 
20204 


8968 

068 

8072 

9897 


q. 98907   11376  2747 

9.99996  66233  0164 

■99999  .99996  5986 

,00644  72427  1696 


12°9 


9.34879  16932  3968 
8.10665  42177  6062 
5.61108  39164  9361 
0.62010  78420  2146 


i3.o 


i3.i 


;3.2 


Log  c,  c°,  c°°,  c" 


,35208 
, 1 i33i 
,62461 


8o33o 
89607 
45049 
90190 


4126 
4122 
7861 
1462  o 


,35536 
, i2oo3 
638o4 
67402 


82286 
27354 

32234 

64560 


2733 
0170 
9026 

626 


Log  6,  i",  60°,  K. 


9.98889  823i3  4i5o 
9 -.99996  46269  7611 
9-99999  .99996  3782 
o.oo553  31476  3572 


,98872  39328  2340 
,99996  34044  0604 

■.99999  99.996  1454 
,oo56i  97355  9809 


i3.3 


13.4 


i3.5 


i3.6 


10.7 


i3.8 


i3.9 


,35860 
, 12669 
,66137 
,70068 


26707 
63535 
i636i 
32814 


8664 
8648 

4797 
0^99 


,36182 
,i333i 
,66460 
72714 


17414 
06694 
12716 
26624 


6723 
4122 
7692 
8928 


9.36'5oi  58 139  9219 
8.13987  61299  /^'5^4 
5.67773  36244  7097 
0.75340  72681  0627 


,368i8 
,  14639 

^9^77 
77.948 


52634  1441 
37664  1454 
oi556  1 148 
o32o4  3776 


,37133 
,16286 
,  7037 1 
,  8o536 


04166  6293 
41900  0698 
22938  6208 
45969  3 106 


,37445 
,  16928 
,71666 
,  83io6 


16628  2963 
81021  833o 
14365  6639 
28823  9349 


,37764 
,16666 
,72931 
,86667 


93o33  8730 
61861  6920 
89606  5933 
79106  i5oi 


9.38062  37024  1024 
8.17199  91073  9692 
5.74198  61734  6074 
0.88191  23562  3532 


9.98864  82408  55 14 
9.99996  22661  6607 
9-99999  9.99.96  8996 
0.00670  70069  4994 


,98837 

■9.99.96 

•999.99 
, 00679 


11643  0886 
10788  2601 
99996  6399 
49620  4007 


,98819 
99995 
.999.99 
,oo&88 


26720  4679 
98749  6076 
99996  366o 
36oi2  2028 


9.98801  27929  2122 

9.99996  8645"i  0437 

9-99999  99.995  0771 
0.00697  29248  4643 


9.98783  16167  7460 
9-99995  7^828  441 4 
9-99.999  .9.99.94  7725 
0.00606  29332  7340 


9.98764  88.594  3934 
9-99995  60937  2421 
9 -.9.9.999  .99994  45 1 5 
0.00616  36268  65oi 


9.98746  47627  3780 
9-9.9995  47752  94,90 
9 -.9.9999  99994  ii32 
0.00624  60069  8421 


9.98727  92844  8246 
9-99995  34271  0261 
9-999.99  99.9.93  7670 
o.oo633  70709  9788 


9.98709  24034  7668 
9-99995  20486  8954 
9-99.999  .99.993  3820 
0.00642  98222  7603 


TABLE  Vr. 


529 


Los 


c,  c" 


14^0 


14.1 


'4. 


q. 38367  51767  8694 
8.17828  75^.29  2u84 
5.75456  441 35  209" 
0.90706  88364  i5i7 


Logô,^°,  6°»,  K.   fl. 


Log  c,  c%  c"",  c" 


9.38670  4(^4^4  19^^ 
8.18453  20718  4738 
5.76705  4.95 1 5  3oo4 
0.93904  99124  7490 


14.3 


14.4 


14.5 


9.38971  06244  3iq^ 

8.19073  338o6  9930 
5.77945  90410  0699 
0.95685  80914  7247 


9.98690  411 85  0959' 15.59.42689  88240  3170 
^  '     —  -     ■'  ■'^  8.26767  8i3o4  6256 

5.93337  07713  4354 
1.26468  15529  5682 


9.99995  06395  9426 

9  •99^)99  99992  9^7^, 
0.00652  32601  9170 


9.98671  4428?  6642 
9-99994  9 '993  5119 
9-99999  99992  5721 
0.00661  7385 1  209g 


9.39969  52173  490^ 
8. 19689  20628  2224 
5.79177  79091  1259 
0.98149  58277  2959 


9.39565  8iq53  86S3 
8.2o3oo  87187  4o^S 
5.80401  27573  7357 
i .00596  55242  9978 


14.6 


9.39859  96421  2791 
8.9,0908  39365  1594 
5.81616  47623  9298 
1 .o3o26  95343  8929 


14.7 


14. 


^4-9 


i5.o 


9.40152  oo556  9340 
8.2i5ii  82920  8684 
5.82823  60765  3520 
1 .o544'  01627  2697 


q. 98652  333 18  1809 
9-99994  77274  9'^74 
9-99999  99992  i355 
0.00671  21974  43io 


i6. 


16.5 


Logé,  b%  6°°,  K. 


1 


9.44033  80750  854c 
8.29560  50571  5532 
5.98923  485 11  8i88 
I .37640  97i3i  0225 


q. 98653  08276  2634 
9.99994  62235  399 

9-99999  99991  ^'7^4 
0.00680  76975  4026 


9.98613  69145  4281 
9.99994  46870  1898 
9-99999  99991  ig4o 
©.£0690  08857  9779 


9.98594  16913  o865 
9-99994  3 i"i  74  4836 
9-99999  99990  ti87i 
0.00700  07626  0421 


9.40441  9^479  C785 

8.22111  23496  0242 

5.84022  48285  8753 

1.07838  96668  875 


9.40729  86949  ^97° 
8.22706  66617  4124 
5.852i3  5ic44  0086 
1 . 10221  02686  7283 


9.41016  74674  5557 
8.23298  17700  2o38 
5.86396  70476  0719 
I . 12687  41048  4704 


9.4 1299  62306  6937 
8. 23885  82060  9'366 
6.87672  16697  1624 
1.14938  33293  2969 


9.98674  48666  5495 
9-99994  i5i43  4147 
9 -.99999  99990  '548 
0.00709  83983  6100 


17.0 


17.5 


18.0 


9.45304  18046  2626 
8.. 32269  46676  870c 
6.04342  533 j 6  5839 
1.48479  06744  4 'OC 


9.46693  53599  7743 
8.34899  76684  7666 
6.09604  36761  1722 
1 . 69002  73649  869c 


9-98391  o5i63  6931 
9-99992  54960  6'82i 
9-99.999  .9.9984  o23o 
0.00800  74885  4660 


9.98284  16370  2333 
9-99991  52676  6791 
9-99999  99979  3355 
0.00853  68142  8906 


9.98173  6()64^   0211 
9 -.99990  40069  8327 

9 -.99999  .99973  47^1 
0.0C908  3520O  1449 


9.47814  18041  1781 
8.37456  o3i9i  8698 
6. 14718  25365  65 10 
1.69230  60860  7904 


9.98069  63i56  4586 
9-999^9   16427  473 
9 -.99999  99966  2068 
0.00964  76618  6102 


9 . 48998  26640  8607 
8.39942  60285  8386 
6 . 1 9  69  2  6'74^4  4  '  73 
79179  35069  3336 


8.6 


9.98554  67093  0259 
9.99993  98779  0864 

9 -.99999  99989  5969 
0.00719  65834  3287 


9 . 98554  7 I 479  6 1 25 
9.99993  82066  665?) 

9-99999  99989  0093 
0.00729  66282  4760 


9.0 


9.5 


9.98614  61713  3i55 
9.99993  64988  8438 
9-99999  99988  3938 
0.00739  5i63i  9610 


9.98494  37781  0267 
9.99993  47^^^  9278 
9-99999  9.9987  748" 
0.00749  54886  8947 


90.C 


9.60147  64453  6292 
8.42363  06837  9836 
5.24535  41787  0707 
1.88864  83728  0760 


9.61264  19176  5476 
8.44721  00717  9768 
6.29263  64889  6026 
1.98601  29949  4527 


9.62349  62665  3965 
8.47020  61996  8929 
6.33863  97621  0878 
9.07601  96432  i326 


9-9794^   95ot5  7227 
9.99987  8101 9  2600 

9 -.99999  99957  23 19 
0.01022  92980  38 11 


9.97890  63265  4601 
9.99986  33o86  4235 
9-99999  9994s  2216 
0.01082  84888  6976 


9.97696  65838  0711 
9 -.99984  71841  1880 
9-99999  9993a  7866 
0.01 144  62967  8012 


9.97667  oo653  8733 
9.99982  ^6468   0173 

9 -.99999  999^8  47^9 
0.01207  ^'jS64  3o84 


9.97434  66616  6086 
99981  061 12  q4'^'j 
9-99.999  .99896  7S34 
0.01273  20246  6992 


.53406  16846  4555 

.49263  76420  835g 

6.38342  60771  6908 

16479  01767  0438 


20 


9.54432  62963  9944 
8.61453  83685  8648 
6.42794  90023  2662 
2.26243  80288  6797 


q. 97298  68164  4290 
9-99978  99902  8161 

9-9.9999  .99873  0682 
0.01340  2o8o5  7227 


9.97168  76267  7683 
9-9997^  7S9^4  5970 
9-99999  99'^44  6711 
0.01409  00266  7199 


kk 


55o 


TABLE  VI. 


•« 


ai«o 


21.5 


22.  C 


22.5 


23.0 


23.5 


Logc,c°,  c**,  c° 


9 . 55432 

■8.53593- 

s. 47006 

2.33806 


9 . 56407 
8.55684 
6.51191 
2.42177 


91618 
384 14 
4o3oo 
8088a 
54326 
83427 
89627 
79571 


21 57 
6634 
4811 

8657 


1623 
0370 
648c 
4i58 


9 . 57357 
8.57730 
6.55285 
a.5o365 


54170 
45369 
92498 
8536 1 


8339 
6282 

99.95 
7i5o 


9.58283 
8.59732 
6.59299 
2.58379 


96605 
■35724 
72926 
46273 


83 10 
6080 
9663 

779^ 


9.59187 
8-61692 
6. 632 16 
2.66226 


80116 

52052 

271 13 

54713 


6658 
5i4o 
7887 
3960 


24.0 


24.5 


25.0 


25.5 


26.0 


6006g  96819  9343 
636 12  79190  7038 
6.67060  25852  3879 
2.73914  52267  8829 


9.60931  32999  4026 
8.65494  90025  6164 
6.70828  16671  9041 
2.81450  33997  1823 


61772  69586  7965 
8,67340  479^4  453o 
6.74523  25762  1098 
2.88840  52282  7o'84 


9.62594  82594  o3i5 
8.69151  04749  7406 
6.78148  597o'3  6354 
2.96091  20287  8193 


9.63398  43502  6242 
8.70928  04338  2640 
6.81707  07026  9739 
3.o32o8  i5o75  8495 


9.64184  19615  2863 
8.72672  82004  3570 
6.85201  39620  2574 
3. 10196  80425  6904 


Log  b  ,  b°,  b°°,  K. 


97015 
99974 
99999 
01479 


17376 
36234 
99810 
59334 


8881 

1.999 
i83i 
0644 


96867 

9997' 
999.99 
oi55i 


79020 
76854 

9.9770 
98802 


7o33 
3477 
6006 

1225 


96716 
9.9968 

.99999 
01626 


96561 

9.9965 

99999 
01702 


586o4 

97772 

997^3 

19445_ 

53459 

97.942 

23666 

22075 


7322 
986, 
0044 
6292 


2094 
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99999 
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99999 
02024 


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^187 
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99999 
02286 


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27.0 


27.5 


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29.0 


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,77726 
,95324 
.3o442 


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,67160 

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,98586 
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,67866 
,80955 
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'4499 


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, 70646 
,87115 

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,68o83 

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,  171 18 

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3780 
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99999 
02769 

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99999 
9.9999 

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99999 
99999 
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99999 
99999 
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99999 
99999 
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99999 
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99999 
28460 


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61 13 
4335! 
9993; 

0745; 


TABLE  Vï. 


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32.5 


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2i85 


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9^77 


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64ii 

8067 


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8666 

4082 


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99999 
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i8i38 
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99999 
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99862 
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99999 
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99999 
99999 
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99999 
99999 

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9  •  ^9^ 
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9981 

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99999 
99999 

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99999 

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99999 
99999 
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99999 
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99999 
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9960 
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99999 
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99999 
99999 
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6665 
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36.5 


37.0 


37.5 


08.0 


38.5 


39.0 


39.5 


40.0 


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000  „oooo 


,70921 
.02066 

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,98372 


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8406 
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. o3637 
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3432 
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6658 


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33oi 

4019 


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, 54606 
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7453 


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,09829 
,59796 
,59388 
,68670 


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,8o35i 
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,62212 
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,68233 


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974^ 
7114 


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•99756 
•99999 
•99999 
,04480 


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9974' 
•99S99 
•99999 
,04611 


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,99726 

•99999 
99999 

04746 


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,89946 
99709 
99999 
99999 
.04881 


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99999 
41887 


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3o47 
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•99692 
99999 
•99999 
,06019 


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99999 
56386 


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961 J 
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9787 
3871 


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•99999 
•99999 
,  o5i59 


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94370 


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,99666 

•99999 
•99999 
. o53o2 


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,77798 


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o53o 
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97o5|o 


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•99999 
•99999 
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99999 
67296 


7926 

^79' 
477' 
9666 

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7767 


.88426 
.99616 

•99999 
•99999 
06694 


39666 
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67456 

99999 
85647, 


635 1 

9095 
0496 

9479 
1860 


55a 


TABLE  Vr. 


Logc,c°,c«'°,c°°°,c= 


4o.5 


.81254 
.13386 
.66971 
.73737 
. 87269 


44160  3ii8 
3i688  3276 
69355  49^4 
8'524a  8465 

72573  4782 


4» 


09 
9 
7 

4 


,81694 

.14547 

,69316 

, 78427 
96649 


4i.5 


.82126 
•  1^697 
, 7 1 639 
, 83072 

• o5q39 


29168  3225 
53392  3322 
54361  2o32 

61664  5009 
2341 5  8026 
45717  4779 
i5i47  73 10 
20211  8164 
99332  7571 
q8752  334''. 


Lo^b,b°,b°°,b°°'',  K 


.88104  55i53 
•9,9593  99217 
•99999  52554 
■9S999  99399 
.05744  483o9 


6992 

3414 
7291 

9352 
i533 


42.0 


42.5 


,8965i 
,  i€835 
,73940 
,87675 
,i5i44 


08951  7436 
48482  655 p, 
33718  1465 
32921  2387 
65929  3209 


82968 
17962 
76220 
92235 
24265 


,87777 
•99571 
-.99999 
■9.9999 
,06895 


98629 

46799 
47144 

999.99 
47667 


Log 


c,  c  ,c 


00  „ooo  _«ooo 


2665 
1117 

465o| 
9166 

1199 


. 87445 

■99547 
.9.99.99 
•.99999 
o6o5o 


61424 
92626 
41177 

99999 
86139 


185044. 

'1.99 

3970 

9004 
ii6 


.87107 
,99623 

■99.9.99 
■999.99 
,06207 


34681 
52536 
34601 

99999 
66278 


435. 

9414 
6286 
8769 

4559 


.3.3460  36 18 
83836  3888  ,^ 
S2S44  21 19I9. 
92014  45409. 
8411 5  7805I0. 


86763 
99497 
99.999 
99999 
o6366 


08843 
62836 
27360 

.9.9.999 

90676 


1734 
0691 
3865 
8481 

5  601 


43°  o  9 
9 
7 
4 

9. 

9 
9 

7 
5 

9' 


43.5 


44.5 


,83378 
■19079 
78480 
96766 
333o6 


Logb,b'',b°°,b^°°,K. 


333o3  5o549 
5o6io  91809 
60816  io65 

02325  8876 

04732  6826 


80781 
20185 
80720 
01 236 
42267 


22o36  4207 
77219  4458 
98224  5844 
86903  2o56 
71893  36 1 5 


,84177 
.21281 
,82942 
,06679 
,5ii53 


12732  2069 
9 1 1 32  2034 
3ii2i  6924 
61 323  8982 
22734  7989 


.86412 
'994?^ 
■99999 
'99999 
.06628 


74638  3939 
79277  790*3 
19392  6697 
99999  8i3o 
6201 6  9396 


.86066 
■99442 
•99999 
■99.999 
,06692 


45. 


84666 
22368 
86145 
10085 

59964 


.84948 
,23444 
87330 
,14466 
68704 


i8oû3  2841 
18919  6442 
171 10  3354 
43880  9060 
87848  8779 
60021  6801 
86293  2427 
12255  4i8o 
46769  3947 
9160&  9324 


.86693 
•994"i3 
■.9.9999 
99.999 
06869 


22069  8667 
77664  8754 
io63i  8239 

99999  7701 
8oo63  3oi3 

3701 
7206 
6430 

7 '79 
8667 


40900 
53240 
oioo5 

9.9999 
56672 


.85324 
■99383 
■99998 
■99999 


0.07028 


205:^8 
o  1 682 
90435 
9.9999 
86789 


i683 
2620 
7p43 
6646 

7712 


8494« 
99351 
99998 
99999 

07200 


5002l 
l8oC)2 

78837 

99999 
73453 


6801 
4211 
3i66 
6776 
8176 


TABLE  VII. 

535 

6. 

o°o 
o.  1 

0.2 

0.3 
0.4 

0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1 .0 

f- 

Diff.  I. 

n. 

III. 

8 

9 
14 

'à 

25 

3i 

33 

39 
41 
48 

49 

65 
58 
61 
^7 
70 

75 
78 
83 
86 

95 

99 
101 
108 
110 
ii5 
118 
124 
127 

i3o 
i35 
140 
142 
148 

fl. 

f- 

Diff.  I. 

II. 

III. 

9"  0'  0*00000  00 
9.  0.  0.02427  02 
9.  0.  0.09708  08 
9.0.  0.21845  26 
9.  0.  0. 38832  65 
9.  0.  0.60676  39 

2427  02 
7281  06 
12135  18 
16989  39 
21843  74 
26698  27 

4854  04 
4854  12 
4864  21 
4854  35 
4854  53 
4864  76 

4»  5 

A-7 
4.8 

5.0 

9' 
9 
9 
9 
9 
9 

•  0' 49"  2 1668  67 
.  o.5i.43o68  40 
.  0.53.69444  79 
.  0.66.00729  71 
0.68.36916  09 
1 .  0.78002  89 

a. 21489  73 
2.26586  39 
2.31284  92 
2.36186  38 
2.41087  80 
2.46992  23 

4896  66 
4898  53 
1900  46 

4902  4'2 

4904  4- 
4906  47 

187 

^93 
196 
201 
204 
210 

21 3 

210 

223 
226 
229 

235 
23b 
243 
247 
260 

255 
-268 
264 
267 

270 

~^ 

9.8û 

284 
288 
294 
297 

3oc 
3o6 
3io 
3i4! 

3i8 
323 

327 
33i 
337! 
339! 

344 
35o 
552 

357I 

364! 
564  i 

374 

38o| 

9.  0,  0.87374  ^^ 
9.  0.  ^'ll^V^B 
9.0.  I .55o35  73 
9.  0.  1.96699  09 
9.  0.  2.42718  10 

3i653  o3 
36408  04 
41263  36 
46119  01 

60976  o5 

4856  01 

4865  32 

4866  65 
4856  04 
4866  45 

5.1 

5.2 

6.3 
5.4 
6.5 

5.6 
5.7 
6.8 

6.0 
6.1 
6.2 
6.3 
Q.4 
6.5 

9 
9 
9 
9 
9 

.  1.  3.23996  12 
.  1.  5.74893  82 
.  1.  8.30701  09 

1 . 10. q 141 9  06 
1.1 3. '67049  88 

2.60898  70 
2.66807  27 
2.60717  97 
2.65630  82 
2.70645  qc 

4908  57 
4910  7c 

49.2  85 

4916  0^ 

49 '7  3' 

49'9  6 
4921  9-- 

4924  3 
4926  7 
4929  2 

4931  7' 

4934  2f 

4936  8f- 
493g  5c 
4942  17 

1.2 
1.3 
1.4 
1.5 

1.6 

1.8 

»-9 
2.0 

a.  1 

2.2 

3.3 

2.4 

2.5 

9.  0,  2.93693  i5 
9.  0.  3.49524  65 
9.  0.  4- 102l3  08 
9.  0.  4.75758  93 
9.  0.  5.46162  75 

6583 1  5o 
60688  43 
66646  85 
70403  82 
76262  37 

4866  95 

4867  42 
4867  97 
4858  55 
4869  16 

9 
9 
9 
9 
9 

1 . 16.27696  78 
.  1 .  19.03069  01 
.  1.21.8344^  86 
.  1.24.68746  68 
.  1.27.68976  83 

2.75463  25 

2.8o382  85 
2.853c4  82 
2.90229  i5 
2.96165  91 

9.  0.  6.2i4'-j5  12 
9.  0.  7.01546  65 
9.  0.  7.86528  01 
9.  0.  8.763S9  90 
9  0.  9.71073  07 

80121  63 
84981  36 
89841  89 
94703  17 
99666  23 

4869  85 

4860  63 

4861  28 

4862  06 

4862  8q 

9 
9 
9 
9 
9 

.  i.3o.54i3i  74 
.  1.33. 64216  88 
.  1.36.699,33  76 
.  1.39.69184  90 
.  1  4^-84072  91 

3.00086  14 
3. 06016  87 
3.c9q6i  i5 
3.14888  01 
3. 19827  5i 

9.  0. 10.70638  3o 
9.  0. 11 .76066  42 
9.  0. 12.84358  29 
9.  0.13.98614  81 
9.  0.16.17536  93 

1.04428  12 
1.09291  87 
i.i4i'56  62 
1.19022  12 
1.23888  71 

4863  75 

4864  66 
4866  6c 

4866  69 

4867  6c 

6.7 
6.8 

6.9 

7.0 

9 
9 
9 
9 
9 

.  1.46. 03900  42 
.  1 .49.28670  10 
.  1.52.68384  65 
.  1.55.93046  84 
.  1 .59.32669  47 

3.24769  68 
3.29714  65 
3.34662  19 
3.39612  63 
3.44566  91 

4944  87 
4947  64 
4960  44 
4953  28 
4966  16 

2.6 

2.7 

2.8 

0.0 

9.  0.16.41426  ^4 
9.  0.17.70181  96 
9.  0.19,03806  ^4 
9.  0.20.42301  '71 
9.  0.21 .86667  41 

1.28766  3i 
1 .33624  99 

1.38494  77 
1.43365  70 
1.48237  81 

4868  68 

4869  78 

4870  93 

4872  I 1 

4873  35 

7-1 
7.2 
7.3 

7-4 
7.5 

7.6 

7-7 
7.8 

l-^ 
8.C 

9 
9 
9 
9 
9- 

.  a.  3.77226  38 
2.  G. 2.^747  45 
2.  9.81228  62 

2.13.40671  86 
2.17.06080  17 

3.49522  07 
3.54481  17 
3.69443  24 
3.64408  3i 
3.69376  4A, 

4969  IC 
1(962  07 
4965  07 
4968  i5 
4.97 ï  2- 

3.1 

3.2 

3.3 
3.4 
3.5 

9.  0.23.33906  22 
9.  0.24.87016  38 
g.  0.26.46002  16 
■9.  0.28.07863  86 
9.  0.29.76602  83 

i.53iii  16 
1.67986  78 
1.62861  70 
1.67738  97 
1 .72617  Q4 

4874  62 

4876  92 

4877  27 

4878  67 
4880  09 

9 

9- 

9 

9- 

9 

2,20.74456  61 
2.24.48804  28 

2. 2«. 281 26  32 
2 . 32 . 1 2426  9 1 
2.36.01706  28 

3.74347  67 
3.79322  04 
3.842q9  69 
3.89280  37 
3.94264  42 

4974  37 

4977  55 
4q8o  7S 
4984  c6 
4987  36 

4990  7^ 
4994  »2 

4997  ^^ 
0001   oS 
5oo4  58 

3.6 

3.7 

3.8 
4.0 

9.  o.3i .48220  47 
9.  0.33.26718  20 
9.  0  35.08097  5o 
9.  0. 36. 95359  87 
9.  0.38.87606  88 

1-77497  73 
i .82379  3o 

1 .87262  37 

1.92147  01 

1 . 97033  23 

4881  67 

4883  07 

4884  Q4 

4886  22 

4887  87 

i5o 
167 
16H 
«65 
168 
170 
.76 
181 
184 
187 

8.1 
8.2 
8.3 
8.4 
8.5 

8.6 
8.7 
8.8 

8-9 
9.0 

9- 

9 

9- 

9- 

9- 

2.39.96970  70 
2.43.96222  48 

'■^'47 -^^4^4  .99 
2.62.08701  62 
a.56.2''.q36  81 

3.99261  7^ 
4.04242  61 
4.09236  63 
4.\4'i^4  iq 
4. 19235  26 

4.. 
4.^ 
4.3 

4.5 

9 .  0 . 40 . 84540  1 1 
9.  0.42.86461  21 
9.  0.44.939.71  86 
9.  0.47.Ô4973  76 
9.  0.49.21668  ^j 

2.01Q21  10 

2.06810  65 
a . 1 1 70 i  90 
2. i65q4  91 
2.21489  73 

4889  55 
4891  26 

4893  01 

4894  82 
4896  ^£ 

9- 
9- 
9- 
9- 
9- 

3.  0.42171  06 
3.  4.66410  89 
3.  8.96668  87 
3.  i3. '29918  ^ 
3.17.69^93  84 

4.24<2'5g  83 
4.99247  2^ 
4.34269  77 
4.39376  20 
4.44294  35 

5oo8  i5 
5oi f  79 
5oi5  43 
6019  i5 
5o2a  89 

II 


534 


TABLE  VII. 


9"cH 

9-1 
9.2 

9.4 

9-6 
9-7 
9-8 

9-9 

0.0 


o.  1 
0,2 
0.3 
0.4 

o. 


0.6 
0.7 
0.8 
0.9 

.c 


.  1 

.2 

.3 

.4 

l5 
.6 

•7 
.8 

•9 
2.0 


2. 1 
2.2 

2.3 

2.4 

2j 
2.6 
2.7 
2.8 

0.0 


3.1 

3.2 

3.3 
3.4 
3.5 


3'i7''69iq3  84 
3.22.r34"88  iq 
3.26.62805  4'3 
3.3i .17149  36 
3.35.76523  83 
3.40.40932  71 


5.45. 10379  93 
3.49.84869  4e 
3.54.64405  33 
3.59.48991  58 
4.  4.38632  34 


4.  9.33331  75 
4. 14 -33094  00 
4.19.37923  34 
4.24.47024  06 
4.29.62800  49 


Diff.  I. 


4-44^34 
4.49317 
4.H^5 

4-^9^74 
4.64408 
4.69447 


4.34.82857  00 

4.40.07998  o3 
4.45.38228  04 
4.50.73551  54 
4-56. 13973  10 


1-59497  32 
7. 10128  86 


5. 

5- 

5.12. 65872  4^^ 
5.18. 26732  74 
5.23.92714  69 


5.29.63822  89 
5.35.40062  44 
5.4i'2i4>^8  21 
5. 47- 07955  17 
5.52.99618  35 


5.58.96432  82 
6.  4 -98403  72 
6.ii.o5536  19 
6. 17.17835  4? 
6.23.35306.82 


6.29.57955  55 
6.35.85787  01 
6.42.18806  63 
6.48.57019  85 
6.55.00432  18 


7.  1 .4Q049  18 
7.  8.09876  44 
7. 14. 61919  63 
7.21 .26184  4^ 
7.27.95676  60 


4.74489 
4.79535 
4.84586 
4.89640 

4-94^93 


35 
24 
93 
47 
88 
22 
■53 
87 

25 

76 
4i 


4.99762 
5 . 04829 
5.09900 
5.14976 
5.2oo56 


5.25i4i 
5 . 3o23o 
5.35323 
5 . 4042 1 
5.45524 


5.5o63i 
5.55743 
5.60860 
5.6.5981 
5.71108 


5.76239 
5.81375 
5.865i6 
5.91663 
5.96814 


25 

34 
72 

43 

11 
o3 
01 
5o 
56 
22 

54 
56 

32 

88 

55 
77 

96 
1 

47 


6.01970 
6.07132 
6. 12299 
6.17471 
6.22648 


6.27831 

6.33019 

6.38213 

6 . 434 1 2 

6.48617 

6 .  5382^ 

6 . 59043 

6.G49M 

6.69492 

6.74725 


II. 


5o22  89 

5o26  69 
5o3o  54 
5o34  4i 
5o38  34 
5o42  3 


5046  34 
5o5o  39 
5o54  5" 
5o58  65 
5062  84 


5067  09 
5071  38 
5075  71 
5o8o  08 
5o84  5q 


5o88  98 
5093  49 
5098  06 
02  66 
07  32 


12  02 
16  y6 
21  56 
26  39 
3i  28 


36  22 

4'  19 
46  22 
5i  29 
56  43 


61  57 
66  81 
72  07 
77  38 
82  73 


88  16 
93  60 

,  99  11 

5 204  67 

52IO  26 


521 5  93 

5221  6{ 

5227  37 
5233  17 
5239  02 


III. 


38o 
385 
387 
393 

397 
4o3 


4o5 

4l2 

4^4 

419 
425 


4^9 
433 

437 

444 
44e 


4^1 
457 
460 
466 

470 


474 
480 

483 
489 
494 

497 

5o3 

5o7 

5i4 

5i4 

524 

526 

53 

535 

543 

544 

55 

556 

559 

567 

568 
576 
58o 
585 
590; 


3°  5 
3.6 
3.7 
3.8 

3-9 
4.0 


4 

4.2 

4.3 

4.4 
4^5 

4.6 

4.7 
4.8 

4-9 

5.0 


5.1 

5.2 

5.3 
5.4 
5.5 


6. 

6.2 

6.3 

6.4 

6.5 


6.6 

^7 
6.8 

6-9 

7.0 


7-1 
7.2 

7.3 

7-4 

Zi5 
7.6 

7-7 
7.8 

7-9 
8.0 


7'  27^95676  60 
7.34.70401  94 
7.41 .5o366  3o 
7.48.35575  58 
7.55.26035  71 
8.  2.21752  71 


8.  9.22732  61 
8.16.28981  53 
8.23.4o5o5  60 
8. 30.573 11  o3 
8.37.79404  07 


8.45.06791  01 
8.52.39478  21 
8.59.77472  07 
g.  7.20779  o5 
9. 14.69405  64 


9.22.23358  41 
9.29.82643  97 
9.37.47268  98 
9.45.17240  i5 
9.52.92564  25 


.  0.73248  10 
,  8.59398  56 
,  16.50722  58 
,24.47^27  11 
,32.49719  19 


0.40.57305  9 

0.48.70294  4o 

0.56.88691  86 

.  5. i25o5  53 

. 13.41742  71 


.21 .76410  76 
.3o. i65i7  08 
.38.62069  14 
.47- i3o74  4^ 
.55.69540  59 


2.  4-3i475  19 
2.12.98885  94 
2.21 .71780  58 
s.3o.5oi66  90 
2.39.34052  76 


2.48.23446  07 
2.57. 18354  79 
3.  6.18786  95 
3 . 1 5 . 24750  63 
3.24.36253  96 


Diff.  I. 

74725 

79964 
85209 
90460 
95717 
00979 


7.06248 
7. 11 524 
7.16805 
7.22093 
7 . 27386 


7.32687 

7-37993 
7 , 433o6 
7.48626 

7.53952 

7.59285 
7.64625 

7-69971 
7.75324 
7.80683 


34 
36 
28 
i3 

00 

92 
92 
07 
43 
04 

94 
20 
86 
98 
59 
77 
56 
01 

17 
10 
85 


7.86o5o 
7.91424 
7.96804 
8.02192 
8.07586 


8.12988 
8.18397 
8.238i3 
8.29237 
8.34668 


8.40106 
8.45552 
8.5ioo5 
8.56466 
8.61934 


8.67410 
8.72894 
8.78386 
8.83885 
8.89393 


46 
02 
53 
08 

lî 
49 

46 

67 

1 

o5 

32 

06 

3i 

14 

60 

75 
64 

32 

86 
3i 


II. 

5239 
5244 
525o 
5256 
5262 
5269 

bayb 
5281 
5287 
5293 
53oo 

53Ô6" 

53i3 

53i9 

532*6 

5352 

5339 
5346 
5352 
5359 
5366 

5373" 

538o 

5387 

5394 

5401 

54Ô8" 

5416 

5423 

5430 

5438 

5445" 

5453 

5460 

5468 

5476_ 

5483 

5491 

5499 

5507 

55 1 5 


02 

92 
85 
87 

90 
02 

75 
36 
6 

26 

12 
6 


8.94908 
9 . 00433 
9.05963 
9.11 5o3 
9. i7o5i 


72  559,3 
i6  553i 
68  5539 
33  554i7 
5556 


79 

45 
16 

93 
75 
61 

56 
5i 
55 
64 

11 

97 
21 

5i 

87 

74 

23 

83 
46 
\b_ 

89 
68 

54 
45 

4i 

52 

65 
85 


m. 


590 
602 

6o3 
612 
6i3 
621 
625 
629 
636 
_64o 
646 

H9 
657 
661 
666 
671 
677 
682 
686 
695 
695 
704 

709 
713 

720 

724 

730 

736 

740 

747 

75i 

758 

763 

7^9 
774 

779 
786 

79^ 
796 
8o3 

808 
8i3 
820 
826 
83o 


« 

TABLE  VII, 

55! 

> 

e. 

i8°o 

18.1 

l8.2 

18.3 
18.4 

18.5 
18.6 

18.7 

18.8 

18.9 

19.0 

<p. 

Diff.  I. 

II. 

III. 

e. 

f. 

Diff.  I. 

IL 

m. 

9° 
9- 
9- 
9- 
9- 
9- 

1 3' 24"  36253  96 
i3.33.533o5  i4 
13.42.76912  43 
i3. 52. 04084  i3 
14.  1.37828  62 
14. 10.77154  32 

9,17061  18 
9.22607  29 
9.28171  70 
9.33744  49 
9.39326  70 
9.449»5  40 

5556  11 
5564  41 
6672  79 
558 1  2"i 
5589  70 
6698  25 

83o 
838 
842 
85i 
856 
860 

22°5 
22.6 
22.7 
22.8 
22.9 
23.0 

9°2i'  i3''3ioii  14 
9.21 .25.07178  22 
9.21.36.89336  63 
9.21.48.77497  56 
9.22.  0.71672  26 
9.22.12.71872  07 

11 .76167  08 
u. 82168  41 
11.88160  93 
11.94174  70 
12.00199  81 
12.06236  32 

6991  33 
6002  62 
60 i3  77 
6026  1 1 
6o36  5i 
6c47  99 

1119 
1 125 
1134 
1140 
1148 
11 53 

1160 
1169 
1 176 
1184 
1 192 

9- 
9- 
9- 
9- 
9- 

14.20.22069  72 
14.29.72583  37 
14.39.28703  87 
14.48.90439  88 
14.58.57800  i3 

9.6061 3  65 
9.66120  60 
9.61736  01 
9.67360  25 
9.72993  28 

56o6  85 
56 1 5  5i 
6624  24 
5633  o3 
5641  86 

866 
873 

879 
883 
891 
896 

903 

909 
9»4 
922 

23.  1 
23.2 

23.3 

23.4 

23.5 
23.6 
23.7 
23.8 
23.9 
24.0 

9.22.24.78108  39 
9.22.36.90392  70 
9.22.49.08736  53 
9.23.  1 .33i5i  5i 
9.23.13.63649  33 

12. 12284  ^1 

12.18343  83 
12.24414  98 
i2.3o497  82 
12.36692  42 

6069  62 
6071  i5 
6082  84 
6094  60 
6106  44 

19.. 

19.2 

19.3 

19.4 
19.5 

19.6 

19.8 
19-9 

20.0 

9- 
9- 
9- 
9- 
9- 

i5.  8.30793  41 
15.18.09428  55 
15.27.93714  46 
i5. 37.83660  10 
15.47-79274  5o 

9.78635  14 
9.84285  91 
9.89946  64 
9.95614  4c 
10.01292  26 

565o  77 
5659  75 
5668  76 
5677  86 
5686  99 

9.23.26.00241  76 
9.23.38.42940  61 
9.33.60.91757  83 
9.24.  3.46706  38 
9.24. 16.07796  33 

12.42698  86 
13.48817  22 
12.64947  65 
12.61089  9^ 
12.67244  48 

6118  36 
61 3o  33 
6142  40 
6164  53 
6166  75 

1^97 
1207 

12l3 

1222 
1228 
1236 

1244 
1261 
1261 
1266 

9- 
9- 
9- 
9- 
9 

1 5. 57.80566  75 
16.  7.87545  99 
16.18.00221  44 
16.28.18602  37 
16.38.42698  11 

10.06979  24 
10.1 2676  45 
io.i838o  93 
10.24095  74 
10.29819  96 

6696  21 
6706  48 
6714  81 
6724  21 
0733  6G 

9V 
933 

94c 
945 
953 

968 
966 
971 

985 

24. 1 
24.2 
24.3 
24.4 
24.5 
24.6 
24.7 
24.8 
24.9 
26.0 

9.24.28.76039  81 
9.24.41.48461  04 
9.34.54.28041  3o 

9.26.  7. l3822  96 

9.26.20.06808  43 

12  73411  23 
12.79690  26 
12.85781  65 
12.91986  48 
12.98201  82 

6179  f 
6191  39 
6203  83 
6216  34 
6228  96 

20.  1 
20.2 
20.3 
20.4 

20.5 

9 

9- 

9 

9 

9 

16.48.72618  06 
16.69.08071  67 
17.  9.49368  47 
17.19.96418  04 
17.30.49230  o3 

10. 35653  61 
10.41296  80 
10.47049  57 
10.6281 1  99 
10.68684  12 

5743  19 
6762  77 
6762  42 
6772  i3 
6781  91 

9.26.33.04010  25 
9.25.46.08441  02 
9.26.69. 191 i3  39 
9.26. 12.36040  12 
9.26.26.69234  o3 

1 3. 04430  77 
i3. 10672  37 
i3. 16926  73 
i3. 23193  91 
13.29474  00 

6241  60 
6264  36 
6267  i8 
6280  09 
6293  07 

1276 
1282 
1291 

■=98 

1006 
i3i6 

l320 

i333 

1337 
i347 

1354 
i366 

i38o 
i388 
1396 
1406 
i4i3 
1423 
i43o 

1440 

'447 

.458 

.465 

1476 

20.6 
20.7 
20.8 
20.9 
21  .0 

21  .  1 
21  .2 
21.3 
21  .4 
21  .5 
21  .6 
21  .7 
21.8 
21.9 
22.0 
22.  1 
22.2 
22.3 
22.4 

2a.  5 

9 
9 
9 
9 
9 

17.41 .07814  i5 
17.61 .72180  18 
18.  2.42337  97 
18.13.18297  42 
18.24.00068  49 

10.64566  o3 

10.70157  jq 

10.76969  4'5 

10.81771  07 
10.87692  73 

6791  yG 
58oi  66 
58ii  62 
5821  66 
583 1  77 

990 

996 

1004 

101 1 

1016 

25.  1 
25.2 

25.3 
s5.4 
25.6 

25.6 
26.7 
25.8 
26.9 
26.0 

9.26.38.88708  o3 
9.26.62.24476  10 
9.27.  6.66548  3o 
9.27.19.14940  79 
9.27.32.69666  77 

13.36767  07 
13.42073  20 
13.48392  4^ 
13.64724  98 
13.61070  80 

63o6  i3 
63i9  29 
6332  49 
6346  82 
6359  19 

9 
9 
9 
9 
9 

18.34.87661  22 
18.45.81086  72 
i8.56.8o352  14 
19.  7.85470  72 
.19. 18.96451  76 

10.93424  5o 
10.99266  42 
11.06118  58 
11.10981  04 
11.16863  86 

584 1  9-'' 
6862  '16 
6862  46 
6872  82 
6883  26 

1024 
io3o 
io36 
1044 

io5o 

9.27.46.30736  57 
9.27.69.98166  66 
9.28. 10.71969  21 
9.28.27,52168  06 
9.28.41.38746  76 

13.67429  99 
13.73802  65 
i3. 80188  85 
1 3. 86588  70 
1 3. 93002  26 

6372  66 
6386  20 
6399  85 
641 '3  66 
6427  36 

6441  24 

6455  20 
6469  26 

6483  3q 
6497  69 

9 
9 
9 
9 
9 

. 19  3o. i33o5  6p 
. 19.41 .36042  74 
.19.52.64673  62 
.20.  3.99208  82 
.20. 16.39668  97 

11.22737  12 
11.28630  88 
1 1 .34535  20 
11.40460  i5 
11.46376  82 

5893  76 
6904  32 
5914  95 
5925  67 
6936  45 
5947  27 

6968  19 

6969  16 

5980  2) 

6991  35 

io56 
io63 
1072 
1076 
1084 
1092 
1097 
1 106 
1 1 12 

26. 1 
26.2 
26.3 
26.4 
26.6 
26.6 
26.7 
26.8 
26,0 

9.28.55.31749  02 
9.29.  9.31178  64 
9.29.23.37049  5o 
9.29.37.49375  56 
9.29.61 .68170  88 

i3.9q429  62 
14.06870  86 
14. 12326  06 
14.18796  32 
14.26278  71 

9 
9 
9 
9 
9 

.20.26.86034  79 
.20.38.38347  04 
.20. 49 -96606  56 
. 21 .  1 .60824  27 
.2i.i3.3ioii  14 

11.62312  26 
1 1 .68269  62 
1 1 . 643 1771 
11.70186  87 
Il .76167  08 

9.30.  6.93449.69 
9.30.20.26226  92 
9.30.34.63514  "17 
9.30.49.08328  74 

9.31.  3.69684  10 

14.31776  33 
14.38288  26 

i4-44^i4  67 
14.61066  36 
14.67910  73 

.6611  92 
6626  32 

6640  7Q 
6555  37 
b'570  02 

1119 

27.0 

. 

556 

TABLE  VII. 

97"  o 

ç. 

DifF.  I. 

II. 

III. 

.476 

9. 

<P. 

Diff.  I. 

II. 

m. 

9°3i'  3"  59684  10 

14-57910  73 

6670  02 

3i''5 

9°  43'  6"  93087  70 
9.43.24.62586  46 

^iMA^i  76 

7329  o5 

igSo 

27, 1 

9.31.18.17594  83 

14.64480  75 

6684  78 

1482 

3i.6 

17.76826  81 

7348  35 

1939 

37.2 

9.31.32.82075  58 

14.71065  53 

6699  60 

1492 

5i.7 

9.43.42.39412  27 

17.84176  16 

7367  'jA 

1962 

37.3 

9.31.47.53141  11 

14.77665  i3 

66i4  52 

l502 

3i.8 

^.A^,   0.2358743 

17.91542  90 

7387  26 

1966 

"^^T-A 

9.3a.  2.3o8o6  24 

14.84279  65 

6629  54 

i5io 

31.9 

9.44. 18. z5i3o  33 

17.98950  16 

7406  91 

1976 

27.5 
37.6 

9 .  32 . 1 7 . 1 5o85  89 

14.90909  19 

^Ç^ÀA  ^4 

1620 
.528 

32. c 
32.1 

9.44-36. 14060  49 

i8.o6'337  07 

7426  ^-j 
744S  62 

1986 
2001 

9.33.32.05995  08 

14.97555  83 

6669  84 

9. 44 .54 .20397  56 
9.45.12.34161  3o 

18.13763  jA 

27.7 

9. 33. 47. 03548  91 

15.0421 3  Ç>'j 

6676  19 

1537 

19.9 

18.21210  26 

jA,^^   53 

3009 

27.8 

9.33.  a. 07762  58 

i5. 10888  79 

6690  49 

i548 

)9.Û 

9.45.30.55371  56 

18.28676  79 

7486  62 

2026 

27.9 

9.33.17.18651  37 

i5. 17579  28 

6706  97 

.566 

32.4 

9.45.48.84048  35 

i8.36i63  4"i 

7606  87 

2o34 

28.0 

9.33.33.36330.65 

15.24385  y5 

6721  53 

i566 

39.5 

52.6 

9.46.  7.20211  76 

18.43670  28 

7627  21 

2o4g 

28.1 

9.33.47.6051 5  90 

i5.3ioo6  78 

6737  19 

1674 

9.46.26.63882  04 

'8-61197  49 

7547  70 

2067 

28.9 

9.34.  2.91523  '^% 

15.37745  97 

6762  93 

i585 

-)2.7 

9.46.44.16079  53 

18.58745  19 

7668  27 

2074 

38.3 

9.34. 18.29266  65 

15,44496  90 

6768  78 

1693 

52.8 

9.47.  2.73824  72 

i8.663i3  ^<^ 

7689  01 

2084 

28.4 

9.34.33.73763  55 

i5.5i265  68 

6784  71 

1606 

52  .9 

9.47.21.40138  18 

.8.73909  47 

7609  85 

2097 

28.5 
28.6 

9.34.49-25029  23 

i5.58o5o  39 

6800  77 

161 1 
1623 

13.0 

33.1 

9 . 47 . 40 . 1 4040  65 

18.81612  32 

7630  82 

2111 

9.35.  4 -83079  62 

i5. 64851  16 

6816  88 

9.47.58.95562  97 

18.89143  14 

7661  93 

2120 

38.7 

9.35.20.87930  78 

15.71668  04 

6833  11 

i633 

33.9 

9.48. 17.84696  1 J 

18.96796  07 

7673  i3 

2i36 

28.8 

9.35.36.19598  83 

15.78601  i5 

6849  AA 

1642 

33.3 

9.48.36.81491  18 

19.04468  20 

7694  49 

9l4« 

28. .q 

9.35.51 .98099  97 

I 5.85350  69 

6865  86 

i65i 

33.4 

9.48.55.86969  38 

ig. 12162  69 

771^  .97 
7737  58 

2l6l 

29.0 
29.1 

■9.36.  7.834'5o  56 

16.92916  45 

6882  37 

1664 

33.5 

9.49.14.98122  07 

19.19878  66 

2173 

9.36.23.75667  01 

16.99098  89 

6899  01 

1669 

53.6 

9.49.34. 18000  'jt) 

19.27616  2417769  3i 

2188 

29.2 

9.36.39.74765  83 

16.06997  83 

6916  70 

1684 

33.7 

9.49.53.45616  97 

1 9  35376  65 

7781  19 

2198 

29.3 

9.36.55.80763  66 

16. 12913  53 

6932  54 

1691 

33.8 

9.60. 12.80992  62 

19.43166  74 

7803  17 

22l5 

29.4 

9.37.11.93677  19 

16.19846  07 

S949  45 

i7o5 

33.9 

9.60.32.24149  26 

19.60969  gi 

7826  32 

2227 

29.5 

9.07.28. i3523  26 

16.26796  62 

6966  48 
6983  69 

1711 
179" 

14.0 
34.1 

g.5o.5i .76109  17 

19.68786  23 

7847  59 

2239 
2253 

99.6 

9.37.44.40318  78 

16.33769  oc 

9.61. 11 .33894  40 

1  g. 66632  82 

7869  98 

29-7 

9.38.  0.74080  78 

16.40745  69 

7000  82 

173? 

54.2 

g.5i .3i .00627  22 

1  g. 74602  80 

7892  5i 

2268 

29.8 

9.38.17.14826  37 

16.47746  41 

7018  i5 

174' 

54.3 

9.61 .60.76030  09 

ig.823g5  3i 

7916  19 

2281 

29-9 

9.38.33.63572  78 

16.54764  56 

7035  56 

1766 

34.4 

g. 62. 10.67426  35 

ig.go3io  5o 

7938  00 

2296 

3o.o 

9.38.50.17337  34 

16.61800  12 

7053  12 

176?^ 

54.5 

9.62.30.47735  83 

19.98248  5o 

7960  96 

2309 

2392 

3o.i 

9.39.  6.79137  47 

16.68853  «5 

7070  76 

1774 

A,.^ 

9.62.50.46984  33 

20.06209  45 

7984  04 

3o.2 

9.39.23.47990  72 

16.76924  00 

7088  49 

1786 

54.7 

9.53. 10.62193  78 

90.14193  A,^ 

80C7  96 

9335 

3o.3 

9.39.40.23914  72 

i6.83oi2  49 

7106  35 

1795 

^4.8 

9. 63. 3o. 66387  27 

90.99900  75 

8o3o  61 

935 1 

30.4 

9.39.67.06927  21 

16.90118  84 

7124  3o 

1807 

^4.9 

9.53.50,88688  09 

90.3023l  36 

8054  12 

2368 

3o.5 
3o.6 

9.40.13.97046  o5 

16.97243  14 

7143  37 
7160  65 

1818 
1896 

35.  c 

9.54.11.18819  38 

20. 38985  48 

8077  80 

2378 
2394 

9.40.30.94989  iq 

17.04385  5i 

35. 1 

9.54.31.67104  86 

20. 46363  28 

8101  68 

3o,7 

9.40.47.98674  70 

17.1 1646  06 

7178  81 

1840 

35.9 

9.54.62.03468  14 

20.54464  86 

8126  52 

2406 

5o.8 

9.41.  5. 10220  76 

17. 18724  87 

7197  21 

i85o 

35.3 

9.55.12.67933  00 

20.62690  38 

8149  68 

2495 

^0.9 

9.41.28.28945  63 

17.26922  08 

7216  71 

1869 

35.4 

■9.55.33.20623  38 

20.70739  96 

8173  83 

2438 

5i.o 

9.41.39.54867  71 

17.33137  79 

7234  33 

1879 
.889 

35.5 

^5.6 

9.55.53.91263  34 

20.78913  79 

8198  21 

2462 

3i.i 

9.41 -56.88oo5  5o 

17.40572  12 

7253  o5 

9.66.14.70177  i3 

20.871 12  00 

8292  73 

9467 

3i  .2 

9.42. 14.28377  62 

17.47626  17 

7271  87 

1896 

36.7 

9.56.35.67989  i3 

20. 96334  73 

8247  40 

2483 

3r.3 

9.42.31 .76002  79 

i7.548q7  04 

7990  83 

1906 

35.8 

9.66.56.5962'3  86 

2i.o3582  i3 

8973  23 

2498 

3i.4 

9.43.49-30899  83 

17.62187  87 

7509  89 

1916 

35  9 

9.67. 17.66205  99 

21 . 11854  36 

8997  21 

25l4 

3i.5 

9.43.  6.93087  70 

17-69497  7S 

7329  c5 

1930 

36. 0 

9.67.38.68060  36 

21.20l5l  67 

8322  35 

2627 

TABLE  VII. 


557 


=i7i 


36"  o 
36.1 
36.2 

36.3 
36.4 
36.5 

36 

36.7 

36.8 

36.9 

37.0 

W- 

37.2 

37.3 

37.4 
37^5 

37. 

37- 
37. 

38. 


38.1 

38.2 

38.3 

38.4 

38.5 

38 

38.7 

38.8 

38.9 

3q.o 

3:r 
39.2 

39.3 

39.4 

39 


39.61 

3,q-7 
[39.8 

' 40 . 1 j 
;4o.2j 

!4o.3l 

Uo.4' 

140.5, 


?• 


9"  5/ 

9.58 
9.58, 
9-59. 
9-5.9  • 


38" 68060 
69.88211 
2i.i6685 
42 . 53507 
3.98701 
25.529,96 


35 
92 

84 
38 

%1 
21 


9-59 
o.  o 
o.  o 
o.  o 
o.    1 


47.14312 

,  8.84780 

3o . 63726 
62.51172 
.4.47148 


o.    1 

o.    1 

o.     2 

O.     2 

o.  3 


.  36 . 5 1 679 
68.64793 
,20.865 16 
,43.16875 
.  5.55897 


86 
83 
i8 

^4 

10 

"61 

39 
3i 

4'. 
93 


Diff.  I. 


67 


II. 


92 

54 


24 
65 


8322 


.20l5l 

.28473 
.36821 

.45194  6918398 
,53593     ■ 

, 6yoi7 


o.  3. 

o.  3. 

o.  4. 

o.  4. 

o.  4 


28.o36ii 
5o . 60042 
i3. 26220 
55.99172 
58. '81935 


o.  6. 

o.  5. 

o.  6, 

o.  6. 

o.  6, 


21 .70609 
44.73962 
7.83281 
3i .01627 
64.28718 


o.  7 
o.  7 
o.  8 
o.  8 
o.  8 


.17.64883 
,41 • 10061 
.  4.64253 
,28.37616 
,61.99873 


21 , 
21 . 
21 . 
21 . 
22. 


70467 
78944 
87446 
96976 

0453 1 


22. 

23. 
22. 
22. 
22. 


i3i  10 

21722 

3o359 

39022 
47713 


22. 
22. 
22. 
22. 
23. 


o.  9 

O.  9 
0. 10 

O.  10 

o.  10 


i5.8i35i 
39.71983 
,  3.71798 
.27.80836 
.51.99099 


o.  1 1 

o.  11 

o.  la 

o.  12 

o.  12 


,16.26648 
,40.63604 
.  5.09698 
,29.66261 
64.30227 


o.i3. 
o.i3, 
o.  14, 
o,  14. 
o.  14. 


19.04626 
43.88491 
8.81854 
33.84748 
68.97206 


42 
i5 

87 
67 

32 
23 

98 

h. 

4G 
42 
67 
81 

69 


66431 
66177 
73961 
82^53 
91 583 


78 

93 
1 1 

61 

63 
68 
61 
62 


8476 
85o2 
629 
8565 
8682 

8609" 
8636 
8663 
8690 
8718 


23. 
23. 
23. 
23. 
23, 
23. 
23, 
23. 
23 
25. 


0044^ 
09339 
18245 

27190 
36164 


45168 

54201 
63263 
73366 
81478 


23. 
23. 

24. 

24. 

24. 
24, 
24. 
24, 
24, 
24 
24, 
26. 
26, 

25, 


90631 

99814 
09028 
18373 
27548 


36855 
46193 
56563 
64965 
74399 


8347 

8373 


8424 

8460 


8746 

8773 

8802 

883o 

8858^ 

8887 

8916 

8944 

8974 

9003 


9032 
9062 
9092 
9122 
9162 


9183 
93i3 

9344 
9276 
9306 


83864 
93363 
02894 
12467 
22064 


9338 
9069 
9401 
9433 

q465 


m. 


26  27140°  6 
2543140 . 6 
256oï-4o.7 
3676 
3591 


3606 


2633 
3639 

265'6 

3672 

688 


3703 
2733 
>.738 
3766 
2771 


2788 

3&  " 
2823 
3845 

2856 


2879 
2894 
29*14 
2931 
2949 


2968  43 . 


3986 
3oo6 
5o37 
3o43 


3o6 
3o83 
3098 
3 123 
3i4i 


3i58 
3i8 
3  900 


40.8 
40.9 
4i  .0 


4i.i 
4i  .3 
4i.3 

41.4 
41.5 


4i.6 

41.7 
4i.8 
41.9 

49.  G 


49. 
42. 
42. 
42.4 

4a. 5 

4^ 
49.7 
42.8 
42.9 
43.0 


43 
43.3 

^^•^ 

5 


43.6 

43.7 
43.8 
43.9 
44.0 


q4q8 
9630 

9563 
9696 
9630 


44- • 

44-3 
3223144.4 
3240844  •  5 
3a6"oj44.6 
3385144.7 
33o4f44.8 

3325Ï44.9 
3347*45.0 


58"972o6 
24. 19361 
49  50946 
14.92294 
40 . 43339 
6.041 i5 


, 3 1 . 74667 
,57.54998 
,23.46173 
,49.46317 
,i5.55i65 


0.19 

0.30 
0.20 
O.  21 
0.21 


,41 .76062 
,  8.04913 
,34.44786 
.  0.94702 
,27.54702 


0.21 
0.22 
0.29 
0.23 
0.93 


54.24821 
21-.  06096 
,47.96561 

,42.07218 


0.24 
0.24 
0.26 
0.26 
0.26 


,  9.28483 
36.60091 
,  4 -02079 
31.54486 
,69.27349 


0.26, 
0.26. 
0.27, 
0.27. 
0.28. 


26.90709. 
54-74^^3 
22.69072 
60.741 55 
18.89891 


0.28. 
o .  29^. 
0.29. 

o-.3o. 
o.3o. 


47. l6323 

16.53487 
44-01427 
12. 601 83 
41 .29796 


10 

07 

17 
35] 
84 


o.3i . 
o.3i, 

0.32. 
0.32. 

0.33, 


10.1 o3o9 
39.01762 

8.04197 
37.17668 

6.49187 


o.i)3 
0.34, 
0.34. 

0.35. 
0.35. 


35.77826 
5.24619 

34.82609 
4.5i84i 

34.32358 


19 

19 

90 
68 

11 
33 
38 
85 


DifF.  I. 


26. 

25. 

26, 
26. 
26, 

25, 

96. 

25, 

26. 
26. 
26. 
26. 
36, 
26. 
26. 
26. 

26. 
36. 
27, 
27, 

27, 


22064  66 
3 1684  69 
41348  ,9 
61045  34 
60776  39 
70641  56 


8c34i  08 
90176  lA 
00043  96 
09947  78 
19886  84 


29861  36 
39871  54 
49917  65 

59999  9c 
701 18  55 


80273  82 
90465  96 
00696  1 8 
10961  76 
21266  92 


,31607  95 
41988  o5 
62406  ,  ' 
628^-3 
73369  38 


83894  37 
94458  71 
06082  67 
16736  5 
26430  63 


,37ib4  97 
.47940  \o 
,68766  18 
, 6q6i3  49 
.80612  35 


98, 
99, 

^9 

29, 

99. 

29, 

52  3a. 

5o  ^ 


91453  00 
0P435  72 
13460  78 
94628  4q 
35639  1 6 


46793  o5 
67990  46 
69331  Ç^'j 
8o5i6  98 


II.    III. 


9834 
9868 
9903 
9.9-39 
9974 


0193 
0329 
0366 
o3o4 
0349 


173786 


0D74 
:o6i3 
o653 
0694 
0734 
0775 
0816 
10867 
10898 
1 0940 


10982 
1026 
1067 
1110 
11 53 


,  .'9br 
î  5988 
(4oi8 
24^42 
\  4069 


86  4179 
664207 
724234 
064265 
71  4296 
^'j  43iî2 
89  {456  2 
4i'4'^8o 
4410 


mm 


558 

TABLE  VIII. 

8. 

E(45«). 

DifF.  I. 

II. 

III. 

IV. 

V. 

0.78539  81 633  97 

2  17326  22 

4  34449  ^1 

608  4q 

4o5  49 

22 

1 

0.78537  64307  75 

6  51775  83 

4  33841  12 

ioi3  98 

4o5  27 

39 

2 

0.78531  i253i  92 

10  856i6  95 

4  32827  ^4 

1419  25 

4o4  88 

39 

3 

0.78530  26914  97 

i5  18444  09 

4  31407  89 

1824  i3 

404  49 

60 

4 

o.785o5  08470  88 

19  49851  98 

4  29583  'fi 

2228  62 

4o3  89 

57 

5 
6 

0.78485  586 1 8  90 

2^  79435  74 

4  27355  14 

2632  5i 

4o3  32 

89 

0.78461  79183  16 

28  06790  88 

4  24722  63 

3o35  83 

402  43 

74 

7 

0.78433  72392  28 

32  3i5i3  5i 

4  21686  80 

3438  26 

401  6s 

1  06 

8 

0.78401  40878  'j'j 

36  53200  3i 

4  18248  54 

3839  95 

400  63 

1  09 

9 

0.78364  87678  /^^ 

40  71448  85 

4  14408  59 

4240  58 

399  54 

1  20 

lO 

0.78324  16229  61 

A4  85857  A4 

4  10168  01 

4640  12 

398  34 

1  41 

11 

0.78279  30372  17 

48  96025  45 

4  05527  89 

5o38  46 

396  93 

1  44 

12 

0.78230  34346  72 

53  01 553  34 

4  00489  43 

5435  39 

395  49 

1  68 

i3 

0.78177  32793  38 

57  02042  77 

3  95o54  04 

583o  88 

393  81 

1  75 

i4 

0.78120  3o75o  61 

60  97096  81 

3  89223  16 

6224  69 

392  06 

1  97 

i5 

0.78059  33653  80 

64  863 19  97 

3  8C.998  47 

6616  75 

390  09 

2  07 

i6 

0.77994  47333  83 

68  69318  44 

3  76381  72 

7006  84 

388  02 

2  33 

17 

0.77925  78015  39 

72  4^7^^^   16 

3  69374  88 

7394  86 

385  69 

2  42 

i8 

0.77853  323i5  20 

76  i5c75  ©4 

3  61980  02 

7780  55 

383  27 

2  69 

ï9 

° -77777   17240  19 

79  77c55  06 

3  54199  47 

8i63  82 

38o  58 

2  84 

20 
21 

0.77697  40185  10 

83  31254  53 

3  46o35  65 

8544  4o 

377  74 

3  i3 

0.77614  08900  60 

86  77290  18 

3  37491  25 

8922  14 

374  61 

3  28 

22 

0.77527  3 1640  42 

90  14781  43 

3  28569  1 1 

9296  75 

371  33 

3  58 

23 

0.77437  i6858  99 

93  4335o  54 

3  19272  36 

9668  08 

367  75 

3  85 

24 

0.77343  73508  45 

96  62622  90 

3  09604  28 

ioo35  83 

363  90 

4  08 

25 

2b^ 

0.77247  io885  55 

99  79227  18 

2  99568  45 

10399  73 

359  82 

443 

0.77147  38658  37 

102  71795  63 

2  89168  72 

10759  55 

355  39 

478 

27 

0.77044  66862  j/^ 

io5  60964  35 

2  78409  17 

11114  94 

35®  61 

4  92 

28 

0.76939  05898  39 

io8  3.9373  5a 

2  67294  23 

11465  58 

345  69 

5  54 

29 

0.76830  66524  87 

m  06667  75 

2  55828  65 

ii8u  27 

340  i5 

5  75 

3o 
3i 

0.76719  59857  12 

11 3  62496  40 

2  44017  38 

i2i5i  42 

334  40 

6  i5 

0.76605  97360  72 

1 i6  o65]3  78 

2  3i865  96 

12485  82 

328  25 

669 

32 

0.76489  90846  g4 

118  38379  74 

2  19380  i4 

12814  07 

321  56 

7  01 

33 

0.76371  '52467  20 

120  57759  88 

2  o6566  07 

i3i35  63 

3i4  55 

7  59 

34 

0.76250  94707  32 

122  64325  95 

1  93430  44 

i345o  18 

3o6  96 

8  08 

35 
36 

0.76128  3o38i  37 

124  57756  39 

1   79980  26 

13757  14 

298  "88 

8  55 

0.76003  72624  98 

126  37736  65 

1  66223  12 

i4o56  02 

290  33 

9  ï9 

37 

0.75877  34888  33 

128  03959  77 

1  52167  10 

14346  35 

281  14 

978 

38 

0.75749  3oq28  56 

129  56126  87 

1  37820  75 

14627  4g 

271  36 

10  36 

39 

0.75619  74iBoi  69 

i3o  93947  62 

1  23193  26 

14898  85 

261  00 

Il  12 

40 
41 

0.75488  80854  07 

i32  17140  88 

1  08294  41 

i5i59  85 

249  88 

11  71 

0.75356  63713  19 

i33  25435  29 

93i34  56 

15409  73 

238  17 

12  5l 

42 

0.75223  38277  90 

i34  18569  85 

77724  83 

i5647   90 

225  66 

i3  33 

43 

0.75089  19708  o5 

134  96294  68 

62076  93 

15873  56 

212  33 

14  01 

44 

0.74954  20413  37 

i35  58371  61 

46203  37 

i6o85  89 

198  32 

14.93 

45 

0.74818  65o4i  76 

i36  04574  98 

30117  48 

16284  21 

i83  39 

i5  79 

TABLE  Vin 

♦ 

559 

fl. 

0« 

F  (45"). 

DifF.I. 

II. 

III. 

IV. 

V. 

YI. 

0.78539  81 633  97 

2  17336  56 

4  34594  14 

237  j5 

169  11 

1  44 

59 

1 

0.78541  98970  53 

6  61930  70 

4  34356  99 

396  26 

160  55 

2  o3 

69 

a 

0.78548  50901  23 

lo  86287  69 

4  33960  73 

656  81 

162  68 

2  72 

43 

'6 

0.78559  37188  qa 

i5  20248  42 

4  334o3  q2 

7^9  39 

i65  3o 

3  i5 

73 

i 

0.78574  57437  ^4 

19  53652  34 

4  32684  53 

884  69 

168  45 

3  88 

59 

0 . 78594  1  «  089  68 

23  86336  87 

4  31799  84 

io53  14 

172  33 

4  47 

53 

6 

0.7B617  ^7^'^^   55 

28  i8i36  71 

4  30746  70 

1226  47 

176  80 

5  00 

68 

7 

0.78646  i5563  26 

32  48883  41 

4  29621  23 

1402  27 

181  80 

5  68 

60 

8 

0.78678  Qj{44io  Qj 

36  78404  64 

4  28118  ç)Q 

1684  07 

187  48 

6  28 

63 

9 

0.78715  4285i  3i 

41  06623  60 

4  26534  89 

1771  55 

193  7^ 

6  91 

6i 

lO 

11 

0.78756  ^QiZji  91 

46  33o58  49 

4  24763  34 

1966  3i 

200  67 

7  62 

68 

0.78801  82433  40 

49  67821  83 

4  22798  o3 

2i65  98 

208  19 

8  20 

60 

12 

0.78851  40255  23 

63  80619  86 

4  20632  06 

2374  17 

216  39 

8  80 

6a 

i3 

0.78905  20875  09 

58  01261  91 

4  18267  88 

2690  56 

226  19 

9  42 

80 

'^ 

0.78963  22127  00 

62  19609  7^ 

4  16667  32 

2816  76 

234  61 

10  22 

4^ 

i5 

0.79025  41636  79 

QS  'ôbi'j'j   11 

4  12861  67 

3o5o  36 

244  83 

10  68 

76 

i6 

0.79091  76813  90 

70  48028  68 

4  09801  21 

3296  19 

266  61 

11  44 

73 

17 

0.79162  24842  58 

74  57829  89 

4  o65o6  02 

355o  70 

266  96 

12  17 

53 

18 

0.79236  82672  47 

78  64335  91 

4  02966  32 

3817  65 

279  12 

12  70 

71 

19 

0.7931 5  47008  38 

82  67291  23 

3  99137  £7 

4096  77 

291  82 

i3  41 

73 

ao 

0.79398  14299  61 

86  66428  90 

3  96040  90 

4388  69 

3o5  23 

14 14 

63 

21 

0.79484  80728  5i 

90  ^\4^^  80 

3  90662  2i 
3  85968  49 

4693  82 

319  37 

14  ^7 

73 

22 

0.79675  42198  3i 

94  62122  1 1 

5oi3  19 

334  04 

i5  40 

60 

23 

0.79669  94320  42 

98  38o8o  60 

3  8oq45  3o 

5347  2*3 

349  4^ 

16  00 

59 

24 

0.79768  32401  02 

102  19026  90 

3  76698  07 

56q6  ^7 

365  44 

16  69 

61 

25 

26 

0.79870  51426  92 

io5  94623  97 

3  69901  40 

6062  11 

382  o3 

17  20 

57 

0.79976  4So5o  89 

109  64626  37 

3  6383q  2q 

£4U  14 

399  23 

17  77 

62 

27 

0.80086  10676  26 

ii3  28364  66 

3  57396  i'5 

6843  37 

417  00 

18  29 

42 

28 

0.80199  38940  92 

116  86769  81 

3  5o55i  78 

7260  37 

435  29 

18  71 

54 

f?'*^ 

o.8o3i6  24700  73 

120  363ii  69 

3  43291  41 

7696  £S 

454  00 

19  26 

3o 

3o 
3i 

0.80436  61012  32 

123  79603  00 

3  35595  76 

8149  £Q 

473  26 

19  55 

37 

o.8o56o  4061 5  32 

127  16198  75 

3  27446  09 

8622  gi 

492  80 

19  92 

20 

32 

0.80687  558 14  07 

i3o  40.^44  %4 

3  18823  18 

9115  71 

5i2  72 

20  la 

10 

33 

0.80817  q8458  91 

i33  61468  02 

3  09707  47 

9628  43 

532  84 

20  22 

+  18 

34 

0.8oq5l  69926  93 

i36  71175  49 

3  00079  °4 

10161  27 

553  06 

20  40 

-.  23 

35 

36 

0.81088  3iio2  42 

139  71254  53 

2  89917  77 

10714  33 

673  4^ 

20  17 

1 

0.81228  02356  95 

142  61 172  3o 

2  79203  4Â 

11287  79 

5q3  63 

20  16 

64 

Sz 

0.81370  63529  26 

146  40376  74 

2  67916  65 

11881  42 

61 3  79 

19  62 

36 

38 

0. 81616  03904  99 

148  08291  39 

2  56o34  23 

12496  21 

63341 

19  26 

70 

'^9 

0.81664  12196  58 

i5o  64326  62 

2  43539  02 

i3i28  6a 

652  S7 

18  56 

90 

40 

0.81814  76622  00 

i53  07864  £4 

2  3o4»o  40 

1378»  29 

671  a3 

17  %Q 

1  o5 

41 

0.81967  84386  £4 

i65  38276  04 

a  16629  11 

14462  53 

688  89 

16  £1 

I  34 

42 

0.82123  22661  68 

167  64904  i5 

a  02176  69 

16141  41 

706  5b 

i5  27 

1  56 

44 

0.82280  77666  83 

169  67080  74 

1  87035  18 

16846  91 

720  77 

i3  71 

1  85 

44 

0.82440  "à/S^^^^Q   57 

i6i  44i i5  92 

1  71 188  27 

16667  68 

734  48 

11  86 

2  n 

4b 

0.82601  78762  4^ 

i63  i53o4  19 

1  54620  69 

17302  16 

74s  H 

9  75 

246 

S40 

TABLE  VIIL 

e. 

E(45°). 

Diir.  I. 

n. 

m. 

IV. 

V. 

YI. 

j45' 

0.74818  65o4i  76 

i36  04574  98 

30117  48 

16284  21 

i83  39 

i5  79 

94 

1  4^ 

0.7468.2  60466  78 

i36  34692  4S 

-+.  i3833  27 

16467  60 

167  60 

16  73 

9^ 

^l 

0.74546  26774  32 

i36  48626  73 

—  2634  33 

16635  20 

160  87 

17  62 

48 

0.74409  77248  5g 

i36  4^%'  4o 

19269  53 

16786  07 

ï33  26 

18  58 

1  11 

4.9 

0.74273  3i3Ô7  19 

i36  26621  87 

36o55  60 

16919  32 

114  67 

19  69 

86 

5o 

0.74137  04735  32 

i35  90666  27 

62974  92 

17033  99 

9498 

20  55 

1  17 

5i 

0.74001  14169  o5 

i35  37091  35 

70008  91 

17128  97 

7443 

21  72 

I  06 

ba. 

0.73865  76577  70 

i34  67682  44 

87137  88 

17203  40 

52  71 

22  78 

9« 

53 

0.73731  08996  26 

io3  80444  56 

I  04341  28 

17266  1 1 

29  93 

23  76 

1  17 

b4 

0.73597  28660  70 

i32  76103  28 

1  21697  39 

17286  04 

+  S  17 

24  93 

1  07 

55 

0.^54^4   62447  42 

i3i  54605  89 

1  38883  43 

17292  21 

—18  76 

26  00 

1  01 

56 

0.73332  97941  53 

i3o  16622  46 

1  56r76  S4 

17273  45 

44  7^ 

27  or 

1  16 

b.7 

0.73202  82319  07 

128  69446  82 

t   73449  09 

17228  69 

71  77 

28  17 

9« 

58 

0.73074  23872  26 

126  86997  73 

I  90677  78 

17166  92 

99  .94 

2g  i3 

1  03 

?-^ 

0.72947  36874  52 

124  q53i9  96 

2  07834  70 

*  17066  98 

12g  07 

3o  i5 

9'^ 

j  bo 

0.72822  4t554  67 

122  87485  25 

2  24891  68 

16927  91 

i5g  22 

3i  08 

g6 

i  ^> 

G. 72699  54069  32 

120  62693  67 

2  41819  69 

16768  69 

190  3o 

33  04 

7a 

1  62 

0.72578-  91:475  76 

118  20773  98 

2  58588  28 

16678  39 

222  34 

32  7B 

8i 

''  63 

0.724^  70701  77 

11 5  62185  70 

2  76166  6j 

i6356  o5 

255  10 

33  57 

^7 

1  ^4 

0.72345-  o85i6  07 

i 1 2  870 I 9  o3 

2  91622  72 

16100  96 

288  67 

34  24 

45 

!  &5 

0.72232  21.497  ®4 

109  95496  3i 

3  07623  67 

16812  28 

322  91 

34  69 

44 

;  6^6 

0.7212a  26000  73 

106  87872  64 

3  23435  96 

15489  37 

367  60 

35  i3 

29 

1  ^> 

0.72015  38ia8  09 

io3  64436  69 

3  38926  32 

i5i3i  77 

392  73 

36  43 

+  7 

!  G8 

0.7191 I  73691  40 

100  255 11  37 

3  54067  09 

14739  04 

428  16 

35  49 

—  a 

!  b9 

0,71811  48 1 80  o3 

96  71454  28 

3  68796  i3 

143 10  89 

463  64 

36  47 

21 

!  70 

0.71714  76726  76 

93  02668  i5 

3  83io7  02 

i3847  25 

499  '  i 

35  26 

5o 

71 

0.71H21  74067  60 

89  19661  i3 

3  96954  27 

13348  14 

534  37 

3476 

58 

1  7a 

0.71532  54616  47 

86  22696  86 

4  io3o2  41 

12813  77 

569  i3 

34  18 

76 

7^ 

0.71447  3191a  61 

81  12294  45 

4  23l 16  18 

12244  64 

600  3i 

33  42 

1  i6 

74 

0.71366  19620  16 

76  89178  27 

4  3536o  82 

1 1 64 1  33 

636  73 

32  26 

1  21 

75 

0.71289  3o446  89 

72  53817  45 

4  47002  i5 

1 1 004  60 

668  99 

3i  o5 

I  4S 

i  76 

0.71216  76629  44 

68  0681 6  3o 

4  68006  76 

io335  61 

700  04 

39  59 

1  69 

j  77 

0.71 148  69814  14 

63  48808  55 

4  68343  36 

9635  67 

729  63 

27  90 

1  b4 

78 

0.71085  2ioo5  5() 

58  80466  19 

4  77977  93 

8906  94 

767  53 

25  96 

2  10 

79 

0.7102G  40639  40 

54  02488  96 

4  H6883  87 

8148  41 

783  49 

25  86 

2  3i 

80 

0.70972  38o5i  14 

49  i56o4  39 

4  96032  28 

7364  92 

807  35 

21  55 

2  4a 

81 

0,70923  22446  76 

44  20672  11 

5  02^97  20 

6557  67 

828  90 

19  i3 

2  73 

83 

0.70879  01874  ^4 

39  18174  91 

5  08964  77 

6728  67 

848  o3 

i6  41 

3  78 

8a 

0.70839  83699  73 

34  09220  14 

5  14683  44 

4880  G4 

864  44 

i3  63 

2  84 

84 

0.70806  74479  59 

28  94536  70 

5  10664  08 

4016  20 

878  07 

10  79 

3  c6 

85 

0.70776  79942  89 

q3  74972  62 

6  2358o  28 

3i38  i3 

888  86 

7  73 

3  06 

85 

0.70763  04970  27 

i8  61392  34 

5  26718  41 

2249  27 

896  69 

4  67 

3  OK^ 

87 

0.70734  63677  93 

i3  24673  93 

5  28967  68 

i352  68 

901  26 

4-  I  58 

3  16 

88 

0.70721  28904  00 

7  96706  25 

5  3o32o  36 

■f  45i  49 

902  84 

—  1  58 

3  09 

89. 

0.707131  33197  76 

-f  2  ^65385  89 

5  30771  78 

—  461  42 

goi  26 

467 

3  06 

9° 

0.70710  67811  86 

—  2  65385  89 

5  3o32o  36 

i352  68 

89669 

7  7^ 

3  o5 

TABLE  VIII, 

341 

9. 
45° 

F(45o). 

Diff.  r. 

II. 

m. 

IV. 

V. 

YI. 

0.82601  78762  49 

163  i53o4  19 

1  54620  69 

17302  16 

746  34 

9  75 

2  46 

46 

0.82764  ()4°66   68 

164  69924  7"8 

1  37318  43 

18048  5o 

"^lî  ^3 

7  29 

a  82 

47 

0.82929  63g9i  46 

166  07243  21 

1  19269  93 

18804  69 

763  38 

4  4? 

3  o5 

48 

o.83o95  71234  67 

167  265i3  14 

1  00465  34 

19667  97 

767  86 

4-  1  42 

3  55 

49 

0.83262  S7747  8' 

168  26978  48 

80897  37 

2o335  82 

769  27 

—  2  i3 

3  82 

5o 

0.83431  24726  29 

169  07876  85 

6o56i  55 

2iio5  09 

767  14 

5  g5 

4  35 

5i 

o.836oo  32602  14 

16g  68437  40 

39456  46 

21872  23 

761  19 

10  3o 

4  63 

52 

0.83770  oio3q  54 

170  07893  86 

-+-  17684  23 

22633  42 

760  89 

14  83 

5  o5 

53 

0.83940  08933  40 

170  26478  09 

—  5o4g  19 

23384  3i 

736  06 

1988 

5  67 

54 

0.841 «o  34411  49 

170  20428  90 

284^3  60 

24120  37 

716  18 

26  45 

5  72 

55 

56 

0.84280  54840  39 

169  91996  40 

52553  87 

24836  55 

690  73 

3i  17 

6  i3 

0.84450  46835  79 

169  39441  53 

77390  42 

26627  28 

669  56 

37  3o 

6  60 

57 

0.84619  86277  32 

168  62061  11 

1  02917  70 

26186  84 

622  26 

43  90 

6  79 

58 

0.84788  48328  43 

167  69133  4i 

1  29104  54 

2680g  10 

678  36 

5o  69 

7  ^'^ 

5,q 

0.84956  07461  84 

166  30028  87 

1  56913  64 

27^87  4^ 

627  67 

67  82 

7  25 

6o 
6i 

o.85i22  37490  71 

164  74^15  23 

1  833oi  10 

27916  i3 

46b   85 

65  07 

7  45 

0.85287  1 i6o5  94 

162  90814  i3 

2  11216  23 

28384  98 

404  7« 

72  5o 

7  54 

6a 

o.8545o  02420  07 

160  79697  90 

2  39601  21 

2878g  76 

33a  28 

80  o4 

7  b'2 

63 

o.856io  82017  97 
0.85769  22014  66 

168  39996  69 

2  68390  97 

2g 122  04 

262  24 

87  56 

7  32 

64 

i55  71606  72 

2  97613  01 

29374  28 

164  68 

94  88 

7  ^9 

65 

0.85924  9362©  38 

162  74092  71 

0  26887  29 

29538  96 

4.  6g  80 

10a  07 

6  86 

66 

0.86077  67713  09 

149  47205  42 

3  66426  25 

29608  76 

—  32  27 

108  93 

6  32 

67 

0.86227  14918  5i 

145  9077g  17 

3  86o35  01 

29676  49 

141  20 

ii5  a6 

5  88 

68 

0.86373  05697  68 

142  04744  16 

4  16611  5o 

29435  29 

266  45 

121  i3 

4  9^ 

^;q 

o.865i5  10441  84 

i37  89132  66 

4  46046  79 

29178  84 

377  58 

ia6  08 

4M 

70 

7» 

0. 86652  99574  5o 

i33  44085  87 

4  74226  63 

28801  26 

5o3  66 

i3o  42 

3  24 

0.86786  43660  37 

128  69860  24 

5  o3o26  8g 

282g7  60 

634  08 

i33  66 

a  o5 

72 

0.86915  i352o  61 

123  66833  35 

6  3i324  49 

27663  62 

767  74 

i35  71 

4-1  07 

73 

0.87038  8o353  96 

118  355o8  86 

5  68988  01 

268g5  78 

9o3  45 

i36  78 

-  46 

74 

0.87167  i5862  "82 

112  76620  85 

5  85883  79 

26992  33 

1040  23 

i36  3a 

1  78 

75 
76 

0.87269  92383  67 

106  90657  06 

6  11876  12 

94962  10 

1 176  55 

i34  54 

3  26 

0.87376  83o2o  73 

loo  78760  94 

6  36828  22 

23776  55 

i3ii  09 

i3i  2g 

4  73 

77 

0.87477  61781  67 

94  41932  72 

6  6o6o3  77 

22464  46 

144a  38 

126  56 

6  3i 

78 

0.87572  03714  39 

87  8i'328  95 

6  83o68  23 

21022  08 

i568  94 

120  26 

7  76 

79 

0.87659  85o43  34 

80  98260  72 

7  04090  3i 

19453  14 

168g  19 

112  49 

9  28 

80 
81 

0.87740  833o4  06 

73  94170  41 

7  23543  45 

17763  gS 

1801  68 

io3  21 

10  56 

0.878147747447 

66  70626  96 

7  41^07  40 

16962  27 

1904  8g 

92  65 

1 1  92 

82 

0.87881  48101  45|  5q  29319  56 

7  67269  67 

14067  38 

Ï997  5^1 

80  73 

i3  o4 

85 

0.87940  77420  9.q 

5i  72049  89 

7  71327  o5 

12069  84 

2078  27 

67  69 

i3  94 

84 

0.87992  49470  88 

>  44  00722  84 

7  83586  89 
7  93368  46 

9981  57 

2146  g6 

53  76 

.487 

83 

o.88o36  60193  7s 

.  36  17335  96 

7835  61 

2ig9  71 

38  88 

i5  22 

86 

0.88072  67629  6; 

f     28  23967  49 

8  01204  07 

5635  90 

2238  5s 

23  66 

16  79 

«7 

0.88100  91497  1^ 

)  20  22760  42 

8  06839  97 

3397  3i 

2262  aE 

-f-  7  87 

i5  y4 

88 

0.88121  14260  bi 

^   12  16923  45 

8  10337  28 

-h  ii55  06 

2270  is 

.-787 
;  33  66 

i5  79 

«,9 

o.88i33  3oi84  0? 

5  +  4  06686  17 

8  11372  34 

—  u35  06 

2263  al 

i5  99 

90 

o.88i37  35870  2< 

D—  4  o5686  17 

8  ioa37  28 

33g7  3i 

2238  5c 

)  38  88 

1487 

1 

rut 


34a 


-.5^ 


TABLE  Vin. 


0' 

E'. 

DifF.  I. 

II. 

III. 

IV. 

V. 

YI. 

1 . 57079  63267  95 

1 1  96176  67 

23  91716  64 

1913  22 

1276  77 

52 

20 

1 

1 .57067  67091  28 

35  87892  3i 

23  89802  42 

3i88  99 

1276  29 

72 

10 

2 

i.57o3i  79198  97 

59  77^34  73 

23  866 1 3  43 

4466  28 

1277  01 

02 

37 

3 

1 .56972  ©i5o4  24 

83  64308  16 

23  82148  i5 

6742  29 

1277  83 

1  19 

^9 

4 

1.56888  37196  08 

107  46466  3i 

23  76406  86 

7020  12 

1279  02 

1  28 

32 

5 
6 

1 .56780  90739  77 
1 .56649  67877  6c 

i3i  22862  17 

23  69386  74 

8299  14 

1280  3o 

1  60 

16 
^7 

154  920,47  91 

23  61086  60 

9679  44 

1281  90 

1  76 

7 

1 .  564<{4  75629  6^ 

178  53534  fei 

23  61607  16 

10861  34 

1283  66 

2  i3 

i3 

8 

1 .563i6  22295  1^ 

202  04841  67 

23  40645  82 

12145  00 

1285  79 

2  26 

43 

,9 

1 .56i i4  17453  5i 

225  45487  49 

23  28600  82 

i343o  79 

1288  o5 

2  69 

l^ 

!0 
11 

1.55888  71966  02 

248  73988  3i 

23  26070  o3 

14718  84 

1290  74 

2  88 

39 

1.55639  97977  71 

271  89058  34 

23  oo35i  iQ 

160C9  58 

1293  62 

3  27 

35 

12 

1 .55368  08919  37 

294  89409  53 

22  84341  61 

i73o3  20 

1296  89 

3  62 

35 

1-5 

1 .55073  19509  84 

317  73751  14 

22  67038  41 

18600  09 

i3oo  5j 

397 

42 

i4 

1.54755  45758  70 

340  40789  55 

22  48438  32 

19900  60 

i3o4  48 

439 

4^ 

i5 
i6 

1 .5441 5  04969  i5 

362  89227  87 

22  28537  72 

212o5  08 

i3o8  87 
i3i3  7,0, 

4  85 

5  23 

38 

1.54052  15741  28 

385  17765  59 

22  07332  64 

2261 3  95 

61 

i? 

1.53666  97975  69 

407  25098  23 

21  84818  69 

23827  6j 

i3i8  96 

lî"^ 

60 

i8 

1.539,59  72877  46 

4'i9  09916  92 

ai  60991  02 

26146  62 

1324  "79 

6  34 

60 

Ï.9 

1.52830  62960  54 

45o  70907  94 

21  36844  40 

26471  4* 

i33i  i5 

6  94 

53 

20 
21 

1 .52379  92052  60 

472  06752  34 

21  09372  99 

27802  54 

i338  07 

7  47 

86 

1.51907  853oo  26 

493  16125  33 

20  81670  45 

29140  61 

1345  54 

8  35 

62 

22 

i.5i4i4  69174  93 

5i3  97695  78 

20  62429  84 

30486  i5 

i353  87 

8  96 

86 

2'd 

1 .50900  71479  i5 

534  50125  62 

20  21943  69 

3 1840  09 

i362  82 

9  81 

78 

24 

i.5o366  2i35'3  53 

554  72069  3i 

19  90103  67 

33202  84 

1372  63 

JO  69 

98 

25 

1 .4981 1  49^284  22 

574  62172  98 

19  '56900  83 

34676  47 

i383  22 

11  67 

1  12 

26 

1 .49236  8711 i  24 

594  19073  81 

19  22325  36 

35968  69 

1394  79 

12  6g 

88 

27 

1.48642  68037  43 

6i3  4'399  17 

18  86366  67 

37353  48 

1407  48 

i3  5> 

1  37 

28 

1.48029  26638  26 

632  27765  84 

18  49013  19 

38760  96 

1421  o5 

^4  94 

I  J9 

29 

1.47396  98872  42 

65o  76779  o3 

18  10262  20 

40182  01 

1435  ()Q 

16   i3 

1  45 

'60 

1 . 46746  22093  39 

668  87031  26 

17  70070  22 

41618  00 

1452  12 

17  58 

1  44 

3i 

1 .46077  35062  i3 

686  57101  48 

17  28462  22 

43070  12 

146s    70 

19  02 

1  76 

32 

1 .45390  77960  65 

703  85553  70 

16  85382  lo 

44539  8a 

1488  72 

20  77 

1  69 

33 

1 .44686  92406  95 

720  70935  80 

16  40842  28 

46028  54 

1609  49 

22  46 

»  99 

34 

1 .43966  21471  i5 

737  11778  08 

16  94813  74 

47538  o3 

i53i  96 

24  45 
26  56 

28  85 

2  1 1 

35 

1 .439,29  09693  07 

753  06.591  82 

i5  47275  71 

49069  98 

1666  40 

2  29 

36 

1 .4^476  o3ioi  25 

768  53867  53 

14  98205  73 

60626  38 

1682  s6 

2  62 

37 

1 -41707  49233  72 

783  62073  26 

14  47679  36 

62209  54 

1611  81 

3i  37 

2  76 

38 

1 .40923  97160  4^ 

797  99662  61 

i3  95370  01 

63821  i5 

1643  16 

34  12 

2  98 

39 

1 .40125  97607  85 

811  96022  62 

i3  41648  86 

55464  3i 

1677  28 

^7  i? 

3  26 

40 

1 .39314  02485  23 

826  S6571  48 

12  86084  56 

5714Ï  69 

1714  38 

40  35 

3  61 

41 

1.38488  65913  75 

838  22656  o3 

12  2894a  96 

58855  97 

1754  73 

43  9^ 

3  90 

42 

1 .37650  43257  72 

860  61698  99 

I 1  70086  99 

60610  70 

1798  69 

47   86 

4  38 

43 

i.367q9  91658  73 

862  21685  98 

11  09476  29 

62409  39 

1846  55 

62  24 

4  66 

44 

1 .35937  60072  76 

873  31162  27 

10  47066  90 

64255  94 

1898  7Q 

56  90 

5  29 

45 

1.35064  388 10  48 

883  78229  17 

g  82810  96 

66154  '73 

1955  69 

62  ig 

5  79 

TABLE  VIII 

543 

e. 

F'. 

Diff.  I. 

II. 

m. 

IV. 

V. 

VI. 

o° 

1 . 57079  63267  95 

1 1  q63i3  32 

23  93629  i3 

3009  84 

aoi4  58 

12  IC 

4  85 

1 

1.57091  59581  27 

35  89942  45 

23  96638  97 

6024  42 

3026  68 

16  g^ 

6  11 

Q 

1.57127  49023  72 

59  8658 1  4a 

24  01663  39 

7061  10 

2043  63 

aa  06 

4  99 

3 

1.57187  36io5  14 

83  88244  81 

24  08714  49 

9094  73 

2066  69 

27  oE 

5  36 

4 

1.57271  24349  95 

107  96969  3o 

24  17809  22 

1 1160  42 

2092  74 

32  4, 

5  37 

5 
6 

1 .57379  21 309  25 

i32  14768  62 

24  28969  64 

i3263  16 

aia5  i5 

37  7? 

5  66 

1.57511  36oj7  77 

166  43738  16 

24  42222  80 

16378  3i 

3162  93 

4342 

;  5  81 

7 

1 .57667  7981 5  q3 

180  86960  96 

24  67601  11 

17641  24 

2206  36 

49  M 

\     6  16 

ë 

1.57848  65776  89 

206  43562  07 

24  76142  35 

19747  60 

2265  60 

55  4c 

6  36 

9 

i.58o54  09338  96 

23o  18704  42 

24  94889  96 

220o3  20 

23ii  00 

6i  76 

'  6  84 

lO 

1.58284  28043  '38 

255  13594  37 

26  16893  16 

24314  20 

2372  7S 

68  6c 

)  7  02 

11 

1.58539  4' 637  75 

2H0  30487  52 

26  4*207  35 

26686  96 

2441  36 

75  62 

7  S^ 

12 

1.58819  72125  27 

3o5  71694  87 

26  67894  3i 

29128  32 

25i6  98 

83  28 

l& 

i3 

1.59125  43820  14 

33 1  39689  i8 

26  97022  63 

3i645  3o 

2600  26 

91  26 

8  66 

i4 

1.59456  83409  32 

357  366 11  81 

a6  28667  93 

34245  66 

2691  62 

99  81 

9  26 

i5 

i6 

1 .59814  20021  i3 

383  66279  74 

26  62913  49 

36937  08 

2791  33 

109  06 

9  76 

1 .60197  853oo  87 

410  28193  23 

26  99850  67 

39728  4. 

2900  39 

118  82 

10  64 

ï7 

1 .60608  13494  10 

437  28043  80 

27  39678  98 

42628  80 

3oi9  21 

129  36 

11  45 

i8 

1.61045  4>537  90 

4S4  67622  78 

27  82207  78 

45648  01 

3148  57 

]4o  81 

12  24 

ï9 

i.6i5io  09160  68 

492  49830  56 

28  27866  79 

48706  58 

3289  38 

i63  o5 

i3  3o 

20 
21 

1 .62002  58991  24 

620  77686  35 

28  76662  37 

52oo5  96 

344a  43 

166  35 
180  81 

'4  4S 

1 -62523  36677  59 

549  54338  72 

29  28738  33 

55528  39 

56o8  78 

i5  Q^ 

sa 

1 .63072  91016  3i 

678  83077  o5 

29  84266  72 

69137  17 

3789  69 

196  60 

17  04 

23 

1 . 6365 i  74093  36 

608  67343  77 

3o  43403  89 

62926  76 

3986  09 

2i3  54 

18  69 

24 

1 .64260  4' 437  i3 

639  10747  ss 

3i  o633o  65 

66912  86 

4199  63 

232  23 

20  46 

25 

1 .64899  52184  79 

670  17078  3i 

3i  73243  60 

7111a  48 

4431  86 

262  69 

22  27 

26 

1.65569  69263  10 

701  90321  81 

32  44355  98 

76544  34 

4684  56 

274  96 

24  65 

27 

1.66271  59584  91 

734  34677  79 

33  19900  32 

80228  89 

4969  5i 

299  61 

27  00 

28 

1 .67005  94262  70 

767   54578  11 

34  00129  21 

86188  40 

6269  12 

326  61 

°â  '77 

29 

1.67773  48840  81 

801  54707  32 

34  853 17  61 

90447  62 

6585  73 

356  38 

33  06 

3o 

1.68575  03548  i3 

836  40024  93 

36  76766  i3 

96033  26 

6942  1 1 
633i  65 

389  44 

36  32 

3i 

1 .6941 1  43573  06 

872  16790  06 

36  71798  38 

1  01975  36 

4a5  76 

40  56 

32 

1  .709.83  69363  13 

908  876'88  44 

37  73773  74 

1  08^06  91 

6767  3i 

4SS  32 

A4s^ 

33 

1.71 192  4*^9^1  56 

946  61 362  18 

38  82080  65 

1  16064  22 

7223  63 

611  28 

5o  12 

34 

1.72139  o83i3  74 

985  43442  83 

39  97144  87 

1  22287  86 

7734  91 

56 1  40 

56  o3 

35 

36 

1 .73124  61766  67 

1026  40687  70 

41  Ï9432  72 

1  3ooaa  76 

8296  01 

617  43 

6a  5o 

» -7414.9  92344  27 
1 .75216  52364  69 

1066  60020  42 

42  49455  48 

1  383 19  07 

8913  74 

679  93 

70  55 

37 

1 109  09476  90 

43  87774  65 

1  47232  81 

9593  67 

760  48 

78  89 

38 

1 .76326  61840  69 

- 162  97260  46 

46  35007  36 

1  66826  48 

10344  16 

829  37 

89  18 

39 

1.77478  59091  04 

1198  '32267  81 

46  91833  84 

1  67170  63 

1 1173  62 

918  56 

100  81 

40 
41 

1.78676  91348  85 

1246  24091  65 

48  69004  47 

1  78344  i5 

12092  07 

1019  36 

1 14  3o 

1.79922  i544o  5o 

1293  83096  12 

60  37348  62 

1  90436  22 

i3iii  43 

1 1 33  60 

129  5i 

4^ 

1.81215  98536  62 

1344  20444  74 

52  27784  84 

a  03647  65 

14245  09 

1263  17 

148  6a 

43 

1.82560  18981  36 

1396  48229  58 

64  3i332  49 

2  17792  74 

i55o8  26 

i4ii  7Q 

.68  76 

M 

1.83966  67210  g4 

1460  79662  07 

66  49 '26  a3 

a  333oi  00 

16920  o5 

i58o  54 

194  :^Q 

45 

1.85407  46773  01 

1607  28687  3o 

58  82426  23 

2  60221  c5  18600  5q 

1774  80 

aa3  01 

-, 1 

S44 


TABLE  Vlir. 


6. 

E'. 

Diff. 

6. 

45° 
4G 

il 
t 

F». 

Diff. 

45° 
46 
47 
48 

49 

5o 

1.35064  388 10  48 
1.34180  6o58i  3i 
1.33286  99541  18 
1.39384  91844  89 
1.31472  95602  65 
i.3o553  90942  97 

883  78299  17 
893  6104b  i3 
902  77696  36 
911  96249  17 
919  04669  68 
996  10863  o3 

1 .85407  46773  01 
1.86914  75460  3i 
1.88480  86673  84 
1.90108  3o334  65 
1 .91799  76464  38 
1 .93558  10960  06 

1607  38687  3o 
i566  iiii3  53 
1637  43760  81 
1691  45129  73 
1768  35495  68 
1828  37133  46 

5i 

52 

5?^ 

54 
55 

56 

57 
58 

^e? 

6i 
62 
63 
84 
65 

1 . 99627  80079  94 
1.98695  37387  83 
1 .27757  39482  5o 
1.26814  6"53io  64 
1 . 25867  96947  78 

932  42692  11 
937  979"o5  33 
942  74171  86 
946  69062  86 
949  80041  71 

5i 

52 

53 
54 

56 

66 
57 
58 

60 

1.96386  48092  62 
1.97288  92662  76 
1 .99966  97667  35 
9.01396  65652  01 
9.03471  53i2i  86 

1901  74670  33 
1978  74894  60 
9069  68094  ss 
Qi 44  87469  85 
3334  70106  11 

1 .94918  16206  07 
1 .93966  11759  89 
1 .23oi9  72241  86 
i.99o58  89957  54 
1.21 io5  60275  68 

969  04453  18 
953  39611  o5 
953  82284  32 
953  29681  86 
961  7^8434  54 

9.06706  23297  97 
a.o8o35  80666  ga 
9. 10466  76684  91 
a. i3ooa  i4383  99 
a.i565i  66476  ©0 

3329  67438  95 
3429  96917  99 
3536  37799  <^8 
3649  4^091  01 
2769  76694  49 

1.20153  81841  14 
1 . 19204  56765  80 
i.î8958  90849  45 
1.17317  95826  84 
1. 16389  7Çj844  93 

g49  96076  34 
945  66916  35 
940  9702a  61 
935  14181  91 
928  12869  68 

61 
62 
63 

G4 
65 

9. 18491  39169  49 
9.2i3i9  46949  81 
2.24354  954 '6  99 

2.97537  64296  19 
9.30878  67981  67 

S898  14780  32 
3o'35  4e4Sy   98 
3i89  70879  o3 
5341  o368'5  55 
35 1 1  79969  81 

66 

67 
68 

69 
70 

71 
79 

73 

74 

75 

76 

77 
78 

80 

1. 15454  66776  25 
1.14534  78666  81 
1.13694  45S4S  84 
1. 12794  96377  67 
1 .11837  77379  70 

919  88208  44 
910  34919  97 
899  47269  27 
887  18997  87 
873  43944  27 

66 
67 
68 

69 

70 

3.34390  47244  47 

a. 38087  01906  o4 
a. 41984  16537  39 
a. 46099  94583  o4 
a. 60455  00790  02 

3696  54661  57 
3897  i463i  35 
411 5  78046  66 
4355  06906  98 
4618  13706  35 

1.10964  34135  43 
1 . loioÇ  21687  58 
1.09266  03455  36 

1 .08442  59193  j4 
1 .07640  5ii3o  76 

868  12447  85 

841  18932  92 

822  61261  62 
802  01062  98 
779  558oo  98 

71 

70 

74 
75 

76 
77 
78 

79 
80 

a. 66073  Ï449G   27 
a. 69981  97300  61 
a. 6621 3  80046  3o 
2.70806  76145  90 
a. 76806  3 1453  69 

4908  89804  34 
693 1  82745  69 
6699  96099  60 
6999  563o7  79 
6460  94375  49 

1 .06860  95329  78 
i.o6io5  93337  54 
1.05377  69904  07 
1.04678  64993  45 
i.o4oi 1  4^957  06 

755  01992  24 
798  24133  4j 
699  04210  62 
667  2io36  39 
632  49333  i5 

a. 83267  26829  18 
9.90266  4^4*^^  70 
2.97866  89611  81 
3.06172  86120  39 
3.15338  62618  88 

6989  23677  63 
7600  40 1 06  II 
83 16  96608  58 
9165  66398  49 
10191  76902  55 

81 

8a 
83 
84 
85 

1.03378  94623  91 
1 .09784  36197  41 
i.o923i  26881  68 
1 .01723  69183  4i 
1.01966  35o69  34 

6q4  58426  5o 
553  io3i5  73 
607  56698  97 
457  34121  07 
401  55493  97 

81 
82 
83 

84 
85 

3.9553o  99491  43 
3.36986  80266  68 
3.60042  24991  73 
3.66186  69694  79 
3. 83 174  199.97  8^ 

11456  60845  26 
i3o65  44726  06 
16143  34703  06 
17988  6o3o9  87 
99101  61697  83 

86 

87 
88 

89 
90 

1 .00864  79569  07 
1 .00695  86879  09 
1 .00268  4o855  28 
1 ,00076  16777  03 
I . 00000  00000  00 

338  93696  98 

967  46016  81 

i83  96078  26 

76  16777  oa 

86 
87 
88 

89 
— « 

4.06276  81690  49 
4-33865  39760  00 
4.74271  72669  79 
5.43490  98996  a5 

5   log  hyp.  1 

28689  58064  5i 
4o4o6  32899  79 

69219  26643  4^ 

TABLE  IX. 

541 

5 

o° 

E(o»). 

E(x»). 

E(2°). 

E(3»). 

E(4o). 

£(5°). 

0.00000  00000 

0.00000  00000 

0.00000  00000 

0.00000  00000 

0.00000  00000 

0.00000  ooooc 

1 

0.01745  SaqaB 

0.01745  32922 

0.01745  32914 

0.01745  32901 

0.01745  39882 

0.01745  3285H 

2 

0.03490  6585o 

0.03490  66829 

0.03490  66764 

0.03490  65656 

0.03490  66606 

0.03490  653 19 

3 

0. 06235  i)SyjS 

0.06235  98703 

0. 06235  98484 

0.06235  98121 

0.06235  97612 

0.06235  9696c 

4 

o.oSqSi  31701 

0.06981  31628 

0.06981  3ioio 

0.06981  3oi 49 

0.06981  28944 

0.06981  27397 

5 

0.08726  64(^26 

0.08726  64290 

0.08726  63278 

0.08726  61697 

0.08726  69244 

0.08726  66226 
0.10471  83o45 

G 

0.10471  97551 

0.10471  96970 

0.10471  96224 

0. 10471  92320 

0.10471  88268 

7 

0. 12217  30476 

0. 12217  29664 

0. 12217  26784 

0. 12217  22176 

0.12217  16731 

0. 12217  07468 

8 

0. 139G2  63402 

0. 13962  62026 

0. 13962  67896 

0. 13962  5 1023 

0. 13962  4i4' 1 

0, 13962  29073 

.9 

0. 16707  96327 

0. 16707  94369 

0. 16707  88497 

0. 16707  78720 

0. 16707  66048 

0. 16707  47499 

lO 

0. 17453  29262 

0. 17453  26669 

0. 17453  18626 

0. 17453  06199 

0. 17462  86396 

0. 17452  62350 

1 1 

0. 19198  62177 

0. 19198  586i ) 

0.19198  47917 

0. 19198  3oi 10 

0. 19198  06208 

0.19 1 97  73243 

13 

0.20943  96102 

0,20943  90479 

0.20943  76616 

0.20943  53628 

0.20943  21244 

0.20942  7980? 

i6 

0.22689  28028 

0.22689  221 58 

0.22689  04668 

0.22688  76260 

0.22688  34266 

0.22687  81667 

'4 

0.24434  60953 

0.24434  53636 

0.24434  3 1688 

0.24433  96143 

0.24433  44039 

0.24402  78438 

ib 

0.26179  93878 

0.26179  84893 

0.26179  67948 

0.26179  13078 

0.26178  6o333 

0.26177  69787 

ib" 

0.27926  26803 

0.27925  16919 

0.27924  83281 

0.27924  28927 

0.27923  02920 

0.27922  5636g 

'7 

0.29670  69728 

0 . 29670  4670c 

0.29670  07631 

0.29669  42665 

0.29668  51679 

0.29S67  34781 

i8 

o.3i4i5  92664 

o.3i4i5  77221 

0.3 141 5  30943 

o.3i4i4  53870 

o.3i4i3  46094 

0.31419  07742 

',9 

o.33i6i  26679 

o.33i6i  07469 

o.33i6o  53 164 

0.33169  62725 

o.33i58  36263 

o.33i56  7^900 

20 
21 

0.34906  68604 

0.34906  37432 

0.34906  74244 

0.34904  69007 

0.34963  21847 

0.34901  32933 
0.36645  84626 

o.3665i  91429 

0.36661  67096 

0.36660  94i3i 

0.36649  72610 

0.36648  02677 

9,2 

0.38397  24354 

0.33396  96461 

0.38396  12776 

0.38394  73420 

0. 38392  78646 

0.33390  28376 

2  5 

0.40142  67280 

0.40142  25483 

0.40141  3oi33 

0.40139  71333 

0.40137  49266 

0.40134  64184 

24 

0.41887  90206 

0.41887  64182 

0.41886  46166 

0.41884  66245 

0.41882  14653 

0.41878  91667 

93 

26 

0.43533  23i3o 

0.43632  82535 

o.4363i  60800 

0.43629  68066 

0.43626  7453 1 

0.43623  10647 
0.45367  20669 

0.46378  66o55 

0.45378  10534 

0.45376  74022 

0.45374  46670 

0.45371  28731 

27 

0.47123  88980 

0.47123  38 1 66 

0.47121  86783 

0.471 19  31996 

0.471 i5  77087 

0.471 1 1  21449 

a8 

0.48869  21906 

0.48868  65424 

0  48866  96043 

0.48864  13947 

0.48860  19445 

0.48866  12971 

29 

0.60614  5483 1 

o.5o6i3  92296 

0. 60612  04765 

0. 60608  92439 

o,5o6o4  55656 

0.60698  94896 

5o 

0.62359  87766 

0.62369  18776 
0.54104  44854 

0.62357  1^9  ^4 

0.62353  67391 
0.54098  08730 

0.62348  8558o 

0.62342  67000 
0.64086  29077 

0.54106  20681 

0.5410a  17467 

0.54093  09081 

'62 

o.5585o  53606 

0.66849  70622 

0.66847  2l362 

0.66843  o6385 

0.55837  26035 

0.55829  80929 

66 

0.57695  86632 

0.57694  96774 

0.67692  23698 

0.67687  702890.67681  36394 

0.67673  22372 

04 

0.69341  19457 

0.69340  2060a 

0.69337  24 1 '4°  °- ^9332  3o38i 

0.59326  39838 

0.69316  53236 

6b 

36 

0.61086  62382 

o.6io85  44999 

0.61083  229620.61076  86604 

0.61069  36477 

0.61069  73361 

0.62831  863o7 

0.62830  68961 

0.62827  20041 

0.62821  38904 

0.62813  26146 

0.62809  82601 

'^7 

0.64677  18232 

0.64576  92482 

0.64573  i5365 

0.64565  87236 

0.64557  08761 

0.64545  80826 

b8 

0. 66322  5 1168 

0. 66321  16567 

0. 663 17  08886 

o.663io  3i555 

o.663oo  84247 

0.66288  67913 

^9 

0.68067  84083 

0.68066  38i8i 

0.68062  00616 

0.68064  71826 

0.68044  525.36 

o.68o3i  4376c 

40 

0.69813  17008 

0.69811  6o36i 

0.69806  9063 1 

0.69799  08014 

0.69788  i3668 
0.71631  67296 

0.69774  08275 
0,71616  61379 

4i 

0.71668  49933 

0.71556  82066 

0.71661  78619 

0.71643  4°'^9^ 

42 

0.73303  82868 

0.73302  o33i9 

0.73296  64871 

0.73287  68o36 

0.73275  13677 

0.73269  o3oc9 

4.^ 

0.76049  16784 

0.70047  241 12 

0.75041  49277 

o.75o3i  91828 

0.75018  62681 

0.76001  33i i3 

44 

0.76794  48709 

0.76792  4./j449 

0.76786  3i83» 

0.76776  11458 

0.76761  84283 

0.76743  5 1667 

43 

0.78539  81634 

0.78537  643080.78531  1253a 

0,78620  26916 

0.78606  084710.78485  68619 

=^  î/ 


7^/X 


00 


54^ 

TABLE  IX. 

é 

<P' 

F(oo). 

F(i°). 

F(a°). 

F  (3°). 

F(4°). 

F  (5°). 

o° 

ô. 00000  00000 

0.06000  00000 

o.coooo  oocoo 

0.00000  00000 

0.00000  00000 

0.00000  00000 

1 

0.01745  32925 

0  01746  32928 

0.01745  32936 

0.01745  32949 

0.01745  3296910. 01745  32993 

2 

0.03490  6585o 

0.03490  66871 

0.03490  66936 

0.03490  66044 

0.03490  66 196,0. 03490  66389 

3 

0.06235  98776 

0.06235  98848 

0.06235  99067 

0.06235  99430 

o.o5235  999*39 

o.o5236  00691 

4 

0.06981  31701 

0.06981  31873 

0.06981  32391 

0.06981  33262 

0.06981  34458 

0.06981  36004 

5 
6 

0.08726  64^26 

0.08726  64962 

0.08726  66972 

0.08726  67655 

0.08726  70008 

0.08726  73027 

0.10471  97551 

0.10471  98132 

0.10471  99877 

0. 10472  02782 

0.10472  06844 

0.10472  12068 

7 

0. 12217  30476 

0. 12217  5i399 

0.12217  '34167 

0. 19217  38776 

0. 12217  46222 

0. 12217  53496 

8 

0. 13962  63402 

0. 13962  64777 

0. 13962  68906 

0. 13962  76780 

0. 13962  85392 

0. 13962  97731 

.9 

0, 16707  96327 

0. 16707  98284 

0. 16708  o4i55 

0.16708  13934 

0. 16708  27606 

0.15708  45i56 

lO 

0.17453  29262 

0.17453  31934 

0.17453  39978 

0.17453  53376 

0. 17453  72110 

0. 17453  96168 

11 

0. 19198  62177 

0. 19198  65/42 

0.19198  76457 

o-»9»98  94H^ 

0-19^99  19^49 

0. 19199  5i 1 18 

12 

0.20943  gbioQ 

0.20943  99726 

0.20944  13589 

0.20944  36678 

0.20944  68966 

0. 20945  10412 

là 

0.22689  28028 

0.22689  33896 

0.22689  61496 

0.22689  80807 

0.22690  21796 

0.2269")  74414 

'4 

0.24434  60953 

0.24434  68270 

0.24434  90217 

0.24435  26765 

0.24435  77876 

0.24436  43491 

ib 

0.26179  9^878 

0.26180  02863 

0.26180  29809 

0.26180  74682 

0.26181  37437 

0.26182  i8oo3 

i6 

0.27925  26803 

0.27926  37688 

0.27926  70326 

0.27926  24686 

0.27927  00706 

0.27927  983o3 

^7 

0.29670  59728 

0.29670  72767 

0.29671  11827 

0.29671  76900 

0.29672  67^04 

0.29*673  84738 

i8 

o.3i4i5  92654 

o.3i4i6  08087 

o.3i4i6  54366 

0.31417  31448 

0.31418  39248 

o.3i4iQ  7764^ 

'.9 

o.35i6i  26679 

o.33i6i  43689 

o.33i6i  97996 

0.33162  88449 

o.33i64  149^0 

o.33i65  77366 

20 

0.34906  585o4 

0.34906  79676 

0.34907  42768 

0.34908  48019 

0-34909  95219 

0.34911  84216 

21 

o.3665i  91429 

0.36652  16762 

0. 36652  88732 

0. 36654  10^472 

0.36655  80255 

0.36667  98610 

S2 

0.38397  24354 

0. 38397  52258!o. 08398  35938 

0.38399  753 18 

0.38401  70255 

0.38404  2o556 

QÔ 

0.40142  57280 

0.40142  89077 

0.40143  84433 

0.40145  43262 

0.40147  65407 

0.40160  5o65'9 

24 

0.41887  90205 

0.41888  26228 

0.41889  34262 

0.41891  14209 

0.41893  65896 

0.41896  89085 

2b 
26 

0.43533  23i3o 

0.43633  63726 

0.43534  85470 

0. 43636  88269 

0.436.39  71899 

0.43643  36i3o 

0.45378  56o55 

0.45379  01577 

0.45380  38ioo 

0.45382  66607 

0. 45385  83587 

0.45389  92066 

27 

0.47123  88980 

0.47124  39795 

0,47126  92192 

0.47128  46044 

0.47132  01 121 

0.47136  57116 

28 

0.48869  2190G 

0.48869  78387 

0.48871  477*85 

0.48874  29968 

0.48878  Q4660 

0.48883  3i558 

29 

o.5c6i4  54^3i 

o.5o6i'5  17565 

0.60617  04917 

0.60620  17334 

0.60624  54353 

o.5o63o  i56i5 

i5o 

0.62359  87766 

0.62360  56736 

û. 52362  63622 

0.62366  08261 

0.62370  90341 

0.62377  09609 

3i 

o.54io5  20681 

0.54106  96508 

0.54108  23934 

-0.541 12  02784 

0.54117  32769 

0.54124  i345o 

32 

0.55850  536o6 

0.56861  3G692 

0.55853  85885 

0.55858  o3oo4 

0. 55863  81732 

0.66871  27636 

33 

0.57595  86532 

0.57696  77291 

0.67699  49604 

0.67604  02978 

0.57610  37380 

0.67618  52253 

34 

0.69341  19457 

0.69342  i83i4 

0.69345  14819 

0.69350  08768 

0.69356  99812 

0.59366  87474 

55 
36 

0.61086  62382 

0.61087  69767 

0.61090  81 855 

0.61096  18430 

0.61 io3  69131 

0.61113  33460 

0.62831  853o7 

0.62833  01657 

0.62836  5o634 

0.62842  32017 

0.62860  46430 

0.62860  90357 

37 

0  64577  18232 

0.64578  43987 

0.64682  21178 

0.64588  49676 

0.64597  28796 

0.64608  583oo 

38 

0. 66322  5i 168 

0. 66323  86764 

0.66327  93607 

0.66334  71 162 

0.66344  19301 

0. 66356  37410 

^9 

0.68067  84083 

0.68069  29991 

0.68073  67637 

0.68080  96781 

0.68091  17019 

0.68104  2779^' 

40 
41 

0.69813  17008 

0.69814  73679 

0.69819  43589, 

0  69827  26497 

0.69838  22006 

0.69862  29641 

0:71 558  49933 

0.71660  17809 

0.71666  21 356 

0.71673  60328 

0.71686  343i3 

0.71600  42737 

42 

0.73303  82868 

0.73305  62406 

0.73311  0996F 

0.73319  98998 

0.73332  53982 

0.73548  67445 

46 

0.76049  15784 

0.75061  07464 

0, 76066  82426 

0.76066  4^4'i4 

0.76079  810440.76097  00717! 

44 

0.76794  487C9 

0  76796  62986 

0.76802  667360.76812  86718 

0.76827  i5525 

0.76845  51690 

45 

0.78539  81634 

0.78641  9897c 

3.78648  50901  0.78559  37189 

0.78674  67437 

0.78694  uogo 

TABLE  IX. 

347 

45° 

ECO»). 

E(i°). 

E(2°). 

E(3°). 

£(4°). 

E(5) 

0.7S539  Si 634 

0.78537  643080.78531  12532 

0.78520  26915 

o.785o5  08471 

0.78485  58619 

46 

o.8oa85  i455q 

0.80282  83710 

0.80275  91377 
0.82020  68368 

0.80264  38199 

0.80248  25239 

p. 80227  53990 

47 

o.82o3o  47484 

0.82028  o265o 

0. 82008  45310 

0.81991  34592 

0.81969  37777 

48 

0.83775  804 JO 

0.83773  21 ia6 

0.83765  43507 

0.83752  48258 

0.83734  36542 

0.83711  lOOOl 

49 

0. 85521  i3335 

o.855i8  39142 

o.855io  16802 

0.85496  47054 

0.85477  3iii4 

0.85452  70695 

5o 

0.87266  46260 

0.87263  56698 

0.87254  88259 

0.87240  41716 

0.87220  i8336 

0.87194  19908 

5i 

Û.890U  79185 

0.89008  j^j^^ 

0.88999  57889 

0.88984  32266 

0.88952  98250 

0.88935  57703 

52 

0.90757  12110 

0.90753  90441 

0.90744  25703 

0.90728  18732 

0.90705  70905 

0.90676  84157 

53 

o.g25o2  45o36 

0.92499  o6635 

0.92488  91718 

0.92472  01148 

0.92448  36358 

0-92417  99359 

54 

0.94947  77961 

0.94244  22384 

0.94233  55948 

0.94215  79551 

o-94'9o  94677 

0.94159  03414 

55 
56 

0.95993  10886 

0.95989  37692 

0.95978  18414 

0.95959  53983 

0.95933  45936 

0-95899  96439 

0.977:58  4381 1 

0.97734  52564 

0.97722  79136 

0.97703  24491 

0.97675  90221 

0.97640  78566 

57 

0.99483  76736 

°- 99479  67005 

0.99467  38i38 

0.99446  911 28 

0.99418  27623 

0.99381  49939 

58 

1.01229  09662 

i .01224  81023 

1.01211  95443 

1 .01 190  53950 

1 .01160  58244 

1.01122  10715 

5,q 

1 .02974  4^'587 

1 .02969  94623 

1 .02956  5io8i 

1 .02934  i3oi9 

1 .02902  82193 

1 .02862  6jo65 

bo 

1 .04719  755 12 

1 .04715  07815 

1.04701  o5o8i 

1 . 04677  68402 

1.04644  99586 

1 .04603  01 172 

6i 

1.06465  08437 

1 . 06460  20604 

1.06445  bj4j/i 

1.06421  20169 

1.06387  io55i 

1 .06343  3 1232 

62 

1 .08210  41362 

1.08205  32999 

1 .08190  08293 

1.08164  68394 

1.08129  15219 

i.c8o83  51453 

63 

I .09955  74288 

1.09950  45011 

1.09934  57573 

1.09908  i3i57 

1.09871  13732 

1 .09823  62055 

64 

1 . 1 1701  07213 

1. 11695  56647 

1 . 11679  o535i 

1 . ii65i  54542 

1 . 1 i6i3  06237 

1 . 11 563  63269 

65 
66 

1.13446  4oi38 

1.13440  67917 

1.13423  5i668 

1 . 13394  92636 
i.i5i38  27531 

i . 13354  92892 

1 . i33o3  55340 

1 . 15191  73o63 

i.i5i85  78833 

1 . 15167  96563 

i.i5oq6  73858 

1 .15043  38520 

67 

1.16937  05988 

1 . 16930  89403 

1 . 1 69 1 2  4^079 

1.16881  59323 

1.16838  49306 

1 . 16783  13076 

68 

1.18682  38914 

1 , 18675  99640 

1.18656  82260 

1.18624  8'8iic 

i.i858o  19413 

1.1 8522  79284 

6-.9 

I .20427  71839 

1 .20421  09554 

1 .20401  23] 52 

i.2o368  13996 

i.2o32i  84361 

1 . 20262  37429 

70 
71 

l  .22173  Q/^J^^ 

1.22166  19168 

1 .22145  6280a 

1 .221 1 1  37087 

i . 22063  44340 

1 .22001  87808 

1.23918  37689 

1.23911  28463 

1 .23890  01258 

1.33854  57494 

i.238o4  99545 

1 .23741  30725 

72 

1. 25663  70614 

1.25656  37484 

i . 25634  38572 

1 .25597  7^331 

1 .25546  50178 

1 . 25480  66497 

7^ 

1 . 27409  03540 

1.27401  46231 

1.27378  74795 

1 .27340  90712 

1 . 27287  96445 

1.27219  95445 

74 

i.2qi54  36465 

1.29146  54719 

1.29123  09981 

1 .29084  03757 

i . 29029  38559 

1.28959  17902 

75 

1 .  30899  ^9^.9° 

I .30891  62961 

1.30867  44183 

1.30827  14589 

1 .30770  76737 

1.30698  34206 

76 

i .32645  023 1 5 

1 .32636  70971 

1.32611  77457 

1 .32570  23333 

1.325 12  ii2o3 

1.32437  44705 

77 

1 .34390  35240 

1.34381  78763 

1.34356  09859 

i .3431 3  3oi 16 

1.34253  42180 

1.34176  49755 

78 

i.36i35  68166 

1.36126  86352 

1.36100  4^449 

i.36o56  35o68 

1.35994  69901 

1.35915  49714 
1.37654  44951 

7,9 

1.37881  01091 

1.37871  93753 

1.37844  72283 

1 .3779g  3832  1 

I .37735  94602 

80 

1,39626  34016  1.39617  00979 

1 .39589  02422 

1 .39542  40009 
1 .41285  40269 

1.39477  i652o 

1 .59393  35839 

8«  , 

1.4 1371  66941 

1 .4i362  08047 

1 .41333  31926 

1.41218  358q8 

1 .41 i32  22755 

82 

i . 43 1 1 6  99866 

1.43107  14971 

1 .43077  60857 

1.43028  39238 

1.42959  52980 

1.42871  06083 

85 

1 .44862  02792 

1.44852  21767 

1.44821  89276 

1.44771  37056 

I .44700  68014 

1 . 4A^°3   862 1 1 

H4 

1  .j^'6'ooj   65717 

1 .46597  28452 

1.46566  17245 

1.465 14  33863 

1.46441  8i25i 

1.46348  6353o 

85 
86 

1.48352  9864a 

1.48342  35o39 

1.48310  4483o 

1 .48257  29801 

1.48183  92943 

1.48087  38434 

1 .50098  3i567 

1.50087  ^xb^j 

1 .5oo54  72092 

1 .5oooo  25oi5 

1 .49924  03346 

1  ,49826  ll322 

87 

1.51843  64492 

i.5i832  47989 

1-5 '798  9.9094 

1 .51743  19647 

i.5i665  12715 

i.5i564  82593 

88 

1.55588  974 1 8 

1.53577  54383 

1.53543  26904 

1.53486  i3842 

i . 53406  2 1 307 

1 .533o3  5255o 

89 

1.55334  3o343 

1 . 55322  60745 

1.55287  52585 

1 .55229  07746 

1 .55 147  29381 

i.55o42  21898 

90 

1.57079  63268 

1 . 57067  6709 1 

i. 57031  79199 

1 .56972  oi5o4 

1.56888  37196 

l  .56780  90740  ! 

' 

348 

4^ 
47 
48 

\43 
|5o 

5i 

52 

53 

54 
55 


TABLE  IX. 


56 
57 
58 

I 

6i 
Ca 
63 
6-4 
65_ 

b"b" 

^7 
68 

6d 

70 


i8a 


84 


72 
73 
74 

75 


76 

77 
78 
79 
80 


j87 
188 

189 

!9o 


F(o-). 


0.78539 
0.80285 
o.82o3o 

0.83775 
o. 85521 
0.87266 


81634 
14559 

47484 
804 10 
1 3335p 
462600 


F(i°). 


.78541  98970 
.80287  454^9 
.82032  92332 
.83778  39707 
.85523  87544 
.87269  35840 


0.8901 1 
0.90757 
92502 
94247 
o .  95993 


121  10 

45o36 
77961 
10886 


79 i85;o. 8901 4  84593 
.90760  338oo 
.92505  83458 
.94251  3356 
.95996  84106 


0.97738 

0.99483 

.01229 

. 02974 

.04719 


45811 
76736 
09662 
42587 
75512 


FCso). 

0.78548  5090 
0.80294  37923 
0.82040  26801 
0.83786  17530 
0.85532  10106 
0.87278  0452 j 


.06455 
.08210 
.09955 
. 1 1701 
13446 


08437 
41362 
74288 
07213 
401 38 


1 5 1 9 1 

16937 
,18682 
20427 
22173 


73o63 

05988 

3891 

71839 

04764 


,23918 
,25663 

27409 
,  29 1 54 

30899 


37689 
70614 
03540 
36465 
69390 


,32645 
,34390 
,36135 
37881 
39626 


023i5 
35240 
68166 
01 091 
34016 


41371 
43ii6 
44862 
4'^  607 
48352 


66941 
99866 
32792 
66717 
9804.2 


50098 
5 1843 
53588 
55334 

57079 


3i567 
64492 
97418 
3o343 
63268 


.97742  35087 
.99487  ^Q^^j 
.01233  38332 
.02978  90684 
.04724  45246 


,06469  96308 
,0821,5  49765 
,09961  03607 
, 1 1706  57824 
13452  12407 


16197  67345 


89024  00765 
0.90769  98826 
0.92615  98687 
0.94262  oo334 
0.96008  03747 


F  (3°). 


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o.8o3o5  91841 
0.82062  60671 
o . 83799  I 367 1 
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0.87292  62127 


0.97764  08906 
0.99600  16786 
1 .01246  24362 
1 .02992  34609 
i . 04738  4^49^ 


0.89039  27642 
0.90786  07049 
0.92632  90614 
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0.96026  69762 


1 . 06484  6999 
I .08230  7606 
I .o9q76  9167 
I . 1 1723  09784 
I . 13469  29361 


1 . 16216  5o36o 


16943  22628  1.16961  72740 


,18688  78245 
,20434  34184 
,22179  90434 


,25926  46981 
,26671  o38i5 
.27416  60921 
,29162  18288 
,30907  76899 


18707  96457 
1 .20454  21465 
i .22200  47716 


,32663  33743 
,34398  91806 
36144  60069 
37890  08624 
39635  67161 


4i38i  26937 
43126  84867 
44872  43925 
46618  o3oq5 
48363  62361 


60109  21708 
,5i854  81120 
536oo  4o58o 
55346  00072 
67091  5g58i 


i .23946  76160 
1 . 26693  03749 
1 .27439  33430 
1 .29185  64160 
1.30931  96853 


0.97773  66266 
0.99620  ^^Q'ij 
1 .01267  67820 
1 .o3oi4  74774 
1.04761  85423 


1 .o65o8  99696 

1.08266  17616 

1 . iooo3  388o6 

1 .11760  63482 

1 . 13497  91456 

, 16245  22636 

, 16992  56927 

,  18739  94229 

,20487  344.39 

,32234  77460 


F  (40). 

0.78674  67437 
o.8o322  06788 
0.82069  63572 
83817  27777 
0.86664  99383 
0.87312  78357 


0.89060  Q^^Q 
0.90808  68246 
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0.97801  04108 
0.99649  33067 
1 .01297  688i  1 
1 .o3o46  1 1261 
i . 04794  6020c 


. 32678 
,34424 
,36170 

■'^7B^7 
,39663 


28487 
61993 
96313 
31590 
67161 


1 .41410 
1.43166 
1.44Q02 
1 .4^^% 
1.48396 


1 .23982  23 162 
1 .25y2()  ji4'5i 
I .27477  22172 
I .29224  76265 
1 .30972  3o656 


1 .06643  16770 
1.08291  77671 
1 . 10040  45661 
1.11789  19663 
I .13537  99446 


1.16286  86041 
1 . 17035  76177 
1 . 18784  72677 
1 .2o533  74367 
1 .22282  81027 


F(5o). 


0.78694  1 1090 
0.80342  82223 

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0.83840  69060 

0.86689  653 12 
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0.94336  66594 
0.96086  4o63i 


0.97836  26421 

0.99686  21 123 

01 336  27478 
o3o86  44316 
04836  71455 


1.06687  08698 
1.08337  66838 
1 ,  10088  12666 
1.11838  78916 
1 . 16689  54377 


1.15340  38784 
1 . 17091  31870 
1 . I 8842  33359 
i .20693  42963 
1 . 22344  6o385 


.32719 
.544^7 
,36216 
,37962 
,39710 


87961 

47612 
08609 

71409 
36S78 


06669 
40661 

78046 

i69^9'i 
54'^i9^ 


.41458 
.43206 
.44963 
.46701 
, 48448 


01780 
68976 
37326 
c6688 
76922 


1.60141  92972J1 .60196  47884 
1.5 1888  3i"883|  1.6 1944  19428 
1.53634709881.53691  91410 
1.55381    ]oaa3;  1.55439  63684 


1 .24o3i  92491 

1.26781  08548 

1  27660  28990 
1 . 29279  536o3 
1 .31028  82170 


1.32778  14468 
1 .34527  60268 
i .36276  89339 
1 .38026  31446 
I .39776  76349 


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1 .46274  73566 
I .46024  25385 
1 .46773  79010 
1.48623  34187 


1.24096  863 19 
1.25847  17448 
1.27698  56448 
1 .29660  01985 
1 .3i 101  53717 


1 .32866  1 1296 
1 . 34604  74^^4 
1 .36366  4'''559 
i.38io8  i55i"i 
1.69869  92845 


1 .60272  90660 
1 .62022  48171 
1 .66772  06464 
I .55521  66277 


1.67127  49624'!  .67187  3610611.67271  24660 


1.41611  74'79 
1.43363  69128 
1 .451 i5  47602 
1.46867  385o6 
1.48619  61743 


1 .60671  2721 1 j 
i  .62126  24608! 
i .53875  22628 
1 .66627  21764 
1 . 67679  2 1 309 


TABLE  IX. 


^9 


6 

7 
8 

9 

lO 


E(5»). 


12 

i5 


i6 

'7 
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'9 

20 


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23 

24 
25 


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0.01745 
0.03490 
o.o5235 
0.06981 
0.08726 

o) 10471 
o. 12217 
o. 13962 
o. 16707 

17453 


00000 
32858 
653 12 
96960 
27397 
66226 
■83Ô45 
07458 
29073 

62350 


£(6°). 


73243 
79803 
81667 
78438 
0.26177  69787 


0.19197 
0.20942 
22687 
24432 


,26 
27 
28 

•29 

j3o_ 

3i 

i32 

;33 

;34 

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,37 
138 
,39 

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142 

43 

144 
;45 


.27922 
.29667 

.3l4l3 

.33i56 
.34901 


5555o 
34781 
07742 
73900 
32933 


.  00000 
.01745 
.03490 
,06235 
,06981 
,08726 


£(7")- 


00000  o 
32829  o 
66076  o 
g6i63o 
2661 1  o 
62643 


, 10471 

,12216 

, 13962 

16707 

17462 


76684 
97366 
14023 
26092 
33019 


20942 
22687 
24431 
26176 


34253 
29263 
17483 

98417 
71636 


.36645 
,38390 
,  40 1 34 
,41878 
43623, 


84526 
28376 
64184 
91667 
10647 


,45367 
47111 
48856 
60698 
62342 


20669 
21449 
1297] 
94895 
67000 


64086 
66829 
67673 
69316 
61069 


29077 
80929 
22372 
53236 
73361 


62802 
64545 
66288 
68o3i 

69774 


27921 
29666 
3i4io 
33i64 
34899 


36332 

92307 
38973 
76863 
02482 


, 00000 
,01745 
, 03490 
06235 
06981 
08726 


00000 
32793 

96224 
23286 
48200 


E(8°). 


10471 
12216 
13961 
16707 
17461 


.19196 
.20941 
, 22686 
,24431 
,26176 


69186 

85469 
96279 
00854 
98458 
8828^ 
69666 
41823 
04071 
66696 


.36643 
.38387 
. 40 1 3 1 
,41874 
.43618 


1 8409 
23i94 
1641c 
97647 
66607 


.45362 
. 47 ' o5 
.48848 
,60692 
,62335 


22608 
65582 

95079 
107S6 

12321 


82601 

80826 

67913(0 

43760 

08276 


64077 
55820 
67663 
69306 
61047 


71616 
73269 

76001 

78485 


61379 
o3oo9 
33ii"3 
61667 
58619 


,62790 
.64532 
,66273 
.68016 
, 69766 


99447 
71868 
29292 

71499 
98261 


09340 
04673 
83779 
46806 
93621 


.71498 
.73239 
,74980 
,76721 
,78461 


238 12 
37686 
34771 
i55i3 
79183 


27919 
29664 
3'i4o8 
33i52 
34896 


96006 
24323 
39984 
42341 
30761 


00000 
01745 
03490 
o52'35 
0698 1 
08726 


00000 
32763 
H477 
94^4 
20727 
43204 


10471 
12216 
13961 
16706 
17461 


60669 
71781 
76866 
71817 
6865' 


E(9'). 


E(io°). 


.00000 
, o 1 745 
.  03490 
,06235 
,06981 
08726 


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32709  lO 

64116 
92924 
17836 
37661 


.19196 

,20941 
,  22685 

,  24429 

,26174 


35393 

01081 
54767 

96615 

22407 


.36640 

.38383 
.40127 
,41870 
,436i3 


04629 
63347 
06337 
33o39 
429 1  o 


.45356 

■47°99 
.48841 

60684 
62326 


35431 

101C2 
66447 
04009 

22356 


. 54068 
.66809 
.67551 
,69292 
,  6 1 o34 


21078 

99789 
68128 

96768 

1 2367 


.62776 
.645i5 
.66266 
. 67996 
. 69736 


07669 
81404 
33339 
63264 

70999 


.71476 
.73216 
.74966 
.76694 
.78433 


66390 
19311 
69662 
77370 
7239» 


■  27,9 1 8 
. 29662 
.3i4o6 
,  33 1 49 
.34893 


34540 
3io3c 
1 1012 
73639 
18086 


.36636 
.38379 
.40122 
.41864 
. 43607 


4355 

49262 

34436 

98368 

40346 


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,  12216 

,  13961 

16706 

17451 


60814 
663i7 
62802 
39012 
13702 


,19196 
, 20940 
,22684 
, 24428 
,26172 


7664 
236 12 
66417 
72870 
71820 


•  27.9  '  6 
. 29660 
. 3 1 4o3 
,33143 
,54889 


,45349 
,47091 
,488^3 
,  60674 
,523i5 


59686 
55739 
27879 
76612 
98073 


.54066 
.55797 
.67538 
,69278 
.61018 


.62767 

, 64497 
, 66236 

•  67974 

•  697 1 3 


96026 
65865 
10120 
27350 
'7146 

79135 
1 2976 
i836o 
96018 
42712 


, 7 1 45 I 
.73189 
•  74.927 
.76664 
,  7840 1 


6 1238 

5  0430 
1  o  I  69 
4o328'o 
408790 


,36632 
,  '5S574 
.40117 
,41868 

, 43600 


.45341 
.47083 
,48823 
,60664 
,523o4 


62118 
1 2649 
62317 
7c  o63 
6481.^ 

35684 
81378 
01238 
94238 
59487 
96 1 23 

o3322 

80294 

26284 

40677 


00000 
01745 
03490 
06235 
06981 
08726 


0000c 

32658 

6371 

gi565 

14617 

31277 


,  1 047 1 

,  12216 

13961 

16706 
17450 


3996 

39097 
2712c 
02482 
63648 


19193 
20959 
22683 
24427 
26171 


09101 
3704 
4689 
3629 
04 12c 


.64044 
.66783 
.67522 
.69261 
. 6 I 000 


22496 
71400 
86692 
67812 
14245 


.62738 
.64476 
,66213 
,67960 
, 69687 


.714^'^ 
. 70 I 69 
.74894 
.76600 
.78364 


255i5 
o  1 1 89 
40878 
44237 
10963 
40800 
33534 
89000 
07073 
87678 


.27914 
.29667 
, 3i4oo 
,33143 
,34886 


4896 

6q44c 
64206 
31939 
71356 


. 36627 
.38369 
, 40 1 1 1 
,41862 
.43593 


8l2C2 
60261 
07351 
21 332 
01  101 


.45333 

•  47073 
.48813 

,5o55a 
.62291 


,54o3o 
,66768 
,67605 
, 69243 
,  60980 


62716 
64452 
66188 
67923 
69667 


,71391 
.73126 
.74868 
,76691 
.78324 


PP 


45597 

53799 
24734 

67471 

5i  1261 

04869 

1 7882 

89455 

18887 

06639 

488^3 
48203 
03196 

1 337S' 
78365; 

98746; 
71554 
99280 
8b87ij 
16230 


55o 


1 

2 

3 
4 

6 

7 
8 

.9 

10 


TABLE  iX. 


11 

12 

i3 
i4 

i6 

i8 
'9 

20 


22 
23 

q4 

î5 


26 
;28 


F  (5»). 


o. OC 000  ocooo 
0.01745  329 
0.03490  66389 
o.o5236  00691 
0,06981  36004 
0.08726  73027 


FCfio). 


o . 1 0472 
o. 12217 
o. 13962 
o. 16708 
o. 17453 


i2o58 
53496 

97731 
45i56 
96168 


o-i9'9.9 
0.20945 
o . 22690 
0.24436 
0.26182 


0.27927 
0,29673 
o.3i4i9 
o . 33 1 65 
o . 349 1 I 


5i  1 1 

10412 

74414 

4^49' 

i8oo3 

"Ô83Ô3 

B4738 
77648 
77366 
84215 


0.36667 
o  38404 
0.40160 
0.41896 
0.43643 


^1 

52 
r33 

,34 

35_ 

36 

^7 
38 

^9 

4o_ 

4' 
42 

43 

f4 


98610 
2o556 
60662 
89086 
3bi3o 


.45389 

.471 36 

0.48883 

o.6o63o 

o  62377 


92066 
67116 
3i558 
16616 
09609 


o . 54 1 24 
0.66871 
0.67618 
o  .09365 
0.61  !  l3 


coooo. 

01745 

03490 

o5236 

06981 

08726 


00000 

33o2^o 

Ç6624 

01 388 

37891 

76710 


10472 
12217 
13963 
16708 
17454 


18419 
65588 
12783 

66667 
26496 


F(7«). 


o. 


ocooo 
01745 
03490 
o5236 
06981 
08729 


00000 

33067 

66qo3 

0200 

4011 

81062 


F  (8°). 


o. 


19199 
,  20945 
,22691 
,24437 
,26183 


90 1 1 7 
60976 
58607 
23539 
1 629 1 


27929 
,  29676 
3i4i''i 

,33167 
,34914 


17W1 

27281 
465o8 
76530 
14816 


3666o 
,38407 
,40153 
,41900 
, 43647 


64818 
25978 
98724 
83469 
80614 


,45394 
,47142 
48889 
.60637 
.52384 


9064^ 
13626 
60217 
00662 
66264 


i345o 
27636 
63263 
87474 
33460 


o , 62860 
0.64608 
0.66356 
0.68104 
0.69862 


90367 
'683oo 

3-'4io 
27792 
2964 


0.71600 
0.73348 
o  76097 
0.76845 
0.78694 


42737 
67446 
03717 
51690 
11090 


54i32 
66880 
,57628 
69376 
,61 126 


4432 
38i53 
47006 
71134 

10770 


62873 
64622 
,66371 
68120 
,69869 


66126 
37399 

28374 
48366 


10472 
12217 
13963 
16708 
17454 


26918 
75487 
3o53o 
91809 
60083 


19200 
20946 
22692 
24438 
26.84 


36098 
20693 
14297 
17927 
32 1 90 


,  27930 
.  29676 

.31423 

.33170 
. 349 1 6 


67780 
95376 
45544 
09236 
86786 


36663 
,38410 
4oi58 
,41906 
.43663 


00000 
01745 
03490 
06236 
0698 1 
08726 


OOOGO 
33096 
67222 

o34o6 
42674 
86048 


10472 
12217 
13963 
16709 
1 7454 


F  (9°). 


oooco 
01745 
03490 
06236 
06981 
08726 


00000 
53i4a 
67684 
04627 
45566 
91693 


F(io°). 


34545 
89177 
5oq48 
20854 
99883 


19200 
20946 
,22'693 
.24439 
,26185 


89009 

89197 
01398 

26549 
66673 


, 27902 
,29678 
,31425 
,33172 

■3491.9 


19374 
88841 

78235 
99849 


78914 
86220 
09287 
48681 
04946 


, 45400 
,47'48 
.48896 
,60645 
.62393 


78607 
70168 
801 13 
08902 
66974 


,54142 
66891 
,  67640 
,69389 
,61139 


24744 
12604 
20922 
6oo4o 
00276 


71618 
73368 
76118 
76867 
,78617 


62888 
64638 
,66388 
68139 
69889 


71924 
66261 
80497 
17877 
77678 


84855 
37941  jo 
07698 
94180 
■97426 


7 1 H40 
73391 
76142 
,76894 
,78646 


69760 
64558 
92076 
42396 
15563 


,36667 
,384i5 
,40162 
.41910 
.43669 


40474 
00918 
81938 
84271 
o863o 


10472 
12218 
13965 

1 6709 
17455 


44292 
04643 
74016 
53669 
44849 


19201 
20947 
22693 

24440 
,26187 


48790 
667 1 1 
99814 
49286 
16291 


27934 
29681 
31428 
33176 
34293 


01978 
07469 
33866 
82247 
5366 


45407 
47166 
48906 
60654 
,62403 


55706 
26164 
20611 
39681 
83939 


,54153 
, 66903 
57653 
,69404 
,6ii55 


53929 
60167 
73 104 
23283 
oio33 


,62906  06769 
, 64667  40843 
,66409  03673 
,6816b  96243 
.69913  16101 


,  i',»ri,hf!Wrr^'B-r-saT  t'%i,h,imwsa 


.71666  66362 
.73418  46203 
.76171  66767 
.76924  96168 
.78678  6444-j 


36671 
,38419 

40168 
,41916 

. 43666 


ocooo 
01745 
03490 
o5a36 
06981 
08726 


00000 

33iq3 

67988 
06986 
48786 
97977 


10472 
12218 
1 3963 
1 6709 
17455 


55 146 
21868 

99707 
90214 
94928 


,19202 
20948 
,22696 
,24441 
,26188 


15370 

53o44 
C9432 
86996 
84178 


491 36 
69665 
16219 
89732 
91110 


27906 
29683 
3i43i 
33179 
34927 


05390 
61022 
22432 
20962 
47881 


,45416 

471*^4 
,48914 
.60664 
.62416 


36676 
38424 

40174 
41923 
43673 


04486, 

91.996 
1 1611 
64489 
61761 


21227  o 
80930  o 

7^994 
92217 
45320 


54166 
,55917 
,  67669 

69420 
,61 173 


.62926 
, 64678 
.6643) 
.68186 
•  69939 


30998 
49906 
02667 
89831 
11960 

6^ 
63o  1 5 
9^^799 

5q253 

62698 


,7i6q4 

73448 

.76203 

,76969 
,78716 


c34io 
81618 

976 1  o 

5 1223 

42861 


45423 
47174 

,48926 
,  60676 

,52428 


74478, 

33709 

3o44i| 
666261 
40174 


54180 
66933 
,67686 
,69439 
,61193 


,62947 
, 64702 
,66457 
6821 3 
69969 


549461 

10754 
o8368' 
48604J 
31827 


68962: 
304431 
46811 
08612' 
1 6948; 


,71726 
,73482 
, 76240 
,76998 
,78766 


69467; 
6936 1 j 
1586:^ 
09 1 641 
493751 


"Taj^MttaiflUfca 


TABLE  IX. 


S5i 


9- 

'45° 
46 
47  I 
48 

49 

5o_ 

5i 

52 

53 
54 

55_ 

56 

57 
58 

6o 
67 
62 
63 

64 
65 


66 

67 
68 

6.9 

70 


71 
72 

73 
74 

zi. 

76 

77 
78 

79 
80 


E(5°). 


78435 
.80227 
,81969 
,8371 1 
,85452 
,87194 


58619 
53990 

^7777 
10001 

70695 

1 9908 


£(6"). 


.^58935 
,90676 
.92417 
■94 '59 
•9^899 


57703 
84157 

99359 
03414 
96439I0 


,78461 
80202 
81942 
83682 
85422 
87162 


, 88902 
,90641 
,92380 
,94120 
95859 


79183 
26367 
56873 
70732 
67992 
48723 
i3oi3 
60974 
92734 
08445 
08269 


97^4° 
99381 

01  122 

02862 
04603 


785b6jO 

49939  o 
10715 
6io65 
01 172 


.  06343 
,08083 
.09823 
.11563 
.i33o3 


3 1232 

5145? 

62055 

63269 

55340 


i5o43 

16783 

i85â2 

.20262 


1 

1 . 

i 

1 

1 .22001 


81 
82 
83 

84 

85 


38590 
13076 
79284 
37429 
87808 


23741 
,25480 
,  272 1 9 
,28969 
,30698 


30725 
66497 
95445 
17902 
34206 


,52437 
.541^6 
. 559 I 5 
.37654 
. 39393 


44705 
49755 
4.9714 

44q5j 

35839 


86 
87 
88 

.89 
90  1 


4 1  1 32 

.42871 
. 44609 
.4634"8 
.48087 


■975,97 
.99336 

.01075 
.02813 
. 0455 I 


92402 
61047 
14433 
52804 
76423 


.06289 
.08027 
. 09765 
. I 1 5o3 
. 1 3240 


8557 

8o55o 

61674 

29278 

83711 


14978 
, 1 67 1 5 
.1845.* 
, 20 1 89 
.21926 
■23663" 
.25400 
,271 36 
,28873 
. 30609 


E(7°). 


,78433 
80:72 
81910 
83649 
85387 
,87125 


72392 

447^^ 
94337 

2l3lO 

26694 

07685 


88862 

,90600 
,92337 

,94074 

.95810 


67103 
04396 
19640 
i3o38 
84820 


.97547 
.99283 
,01019 
,  02755 
.04491 


35240 
64580 
73149 
61278 
29326 


,06226 
,07962 
.09697 
.  11432 
,i3i66 


77674 
06732 
16929 
08717 
82674 


2.5340 
54547 
71727 
77294]  I 
71 6731 1 

553S4 
28640 
92148 
463o4 
91696 


,  14901 
,16635 
, 1 8370 
.20104 
.21838 


38998 
78607 
01642 
08964 
01062 


,32346 
. 34082 
,35818 
.37664 
.39291 


28626 
67603 
79348 

9429' 
02966 


22755 
o6o83 
86211 
6353o 
38434 


,49826 
.61664 
.533o3 
. 55o42 
.66780 


1  l322 
82693 
62660 
21898 
90740 


.41027 
.42763 

.44498 
.46234 
.47970 


06920 
03704 
96877 

86oo3 
71660 


• 49706 
.  5 1 442 
.53178 
.54913 
.56649 


.23571 
.263o5 
, 27038 
.28772 
. 3o5o5 


78606 
41938 
91986 

29299 
54543 


,32238 
.33971 
, 35704 
.37437 
.39170 


68398 
71660 
64736 
48645 

24020 


.40902 
,42635 
•44368 
.46100 
.47832 


E(a^). 


7840 1 

8oi38 
81874 
,836io 
,86346 
,87081 


40879 
11788 
53o68 
64767 
46973 
99806 


»8»i7 
90662 
92286 
94021 
96755 


23421 
i8oi3 
838 11 

21076 
3oio8 


■97489 
99222 
00966 
,02688 
,04421 


11238 
64836 

9»  299 
91063 
64596 


. 06 1 54 
.07886 
,09618 
. I i35o 
. i3o8i 


12394 

349  „ 
32943 
06847 
67322 


,14812 
,16643 
. 18274 

,20006 
,21735 


86018 

90614 
74816 
38363 
81983 


,23466 
.26196 
.26926 
.28656 

,3o385 


E  (9°). 


.78364 
80099 
,8i833 
,83567 
,853oo 
,87033 


.88766 
,90498 
,92229 
,93961 
■  95692 


87678 
30786 
36407 
04606 
35488 
29203 

ts^ 

06969 
89548 
37019 

48760 


06488 
12674 
01368 
73418 
29696 


.321 14 
.33843 
.35673 
, 37302 
.39031 


71088 
98604 

12869 
1 5 1 23 
06222 


5439 

34804 

j3468 

90965 

67878 


•49566 
.61297 
. 53o3o 
. 54762 
.56494 


9 1 6o3 
62146 
06406 
66164 
99166 

39221 
76104 
10604 
4351 5 
7563o 


.40769 
,42488 
.44217 
.46945 
.47674 


87136 
58847 
22349 
78646 
2876 


.49402 
.5i i3i 
.62869 
.54587 
.66296 


73684 

i447' 
62144 
87739 
22296 


97423 
99 1 53 
00883 
02613 
04342 


26187 
66764 

7399 
4743 

87670 


06071 
07800 
09629 
, 11267 
,12986 


95327 
71078 
i6632 
29737 
14181 


1 47  •  2 
16439 
18166 
19893 
21620 


69784 
974o3 
97930 
72292 
21446 


E(io°). 


,78324 
,8oo56 
,81787 
,835i8 
.86248 
, 86979 


iSaSo 
c53i8 

4^  ^4^ 

44795 
95386 

00106 


88708 
,90437 
,92166 
,93894 
96622 


59197 
72954 

41731 
66933 
46023 


, 23346 
26072 
.26798 
,28623 
■  30249 


4638 1 
48116 
27699 
86204 
24732 


31974 
■  33699 
,35424 

.37.49 
.38873 


44410 
46386 
3i83o 
01936 
57913 


.40698 
.42322 
.44046 
,45770 
•47494 


00990 
32410 
6^43. 
66326 
69377 


,49218 
, 60942 
,62666 
.54390 
,56114 


66875 
69123 

47427 
33o99 
17453 


97349 
,99076 

. oo8o3 
02629 
.04255 


82618 
76987 
27062 
36387 
o47'9i 


06980 
07706 
09429 
,iii63 
,  12877 


328241 
21628 
71706 
84277 
6o2i3 


14601 
16324 
18046 

19769 
21491 


00628 

06278 

78664 

i8528| 

27352: 


2321  3 

,24934 
26666 
,  28376 

,  30097 


062681 

565o3| 

79379  i 
76216, 
48371 I 


.31817 
.33538 
.35268 
,36978 
. 08697 


.40417 
.42136 
.43856 
.46676 
.47294 


97234' 

24226 

30792 

i84o5, 

88660! 

49774 

82584 

09644 
26226 
3i2i5 


.49013 
. 60732 
.62451 
.54169 
,55888 


29107, 

2o5lO 

07040 
9o3i7 
71966 


352 

TABLE  IX. 

(f>. 

45' 

F  (5°). 

F  (6°). 

F  (7'). 

F  (8°). 

F  (3°). 

F(io°). 

0.78594  11090 

0.78617  97426 

0.78646  15563 

0.78678  64447 

0.78716  42861 

0.78766  49376 
o.8o5i5  36666 

4b" 

0.80342  82223 

0 

8o368  17448 

0 

80398  u6o5 

0.80432  63668 

0.80471  72443 

47 

0.82091  64986 

0 

82118  54242 

0 

82i5o  3o5i4 

0.82186  92817 

0.82228  40000 

0.82274  70747 

48 

0.83840  59360 

0 

83869  07782 

0 

83902  72259 

0.83941  5i856 

0.83986  45477 

0.84034  61869 

4q 

0.85589  653i2 

0 

85619  78021 

0 

85655  5Sjyq 

0.85696  40708 

0.86742  88783 

0.86794  79826 

5o 

0.87338  89795 

0 

87370  64894 

0 

87408  23985 

0.87451  59262 

0  87600  69781 

0.87555  64456 

;5l 

0.89088  11746 

0 

89121  683i3 

0 

89161  33760 

0.89207  07367 

0.89268  88286 

0.89316  75539 

52 

0.90837  52092 

0 

90872  88170 

0 

90914  65961 
92668  20416 

0.90962  84840 

0.91017  44^^9 

0,91078  42795 

53 

0.92587  03742 

0 

92624  24^38 

0 

0,92718  91459 

0.92776  36853 

0.92840  55889 

54 

0.94336  66594 

0 

94^7^   76670 

0 

94421  96925 

0.94475  26965 

0.94535  663i8 

0.94603  14432 

55 

0.9S086  4o53i 

0 

96127  45ooc 

0 

96170  95265 

0.96231  91068 

0.96296  32097 

0.96366  17976 
0.98129  66014 

56 

0.97836  25421 

0 

97879  29138 

0 

97930  i5i8o 

0.97988  83440 

0.98066  33778 

5? 

0.99386  21 123 

0 

99631  28881 

0 

99684  56393 

0.99746  03717 

0.99816  70903 

0.99893  67990 

58 

1 .01 336  27478 

01 383  44'^'^^ 

01439  18598 

i .oi5o3  5i5o2 

1.01676  42974 

i  .01667  93289 

59 

i.o3o86  44316 

o3i35  74257 

o3i94  01461 

1.03261  26363 

i. 03337  49447 

i . 03422  7 1 242 

bo 
6i 

1.04836  71455 

04888  19382 

04949  04628 

1 .06019  27835 

1.06098  89733 

i .06187  91 127 

1.06587  08698 

06640  79098 

06704  27714 

1 . 06777  55420 

i .06860  63ao5 

1 .06953  62170 

b'2 

1.08337  55838 

08393  53 104 

08459  7o3i4 

1.08536  08687 

1 .08622  69190 

i .08719  53545 

b'S 

I . 10088  12655 

10146  4io83 

io2i5  31997 

1 . 10294  86773 

1 . io385  06979 

i .  io48'5  94373 

b4 

i.ii838  78915 

11899  42700 

11971  i23o7 

i.i2o53  89386 

1. 12147  76819 

1 . 12262  76728 

b5 
66 

i . 13589  54377 

i3652  57604 

13727  10766 

i.i38i3  16798 

i . 13910  74920 

1 .14019  90634 

1.15340  38784 

i54o5  8543o 

15483  2S874 

1. 16672  65358 

1.16674  03454 

1 . 1 5787  44066 

b7 

1 . 17091  31870 

17159  25793 

17239  60109 

1.17332  37381 

I . 17437  6o555 

1 . 17655  32965 

68 

1.18842  33359 

18912  78293 

18996  09926 

1 . 19092  3i i56 

I . 19201  45320 

1 . 19323  56i85 

b'.9 

1 .20593  42963 

20666  42518 

20762  75762 

i .20862  45945 

1.20965  6681 3 

1.21092  12696 

70 

1.22344  6o385 

22420  18037 

225o9  57o3i 

1 .22612  80984 

1 . 22729  94063 

1.22861  00987 

71 

1 .24095  85319 

24174  04409 

24266  53i3o 

1.24373  35480 

1 . 24494  56067 

1 .24630  201 16 

72 

1.25847  17448 

25928  01 178 

26023  63436 

1.26134  08618 

1 .26269  41789 

1 . 26399  68700 

7'à 

1.27598  56448 

27682  07873 

27780  87310 

1 .27894  99660 

i  .28024  60166 

i .28169  454 '9 

74 

i .29350  01985 

29436  2401 5 

29538  24094 

1 . 29656  07446 

I .29789  801 o3 

1.29939  48918 

75 

i.3noi  53717 

31190  49' 10 

31295  73ii5 

1 .3 «417  31392 

i.3i555  3o48o 

i .31709  77806 

76 

1 .32853  1 1296 

32944  82654 
34699  24132 

33o53  33686 

1 .33178  70497 

1.33321  00147 

1.33480  3o658 

77 

1.34604  74364 

34811  o5l02 

1.34940  23838 

i.35o86  87933 

1.36261  06021 

78 

1.36356  42559 

36453  73019 

36568  86646 

1.36701  90474 

1.36852  92643 

I .37022  0241 1 

7.9 

i.38io8  i55ii 

38208  28782 

38326  77590 

1.38463  69450 

1.38619  i3o6i 

1.38793  i83i8 

80 
81 

1.39859  92845 

39962  90877 

40084  77192 

1 .40226  69792 

i.4o38'5  47948 

1.40664  62206 

1 .41611  74179 

41717  58756 

41842  84700 

1 .4^987   60616 

1,42161  96049 

1 .42336  0261 3 

82 

1.43363  59128 

43472  3 1860 

43600  99352 

1.43749  70617 

1 .43918  66092 

1.44107  67662 

8i5 

i.45i i5  473o2 

45227  09625 

45359  20379 

1.455 11  89087 

1.45685  26789 

r. 45879  46062 

84 

I .46867  383o6 

46981  91482 

471 17  47000 

1.47274  14903 

1.47452  o6838 

1.47651  36o66 

85 
186 

1.48619  31743 

48736  76856 

48875  78428 

1 .49036  47033 

I .49218  94926 

I .49423  36070 

1 .50371  2721 I 

50491  65 166 

5o634  13873 

1.60798  84436 

1.60985  89728 

1 .5i 196  444^^ 

i87 

1.521 23  24308 

52246  55829 

62392  52538 

1.62561  26065 

I .62762  89912 

i .62967  69462 

88 

1 . 53875  22628 

54001  48261 

541 5o  93619 

1 . 54323  70870 

1.54519  94139 

1.54739  79627 

i8c) 

l .55627  21764 

55756  41874 

55909  363i3 

1.66086  17793 

1 .56287  01064 

1 .56612  02946 

j9o 

1.57379  21 309 

1.57511  36078 

i .57667  79816 

1.67848  66777 

1 .58o54  09339 

1.68284  28043 

TABLE  IX. 


§153 


1 

2 

3 

4 

_5_ 

6 

7 
8 

9 

lO 

1 1 

12 

i3 

i4 
i^ 

i6 

'7 
i8 

J9 

20 

31 
22 
23 
24 
25_ 

26 
07 
28 
29 

3o 

137 

132 

:33 

|35_ 

136 

'^7 
38 

39 


E(io»). 


00000  00000 
01745  32658 
o34qo  63713 
o5235  91 565 
o6q8i  14617 
08726  31277 


10471 
12216 
13961 
15706 
17450 


09961 

27120 
02482 
63648 


19195 
20939 
22683 
24427 
26171 


09 1 0 1 
37341 
46891 
36295 
04120 


î'79'4 
29657 
3 1400 
33143 
34885 


4896 
69440 
64205 
31939 
71 356 


36627 

38369 

401 1 1 

4i852 

43593_ 

45333" 

47073 

4881 3 

5o552 

52291 

54o3o 

55768 

575o5 

59243 

60980 


81202 
60261 
07351 
21 332 
01101 

45597 

5^799 
24734 

57471 
5i  125 
04859 
17882 
89455 
18887 
05539 


E(u»). 


, 00000 
. o 1 745 
. 03490 
. o5235 
06981 
08726 


10471 
12216 

13960 
15705 
17450 


00000 
02602 
63270 
90070 
11074 
24060 

28016 
2014!^ 
9885 1 
62271 
08549 


'9>94 
20938 
22682 
24425 
26169 


35852 
42371 
26520 
85940 
19602 


27912 
29655 
3 1397 
331S9 
34881 


253o6 
Cl  686 
47012 
5969 
38167 


36622 
38363 
4oio4 
4.844 
43584 


80926 
86497 
53452 

804 1  o 
66039 


,45324 

.47063 

,48801 

,  5 0539 
.52277 


09054 
08223 
62364 
70352 
3i  116 


62716 
64452 
66188 
67923 
69667 


48823 
48203 
o3 1 96 

13375 
78365 


4> 
42 
43 

44 
14s 


,71^.391 
73125 
74858 
7659 1 
,78324 


98746 
71554 
99280 
80^71 
16230 


54014 
55761 
,57487 
.59222 
. 60967 


43641 
06970 
20207 
8261 5 


E(l2»). 


.00000 
,01745 
03490 
.06235 
06981 
,08726 


00000 
32642 
62787 
88439 
07299 
16818 


10471 
12216 
13960 
16705 
17449 


14992 

99474 
68026 
18425 
48469 


1 9 1 93 
20937 
22680 

24424 
26167 


66983 
388 16 

94847 
21988 
181 83 


27909 
29662 
3 1 394 
33135 
34876 


36617 
38357 
40097 
41 836 
43575 


8i4i5 
09703 
01 109 
53740 
_65748 
35332 
60743 
40283 
7231 1 
66240 


4551 3 
47061 
48788 
60625 
62261 


53997 
56732 
67466 
69200 
93 1 19I0. 60933 


87642 
67761 
94461 
66333 
82090 

40623 
40493 
80931 
60840 
79294 


ECiS"). 


coooo 
01745 
03490 

o52.-!)5 

06981 
08726 


00000 

32477 

62264 

86676 

o3o3i 
08669 


10471 
12216 
13960 
16704 
17448 


00903 

77' 19 
34686 
70998 
83483 


19192 
20936 
,  2^679 
24422 
26166 


69689 
26799 
62629 

4463'r) 
00404^ 


27907 
29648 
3 1 390 

33i3i 
34871 


17677 
93833 
26901 
14561 
54648 


.36611 
3835o 
,40089 
41 82*7 
.43565 


46060 
83717 
68660 

97951 
69731 


.45302 
.47039 
,48776 
.60610 
.62245 


82206 
33665 
2^43° 

06735 


.62692 
64426 
66160 
, 67893 
.69626 
.71357 
,73088 
,74819 
.76549 
.78279 


5i3o4|0. 

56421 

07884 

0617a 

47830 

■35468 
67763 

44459 
66368 
30372 


62666 
64398 
66199 
67860 
69690 
71319 
73o48 
74776 
76603 
78230 


35440 
285o3 
67783 
22667 
22679 


57082 
25778 
28359 

64  5q'8 

34347 


53978 

66712 

57444 

69 1 76 
60907 
r62"6.?8" 
.64567 
.66096 
.6789,4 
,69552 


E(i4o). 


00000 
01745 
03490 
06235 
06980 
08725 


00000 
32406 
61703 
84781 
98549 
99896 


10470 

122x5 
13969 

16704 
17448 


86770 

63 106 
9886.Q 
2006c 
i3668 


19191 
,  20935 
.22677 
,  24420 
,26162 


76776 
06456 
998^9 
54091 
66426 


.  27904 
.29645 
.3i386 
,33126 
,04866 


34107 
54451 
24827 
4'2G6S 
06469 


,366o5 
.38343 
4008 1 
41818 
.43555 


107  62 
56499 
39464 
58395 
10626 


,45290 
47026 
,48760 

.  5o494 
.62227 


94986 
07312 
47790 
13894 
o3884 


97347 
20454 
73798 
66206J0. 
66586|o_ 
03940  !o. 
6735  l'o. 
569q4|o, 
69  i35|o 
06126  o 


,53969 
,  66690 
.  6742 1 
.69160 
,60879 


161 12 
49024 
01 1 68 
71 160 
577^4 


.71278 

. 73oo4 
74729 
.76453 
.78177 


6641710 

49649 

55164 

82969 

32793 


62607 

64p4 
66061 
67786 
6961 1 

71234 
72967 

74679 
76400 

78120 


59744 
761 16 
0688^ 
48193 
02290 


E(i5°). 


67629 
4337- 
2q385o 
26249  ° 
3076 1 o 


00000 
01745 
03490 
o5235 
06980 
08726 


00000 
32332 
61  io4 
82768 
93748 
906,37 


10470 
1221 6 
13969 
16703 

^7447 


69607 
2>468 
606 1-' 
6563^ 
39107 


19 190 
20933 
22676 
24418 
26 1 60 


77649 
77998 

3665" 
5c58o 
i65i8 


27901 
29641 
3i38i 
33x21 

34860 


3i335 

91949 

96. '62 

38599 
i88i3 


36698 
38335 
40072 
41808 
43543 


33191 
790 1 6 
53635 
54490 
79 109 


46278 
4701 1 
48744 
60476 
62207 


539^^7 
66b"67 
67395 
69 1 23 

60849 


69676 
64999 
66023 
67745 
69467 


26106 
90189 
72163 
68900 
28491 
98953 
28628 
65636 
o84o5 
5568 1 
06017 
68186 
1 1078 
6  370' 
i5i88 


71187 
72907 
74626 
76.342 
78069 


64787 
1 1879 

55949 
96620 
33664 


"17 


i54 


Table  ix. 


F(io°). 


16 
18 


21 
22 

23 

24 

25 


I? 


3i 

32 

33 
34 
35 


36 

37 
38 

39 

40 


41 
42 

43 

44 
45 


,00000 
01745 
03490 
o5236 
06981 
08726 


00000 
33i.q3 
67988 
06986 
48785 
97977 


F(u°). 


.00000 
.01745 
.03490 
.o5236 
.06981 
.08727 


10472 
12218 
13963 
15709 
17455 


19202 
20948 
22695 
24441 
26188 


.27936 
.29683 
,3"i43i 
.33179 
,34927 


55 1460 
218680 
99707  o 
90214  o 
^94928 
15370 
53o44 
09432 
85996 
84178 
05390 

5l022 
22432 
20962 
47881 


00000 
33248 

6843c 
07481 
52329 
04895 


. 1 0472 
12218 
13964 
16710 
17466 


67094 
40828 
27987 
30445 
5oo6i 


F(ia°). 


. 00000 
.01745 
.  03490 
. 06236 
.06981 
, 08727 


00000 
333o8 
68914 
09113 
56194 
12440 


.  19202 
.20949 
,22696 
,24443 
,26190 


.36676 
.38424 
,40174 
,41923 
,43673 


04486 

91996 
1 161 1 
64489 
61761 


26 

27 

28  lo 
o 
o 
o 
o 
o. 
o, 
o. 


45423 

47174 
48925 

60676 
62428 


7447^ 
33709 

3o44i 
66626 
40174 


.  27938 
.  29686 
.31434 

.33182 

^34931 


88672 
48096 

3oi25 
36528 
69b45 
29388 
19236 
4o235 

93996 
82093 


, 1 0472 
,12218 
,13964 
16710 
17457 


80123 
6i5o3 
58826 
74317 
10184 


F(i3°). 


.00000 
.01745 
.03490 
.06236 
,06981 
,08727 


00000 
33373 
69437 
10877 
60373 
20699 


3668 1 
3843o 
40180 
41931 
43681 


o6o58 
67387 
67631 
07890 
89839 


54180 
66933 
67686 
69439 
6i  193 


54945 
10754 
o8368 
485o4 
31827 


•62947 
. 64702 
.66457 
.68213 
69969 


68962 
30443 
46811 
08612 
1 5948 


.71726 
.73482 
.76240 
,76998 
, 78766 


69361 
r5867 
09164 
49376 


45433 
47184 
48936 
60689 
62442 


i4Qy6 
83669 
98029 
68916 
67435 


,  19203 
,  20960 
,22697 
24445 
26192 


68611 
61768 
61767 
00711 
70688 


.27940 
.  29689 
.31437 
,33.87 
.34936 


73724 
1 1820 
86934 
00985 
65846 


36686 
38436 
40187 

41939 
4369 1 


53346 
96266 
83337 
19238 
04690 


. 10472 
12218 
13964 
1671 1 
17457 


94216 
83868 
92186 
21776 
76224 


F(»4°). 


00000 
01745 
03490 
06236 
06981 
08727 


54196 
55960 
67704 
69469 
61216 


62971 
64728 
66485 
68243 

70001 


24636 
3i6i2 

88999 

97971 
69242 


76667 
41637 
64078 
41452 
74256 


71760 
73620 
76280 
77040 
78801 


62920 
C7808 
09216 
67371 
82433 


45443 
.47196 

•48949 
. 60703 
, 62468 


. 542 1 3 
.66969 
,67726 
.69482 
.  6 1 239 


62998 
647S6 
665i6 
68276 
70037 


4oq63 

29866 

7^749 

70999 
26939 

38829 
ioB6\ 
43i56 
56767 
32677 


19204 
20961 
22699 
24446 
a6i94 


66092 
63910 
04176 
78355 
88876 


27943 
29692 
31441 
33191 
34941 


38127 
28453 
62165 
41486 
6S647 


36692 
38443 
40195 

4^947 

43700 


46789 
76004 
58328 

977^7 
9^^4 


,10473 

,12219 

13965 

16711 

17468 


00000 
33444 

69998 
12771 
64S65 
29365 
09355 
07896 
28026 
72767 
45110 


F(t5»). 


. 00000 
.01745 
. 03490 
,06236 
,06981 
,08727 


00000 
335i8 
70697 

14794 
69668 
38727 


.  19206 
. 20962 
. 22700 
.24448 
,26197 


48020 
84427 
67226 
69270 
23376 


27946  223 II 
29696  68797 
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34947  19967 


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, 1 0473 

,  12219 

13965 

16712 

17459 


26624 
33556 
663o5 
27229 
19766 


. 19206 
,  20964 
,22702 
.24450 
26199 


47281 
i3i  64 
20723 
7323i 
73917 


0.27949  26968 
29699  32476 
3 1449  96535 
o . 3320 1  2 1 1 39 
0.34953  09227 


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0.41967  426440.41967  62743 
0,43711  605630.43722  99837 


0.62476  143960.62493  3i4o5 


11792 

9494^ 
42898 
56329 
35845 


71798 
73660 
75323 
77087 
78861 


64231 
55989 
67747 
69606 
61266 


9^  ^49 
47339 

69299 

63277 

3o438 


63o26 
64787 
6654q 
683i2 

70076 


71864 
88548 
81396 
61226 
98759 


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0.48978  39023 
0.60735  4^^^^ 


.54261 
.6601 1 
.67771 
. 69632 
.61294 


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0.4723&  35 143 
0.48994  28064 
0.60753  07449 
0.5261a  75445 


81970 

9^^4^, 
7574610 
24048  o 
40266  o. 


.71840 
, 73606 
,76371 

77137 

,78906 


2463 1 
29381 
13464 

77201 
20875 


, 63067 
.64821 
,66585 
,6835i 
701 17 


96100 
39362 
66762 
76736 
7o683|o 

618660 

20455 

77621 

24o3i 

60846 


.54273  34069 
66034  86204 
.67797  30692 
,69660  72227 
6i325  11402 


71884 
73653 
75422 
77192 
78963 


88722 
o83o6 
201 35 
24637 
22127I0 


. 63090 
.64856 
.66624 
.68392 
, 70 1 62 


49701 
88493 
29030 
72448 
19761 


71932 
73704 
75476 
77200 
79026 


71862 
29621 
93380 
63q65 
41637 


TABLE  IX. 


^55 


E(io»). 


45° 
46 

47 
48 

È 

5i 
5a 
53 

54 

55 


56 

57 
58 

5.9 
60 


61 
6a 
63 
64 
65 


66 
67 
68 

69 

70 


71 
72 

73 

74 
75 


76 

77 
78 

79 
50 


8a 
83 
84 
85_ 

86 
87 
88 

89 

90 


.78324 
8oo56 
8 1 787 
835i8 
85248 
86979 


i623c 
o53i8 
48149 
44795 
953^ 
ooiob 


E(ii°). 


.88708 
.90437 
,92166 
,93894 
,95622 


^9'- 97 
72954 
41731 
65933 
46023 


•97349 
.99076 

, oo8o3 

,02529 

, 04255 


825i8 
75987 
27052 
36387 
04719 


, 05980 
. 07705 
,09429 
. 11 i53 
.12877 


32824 
21528 
71705 
84277 
6021 3 


, I 460 i 
,16324 
,18046 

■'97% 
,21491 


00528 
06278 
78564 
18528 
27352 


.232l3 

.24934 
.26655 
.28376 

, 30097 


06268 

565o3 

79^79 
76215 
48371 


,318.7 
,33538 
.35258 
.36978 
.38697 


97234 
24226 
30792 
i84o5 
8856o 


.40417 
. 4a  »  36 
.43866 
.45575 
.47294 


42774 
82684 
09544 
25226 
3i2i5 


.49013 
.60732 
.62451 
.54169 
.55888 


29107 
2o5io 
07040 
90317 

71966 


78279 

80008 
81736 
83464 
86192 
86919 


3o372 

394^7 
92619 
89762 
31299 
17350 


88646 
90371 
92096 
93821 
95545 


48204 
24317 
45810 
13475 
27767 


97268 

9^99' 
00714 
02436 
04168 


89308 
98783 
56944 
64'6o4 
22639 


06879 
07699 
09320 
11039 
1 2769 


31986 
93641 
08663 
78165 
o33i7 


14477 
16196 

ï79>4 
19631 
21349 


85344 
26626 
26192 
86726 
08554 


23o65 
24782 
26498 
28214 
29930 


96165 
47060 
658o4 
53oa3 
io352 


3 1645 
3336o 
36076 
36789 
385o4 


39476 
4a  1 09 
20006 
74946 
087/42 


40218 
4iq32 
43646 
45359 
47073 
48786 

5o5oo 
62213 
53926 
55639 


2323o 

20271 
01748 

69666 

26641 


71910 
io3i8 
42822 
71 386 
97978 


E(l2°). 


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79966  37541 
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83406  44404 
85i3o  48347 
86853  86280 


88676 
90298 
92020 
93740 
96461 


58542 
65554 
07814 
86901 
00474 


97180 

98899 
00617 

oa335 

o4o5ia 


62267 
42094 
70845 
39484 
49062 


06769 
07484 
09200 
10916 
12629 


C0660 
96492 
34803 
19918 
62226 


14343 
16066 
17769 
19481 
21 193 


33i83 
64311 
47192 
83468 
74839 


E(i3°). 


.78177 
,79900 
,8i6ai 
,83343 
85o63 
86783 


32793 
045&6 
98292 
14079 
62i3o 
12742 


,88501 
90220 

9 '.937 
93653 
'95369 


96v3o6 
o33io 
34336 
90067 
71241 


22906 
24616 
26326 
28037 
29747 


23062 

29949 
97361 
27210 
21455 


3i456 
33 166 
34876 
36583 
08292 


82100 
11 190 
1081 1 
83o83 
3oi63 


40000 
41708 
43416 
46124 
4683i 


54240 
67532 
42280 
10762 
65235 


48539 
60246 
61953 
5366o 
55368 


o8o32 

4^464 

67862 

89666 
08919 


.97084 

•98799 
.00612 

.02225 
03937 


78746 
i352 
76607 
69132 
923 1 1 


. 06649 
. 07360 
.  09070 
.10780 
•12489 

•14197 
.  1 6906 
.  17612 

■19319 
.21026 


47447 
35926 
692 1 6 
18867 
i65io 
5385T 
32673 
5483 1 
22262 
36931 


E(i4°). 


,78120 
,79839 
,81667 
83276 

84991 
86707 


30761 
45787 
7o366 
04606 
48734 
03090 


88421 
90135 
9.848 
93550 
96271 


68121 

44385 

32660 

3339 

47791 


.22731 
.24436 
,26140 
.27845 
,29548 


00928 
i6368 
85436 
10378 
93492 


,3.262 
,32966 
,34668 
3636o 
,38062 


37131 
43696 
i56'37 
55446 
66653 


.39764 
.41466 
,43167 
.44868 
.46669 


4883 

07686 

44560 

62389 

63789 


,48270 

■4,9971 
,61671 

, 53372 

56073 


61467 
281 .9 
96614 
5939-2 
19610 


96981 
98691 
00399 
02107 
o38i4 


76741 
ai  335 
82*774 
62362 
6i5o3 


.06620 
.07226 
, 08930 
,  10634 
,12338 


81702 
24662 
91783 
86160 
06678 


,  14040 

,  16743 

17443 

19144 

20844 


58oi5 
41 536 
69289 
i36o7 
o66o3 


, 22543 
, 24242 
26940 
,27638 
,  29335 


40666 

18461 

4^4^'i 

i5i6 

39316 


, 3 1 o32 
,32728 
.34424 
,36 120 
,37816 


17647 
62931 
48009 
06774 
29 .  6^ 


,396.0 
,41204 
,42899 

44593 
4^287 


21 172 
84812 
23.47 
39269 
36299 


.47981 

49  M 
6.368 
63o6i 
54765 


17382 
85683 
44382 
96673 
'â^7'^9, 


E(i5°). 


0.78069 
0.79774 
0.81488 

O. 83202 

0.84914 

0.86626 


33664 
66918 
964 1 3 
22266 
44730 
64186 


o. 88336 
0.90044 
0.9.763 
0.93460 
0.96.66 


8ii39 
96223 
10196 
23938 
38467 


0.96871 

0.98676 

.00278 

.01981 

.o3682 


54881 
74461 
98668 
2869 1 
66437 


.05383 
.07082 
.08781 
.10479 
. 1217S 


13626 
71796 
43189 
29764 
3368o 


.13872 
,  16668 
, 17262 
,18966 
,  20649 


67205 
02704 
72642 
69680 
96171 


, 22342 
,  24034 
,26726 
.27416 
.  29 1 06 


56i58 
49367 
81709 
66172 
72819 


.30796 
.32485 

.34174 
,36862 
.37660 


37784 
53270 
22.54» 
48921 
35789 


,39237 
,40926 
4'>.6i  1 
44298 
45984 


86673 
04749 
93833 
67380 
98978 


47671 
,49367 
61043 
62729 
64416 


22241 

30807 
28334! 
i8494| 
^^9^9 I 


556 


TABLE  IX. 


ç. 

45< 

46 

47 
48 

49 

5o_ 

5i 

5  9. 

53 

54 
55 


5S 
57 
58 


6i 
6a 
63 

55_ 

66 
67 
68 

69 

70 


72 
73 
74 
75 


77 
78 

79 
8o_ 

11 
82 
83 

184 
85_ 

|86' 

I87 
!88 

89 

|9° 


F  (10'). 

7875G  49^75 
o.8o5i5  36566 

0.82374  70747 
o.84o34  51869 
85794  79826 
87555  54456 


0.89316  75539 
0.91078  427 
0.92840  558' 
0.94603  14432 
0.96366  17975 


0.98129  66014 

0.99893  57990 

.01657  93289 

.0342a  71242 

.05187  91 '27 


.06953 
.08719 
, 10485 

, 12252 
14019 


52170 
53545 
94373 
73728 
90634 


F(u°). 

0.78801  82433 
o.8o563  54491 
o. 82325  83566 
0.84088  69609 
0.85853  12601 
0.87616  i2o53 


0.89380  68008 
0.91145  8oo38 
0.92911  4jy4b 
0.94677  70663 
0.96444  48257 


FCiQ"). 

0.78861  40255 

0.80616  24488 
0.82381  76784 

0.84147  97097 
0.86914  85298 
0.87682  41176 


0.98211  79923 

o- 99979  64990 
.01748  02721 
.o35i6  9a3i 1 
.06286  32889 


,15787 
.17555 
. 19323 
21092 
,22861 


440G6 
32955 
56i85 
12696 
00987 


,24630 
,26399 
.28169 

■29939 
3 1 709 


201  16 
6870c 
45419 
48918 
7780Ç 


,  33480 
,36261 
,37022 
,38793 
40664 


3ob68 
06021 
0241 1 
18I18 
62206 


42336 
44107 
,45879 
47661 
4942" 


026 1 3 
67662 
4606  ■>, 
36o66 
3So7o 


6 1 196 

62967 
6^739 
5 '^5 1 2 
68284 


4442 

69462 

79627 

0294S 

28043 


.07066  a352] 
,08826  63210 
,  10697  60896 
.12368  86466 
14140  66710 


.  l5qi2  90418 

.17686  '58283 
.19468  67963 

.21232  18020 

. a3oo6  07026 


0.89460  64431 
0.91219  64687 
0.92989  11480 
0.94769  34266 
0.96530  22416 


F(i3°). 


0.78906  20876 
0.80673  44636 
0.82442  48640 
0.84212  32662 
0.86982  95535 
0.87764  4^>256 


0.98301  76219 
1 .C0073  91887 
I .01846  71645 
1.03620  13243 
i .06394  16961 


i .07168  78661 
1 .08943  99887 
1 . 10719  78669 
I . 12496  13676 
1 . 14273  03198 


.24780  3.Î466 
.26554  9^778 

.28529  92>5q 

. 3oio5  21662 
.31880  81694 


33656  71024 
,35432  8778 
37209  3oi65 
38986  96331 
40762  8441 1 


4'''639  92606 
.44^^?  18690 
.46094  6ioi3 

.47872  17606 
4964q  86177 


.61427  66024 
.632c5  5t^o27 
.64983  46166 
.6 -'761  4'>^'i4 
.58539  41 638 


1 . 1 6060  46062 
1 . 17828  40620 
1 . 19606  86260 
i.2\385  783o3 
i.23i65  18008 


1 .24945  02673 
1.26726  3oi36 
I .28506  9878c 
i .30287  06533 
1 .3ao68  61370 


0.89626  6358o 
0.91299  65478 
0.93073  46020 
0.94848  04378 
0.96623  39827 


0.98399  61644 
1 .00176  3861 1 
1 .01964  0001 3 
1 . o373a  3464 I 
1 .0661 1  41292 


1.07291  18671 
1.09071  66391 


F  (140). 


0.78963  22127 
0.80735  12810 
0.82607  96776 
0.84^81  73999 
o.86o56  44^44 
0.87832  07668 


0.89608  63273 
0.91386  11007 
0.93164  5oi63 
0.94943  80029 
0.96723  ^<^']ji.) 


0.98606  08472 
1 .00287  o5o66 
1 .02069  88363 
1 .o3853  67119 
1 .o5638  09937 


1 .07423  45320 
09209  ^\Ç>^^ 


1.10862  799771.x 0996  67266 
1 . 12634  608641 1 .  12784  3o3o9 


1 . 14417  06402 
1.16200  14866 
1 .  17983  84410 
1 .  19768  i3i 66 
1 .21662  99148 
1.23338  4o3o6 


1 .3385o  3 122c 
1 .35632  43964 
1.37414  87438 
1 .39197  69439 
I .40980  67727 


1 .42763  80026 
1 .44547  24024 
1.46330  8738 S 
1.48114  67749 
1 .4q8q8  62726 


1 .61682  6991 2 
1.53466  86884 
1 .66261  1 1208 

I .67035  4o83q 
I .68819  72126 


1.26124  34616 
1 .26910  79682 
1 . 28697  73244 
i.3o4